VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN POR INTEGRALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS














Definición del volumen de un sólido en términos del área secciona!
Volumen de un sólido de revolución
Método del disco circular
Método del anillo circular
Método del tubo cilíndrico
Volumen de un sólido de revolución en coordenadas polares
Definición
Sea § una región del espacio X1Z que se encuentra entre dos planos perpendiculares
al eje X x=a y x= b. Entonces el volumen del sólido § se define por la fórmula
donde lA(x) es el área de la sección de § trazada perpendicularmente al eje X en el
punto x, y donde se supone que lA(x) es una función continua.
Interpretación geométrica
El cilindro elemental R de la derecha tiene árealA(x) en la base y altura dx.
Luego, su volumen es dV=IA(x)dx. Las sumas de los volúmenes de tales
cilindros elementales se aproximan al volumen del sólido ya que
Análogamente, el volumen de un sólido S del espacio comprendido entre dos
planos perpendiculares al eje Y: y=c e y=d, se define mediante
w = J: lA(y)dy
donde IA(y) es el área de la sección plana de S trazada perpendicularmente al
eje Yen el punto y.
Ejemplo 1
Una cuña se corta de un sólido en forma de cilindro recto circular de radio r, por
un plano que pasa a través del diámetro de la base y forma un ángulo de 45° con el
plano de la base. Halle el volumen de la cuña.

Ejemplo 2
Calcule el volumen de una esfera de radio a.
Solución
La sección plana de la esfera trazada perpendicularmente al eje X en el punto x, es
un círculo de radio PQ=y, y por tanto, su área es .lA(x)n/=n(a2 _x2).
La esfera se obtiene cuando x varía desde x=-a hastax=a.
Luego, el volumen de la esfera es

Teorema
Sea y=y(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] tal que y(x) ~ o. Sea S
el sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del eje Xla región limitada por la
curva y= y(x) , el eje X y las rectas x=a y x= b. Entonces, el volumen de S es dado por

Prueba
Al rotar la región PQab del plano XY alrededor del eje X, se genera el sólido de
revolución PQRT. En la figura se muestra un cilindro o disco circular de radio = y,
altura = dx, área de la base .lA(x) = ni, y volumen dW = ni dx.
Por tanto, el volumen del sólido es

Ejemplo 1
Pruebe que el volumen de un cono circular recto de radio r y altura h es
Ejemplo 2
Halle el volumen del sólido engendrado cuando se rota alrededor del eje Xla región
acotada por un arco completo de la curvay=a senx.
En forma análoga, el volumen del sólido de revolución S
obtenido al rotar al rededor del eje Y la región limitada
por la curva X=X(Y), el eje Y y las rectas y=c e y=d
es dado por
En este caso, dV=nx2dy es el volumen de un disco
circular elemental (ver figura).
Teorema
El volumen del sólido de revolución engendrado por rotación alrededor del eje X de
la región acotada por las curvas Yl = Yl (x) e Y2 = Y2(x) , donde Yl (x) 2′: Y2(x) 2′: 0, Y las
rectas x= a y x= b, es dado por la fórmula
En la figura se muestra un rectángulo elemental R determinado por la abscisa x, las
ordenadas JI’ J2′ Al rotar R alrededor del eje X se obtiene un anillo circular, como
el que se ilustra en el lado derecho de la figura, cuya base tiene un área
LA(x) = n(yf – Ji), Y cuyo volumen es dW=LA(x)dx=n(Jf – Ji )dx.
Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución obtenido cuando x varía desde
x= a hasta x= b, es
Ejemplo
Encuentre el volumen del anillo sólido (o toro) obtenido cuando se rota un círculo
de radio r alrededor de un eje exterior en su plano y a b unidades de su centro.

Definición
El volumen del sólido de revolución S engendrado por rotación alrededor del eje Y
de la región acotada por las curvas Yl = Yl (x) e Y2 = Y2(x) , donde Yl (x) ~ Y2(X) , y las
rectas x= a y x= b, es dado por la fórmula
Al rotar alrededor del eje Yel rectángulo R, se obtiene un tubo cilíndrico, como el
que se ilustra en el lado derecho de la figura, cuyo volumen aproximado es
dW = (perímetro de la base) . (ancho) . (altura)
=2(nx)(dx)(y¡-Y2).
El volumen del sólido obtenido al rotar la región PQRT alrededor del eje Yes entonces
W = s: dW = 2n s: x(y¡ – Y2)dx.
Ejemplo
Calcule el volumen del sólido engendrado al rotar alrededor de la recta x= a la
región acotada por esta recta y la parábolal=4ax, (a> O).
Teorema
El volumen del sólido de revolución que se obtiene al rotar alrededor del eje X la
región acotada por la curva p = p(8) Y los ángulos polares 8 = 81 Y 8 = 82, es dado
por la fórmula

Ejemplo
Calcule el volumen de un sólido obtenido por rotación de región acotada por la
curva p = a coi8 alrededor del eje polar.
Problemas resueltos
Problema 1
Halle el volumen de un sólido formado por rotación alrededor del eje X de la región
acotada por el eje Xy la parábolay=2x-x2.
Problema 2
Encuentre el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del eje X
la región acotada por la parábola semicúbica l=x3
, el eje X y la recta x= 1.
Problema 3
Calcule el volumen de un sólido obtenido por rotación, alrededor del eje X de la
región comprendida entre las parábolas y=x2 e y = J;o
Problema 4
Halle el volumen del sólido generado por rotación de la cisoide
3
2 x
y = -4– alrededor de su asíntota x=40
ProblemaS
x
Pruebe que el volumen del sólido obtenido por rotación alrededor del eje X de la
regl.O , n lI’ mI. tad a por 1a h’I pe’rb o 1a eqUl’ 1a’ tera x2- y2 = a2 y 1a recta x= 2a, es’ Ig U al al
volumen de una esfera de radio a.
Problema 6
Encuentre el volumen de un cono recto elíptico cuya base es una elipse con semiejes
4 y 3, y altura 5.
Problema 7
La base de un sólido es un círculo de radio a. Si todas las secciones planas del sólido
perpendiculares a un diámetro fijo de la base son cuadradas, halle el volumen del sólido.
ProblemaS
Calcule el volumen del sólido formado por rotación de la figura acotada por un arco
completo de la cicloide x=a(t-sen t), y=a(1-cos t) yel eje X, alrededor del
(1) eje Y
(2) eje de simetría de la figura.
Problema 9
Encuentre el volumen del sólido común a dos cilindros rectos circulares de radio a,
cuyos ejes se intersecan en ángulos rectos.
Problema 10
Un círculo deformable se mueve de manera que uno de los puntos de su circunferencia
se encuentra en el eje X el centro describe una elipse
x2 i
2+2=1
a b
y el plano del círculo es perpendicular al eje X Calcule el volumen del sólido.
Problema 11
Halle el volumen de un segmento de esfera de radio a y altura h.
Problema 12
Una esfera de radio a tiene un hueco cilíndrico recto de base circular de diámetro a.
Si el eje del cilindro es un diámetro de la esfera, halle el volumen de la esfera hueca.
Problema 13
Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por
2/3 2/3 2/3 .
x + y = a alrededor del eje Y.
Problema 14
Sobre las cuerdas de la curva x 2/3 + y2/3 = a2/3, paralelas al eje X, se construyen
cuadrados perpendiculares al plano XY y cuyos lados son iguales a las longitudes de
tales cuerdas. Encuentre el volumen del sólido formado.
Problema 15
Calcule el volumen engendrado al rotar la región acotada por la recta y=x y la
parábolay=3x-x2, alrededor de la recta .
Problema 16
Halle el volumen del sólido obtenido por rotación alrededor del eje polar de la
Tt
figura acotada por la cardiode p = 4 + 4 cos8 y las rectas 8 = O Y 8 = -.
Problema 17
Calcule el volumen del sólido formado por rotación alrededor del eje polar de la
curva p=3 sen28.
Problema 18
Calcule el volumen del sólido limitado por el paraboloide
2 2 x y
-+-= z y los planos z=2 y z=5.
Problema 19
Halle el volumen de un cono recto de altura h, cuya base es una elipse de semiejes a y b.
Problema 20
Halle el volumen del sólido encerrado por la elipsoide
2 2 2 x y z
2+2+2=l.
Problema 3
Halle el volumen de un obelisco cuyas bases paralelas son rectángulos de lados A, B
ya, b, respectivamente, y la altura es h.
Problema 4
Un triángulo móvil de altura constante h se mueve con un plano perpendicular
a un diámetro fijo de un círculo de radio a. La base del triángulo es una cuerda
del círculo. Encuentre el volumen del sólido engendrado cuando el triángulo se
desplaza desde un extremo del diámetro hasta el otro.

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ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN POR INTEGRALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS
LONGITUD DE LA CURVA POR INTEGRALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS