USO DE LAS OPERACIONES DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 5–QUINTO AÑO PDF

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Propiedades de la multiplicación, Manos a la obra: Prevalencia de
las operaciones, Expresiones entre paréntesis, Manos a la obra: Resolución de problemas
con calculadora, Resolver ecuaciones, Resolver desigualdades,Patrones: hallar una regla,
Práctica adicional,
Práctica con un juego: Conexión entre ecuaciones

Álgebra: Usar las
operaciones de
multiplicación y división
La idea importante Las propiedades y los conceptos del álgebra se usan para evaluar
expresiones y resolver ecuaciones de multiplicación y división.

Se han seleccionado 12 viñetas. Las expresiones
6 1 6 y 3 • 4 ambas son iguales a 12. Escribe
tres expresiones diferentes que sean iguales al
número de viñetas que se muestran aquí
usando dos o más operaciones. Explica cómo
decidiste si debías usar paréntesis.

El estadounidense Charles
Schulz creó la tira cómica
Peanuts que ha dado la
vuelta al mundo (en la imagen
el mosaico homenaje en
Santa Rosa, USA). En Chile
Condorito es el protagonista
de la historieta chilena
por excelencia. René Ríos
conocido por el seudónimo
de Pepo fue su creador.
La historieta de Condorito
ha traspasado las fonteras
chilenas.
DATO
BREVE
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO PREPARACIÓN
propiedad de elemento neutro La propiedad que establece
que el producto de cualquier número y 1 es ese mismo
número.
propiedad conmutativa La propiedad que establece que
cuando se cambia el orden de dos factores, el producto es el
mismo.
u Familias de operaciones
Copia y completa cada expresión numérica.
5. 5 • 3 5 j 6. 6 • 7 5 j 7. 4 • 9 5 j 8. 7 • 9 5 j
15 : j 5 3 42 : j 5 7 36 : j 5 9 63 : j 5 9
u Ecuaciones de suma y de resta
Resuelve la ecuación usando el cálculo mental. Comprueba tu solución.
9. n 1 8 5 13 10. 9  n 5 6 11. n 1 6 5 14 12. 12  n 5 3
1. Equipo 2 3 4 5 6
Jugadores 12 18 24 j j
Regla: multiplicar el número de equipos
por 6.
3. Piernas 12 16 20 24 28
Vacas 3 4 5 j j
Regla: dividir el número de piernas
entre 4.
2. Monedas de $ 10 4 5 6 7 8
Monedas de $ 1 40 50 j 70 j
Regla: multiplicar el número de monedas
de $ 10 por 10.
4. Pulgadas 12 24 36 48 60
Pies 1 2 j 4 j
Regla: dividir el número de pulgadas
entre 12.
propiedad
asociativa
propiedad
conmutativa
propiedad
distributiva
ecuación
expresión
prevalencia de
las operaciones
paréntesis
variable
propiedad
del cero
Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan
para completar exitosamente el capítulo 4.
u Usar una regla
Copia y completa cada tabla.
Capítulo 4 73
Aprende
Las propiedades de la multiplicación te ayudan a hallar productos
de dos o más factores.
La propiedad elemento neutro dice
que el producto de 1 y cualquier
número es ese número.
1 • 3 5 3
La propiedad conmutativa dice que puedes
multiplicar dos factores en cualquier orden y
obtener el mismo producto.
2 • 3 5 6 3 • 2 5 6
La propiedad asociativa dice que puedes agrupar
factores de diferentes maneras y obtener el
mismo producto. Usa paréntesis ( ) para agrupar
los factores que multipliques primero.
(4 • 2) • 3 5 24 4 • (2 • 3) 5 24
• Usa fichas para mostrar dos maneras de agrupar 3 • 2 • 5 para hallar
el producto. ¿Son los productos iguales? Explica. Haz un dibujo para
registrar tus representaciones.
Por lo tanto, j 5 0. Por lo tanto, j 5 8.
PROPIEDADES
Ejemplo 1 Usa las propiedades para hallar el factor que falta.
j • 12 5 0
0 • 12 5 0
9 • j 5 8 • 9
9 • 8 5 8 • 9 Propiedad conmutativa
Propiedades de la multiplicación
Objetiv O: identificar y usar las propiedades de la multiplicación.
Repaso rápido
1. 3 • 1
2. 5 • 3
3. 2 • 6
4. 7 • 0
5. 8 • 2
Vocabulario
Propiedad elemento neutro
Propiedad conmutativa
Propiedad asociativa
Propiedad distributiva
Propiedad
absorbente del cero
1
LECCIÓN
74
Paso
4
12
4
10 2
Paso Paso
La propiedad distributiva
PROBLEMA En la tienda de mascotas, los conejos están en una jaula
que mide 4 metros de ancho por 12 metros de largo. ¿Cuál es el área
de la jaula?
Actividad Usa la propiedad distributiva.
Materiales ■ fichas cuadradas
La propiedad distributiva dice que multiplicar una suma por
un número es lo mismo que multiplicar cada sumando por el
número y después sumar los productos.
Multiplica. 4 • 12
Haz una matriz para hallar
4 • 12. Usa fichas cuadradas
para construir una matriz.
4 • 12 5 j
Separa la matriz para hacer
dos matrices pequeñas para los
productos que conoces.
4 • (10 1 2)
Usa la propiedad
distributiva para mostrar
la suma de dos productos.
(4 • 10) 1 (4 • 2)
40 1 8 5 48
Por lo tanto, el área de la jaula es de 48 metros cuadrados.
Halla 8 • 12.
8 • 12 5 8 • (10 1 2)
5 (8 • 10) 1 (8 • 2)
5 80 1 16
5 96
Piensa: 12 5 10 1 2
Regla distributiva
Halla 5 • 5 • 2.
5 • 5 • 2 5 5 • (5 • 2)
5 5 • 10
5 50
Halla 2 • 7 • 5.
2 • 7 • 5 5 2 • 5 • 7
5 (2 • 5) • 7
5 10 • 7
5 70
Regla asociativa
• ¿Cómo puedes agrupar los factores para multiplicar 5 • 2 • 8?
• ¿Es 27 • (48 2 48) 5 0 verdadero? Explica cómo puedes ver esto, fácilmente.
Ejemplo 2 Usa las propiedades y el cálculo mental.
El uso de las propiedades te ayuda a hallar el valor de las
expresiones de multiplicación.
Regla asociativa
Regla conmutativa
Recuerda
El área es el número de
unidades cuadradas necesarias
para cubrir una superficie plana.
área 5 2 • 3, o 6,
unidades cuadradas.
Capítulo 4 75
Comprensión de los aprendizajes
26. 18 1 36 5
27. 42 : 7 5
28. ¿Cuánto es 324 946 redondeado a la decena
de mil más cercana?
29. ¿Cuál es el número que falta?
7 •  5 (7 • 10) 1 (7 • 2)
A 2 C 12
B 10 D 20
1. Usa la regla asociativa para hallar el factor que falta. (12 • j) • 4 5 12 • (3 • 4)
Usa las reglas y el cálculo mental para hallar el producto.
2. 1 • 56 • 1 3. 24 • 0 • 6 4. 8 • 3 • 3 5. 7 • 12
6. Explica con un dibujo por qué al multiplicar 4 • 8 y 8 • 4 obtenemos productos iguales.
Usa las propiedades y el cálculo mental para hallar el producto.
7. 9 • 7 • 0 8. 2 • 4 • 7 9. 8 • 5 • 2 10. 6 • 9 • 1
Halla el número que falta. Nombra la propiedad que usaste.
11. 8 • 6 5 6 • j 12. 5 • 12 5 (5 • 10) 1 (5 • j) 13. (4 • 5) • 2 5 4 • (j • 2)
Haz una representación y usa la propiedad distributiva para hallar el producto.
14. 5 • 12 15. 3 • 12 16. 6 • 12 17. 12 • 9
Muestra dos maneras de agrupar usando paréntesis. Halla el producto.
18. 3 • 2 • 5 19. 8 • 7 • 1 20. 7 • 0 • 2 21. 2 • 6 • 2
22. Hay 2 mesas, cada una tiene 3 peceras con
5 peces en cada una. Hay también 3 mesas,
cada una tiene 2 peceras con 5 peces en cada
una. ¿Son iguales las cantidades? Explica.
24. Formula un problema Escribe un problema
que se pueda resolver usando el producto
(4 • 2) • 8.
23. Hay 9 peceras con 11 peces tetra en cada
una y 12 peceras con 7 peces molly en
cada una. ¿Hay más tetras o mollys?
¿Cuántos más hay?
25. ¿Cuál es la pregunta?
El producto es 19. Explica cómo lo sabes.
Práctica con supervisión
Práctica independiente y resolución de problemas
76
Escribe para
probar o contradecir
1. Envolvente del cero 2. Elemento neutro
Resolución de problemas Escribe
para probar o contradecir cada regla de la
división.
Algunas veces debes evaluar si un enunciado
numérico o idea matemática es verdadera o
falsa. Puedes usar lo que conoces acerca de
las operaciones y propiedades para probar o
refutar si las propiedades de la multiplicación son
verdaderas para la división.
El grupo de Paula quiere saber si la propiedad
conmutativa es verdadera para la división.
Los miembros de su grupo escribieron esta
explicación para mostrar lo que aprendieron.
Nosotros podemos intentar con diferentes problemas de división
para hallar si la regla conmutativa funciona para la división.
Decidimos intentar con 6 : 6 y 6 : 3.
Primero, preguntamos si 6 : 6 5 ? 6 : 6. Ambos cocientes son
iguales a 1. Por lo tanto, el enunciado numérico es verdadero y la
propiedad conmutativa funciona para este problema de división.
Después, preguntamos si 6 : 3 5 ? 3 : 6. En este ejemplo, el divisor y el
dividendo son números diferentes. 6 : 3 5 2 y
3 : 6 5 _63 . El cociente 1 y _6 3 no son iguales. Por lo tanto, este
enunciado numérico es falso.
Por último, los miembros de nuestro grupo estuvieron de acuerdo
en que, como el segundo enunciado numérico es falso, la división
no es conmutativa.
Escribe para probar o contradecir:
• Usa vocabulario matemático
correcto.
• Plantea la idea matemática que
estás probando o contradiciendo.
• Plantea por lo menos dos
ejemplos para analizar tu idea.
• Muestra tus cálculos y explica lo
que aprendiste de cada ejemplo.
• Para probar, cada caso necesita
ser evaluado. Para refutar, sólo es
necesario un caso falso.
• Muestra tu razonamiento
sacando una conclusión acerca
de cada ejemplo.
• Por último, escribe una
conclusión que establezca si
probaste o contradijiste la
idea matemática que estabas
analizando.
Capítulo 4 77
2
PROBLEMA En una visita a la Feria del libro usado, Carla
compra un libro de $ 600 y 2 libros de $ 400 cada
uno. Paga con un billete de $ 2 000. ¿Cuánto dinero
le queda?
Puedes escribir la expresión
2 000  600  2 • 400 para resolver el problema.
Antes de que resuelvas este problema, investiga
cómo el orden en que realices las operaciones
puede cambiar la respuesta.
Haz una lista de todos los órdenes posibles que
puedes usar para hallar el valor de la expresión.
4 1 16 : 4  2.
Usa cada orden de tu lista para hallar el valor de la
expresión. Usa papel y lápiz.
Sacar conclusiones
1. ¿Cambió el valor de la expresión al seguir un orden
diferente?
2. Compara todos los valores que hallaste.
¿Tienen sentido todos estos valores? Explica.
3. ¿De qué manera el orden en que realizas las
operaciones cambia el valor de una expresión que
tiene más de un tipo de operación?
4. Síntesis ¿Qué ventaja hay en establecer un orden de
las operaciones que todos sigan?
Prevalencia de las
operaciones
OBJETIVO: aplicar la prevalencia de la multiplicación y la división por sobre
la adición y la sustracción.
Repaso rápido
1. 8 • 6
2. 28 : 4
3. 56 : 7
4. 45 1 28
5. 91  34
Vocabulario
prevalencia de las operaciones
Recuerda
Una expresión es
parte de un enunciado
numérico que tiene
números y signos de
operaciones pero que
no tiene un signo
de igual.
78
Paso Paso Paso
Cuando resuelves problemas con más de un tipo de operación, necesitas saber qué operación
realizar primero. Un conjunto de reglas especiales, llamado prevalencia de las operaciones, da el
orden en el cual se realizan los cálculos en una expresión.
Primero, multiplica y divide de izquierda a derecha.
Después, suma y resta de izquierda a derecha.
Luego, usa el orden de las operaciones para resolver el problema.
2 000  600  2 • 400
2 000  600  800
Halla el valor de 2 000  600 2 2 • 400.
2 000  600  800
1 400  800
1 400  800
600
Multiplica de
izquierda a
derecha.
Después, resta
de izquierda a
derecha.
Luego, resta
otra vez.
Por lo tanto, a Carla le quedan $ 600.
• ¿Cómo te ayudó la prevalencia de las operaciones a resolver este problema?
Ejemplos
¿Qué operación debes
realizar primero para
hallar los valores de
12  6 : 2 y
12 : 6  2?
¿Cuál es el valor de cada
expresión?
12 1 15 : 3
12 1 5
17
Divide de izquierda
a derecha. Después,
suma.
32  10 1 6
22 1 6
28
Suma y resta
de izquierda a
derecha.
Escribe correcto si las operaciones están en el orden correcto.
Si no es así, escribe la prevalencia de las operaciones en el orden correcto.
1. 4 1 5 • 2 Multiplicar, sumar 2. 8 : 4 • 2 Multiplicar, dividir
3. 12 1 16 : 4 Sumar, dividir 4. 9 1 2 • 3  1 Sumar, multiplicar, restar
Sigue la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión.
5. 6 1 9 : 3 6. 3 • 6 : 2 7. 49 : 7 1 5 8. 36  4 1 8 : 4
9. 8 1 27 : 9  2 10. 9 • 7 1 4 11. 45 : 5  6 12. 8 • 9  4 1 12
Razonamiento Usa los números de la lista para hacer un
enunciado numérico verdadero.
13. 2, 6 y 5 14. 4, 12 y 18 15. 8, 9 y 7
j 1 j • j 5 16 j  j : j 5 15 j • j  j 5 47
16. ¿Es 4 1 8 • 3 igual a 4 1 3 • 8? Explica cómo
lo sabes sin hallar el valor de cada expresión.
Capítulo 4 79
Aprende
Expresiones entre paréntesis
OBJETIVO: aplicar las reglas relativas a paréntesis para hallar el valor
de expresiones.
Ya sabes cómo usar el orden de las operaciones para hallar el
valor de una expresión con más de un tipo de operación. Algunas
expresiones pueden tener paréntesis. En una expresión que tiene
paréntesis, se resuelve primero lo que está entre paréntesis.
Primero, realiza cualquier operación entre paréntesis.
Después, multiplica y divide de izquierda a derecha.
Luego, suma y resta de izquierda a derecha.
Ejemplo 1 Usa el orden de las operaciones.
David es un observador de aves. Vio 8 cachuditos durante
el fin de semana. En los siguientes 5 días vio diariamente 3
cachuditos más. ¿Cuántos cachuditos vio en total?
8 1 (5 • 3)

8 1 15

23
Por lo tanto, David vio 23 cachuditos del norte en total.
Camila vio 8 diucas el lunes y 2 el martes. Al llegar al
viernes, había visto 3 veces la cantidad de diucas que vio entre
lunes y martes. ¿Cuántas diucas vio en total?
(8 1 2) • 3

10 • 3

30
Por lo tanto, Camila vio 30 diucas en total.
• Halla el valor de 8 1 2 • 3. ¿En qué se parece esta expresión a
8 1 (2 • 3) y a (8 1 2) • 3? ¿En qué se diferencia?
Piensa: 8 cachuditos más 5 días multiplicado por
3 cachuditos cada día
Realiza primero lo que está entre paréntesis.
Después, suma.
Piensa: 3 multiplicado por el total de 8 diucas
y 2 diucas
Realiza primero lo que está entre paréntesis.
Después, multiplica.
Repaso rápido
1. 9 1 3 • 6
2. 15 2 8 : 2
3. 20 : 4 2 3
4. 7 • 6 2 3 • 5
5. 36 : 4 1 8 • 2
3
LECCIÓN
80
Ejemplo 2 Relaciona las palabras con una
expresión. Después, halla el valor de la expresión.
Juan contó bandurrillas de pico recto en 2 árboles. Había
5 pájaros en cada árbol. Después, 3 pájaros se fueron de
cada árbol. ¿Cuántas bandurrillas quedaron?
¿Qué expresión se relaciona con el significado de las palabras?
Piensa: Los 2 árboles que tenían 5 pájaros cada uno, ahora tienen 3 pájaros menos.
Relaciona las palabras y las expresiones
Puedes relacionar palabras con una expresión o escribir
una expresión que se relacione con palabras.
(2 5) 2 3 ←
(2 • 5) 2 3
2 • (5 2 3) ←
2 • (5 2 3)
Para hallar cuántas bandurrillas quedan, sigue el orden de las operaciones.
2 • (5 2 3)

2 • 2

4
Por lo tanto, quedan 4 bandurrillas de pico recto.
(6 • 3) 2 4 ← 6 albatros en cada uno de 3 árboles y 4 diucas menos
Para hallar cuántos más albatros vio Elías, sigue el orden de
las operaciones.
(6 • 3) 2 4 Realiza primero lo que está entre paréntesis.

18 2 4 Después, resta.

14
Por lo tanto, Elia vio 14 albatros de frente blanca más que diucas.
• Explica por qué la posición de los paréntesis es importante.
Primero, halla el número total de pájaros
en los árboles y después resta el número
que se fue volando.
No se relaciona con el significado.
Primero, halla el número de pájaros que
quedan en cada árbol y después halla el
número total que quedan.
Se relaciona con el significado.
Realiza primero lo que está entre
paréntesis.
Después, multiplica.
Los paréntesis te ayudan
a hallar el valor correcto
de una expresión con más
de un tipo de operación.
El significado de las
palabras en un problema
indica dónde colocar los
Ejemplo 3 Escribe una expresión que se relacione paréntesis.
con las palabras. Después, halla el valor de la expresión.
Elías vio 6 albatros de frente blanca en cada uno de 3
árboles. Además, vio 4 diucas. ¿Cuántos albatros más
que diucas vio?
Capítulo 4 81
Escribe las palabras que se relacione con la expresión.
24. 4 • (5 1 3) 25. (10 1 2) • 6 26. 6 • (5 2 3) 27. (7 • 2) 2 12
Usa paréntesis para hacer el enunciado numérico verdadero.
28. 34 1 6 : 4 5 10 29. 7 • 6 2 3 5 21 30. 14 2 4 1 8 : 2 5 8
31. 7 • 6 1 6 2 2 5 82 32. 5 1 6 • 2 5 22 33. 9 2 6 • 6 : 2 5 9
1. ¿Qué manera de colocar los paréntesis da un valor de 35?
a. 5 • (9 2 2) b. (5 • 9) 2 2
Sigue la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión.
2. 3 • 6 2 (2 1 4) : 2 3. 3 • (6 2 2) 1 4 : 2 4. 3 • (6 2 2 1 4) : 2
Elige la expresión que se relacione con las palabras.
Sigue la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión.
8. 45 2 9 : 3 9. 30 1 2 • (6 2 4) 10. (45 2 9) : 3
11. 36 2 (4 1 8) : 4 12. 8 1 6 • 5 2 2 13. (28 2 8) : 4 1 6
14. 5 • (9 2 4) 1 (12 : 6) 15. 18 2 (5 • 3) 16. (36 : 4) 1 (10 2 5)
17. (3 • 8) : (6 1 6) 18. (9 2 6) • (8 2 5 1 3) 19. (12 • 3) : (8 2 4)
Elige la expresión que se relacione con las palabras.
5. Claudia tenía $ 7 y después trabajó 3 horas
a $ 6 la hora.
a. (7 1 3) • 6 b. 7 1 (3 • 6)
6. Juan José tenía 4 páginas con 5 estampillas
en cada una. Usó 3 estampillas.
a. (4 • 5) 2 3 b. 4 • (5 • 3)
7. Explica por qué los valores de 8 1 6 : 2 y (8 1 6) : 2
son diferentes. ¿Cuál es el valor de cada expresión?
20. Ariel tenía 15 bolitas. Regaló 3 y después le
dieron 5.
a. (15 2 3) 1 5 b. 15 2 (3 1 5)
22. Samuel trabajó 6 horas al día por 4 días.
Trabajó 5 horas el quinto día.
a. (6 • 4) 1 5 b. 6 • (4 1 5)
21. María José tenía 50 láminas. Le dio 4 láminas
durante 5 días a su hermano.
a. 50 2 (4 • 5) b. (50 2 4) • 5
23. Jéssica compró 2 boletos a $ 800 cada uno.
Pagó $ 100 de impuesto de ventas.
a. 2 • (800 1 100) b. (2 • 800) 1 100
Práctica con supervisión
Práctica independiente y resolución de problemas
82
Comprensión de los aprendizajes
38. Halla el valor de w 1 26 si w 5 17.
39. Un santuario de aves tiene 8 aves en cada jaula
gigante. Si hay 56 aves, ¿cuántas jaulas hay?
40. Halla el valor de la expresión.
4 • (9 2 5) 2 1
41. j • 6 5 6 • 9
42. ¿Qué expresión tiene un valor de 28?
A (16 2 2) • 2
B 16 2 2 • 2
C 16 1 4 : 2 1 8
D (16 1 2) : 2 1 8
Sendero de Chile
El Parque Nacional Torres del Paine dista 41 km del Monumento
Natural Cueva del Milodón. En esta cueva habitó el milodón. Esta
especie de animal extinta pertenecía a la familia de los armadillos,
osos hormigueros y actuales perezosos; era bípedo y medía
aproximadamente dos metros y medio.
Escribe una expresión que se relacione con las palabras.
Después, halla el valor de la expresión.
1. Un pionero viajó 3 km por hora durante 3 horas en la mañana.
Después viajó 5 km en la tarde y 3 km en la noche. ¿Qué
distancia viajó?
2. Una familia viajó 7 km en la mañana, 2 km por hora durante
4 horas en la tarde y después 1 km más en la noche. ¿Qué
distancia viajó la familia?
34. Lia vio 8 gorriones en cada uno de 3 árboles y
4 chincoles en cada uno de 2 árboles. ¿Cuántos
gorriones más vio que chincoles?
35. Luisa vio 4 zorzales en una hora. En la hora
siguiente vio el doble de zorzales, que había
visto en la primera hora. ¿Cuántos zorzales vio
en total?
36. Formula un problema Escribe un problema
que se relacione con la expresión
4 • (8 2 3).
37. Cuando hallas el valor de
6 1 6 y 3 • 4, ambas expresiones son iguales
a 12. ¿Qué otros nombres para 12 puedes
escribir que tengan solo números menores
que 10 y por lo menos tres operaciones
diferentes? Explica cómo decidiste si debías
usar paréntesis.
q Torres del Paine
Capítulo 4 83
4
PROBLEMA El siguiente cuadro muestra la distancia en
kilómetros de algunas ciudades de Chile.
Observa la tabla y responde
Resolución de problemas
con calculadora
OBJETIVO: usar la calculadora para resolver problemas.
Repaso rápido
1. 24 • 12
2. 127  89
3. 425 1 1204
4. 324 : 9
Vocabulario
proyecciones
¿Qué distancia hay entre las ciudades de Santiago y La
Serena?
La distancia es la diferencia de estos datos. Usa la
calculadora para encontrarla.
2050 -– 1590 == 460
Entre Santiago y La Serena hay 460 kilómetros.
Distancias aproximadas
en kilómetros Arica Antofagasta
La Serena 1590 900
Santiago 2050 1360
Concepción 2565 1875
Sacar conclusiones
1. ¿Qué ventaja tiene realizar estas operaciones con
calculadora?
2. Chile mide aproximadamente 4300 km de largo,
¿Cuántos kilómetros más debe recorrer una persona
que viene desde Arica y llegó a Concepción, para
terminar de recorrer el país?
3. ¿Cuántos kilómetros menos hay entre La Serena y
Concepción que entre Antofagasta y Concepción?
4. ¿Cuántos kilómetros más lejos de Santiago está
Concepción que La Serena?
5. ¿Entre qué ciudades existe mayor distancia?
84
Cuando usas la calculadora necesitas saber qué teclas presionar para realizar el cálculo que
necesitas. Para ello, también debes tener claro, en el orden en que se introducirán los datos.
Ejemplo Halla el valor de 854 325 – 794 528
Para calcular este resultado se introducen los datos en el mismo orden en que aparecen.
Algunas de las proyecciones de la población (habitantes) de Chile son las siguientes.
Copia en tu computador, en una planilla excel, como se ve en la foto.
Responde.
1. En el año 2014, ¿cuántos hombres menos habrá que mujeres?
2. Actualmente la población de Santiago es de 7 213 110. Aproximadamente, en el año
2018, ¿cuántas veces será la población de Chile?
3. ¿Cuál será la diferencia entre hombres y mujeres en el año 2020?
4. ¿Cuántas mujeres más habrá desde el año 2015 al 2020?
5. ¿Cuántos años tendrán que pasar para que la población de hombres aumente de 8
905 405 a 9 103 928 personas?
Por qué debes usar la calculadora y no el programa para resolver la
siguiente pregunta:
6. Estados Unidos tenía una población aproximada de 309 000 000 en el año 2010.
¿Cuántas veces será la población de Chile en el año 2013?
FUENTE: http://palma.ine.cl/
demografía/SELECCION.aspx
Observa la tabla y responde. Para
los cálculos ayúdese del mismo
programa.
Por ejemplo
Para responder ¿en cuántos
habitantes más crecerá la población
desde el 2013 hasta el 2021?
Ingresa en f(x) = B(11) − B(3).
Debes tener el cursor en una
casilla en blanco para darle Enter y
obtener el resultado.
Capítulo 4 85
Paso Paso
Actividad Materiales ■ balanza, pesas
Muestra 7 a la izquierda y 12 a la derecha.
Puedes usar una balanza para mostrar cuál de los números 4, 5, o 6 es la
solución de la ecuación 7 1 m 5 12.
Reemplaza m por 4. Coloca 4 en el lado izquierdo.
?
7 1 4 5 11 11 5 12 falso
Reemplaza m por 5. Coloca 5 en el lado izquierdo.
?
7 1 5 5 12 12 5 12 verdadero
Reemplaza m por 6. Coloca 6 en el lado izquierdo.
?
7 1 6 5 13 13 5 12 falso
Prueba el 3.
? 23 2 3 5 14 Reemplaza x por 3.
20 5 14 falso
La solución es 5. Los valores son iguales en ambos lados de la balanza.
Por lo tanto, el oso negro hiberna durante cinco meses al año.
Ejemplo ¿Es 3, 5, o 9 la solución de 23 2 x 5 14?
Prueba el 5.
? 23 2 5 5 14 Reemplaza x por 5.
18 5 14 falso
Prueba el 9.
? 23 2 9 5 14 Reemplaza x por 9.
14 5 14 verdadero
problema El oso negro americano permanece activo durante siete
meses del año. Durante los meses de invierno, el oso negro hiberna.
¿Cuántos meses hiberna el oso?
Escribe una ecuación para representar el problema.
meses de meses meses
actividad 1 hibernando 5 al año
↓ ↓ ↓
7 1 m 5 12
Para resolver una ecuación, encuentra el valor de la variable que hace
que la ecuación sea verdadera. Ese valor se denomina solución.
A El oso Americano negro solo
se encuentra en América del
Norte.
Aprende
Resolver ecuaciones
OBJETIVO: escribir y resolver ecuaciones.
Repaso rápido
Halla el número que falta.
1.  1 4 5 13
2. 24 :  5 6
3.  2 5 5 12
4. 3 •  5 24
5.  : 9 5 7
5
LECCIÓN
Vocabulario
solución
86
Más ejemplos Usa el cálculo mental para resolver cada ecuación.
Cálculo mental
Maite tiene 14 tarjetas de invitación para su fiesta de
Cumpleaños. Si quiere invitar a 25 amigos, ¿cuántas
invitaciones le faltan?
Escribe una ecuación para resolver este problema
Invitaciones Invitaciones 5 Total de
que tiene que le faltan invitaciones
↓ ↓ ↓
14 + X 5 25
Resuelve la ecuación usando el cálculo mental.
14 x 5 25 Piensa: ¿qué número más 14 da como resultado 25?
x 5 11
Comprueba: 14 + 11 = 25 Reemplazando x por 11.
25 5 25 Se comprueba la ecuación.
Por lo tanto, a Maite le faltan 11 invitaciones.
h + 8 5 21
h 5 13
Comprueba: 13 + 8 5 21
21 5 21 ✓
m – 8 5 22
m 5 30
Comprueba: 30 – 8 5 22
22 5 22 ✓
14 + g 5 20
g 5 6
Comprueba: 14 + 6 5 20
20 5 20 ✓
26 – r 5 16
r 5 10
Comprueba: 26 – 10 5 16
16 5 16 ✓
1. ¿Cuál de los números 2, 6 o 7 es
la solución a la ecuación 8 2 n 5 2?
8 2 n 5 2 8 2 n 5 2 8 2 n 5 2
? ? ?
8 2 2 5 2 8 2 6 5 2 8 2 7 5 2
• ¿Por qué compruebas la solución después de resolver la ecuación usando el cálculo mental?
¿Cuál de los números 5, 8 o 10 es la solución a la ecuación?
2. x 1 7 5 12 3. 14 – y 5 6 4. 12 + z 5 22 5. w + 4 5 14
Práctica con supervisión
Piensa: ¿Qué número sumado
con 8 da como resultado 21?
Piensa: ¿Qué número menos 8 da
como resultado 22?
Piensa: ¿Qué número sumado
con 14 da como resultado 20?
Piensa: ¿26 menos qué número
da como resultado 16?
Alonso Duarte
Maite
Capítulo 4 87
Osos negros
Un año de edad
Adulto
Peso
promedio
del macho (kg)
32
113
f
a
Peso
promedio de
la hembra (kg)
Usa el cálculo mental para resolver cada ecuación. Comprueba tu solución.
6. m 1 6 5 17 7. 31 2 x 5 15 8. 4 1 n 5 28 9. y – 15 5 15
10. Explica por qué x 5 20 es la solución a la ecuación.
45 2 x 5 25.
¿Cuál de los números 3, 6 o 16 es la solución a la ecuación?
11. n 2 9 5 7 12. 42 2 w 5 39 13. 25 1 q 5 41 14. 27 1 r 5 30
Usa el cálculo mental para resolver cada ecuación. Comprueba tu solución.
15. 32 5 11 1 r 16. 4 1 n 5 15 17. 9 5 h 2 2 18. 27 1 x 5 35
19. 36 1 t 5 40 20. 19 5 c 1 19 21. 57 5 68 2 a 22. 24 1 s 5 29
23. k 2 9 5 3 24. n 1 100 5 142 25. 58 1 y 5 64 26. 50 2 x 5 25
Para 27–30, cada variable representa un número.
Halla el valor de cada variable.
27. x 1 4 5 9 28. a 1 5 5 11 29. 3 1 c 5 12 30. 6 1 s 5 14
3 1 y 5 x a 2 b 5 2 c – d 5 4 s 2 t 5 4
USA DATOS Para 31–33, usa la tabla para escribir la
ecuación. Luego resuelve.
31. El oso macho de un año de edad pesa en promedio
9 kg más que la hembra. ¿Cuál es el peso promedio
de la osa de un año?
32. Cuando un oso adulto salió de la hibernación,
pesaba n kilos menos que el peso promedio. En los
siguientes 6 meses aumentó 39 kg para un peso de
134 kg. Halla cuántos kilos perdió el oso durante la
hibernación.
33. La suma del peso promedio de un oso y de una osa
adultos es de 181 kg. ¿Cuál es el peso promedio de
la osa adulta?
34. Explica Un cachorro de oso negro
generalmente se queda con su madre unos
17 meses. Si un cachorro estuvo con su madre
11 meses, aproximadamente, ¿cuánto tiempo
más se quedará con ella? Explica cómo usar
una ecuación para resolver el problema.
Práctica independiente y resolución de problemas
88
Comprensión de los aprendizajes
35. 3,8 • 6
36. Si b 5 15, ¿cuál es el valor de b : 3 1 9?
37. Margarita patinó 3 horas más que René. Si Margarita patinó 8 horas. ¿Cuánto patinó René? Escribe una
ecuación para representar el problema.
38. La ecuación x + 18 5 45 muestra el número de
asistentes a una fiesta que llegarón en 2 grupos.
¿Cuántos llegaron en el primer grupo?
A 30 C 25
B 27 D 32
39. ¿Qué valor de x hace verdadera esta ecuación?
x 1 20 5 36
A 13 C 15
B 14 D 16
Universidad de Chile 170 años:
Cuatro sellos con las imágenes de Valentín Letelier, Amanda Labarca, la Casa Central y la estatua de Andrés
Bello fueron presentados este viernes 28 de septiembre (2012) en CorreosChile, dando así comienzo a las
actividades de Aniversario 170 de esta Casa de Estudios. En cada uno de los sellos se lee la inscripción
“Precursores de la Educación Pública”.
Escribe una expresión que se relacione con las palabras.
1. El total de 2 estampillas en cada tarjeta conmemorativa, c.
2. El precio de un número de sobres de la primera emisión, s,
que costaba $2 500 cada uno.
Cada estampilla, e, cuesta $500.
Halla el costo total del número de estampillas.
3. e 5 8 4. e 5 5 5. e 5 7
Capítulo 4 89
Desigualdad quiere decir que dos cantidades no son iguales. Las cantidades
se comparan usando uno de los siguientes símbolos.
< > =
Una desigualdad puede contener una variable, como en x > 3. Una solución
de una desigualdad es cualquier valor de la variable que hace que el
enunciado sea verdadero.
La tabla muestra que una desigualdad puede tener más de una solución. La
balanza nos muestra que cualquier número mayor que 3 es una solución
para esta desigualdad.
Aprende
Resolver desigualdades
OBJETIVO: aprender a resolver desigualdades de un paso. 6
LECCIÓN
Repaso rápido
1. 5 < 7 2. 5 > 9
3. 3 < 7 4. 9 > 3
Vocabulario
desigualdad
solución de una desigualdad
Ejemplo 1 Representa en una balanza las soluciones de cada desigualdad.
El 2 es una solución para esta desigualdad, ya que
es menor que 4 y se mantiene la desigualdad.
El 6 es una solución para esta desigualdad, ya que es
mayor que 2 y se mantiene la desigualdad.
w < 4 z > + 2
Puedes resolver desigualdades que contienen suma y resta de la misma
manera que resolviste ecuaciones.
?
?
?
?
x x  3 Balanza ¿Solución?
No; 0 no es mayor que 3, por lo tanto, 0 no es una solución.
No; 3 no es mayor que 3, por lo tanto, 3 no es una solución.
Sí; 5 es mayor que 3, por lo tanto, 5 es una solución.
Sí; 12 es mayor que 3, por lo tanto, 12 es una solución.
0 0 > 3
4,5 4,5 > 3
3 3 > 3
12 12 > 3
90
Usa balanza o pesas para encontrar dos soluciones posibles a las desigualdades.
1. w > 0 2. x > 5 3. z > 9
4. g < 4 5. 7 > t 6. 4 < q 7. x > 7 8. z < 3 9. w > 24
10. r < 12 11. z < 15 12. g < 18 Resuelve cada desigualdad. Dibuja una balanza para graficar una solución. 13. y – 5 > 0 14. x + 4 < 10 15. s + 2 < 10 16. r + 9 < 23 17. p – 4 > 2 18. 4 + r < 7 19. 3 + x > 7 20. x – 5 > 9 21. z + 9 < 18 22. u > 3 23. v + 8 < 21 24. w – 12 > 9
Práctica con supervisión
Ejemplo 2 Resolver desigualdades con suma o resta.
Resta 2 en ambos lados
de la desigualdad.
Suma 3 a ambos lados
de la desigualdad.
El 12 es una solución para esta inecuación, ya que es
mayor que y, por lo tanto, se mantiene la desigualdad.
El 8 es una solución para esta inecuación, ya que es
mayor que 4, por lo tanto, se mantiene la desigualdad.
y + 2 > 8. Se suma 7 a y.
4 < n - 3. Se resta 3 de n. En el ejemplo dos, podemos representar las soluciones de las inecuaciones con balanza. Lo fundamental es mantener la desigualdad y darnos cuenta que existe más de una solución. y + 2 - 2 > 8 – 2
– 2 – 2
4 < n - 3 Capítulo 4 91 Lista de precios para recaudar fondos $ 450, $ 975, $ 700, $ 575, $ 925, $ 650 Resuelve y representa gráficamente cada desigualdad. 46. a + 5 < 15 47. b + 1,5 > 8,5 48. y + _3_ 4
> 11 __
2
49. x – 2 > 12 50. 3,8 + k > 4,2 51. m + 7 > 8
37. c es menor que dos.
38. p es mayor que 11.
39. s más dos es mayor que 5.
40. Marta vive a menos de cinco cuadras de su
colegio.
41. Esteban debe comer más de 8 galletas diarias.
42. Amelia tiene menos de 32 tarjetas de juego.
43. Jorge debe correr más de 25 cuadras diarias
para su entrenamiento.
44. Chile tiene 4 200 km de longitud de costas
entre Arica y el Cabo de Hornos. Sea P
la longitud del litoral chileno, escribe una
inecuación que relacione P con algún otro
lugar de las costas de Chile.
45. Ciencias Sociales La Constitución de Chile
establece que “no podrá ser presidente quien
no ha cumplido los treinta y cinco años”. Sea
e la edad de cualquier presidente de Chile,
escribe una desigualdad que relacione e con la
edad mínima de un presidente de Chile.
Escribe una expresión para cada enunciado.
52. Pesca En algunos lagos, los pescadores
devuelven las truchas que miden menos de
25,4 cm de longitud. Escribe una desigualdad
que represente las longitudes de truchas que
se pueden conservar.
53. La tabla muestra los precios de los artículos
que Luis está vendiendo para recaudar fondos.
Escribe dos desigualdades para describir
el precio de algún artículo, una usando el
símbolo < y la otra usando el símbolo >
54. Razonamiento Crítico Explica por qué
deberías representar gráficamente las
soluciones de una desigualdad en vez de
hacer una lista de ellas.
¿Dónde está el error? Un estudiante
representó gráficamente x > 2 como se
muestra a continuación. ¿Qué hizo mal el
estudiante? Dibuja el gráfico correcto.
55. Describe una situación que se
pueda representar mediante una desigualdad.
Escribe y representa gráficamente la
desigualdad.
Representa gráficamente las soluciones de cada desigualdad mediante un dibujo.
25. t > 2 26. y < 10 27. q < 7 28. n > 5 29. 1 < p 30. f > 3
Resuelve y representa gráficamente cada desigualdad.
31. x + 2 > 4 32. y + 3 < 9 33. b + 1 > 5
34. g – 6 > 4 35. f – 5 < 2 36. w + 3 < 8 Escribe una expresión para cada enunciado Práctica independiente y resolución de problemas 92 Comprensión de los aprendizajes 58. ¿Qué valor es parte de la solución para la desigualdad 4x > 16?
A xB = 0C D A E B FxC = G2D HAE I BF J CG KxDH = 4 EI A FJ B GKC HD Ix E= 8J F KG H I J K
59. Explica qué diferencia hay entre la solución de x + 3 = 10 y x + 3 > 10.
Cantidad de estudiantes
12
4
6
8
10
2
0
16 17 18 19 20
Edades de los estudiantes de la clase de yoga
Edad
60. Indica cómo podrías comprobar tu solución
para una desigualdad.
56. Una desigualdad compuesta combina dos desigualdades.
Para resolver una desigualdad compuesta, escribe dos
desigualdades y resuelve cada desigualdad por separado.
Resuelve la desigualdad 12 < x + x + 2 < 21 57. La edad de María es la mitad más 3 y el resultado es mayor que 15. Entonces, María tiene: A 1B6 añCos D AE BF 1C8G añDoHs A EI BFJ CGK 2D0H añEoAIs F BJ GCK HD I2E4 aJñFos KG H I J K Usa el gráfico de barras para responder las preguntas 61 y 62. 61. ¿Qué edad tiene la mayoría de los estudiantes? 62. ¿Qué edades corresponden a menos de 8 estudiantes en la clase? Convierte. 63. 27 m = cm 65. 15 m = mm 64. 13 kg = gr 66. 23 kg = gr Capítulo 4 93 Entrada (litros) Salida (cuartos) 1 4 2 8 3 12 4 j Entrada, b Salida, c 14 2 28 4 42 6 56 j ADVERTENCIA Patrones: hallar una regla OBJETIVO: hallar una regla para una relación numérica y escribir una ecuación para la regla. PROBLEMA Un litro de leche es igual a 4 cuartos de litro, 2 litros son iguales a 8 cuartos y 3 litros son iguales a 12 cuartos. ¿Cuántos cuartos de litro son iguales a 4 litros? Puedes usar una tabla de entrada y salida para hallar una regla que relacione el número de litros con el número de cuartos. Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la ecuación para hallar el número que sigue en tu patrón. Patrón: Cada salida es la entrada dividida entre 7. Regla: Divide b entre 7. Ecuación: b : 7 5 c Por lo tanto, el número que sigue en el patrón es 8. Ejemplos Busca un patrón que te ayude a hallar una regla. Patrón: Cada salida es la entrada multiplicada por 4. Regla: Multiplicar la entrada por 4. Entrada: 4 Salida: 4 • 4 5 16 Por lo tanto, 4 litros son iguales a 16 cuartos de litro de leche. Puedes escribir una ecuación para mostrar la regla. Usa variables para mostrar la entrada y la salida. entrada (litros) salida (cuartos) g • 4 5 c Piensa en la ecuación como una regla. Para hallar el valor de c, multiplica g por 4. Piensa: 14 : 7 5 2 28 : 7 5 4 42 : 7 5 6 56 : 7 5 8 Una regla debe funcionar con cada par de números de la tabla. Asegúrate de probar tu regla con cada par de números de la tabla. p Una vaca produce aproximadamente 752 litros de leche en un mes. Repaso rápido 1. 5 • 7 2. 8 • 6 3. 32 : 4 4. 63 : 9 5. 3 • 6 1 2 7 LECCIÓN Aprende 94 Comprensión de los aprendizajes Entrada, m 3 4 5 6 7 Salida, w 7 8 9 10  Entrada, r 2 3 5 6 8 9 10 Salida, s 18 27 45     Entrada, x 8 9 10 15 20 25 30 Salida, y 0 1 2     Entrada, x 14 28 42 56 70 77 84 Salida, y 2 4 6     Entrada, a 3 4 5 10 20 30 Salida, b 13 14     Entrada, l 1 2 3 4 Salida, d 12 24 36  Granos Vegetales Frutas Leche Carne y legumbres 1 taza 2 tazas 1 tazas 3 tazas 12 12 1 tazas 14 Granos Vegetales Frutas Leche Carne y legumbres 1 taza 2 tazas 1 tazas 3 tazas 12 12 1 tazas 14 Entrada, c 3 6 9 Salida, p 6 12 18 1. La regla es sumar 4. La ecuación es m + 4 5 w. ¿Cuál es el número que sigue en el patrón? Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la regla para hallar los números que faltan. 2. 3. 4. Explica cómo se usa la tabla para escribir una ecuación para hallar la distancia, d, en kilómetros que recorrerá un camión que viaja con l litros de bencina. Usa la ecuación para completar la tabla. Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la regla para hallar los números que faltan. 5. 6. Usa la regla y la ecuación para hacer una tabla de entrada y salida. 7. Restar a 10. 8. Sumar a 12. 9. Multiplicar f por 4, sumar 7. 10. Dividir p entre 5, restar 2. k 2 10 5 m c • 12 5 d (f • 4) 1 7 5 g (p : 5) 2 2 5 q USA LOS DATOS Para los ejercicios 11 a 12, usa la pirámide de alimentos para niños. 11. ¿Cuántas tazas de leche debe tomar un niño en 2, 3, 4 y 5 días? Haz una tabla de entrada y salida. Escribe una ecuación para resolverlo. 12. Explica cómo se halla una regla y se escribe una ecuación para el número total de tazas de granos que un niño debe comer en 3 días. t Para una dieta de 1 800 calorías, necesitas comer o tomar la cantidad que se muestra de cada grupo todos los días. 13. ¿Cuál es el valor de p? 15 2 p 5 8 14 4 • 10 5 15. (10 2 2) • 7 5 16. ¿Qué ecuación muestra una regla para la tabla? Práctica con supervisión Práctica independiente y resolución de problemas A 2 + c 5 p B 2 + p = c C 2 • c = p D 2 • p = c Capítulo 4 95 Grupo A Usa las propiedades y el cálculo mental para hallar el producto. 1. 2 • 7 • 5 2. 2 • 0 • 31 3. 1 • 6 • 7 4. 3 • 8 • 2 5. 8 • 1 • 7 6. 5 • 4 • 6 7. 5 • 9 • 2 8. 3 • 0 • 34 9. Una tienda recibió un envío de 2 cajones con 10 empaques de jugo en cada uno. Hay 5 cajas de jugo en cada empaque. ¿Cuántas cajas de jugo recibió la tienda? Grupo B Sigue la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión. 1. 28 2 4 : 2 2. 25 1 15 : (2 1 3) 3. 5 • (6 2 3) 1 9 4. 28 2 (5 1 3) : 4 5. 16 1 4 • (3 1 7) 6. (22 2 1) : 7 7. (9 1 18) : 3 8. 36 : 9 2 4 Grupo C Resuelve cada una de las ecuaciones. 1. x + 21 = 37 2. 14 + y = 29 3. W -14 = 25 4. Z - 17 = 19 5. u – 13 = 32 6. 10 + v = 43 7. M – 18 = 38 8. 12 + n = 30 Grupo D Encuentra dos soluciones para cada desigualdad. 1. s + 21 > 30 2. 4 + k < 12 3. m + 1 < 18 4. n - 29 < 8 5. p – 14 < 266 6. q + 30 < 270 7. 4 + m > 8 8. j + 15 > 45 9. t – 12 > 7
10. La banda del Colegio Horizonte lava autos para recaudar dinero para un viaje de fin de año.
Si los miembros de la banda cobran $ 750 por auto, ¿cuántos autos deben lavar para recaudar al
menos $ 21 000?
Grupo E Halla una regla. Escribe la regla como
una ecuación. Usa la regla para hallar los números que faltan.
1. 2.
Entrada, a 6 12 18 24 30
Salida, b 1 2 3  
Entrada, m 4 5 6  
Salida, n 32 40 48 56 64
Práctica adicional
96
Conexión entre ecuaciones
Cada jugador toma 10 tarjetas. Un jugador
escribe 10 ecuaciones de adición y el otro
escribe 10 ecuaciones de sustracción. Todas
las ecuaciones necesitan tener la n como
variable y el valor de n en cada una debe ser
un número entero del 1 al 10.
Mezclen las tarjetas. Colóquenlas boca abajo
en 4 hileras con 5 tarjetas cada una.
Decidan quién será el primero. El primer
jugador voltea dos tarjetas. Si las dos
ecuaciones tienen el mismo valor de n, el
jugador se queda con las tarjetas. Si no
tienen el mismo valor, el jugador regresa las
tarjetas otra vez boca abajo.
Túrnense hasta que todas las tarjetas tengan
su pareja. El jugador con más tarjetas gana.
Un jugador volteó estas dos tarjetas. Los
valores de n no coinciden. Por lo tanto, el
jugador coloca otra vez las tarjetas boca
abajo y le toca su turno al otro jugador.
¡En sus marcas!
2 jugadores
¡Listos!
tarjetas (20)
¡Fuera!
Capítulo 4 97
Repasar el vocabulario y los conceptos
Elige el mejor término del recuadro.
1. La ____________ establece que cuando el orden de dos factores
se cambia, el producto es el mismo.
2. La ____________ establece que el producto de 0 por cualquier
número es 0.
3. La ____________ establece que se pueden agrupar factores de
diferentes maneras y aun así obtener el mismo producto.
Repasar las destrezas
Aplicar las reglas relativas a la prevalencia de las operaciones para hallar
el valor de cada expresión.
4. 25  10 : 2 5. 11 1 1 • (7  3) 6. 3 • (8  6) 1 7 7. 14  (3 1 9) : 6
Resuelve cada ecuación.
8. 38 1 a = 54 9. 72 1 b = 96 10. c  42 = 31 11. d  15 = 60
12. c  28 = 60 13. f – 72 = 54 14. g 1 18 = 62 15. h  41 = 13
16. Patricia tiene dos años más que su hermana. Si Patricia tiene 15 años. Escribe una ecuación que
muestre la situación y resuelve:
Resuelve cada desigualdad y representa gráficamente las soluciones.
17. x + 2 > 5 18. y  7 < 5 19. z + 4 > 12 20. w  5 < 12 21. 4 + z > 12 22. u  18 < 15 23. v  18 > 4 24. z + 8 > 24
Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación.
Usa la regla para hallar los números que faltan.
25. Entrada, x 20 25 30 35 40
Salida, y 4 5 6 j j
26. Entrada, n 3 4 5 j j
Salida, m 27 36 45 54 63
VOCABULARIO
propiedad asociativa
propiedad conmutativa
propiedad absorvente del cero
Repaso/Prueba del capítulo 4
98
Enriquecimiento • Predecir patrones
Puedes usar diagramas, tablas y ecuaciones para predecir patrones.
En cada lado de cada mesa cuadrada se puede
sentar sólo un estudiante. ¿Cuántos estudiantes se
pueden sentar en dos mesas colocadas una junto a la
otra? ¿Qué ecuación puedes usar para predecir el número de
estudiantes que se pueden sentar en un cierto número de mesas
colocadas una junto a la otra?
Completa la tabla de entrada y salida para predecir el número de
estudiantes que se pueden sentar en 4 mesas colocadas una junto
a la otra. Escribe una ecuación para el número de estudiantes que
se pueden sentar en un cierto número de mesas colocadas una
junto a la otra.
La ecuación (2 • t )  2  e predice el número de estudiantes que se pueden sentar
en un cierto número de mesas colocadas una junto a la otra. Por lo tanto,
10 estudiantes se pueden sentar en 4 mesas colocadas una junto a la otra.
Inténtalo
Copia y completa el patrón de la tabla. Después, escribe una ecuación
para predecir el número de objetos que tendrá cada diseño del patrón.
1. 2.
3. 4.
Explica cómo puedes predecir el número de estudiantes que se pueden
sentar en 14 mesas colocadas una junto a la otra, usando la ecuación (2 • m)  2  e.
Crecer, crecer, crecer
fila 1
fila 2
fila 3
fila 4
Entrada, m 1 2 3 4
Salida, e 4 6 8 
Piensa: en cada
mesa se pueden
sentar 2 estudiantes
más 1 estudiante en
cada extremo.
Entrada, u 1 2 3 4 5 6
Salida, v 1 3    
Entrada, r 1 2 3 4 5 6
Salida, c 2 4    
Entrada, m 1 2 3 4 5 6
Salida, n 1 4    
Entrada, q 1 2 3 4 5 6
Salida, r 1 5    
Capítulo 4 99
Opción múltiple
1. Rosa escribió y 5 500 • k como la regla para las
tarifas de los taxis cuando salen de la ciudad. La
tarifa es y, y el número de kilómetros recorridos
es k. ¿Cuál es la tarifa de un taxi para un viaje
de 9 kilómetros?
A $ 1 500
B $ 2 500
C $ 3 000
D $ 4 500
2. ¿Qué número va en el recuadro para hacer
verdadero este enunciado numérico?
6 • 8 5 4 • 4 • j
A 6 C 3
B 4 D 2
3. Joaquín pesa el doble que su hermano. Si m
representa el peso de Joaquín, ¿qué expresión
muestra cuánto pesa su hermano?
A m : 2
B m 1 2
C m  2
D m • 2
4. ¿Cuál es el valor de la expresión de abajo si
t 5 8?
48 : ( t 1 4) • 5
A 50 C 10
B 20 D 4
5. Los vendedores de Autos Usados Baratos
vendieron 32 autos en 4 días. Cada día se
vendió el mismo número de autos. ¿Cuántos
autos se vendieron cada día?
A 4 C 12
B 8 D 24
6. La familia Ortíz compró tres batidos de leche.
La familia Osorio compró 3 helados de una bola
y 4 sundaes. ¿Qué expresión muestra cuántas
fichas más gastó la familia Osorio que la familia
Ortíz?
Helados Fichas
1 bola 2
2 bolas 3
Sundae 4
Batido de leche 3
A (3 • 2) 1 4  (3 • 3)
B (3 • 2) 1 (4 • 4) 1 (3 • 3)
C (3 • 2 1 4) • (4  3) • 3
D (3 • 2) 1 (4 • 4)  (3 • 3)
7. ¿Qué número va en el recuadro para hacer
verdadero este enunciado numérico?
j 1 5 5 21 1 9
A 35
B 25
C 6
D 10
Repaso/Prueba de la unidad
100
8. ¿Qué enunciado numérico no está en la misma
familia de operaciones de 6 • 9 5 j?
A j : 9 5 6 C 9 • j 5 6
B j : 6 5 9 D 9 • 6 5 j
9. Las letras A y N representan números. Si
A • 5 5 N • 5, ¿qué enunciado es verdadero?
A A . N C A 5 N
B A , N D A  N
10. Natacha está leyendo un libro. El libro tiene 99
páginas. ¿Cuántas páginas debe leer Natacha
cada día para acabar el libro en 9 días?
A 8 C 10
B 9 D 11
11. ¿Qué número representa la g?
g : 12 5 7
A 96 C 74
B 84 D 72
12. ¿Cuál es la solución para x + 5 > 9?
A x > 4 C x < 4 B x = 4 D x = 0 Respuesta breve 13. Usa p para representar el precio original de un cartel. Escribe una expresión para mostrar su precio de oferta. 15. Mira el problema de abajo. y 5 x : 2 Si y 5 10, ¿cuánto es x? 16. La Sra. Gallardo compra 11 cajas de invitaciones. En cada caja hay 12 invitaciones. ¿Cuántas invitaciones compra la Sra. Gallardo en total? Respuesta desarrollada 17. Explica cómo se halla el valor de la expresión 42 : 6 1 (5 2 3). ¡Oferta gigante! Todos los precios se rebajan $ 1 000 Verdadero o falso Escribe una V si es verdadero o una F si es falso cada enunciado. 18. ______ El valor de g en la expresión g : 12 = 7 es 60. 19. ______ El número 57 021 se redondeó a 60 000, por lo tanto, se redondeó a la decena de mil. 20. ______ El producto de 45 • 12 es 560. 14. Coloca paréntesis a la siguiente expresión de manera que su valor sea 28. 9 1 5 • 2 21. Hay 3 veces más niñas que niños en una clase de ballet. Hay 12 niñas en la clase. Explica cómo se escribe una ecuación para hallar el número de niños en la clase de ballet. 22. Explica cómo sabes qué número hace este enunciado numérico 6 • n 5 6 • (3 1 4) verdadero. 23. Representa gráficamente las soluciones de la desigualdad x − 8 < 2 Capítulo 4 101 De Aquí y de Allá Resolución de problemas A L M A N A Q U E P A R A E S T U D I A N T E S Colonización de la Región de Magallanes y de la Antártica Chilena ¡La colonización! n 1853 surge el “Territorio de Colonización de Magallanes”, erigido por decreto el 8 de julio de ese año. Abarca toda la mitad sur de la antigua Provincia de Chiloé, desde el golfo de Penas (una línea recta por el paralelo 47º S) por el norte hasta el Cabo de Hornos por el sur. En la década de 1850 comenzó la inmigración europea a la Patagonia chilena, destacándose por importancia y número la inmigración croata. Los croatas se instalaron principalmente en Puerto Natales, Punta Arenas y Porvenir (Tierra del Fuego) y se convirtió en una de las inmigraciones europeas más importantes en Chile. Los colonos traían provisiones para asentarse en esas frías tierras. Usa la lista de provisiones para responder a las preguntas. 1 ¿Cuántos kilogramos de vegetales se necesitaban para 5 personas? 2 Si 8 personas viajaban en una carreta, ¿cuántos kilogramos de té debían llevar? 3 ¿Para cuántos colonos alcanzarían 12 kg de café durante el viaje? 4 En días buenos, los colonos recorrerían 16 km por día. ¿Qué distancia recorrerían en 7 días? 5 Imagina que 3 personas viajaban en una carreta y que tenían 12 kg de tocino. ¿Tenían suficiente tocino para todos? Explica cómo lo sabes. E 4 kg de café 6 kg de tocino 1 kg de té 3 kg de vegetales 10 kg de harina de maíz 20 kg de azúcar Lista de provisiones (para una persona) 102 n 1587, el corsario inglés Thomas Cavendish cruzó el estrecho de Magallanes y divisó algunos sobrevivientes en la costa cerca de la Primera Angostura. Rescató sólo a uno, que le relató el trágico fin de las ciudades diezmadas por el hambre: Ciudad del Nombre de Jesús y Rey Don Felipe. Cavendish bautizó al entorno de la Bahía de San Blas como Puerto del Hambre, denominación con la cual es conocido hasta la actualidad. Imagina que tu familia va en carreta a colonizar la Patagonia. La carreta puede cargar aproximadamente 1 050 kg. u Decide qué provisiones de alimentos necesitará cada miembro de la familia. Haz una lista de los artículos y el número de kg que cada miembro de la familia traerá. u Halla el total de kg de cada artículo para toda la familia. Ahora halla la cantidad total de kg que se van a cargar en la carreta. Asegúrate de que la cantidad de kg no sobrepase los 1 050 kg. u Si el total de kg de artículos es menos de 1 050 kg, añade más artículos para llegar lo más cerca posible de los 1 050 kg. E La tabla de abajo muestra algunas provisiones de alimentos en 1853. Algunas provisiones de alimentos en 1853 tocino harina café arroz harina de maíz azúcar vegetales té Hernando de Magallanes descubrió el estrecho que lleva su nombre el 21 de octubre de 1520, en su viaje alrededor del mundo. Fue así el primer europeo, al servicio de la corona española, en poner pie en tierras chilenas. Planear por adelantado Capítulo 4 103