TRIGONOMETRIA ESFERICA EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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objetivos:
* Introducir al estudiante en las nociones básicas relativas a los triángulos esféricos rectángulos y oblicuángulos.
* Que el estudiante conozca y aplique las fórmulas relativas a los triángulos esféricos rectángulos y oblicuángulos en la resolución de estos triángulos.
* Que el alumno conozca la definición de exceso esférico , la distancia más corta entre dos puntos situados sobre la superficie de una esfera.
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Cuando un barco se desplaza de una ciudad a otra utiliza
dos referencias muy importantes que son la longitud y la
latitud, con ellas queda definido un punto en la tierra; y
si consideramos nuestro planeta como una esfera, podremos
determinar la distancia entre dos ciudades utilizando
la trigonometría esférica, y con relación a la velocidad del
barco podremos determinar el tiempo de demora en viajar
de una ciudad a otra. La trigonometría esférica utiliza
relaciones entre ángulos y arcos máximos de la esfera con
los cuales obtendremos triángulos esféricos; además, utilizando
los teoremas de senos y cosenos podemos resolver
los triángulos esféricos .
1.1 Diedros y Triedros
1.2 Propiedades y Definiciones
1.3 Triángulos esféricos
1.4 Propiedades de los triángulos esféricos
1.5 Clasificación de triángulos esféricos
1.6 Triángulos esféricos polares
1.7 Triángulos esféricos adyacentes y simétricos
1.8 Superficie de un triángulo esférico
1.9 Superficie de un polígono esférico
1.10 Ejercicios propuestos
CAPÍTULO SEGUNDO: RELACIONES ENTRE LOS LADOS
Y LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO ESFÉRICO
2.1 Teorema del seno
2.2 Teorema de coseno
2.3 Teorema de la cotangente
2.4 Teorema del coseno para los ángulos
2.5 Funciones de los ángulos mitad
2.6 Analogías de Gauss-Delambre
2.7 Analogías de Neper
2.8 Distancia esférica entre dos puntos
2.9 Ejercicios propuestos 30
CAPÍTULO TERCERO: TRIÁNGULOS ESFÉRICOS
RECTÁNGULOS Y RECTILÁTEROS
3.1 Triángulos rectángulos. Regla de Neper
3.2 Proposiciones 36
3.3 Resolución de triángulos rectángulos
3.4 Triángulos esféricos rectiláteros. Resolución
PROBLEMA M,o 1
Es posible obtener un triángulo esférico ABC
cuyos lados son:
11. 160° 30′; 100° 30′; 60° 30′
Resolución
Sea
Por teoría:
a+b+e<360° Pero a+b+e=3800 Entonces en (1) no se forma un triángulo esférico ABC. 11. a= 160° 30'; b= 100° 30'; e=600 30' 160° 30' < 100° 30'+60° 30' a < b+c /\ b-e < a En forma análoga se cumple para los otros elementos. Entonces en (II) sí se forma un triángulo esférico ABC. Capítulo 12.... Trigonometría esférica PROBLEMA M,o 2 Es posible obtener un triángulo esférico ABC cuyos ángulos son: 1. 130°; 120°; 110° 11. 20°; 140°; 120° Resolución 1. SÍ, porque el triángulo ABC cumple 180° < A+B+C < 540° Yel triángulo polar A'B'C' de lados a'= 180-A=500 b'= 180-B=600 e'= 180-C=700 cumple la condición de existencia a' < b'+e' b' < a'+e' e' < a'+b' 11. No, porque el triángulo ABC cumple 180° < A+B+C < 540° Yel triángulo polar A'B'C' de lados a'=1800-A= 160° b'= 1800-B=400 e'= 1800-C=600 no cumple la condición de existencia a' < b'+e' PROBLEMA M.o 3 Es posible obtener un triángulo esférico cuyos lados son: 1. 145°; 100°; 63° ll. 80~ 100~ 180° Resolución Entonces a-b < e < a+b En forma análoga se cumple para los otros elementos. Entonces en (1) sí se forma un triángulo esférico. Por teoría: a+b+c < 360° Pero a+b+e=3600 Entonces, en (II) no se forma un triángulo esférico. PROBLEMA M.o lt Es posible obtener un triángulo esférico cuyos ángulos son: 1. 94°; 84°; 140° II. 20°; 15P; 110° Resolución I. SÍ, porque el triángulo ABC cumple 180° < A +B+C < 540 y su triángulo polar A 'B'C' de lados e'= 180 -C=40° sí cumple la condición a' < b'+e' b' < a'+e' e' < a'+b' II. No, el triángulo ABC cumple A +B+C < 540 Ysu triángulo polar A'B'C' de lados e'= 1800-C=700 no cumple a' < b' +e' PROBLEMA N.o 5 Determine en cada uno de los siguientes casos si existe el triángulo esférico ABC. III. A=300; B=37°; C= 128° IV. A=300; B=85°; C=1400 Resolución Por dato: Se cumple, b-a < e < b+a en forma análoga para los otros elementos. Entonces, en (1) sí se forma un triángulo esférico. Por teoría: b < a+e Pero b=120° y a+e=1000 Entonces, en (H), no se forma un triángulo esférico. Analizamos su triángulo polar de lados a', b' y e' El cual sí forma un triángulo esférico. Analizamos su triángulo polar de lados a', b' y e' Por teoría: a' < b' +c' Peroa'=1500 y b'+e'=135° Entonces, en (IV) no se forma un triángulo esférico. PROBLEMA N.O 6 Determine la existencia de los triángulos esféricos en los siguientes casos: 1. a=400; b= 130°; e=700 Il. a=900; b= 155°; e= 100° IlI. A=109°; B=103°; C=31° IV. A=55°; B=65°; C=135° Resolución Sea 1. No, el triángulo ABC de lados a=40°, b=130°, c=700 no cumple b < a+e Il. Sí, el triángulo ABC de lados a=900, b= 155°, e= 100° cumple con a < b+e b < a+e e < b+e IlI. No, el triángulo ABC; A=109°; B=103°; C=31 con triángulo polar A'B'C' de lados: a'= 1800-A=71 ° no verifica e' < a'+b' IV. Sí, el triángulo ABC, A =95°; B=65°; C= 135° con triángulo polar A'B'C' de lados: a'=1800-A=125° b'= 1800-B= 115° e'=1800-C=45° sí cumple a' < b'+e' b' < a'+e' e' < a'+b' PROBLEMA N.o 7 Determine si se forma el triángulo esférico ABC en cada uno de los siguientes casos: 1. a=800; b= 100°; e= 120° II. a=700; b=79°; e=158° III. A=400; B=700; C=1000 IV. A =40°; B= 100°; C= 140° Resolución Sea Se cumple que e -a < b < a+e En forma análoga se cumple para los otros elementos. Entonces, en (1) sí se forma un triángulo esférico. II. a=700, b=79°, e= 158° Por teoría: e < a+b Pero e=158° y a+b=149° Entonces, en (II) no se forma un triángulo esférico. 111.A =40°, B=700, C=1000 Analizamos su triángulo polar de lados a', b', e' a'= 140°; b'= 110°; e'=80° En el cual se cumple al_el < b' < a'+e' En forma análoga se cumple para los otros elementos. Entonces, en (I1I) se forma un triángulo esférico. IV. A=400, B=1000, C=1400 Analizamos su triángulo polar de lados a', b' y e' Por teoría: a' < b' +e' Pero a'=140° y b'+e'=1200 Entonces, en (IV) no se forma un triángulo esférico. PROBLEMA N.O 8 Es posible obtener un triángulo esférico cuyos ángulos sean: 1. 40°; 60°; 90° 11. 120°; 130°; 50° Resolución 1. Sí, el triángulo esférico ABC; A =40; B= 60; C=900 cumple con 180° < A+B+C < 540 Ysu triángulo polar A'B'C' de lados: a'=1800-A= 140° sí verifica a' < b'+e' b' < a'+e' e' < a'+b' H. No, el triángulo ABC verifica 180° < A+B+C < 540 pero su triángulo polar A'B'C' no verifica e' < a'+b' PROBLEMA N.o 9 Es posible obtener un triángulo esférico cuyos lados sean: I. 35°; 65°; 120° H. 110°; 90°; 120° Resolución Por teoría: e < a+b Pero e= 120° Y a+b= 100° Entonces, en (1) no se forma un triángulo esférico. Se cumple que e-a < b < a+e En forma análoga para los otros elementos. Entonces, en (H) sí es posible formar un triángulo esférico. PROBLEMA N.o 10 ¿Es posible construir un triángulo esférico ABC con los siguientes datos? I. a=45°; b= 135°; e=75° II. a=900; b= 150°; e= 100° III. A=1200; B=103°; C=33° IV. A=55°; B=65°; C=127° Resolución I. No, el triángulo ABC de lados a=45°, b= 135°, e=75° no verifica b < a +e II. Sí, el triángulo ABC de lados a=900, sí verifica a < b+e; b < a+e; e < a+b III. No, el triángulo ABe de triángulo polar A'B'C' de lados: a'= 1800-A=600 no verifica e' < a' +b' IV. Sí, el triángulo ABC y su correspondiente triángulo polar A 'B'C' verifican 180° < A+B+C < 540 a' < b'+e' PROBLEMA N.o 11 En una esfera de radio 2 m se encuentra un triángulo esférico ABC, cuyos ángulos están en progresión aritmética, además cotA = - 7; cotB= -J3. Calcule el área de dicho triángulo. Resolución Condiciones: • cotA=-7 ---7 A=1800-8°=172° • cotB= -J3 ---7 B= 180°-30°= 150° A+C =B 2 §: área del triángulo esférico ABC. §=R2E • (1) Donde R=2m E=A+B+C-1800 ---7 E=3!: 2 Al reemplazar en (1) PROBLEMA N.o 12 Halle el área de un triángulo esférico, sabiendo que sus ángulos miden Ar=Sfl'', B=700, C=90°. Además, el radio de la esfera es 63,437 m. A) 2106,03 m2 C) 302,50 m2 D) 2503,87 m2 B) 1002,54 m2 E) 408,75 m2 Resolución Nos piden el área: § .;:-------R I , I , Determine el exceso esférico (E) E=A +B+C-1800=500+ 70°+90°-180° Luego S=E. R2 .. §=2106,03 PROBLEMA N.o 13 Dado un triángulo esférico cuadrantal e isósceles de lados iguales a y b e iguales a ex, halle el valor de la siguiente expresión: R = 1+ cosCsec2ex cos Ccsc2ex+ cos2C A) 1 C) 3 D) 1/2 B) 2 E) 1/3 Resolución Graficamos C Incógnita 1+ cosC sec2 a R = ---.".------=___ cos Ccsc2 a + cos2 C fig. 1 De la figura 1 sen45°= COS(90~-a)Cos( 90°- ~) 1 C -=senasen- Ji 2 C ~ csc2 a = 2sen2- 2 De condición (H) 1+cot2a= l-cosC cot2a=-cosC tan2a=-secC 1+tan2a= l-secC sec2a= l-secC (1) (H) (III) Reemplazamos (H) y (IH) en (1) R = l+cosC(I-secC) cos C(I- cos C) + cos2 C ~ R= cosC cosC .. R=1 PROBLEMA N.o 14 ¿Qué parte representa el área del triángulo esférico ABC bicuadrantal del área de la superficie de dicha esfera? Además, el lado desigual es 60°. A) 1/8 D) 1/12 B) 1/15 C) 2/9 E) 3/11 Resolución Nos piden (-§-) §toral A §=(E) . R2 (1) 6411 Se determina el exceso esférico mediante: p = a+b+c = 90°+90°+60° = 1200 2 2 tan (!)= tan 60° .tan ( 120°2-600 )tan (120° 2 -900 )tan ( 120°2-900 ) tan (!)= ~tan 60° tan 15° tan 15° tan 30° tan ( !)=tan(1S0) De (11) en (1) (11) !!:.·R2 Nos piden ___!_ = _3_ = J__ §total 47tR 2 12 PROBLEMA N.O 15 En un triángulo rectángulo esférico ABe recto en e, si A=600, B=45°, obtenga el lado a' de su respectivo triángulo polar A'B'C'. A) 100° B) 120° C) SOo Resolución A' A Qb' B e a a' E) 150° Del gráfico A'B'C' es el triángulo polar de ABe. Se cumple que A+a'=lS00 600+a'=lS00 .. a'=120° PROBLEMA N.o 16 Si los lados de un triángulo esférico ABC están en progresión aritmética y el lado intermedio mide 40°, calcule el área de su correspondiente triángulo polar, siendo su radio R=3 m. A) 12n m2 B) IOn m2 E) 15n m2 Resolución Graficamos A ?----- A' }---- 3'. I I I 3'. 0(:, I ' , I I B' triángulo esférico ABe triángulo esférico A' B' C' Determinamos los ángulos del triángulo polar: A = 1800-a= 180°- (400+a) = 1400-a B= 1800-b= 180°- (40°-a) =1400+a C= 1800-e= 180°- (40°) = 140° Determinamos el exceso esférico polar: ---7 E'=A'+B'+C'-lBOo Nos piden el área de la región triangular polar §'. §'=E' R2 §=(4~}3)2 ---7 §'=12n PROBLEMA N.o 17 En un triángulo esférico ABC, recto en A, si a=75° y b=45°, calcule cose cosC senB. A) 5+../3 B) 7 -4../3 C) 5+2../3 D) 7+4../3 E) ../3 +J15 Resolución Incógnita: M=cose cosC senB A e fig. 1 De la figura 1 sen(900-C) =cos(900-B)cose cosC=senBcose cosC -7 cose =-- senB Reemplazamos en (1) M = (cos C )cos CsenE senE -7 M=cos2C De la figura 1 sen(900-C) =tan l Svtan-l S? -7 cos C = 2 - 13 Al reemplazar en (Il) 2 M=(2-13) .. M=7-413 (1) (n) PROBLEMA N.O 18 En un triángulo esférico ABC (C=900), simplifique M - ----2-:s:-e-n--2-;:A:-s-enbcose - cos a(2cos2 B - sen2 A) A) tan2a D) tan2B B) tan2b e) tan2e E) sen2A Resolución Graficamos B a • M----2s-en-2-A-se-n-b -co-s,e- - cosa (2cos2B - serr' A) Por teorema de Neper sen (90° - e)= cosa· cosb cose=cosa· cosb (lI) sen(900-B) =cos(900-A)cosb cosB = senA· cosb (III) Reemplazar nm y (II) en (1) 2sen 2A .senb (~ .cos b) M= ( 2 2) s.esa 2( senA· cosb) - sen A sen2A (2senb .cos b) M=------- sen2 A (2 cos2 b -1) M = 2senb cos b 2cos2 b-1 .. M = sen2b = tan2b cos2b PROBLEMA N.o 19 En un triángulo esférico rectánguloABC (C= 90°) , simplifique K = 2 cos A cos e - senB cos b senB cos bcos2a A) 2 D) 1 B) 1/2 C) 1/4 E) 1/3 Resolución Incógnita: K = 2 cos A cos e - senB cos b senB cos b cos 2a (1) C B fig. 1 De la figura 1 sen(900-A)=cosa' cos(900-B) /\ sen (90°-e) =cosacosb ---7 cosA = cosa senB /\ cose = cosa cosb Reemplazamos en (1) K = 2 cosa sen Bcosa cos b - senB cos b senB cos bcos 2a Luego K = senBcosb(2cos2 a -1) sen Bcos b cos 2a .. K=1 PROBLEMA N.o 20 Dado un triángulo esférico ABC, obtenga el valor de la siguiente expresión R= cos(a-b)-cos(a+b) cos(A-B)-cos(A+B) 1-cos2e 1-cos2C A) 1 D) 1/4 B) O C) 1/2 E) 2/3 Resolución Graficamos Sea R cos(a-b)-cos(a+b) cos(A-B)-cos(A+B) 1-cos2e 1-cos2C Reducimos mediante transformación trigonométrica. R = -2 sena sen(-b) _ -2senAsen(-B) 2sen2e 2sen2C R = sen a . sen b _ sen A sen B sen2 e sen2 C (1) Por el teorema de senos en triángulos esféricos sen a = sen b = sen e = K senA senB senC sena=KsenA } senb=KsenB sene=KsenC (Il) Reemplazamos (n) en (1) R = (K senA) (K senB) _ senA senB (K senC)2 sen2 C R = senAsenB _ senAsenB sen2C sen2C .. R=O PROBLEMA N.o 21 En un triángulo esférico ABC, simplifique M = (1-cos2a)senBsene 2 tanA(cosa - cosbcose) A) sena D) senB B) senA C) senb E) seca Resolución Sea M = (1- cos 2a) senB sene 2 tan A (cosa - cosb cose) Por el teorema de cosenos cosa = cosb cose +senb sene cos A ~ cosa - cosb cose = senb sene cos A 2 sen2 a sen B serie M = --------- 2 tanAsenb serie cosA M = sen2asenB senbsenA (1) Por el teorema tenemos senB senb ----- senA sena Reemplazamos en (1) M= sen 2 a(Senb 1 senb sena .. M=sena PROBLEMA N.o 22 En un triángulo esférico ABC, simplifique - cosA - cos2 ~ cos (B + C) N= 2 sen2(~ }OS(B-C) A) 1 D) ,..1/4 B) 2 C) -1 E) -1/2 Resolución Graficamos N= -COSA-COS2(~}COS(B+C) sen2(~ }COS(B-C) N= -2COSA-2COS2(~ }OS(B+C) 2sen2(i }COS(B-C) N= _-2_co_s_A_-l_+,__c(_o_sc__ao,--s)__.,(B_+_C_) (1- cosa )cos(B - C) (1) Por el teorema de cosenos para ángulos. cosA =-cosBcosC +senBsenCcosa (II) Reemplazar (I1) en (1) ~ N = -2 (-cosBcosC + senBsen C cosa) - (1+ cosa) cos(B + C) (1 - cos a) (cos (B - C) ) Reagru pamos N = 2cosBcosC - cos(B + C) - 2senBsenC cosa - cosacos(B + C) (1- cos a) ( cos (B - C) ) -7 N = 2cosBcosC-cos(B+C)-cosa(2senBsenC+cos(B+C») (1- cos a) cos (B - C) Mediante transformación trigonométrica N = cos (B- C) - cos a ( cos (B - C) ) (1 - cos a) cos (B - C) -7 N = cos(B-C)(l-cosa) (1- cos a) cos (B- C) .. N=l PROBLEMA N.O 23 En un triángulo esférico rectángulo BAC (A=900), encuentre el equiv. alente de tan (B-2+-h) cot (B-2-h-) Resolución A b a Del gráfico sena sen b senA senB sena senb 1 senB PROBLEMA N.o 24 Entonces 1+ sen a sen B + sen b ---=---- 1- sen a sen B - sen b (B+b J (B-b l-cos(90o+a) _ 2sen -2- ~os 2J 1+cos(900+a) - 2 cos (B--+b) sen (B- -b) 2 2 Dado un triángulo esférico ABC, indique cuál de las siguientes alternativas es falsa. tan 1(A - B) sen 1(a-b) A) 2 = 2 cot 1C sen 1-(a+b) 2 2 1 c 1 C B) cos-(A + B)cos- = cos-(a + b)sen- 2 2 2 2 tan-(1a+b) C) 2 cos(A-B) c = cos(A+B) tan 2 tan 1(a - b) sen 1(A-B) D) 2 = 2 tan c 1 sen (A+B) 2 2 E) 1 1 1 B tan-(A+C)=cos-(a-c)sec-(a+c)cot- 222 2 Resolución Por teorema de Gauss, en un triángulo esférico ABe, de lados a,b,c se cumple: ( A - B ) cpn ( a ~ 1 sen 2_~ cos ( ~) - sen ( ~ ) ( A - B ) cpn ( ~ 1 cos -2- _~-2- sen ( ~) - sen ( ~ ) ( A - B ) CAn ( a - _b 1 tan 2_~ cot ( ~) - sen ( a ; b ) B. De (JI) ( A + B ) rAj a~ 1 cos 2_~ sen ( ~) - cos (~ ) ( A+B) rAj~l sen 2=~-2- cos ( ~ ) cos (~ ) (1) cos (-A2+-BJ _~rA-2J-~l sen ( ~) - cos ( ~ ) (JI) C. De (JI.l) y (11.2) corrJ sen( ~;b) sen(%J =~ ."c( ~ 1 ."J~ 1 c__:}__LJ c~-2- sen ( ~ ) cos ( ~ ) (A-Bl T')n( ~ 1 ~ cos -2-) _~-2- cos( A;B) - tan(~) D. De (1.1) y (II.2) E. De Il sen (A+C) ~co-es 2 _ 2 ~cos ("""=""""i ) - cos ( ~ ) cos ( A; C ) _ cos ( a ; e ) sen ( ~ ) - cos ( ~ ) Dividiendo (A+C) m.J~1 ---7 tan 2_~ cot ( ~ ) - cos ( a ; e ) PROBLEMA N.o 25 En un triángulo esférico rectángulo ABC, rec- to en B, 1a expresIO., n tan (b2+e) tan (b2-e) es equivalente a Por segunda regla de Neper sen (900 - b) =cosa cose b A) tan2- 2 C) cot2~ 2 D) tan2~ 2 Entonces B) tan2.E_ 2 cosb =cosa cose (I) Se sabe E) sen2~ 2 tan ( -b-+ e ) tan ( -b-- e) = cos e - cos b (Il) Resolución 2 2 cose + cosb Del enunciado: A Reemplazando (I) en (II) e B t$- ( tan -b-+ e ) tan ( -b-- e ) = 1- cos a =tan 2 -a 2 2 1+cosa 2 C a PROBLEMA N.o 26 Dado un triángulo esférico ABC, siendo §la semisuma de los ángulos A, B, C de dicho triángulo y a, b, e, son los lados, halle el equivalente de s M = ( b _ e ) tan ~ cos 2 A) tan(~ +$ ) D) tan(~ -s ) B) tan(~ -$ ) C) tan( ~ -s ) E) cot( s-~) Resolución Considerando al teorema de Gauss; véase problema (24). 1. ( A + B) rnc( a-=l: 1 sen -2- =~ cos( ~) cos ~ II. En forma análoga a (I) y (H) ( B+C J rnc(~ 1 cos 2_~ sen ~ - cos ( ~.) Diviendo los términos (B+C J rAJ~1 sen 2_~-2- cos ( ~) - cos ( ~ ) (B+C 1 rA"(~ 1 ~ cot -2-J_~ tan ( ~) - cos ( b ; e ) Luego rnc( b_~_: 1 =.L1_j( b _ e ) . tan ( ~ ) = cot ( B;C ) cos - 2 Pero A + B+ C = § 2 PROBLEMA M.o 27 Del siguiente triángulo esférico, la mediana ma, relativa a la hipotenusa, se calcula con cosm, y es igual a A) O,5 cos -a (cos b - cos e) B 2 B) a 0,5 sen - (cos b - cose) 2 C) 0,5 sen-(acosb + cose) 2 D) a O,5 cos - (cos b + cos e) 2 e E) a O,5 sec - (cos b + cos e) 2 Resolución Graficamos A fig. 1 fig.2 De la figura 2 sen (900 - e) =tanb tan (900 - a) -t cose =tanb cota De la figura 1 (teorema de cosenos) a a cos (ma ) = cos b cos - + sen b sen - cos e 2 2 2cos ~cos (ma) = cos b( 2 cos2 ~ )+senb( 2 sen~cos~ )cose 2 cos -a cos (ma ) = cos b (1+ cos a) + sen b sen a. ( sen b cos .a ) 2 cosb sen a 2 cos -a cos (mu ) = -c-o--s-2-b--(-l-+-cosa)+sen2bcosa 2 cosb 2 a ( ) cosa + cos2 b -t COS - cos ma = ----- 2 cosb (1) De la figura 2 sen(900-a) =cosbcose ----j cosa=cosbcose Reemplazamos en (1) 2 a ( ) cos b cos e+ cos2 b cos 2" cos ma = ---co-s-b--- a 2cos-cos(ma)=cose+cosb 2 1 a .. cos (ma) = - sec - (cos b+ cos e) 2 2 PROBLEMA N.o 28 Dado un triángulo esférico ABe, siendo § la semisuma de los lados a, b y e de dicho triángulo, halle el equivalente de K = sen§sen(§ - b) sen(§ - a) sen(§ - e) A) sen(~) C) tan ( ~ ) D) cot(~) Resolución Nos piden sen § sen (§ - b) K= sen (§ - a) sen (§ -e) Dato: § = a+b+e 2 B) cos(~) E) tan ( ~) Del teorema de cosenos para lados cosa=cosb cose +senb sene cosA A cos a - cos b cos e ----j cos = ------ senbsenc I. 1 A + cos = -c-o-s--a- - cos (b + e) senbsene -2sen( a+~+e )sen( a-~-e) 1+ cos A = --~- _-=:_ __ .L-~ __ -=-_...L_ senbsene Dea+b+e=§ 2 Reemplazamos 1+cos A = -2--s-e-n--§sen(§-a) senbsene 1 A n. - cos = -c-o--s--(b - e) - cos a senbsene ----j 1_ cos A = 2 sen (§ - e) sen (§ - b) senbsene De (I) y (II) 1- cos A sen (§ - c) sen (§ - b) = 1+ cos A sen (§) sen (§ - a) '-------v------ tan 2 ( A ) = sen (§ - c) sen (§ - b) . 2 sen(§)sen(§-a)' (A) sen (§ - c) sen (§ - b) tan - = 2 sen(§)sen(§-a) Análogo para los otros ángulos tan( ~)= sen (§ - a) sen (§ - c) sen (§) sen (§ - b) (1) (Il) Entonces e sen (§ - a) sen (§ - b) tan-= 2 sen(§)sen(§-c) De (II) cot( ~)= o. K = cot(~) sen§sen(§-b) sen (§ - a) sen (§ - c) (IlI)