TRIGONOMETRIA

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SENO , COSENO , TANGENTE , COTANGENTE , SECANTE Y COSECANTE

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS EJERCICIOS RESUELTOS

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EJERCICIOS RESUELTOS

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

TRIGONOMETRIA PROBLEMAS RESUELTOS TIPO EXAMEN DE INGRESO A LA SAN MARCOS


ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES PROBLEMAS RESUELTOS



¿Qué requieres saber para aprender, comprender y aplicar los conceptos, definiciones y teoremas de la Trigonometría? Sería extenso recordarte todo lo que se supone has aprendido hasta ahora, pero en la medida que hayas desarrollado una cultura matemática se hará mas comprensible esta importante área de la ciencia, sin embargo, vale la pena puntualizar aspectos que deben me recer una permanente atención y evocación y son: Sistemas Numéricos, Álgebra, Funciones y Geometría .
De lo primero necesitas recordar los campos numéricos y sus propiedades, de lo segundo la capacidad de traducir situadones concretas en expresiones matemáticas así como sus propiedades, de lo tercero debes recordar que el nivel de correspondencia entre dos o mas elementos se puede expresar por una regla y de lo último la capacidad de visualizar y modelizar los cuerpos a través de figuras.

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una función , Exactitud en los resultados calculados , APLICACIONES PRÁCTICAS , Orientación , Vectores , Suma vectorial , Componentes de un vector , Navegación aérea , Plano inclinado , APLICACIÓN DE LOS LOGARITMOS EN TRIGONOMETRÍA , Logaritmos de las funciones trigonométricas , Solución de triángulos rectángulos , REDUCCIÓN A FUNCIONES DE ÁNGULOS AGUDOS POSITIVOS , Ángulos coterminales, Funciones de ángulos negativos, Ángulos de referencia, Ángulos a partir del valor de una función, VARIANTES GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS , Representación lineal de las funciones trigonométricas , Variantes de las funciones trigonométricas , Gráficas de las funciones trigonométricas , Desplazamientos verticales y horizontales , Funciones periódicas , Curvas senoidales , RELACIONES BÁSICAS E IDENTIDADES , Relaciones básicas , Simplificación de expresiones trigonométricas , Identidades trigonométricas , FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE DOS ÁNGULOS , Fórmulas para la suma , Fórmulas para la diferencia , Fórmulas para el doble de un ángulo , Fórmulas para un semiángulo , FORMULAS PARA LA SUMA, LA DIFERENCIA Y EL PRODUCTO , Productos de senos y cosenos , Suma y diferencia de senos y cosenos , TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS , Triángulos oblicuángulos , Ley de los senos , Ley de los cosenos , Solución de triángulos oblicuángulos , Verificación de las soluciones de triángulos oblicuángulos , Ley de las tangentes , Fórmulas de la fracción media de un ángulo , ÁREA DE UN TRIANGULO , Área de un triángulo , Fórmulas para encontrar el área , FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS , Relaciones trigonométricas inversas , Gráficas de las relaciones trigonométricas inversas , Funciones trigonométricas inversas , Intervalo de los valores principales ,Valores generales de las relaciones trigonométricas inversas, ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ,1 Ecuaciones trigonométricas , Resolución de ecuaciones trigonométricas , NÚMEROS COMPLEJOS , Números imaginarios , Números complejos , Operaciones algebraicas , Representación gráfica de números complejos , Representación gráfica de la suma y la resta , Forma polar y trigonométrica de los números complejos , Multiplicación y división en forma polar , Teorema de Moivre , Raíces de los números complejos
TABLAS
Funciones trigonométricas – Ángulos en intervalos de 10 minutos ,
Funciones trigonométricas – Ángulos en intervalos de décimas de grado ,
Funciones trigonométricas – Ángulos en intervalos de centésimas de radián ,
Tabla de logaritmos común en (base 10) con cuatro decimales


TEXTO DE TRIGONOMETRIA DE SECUNDARIA PREUNIVERSITARIA

La TrigonometrIa
A diferencia de la Aritmética, el álgebra y la Geometría, que como se sabe alcanzaron gran desarrollo desde la época de los babilonios, los egipcios y los griegos.
La Trigonometría solo logra su madurez en los últimos siglos de nuestra era, y esto es muy explicable, pues para desenvolverse plenamente necesita de una geometría ya razonada, y sobre todo un álgebra sistematizada, para darle toda la flexibilidad y desarrollo.
En principio es la rama de la matemática que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo y la solución analítica de ellos .. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Trigonometría proviene de los vocablos griegos TRIGON , que significa triángulo y METRON , cuyo significado es medida .

Gracias a la trigonometría se pueden hacer cálculos de longitudes inaccecibles , tales como el ancho de un río o la altura de una torre . Además de longitudes , permite calcular tiempos , como la hora en que pasará un satélite por determinado lugar .

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.
La trigonometría se divide en plana y esférica , según los triángulos que se trate : planos o esféricos .
ORIGEN :

Desde el punto de vista etimológico la trigonometría trató de la «Resolución de Triángulos», lo cual quiere decir que dados ciertos elementos convenientes de un triángulo se deben hallar sus elementos restantes.
En realidad nadie pudo sospechar antiguamente que de tan modesto origen pudiese surgir en el devenir del tiempo una ciencia de tanta importancia como la trigonometría (y que hoy en día es una herramienta fundamental del análisis matemático) que en un comienzo fue solo un simple capítulo de la Astronomía.
Pero gracias a su aplicación a las distintas ramas de la matemática y de la física, y sobre todo al empleo invalorable que de ella hacen la Astronomía y la Geodesia, es que su progreso fue rápido y que pudo llegar tan lejos.
Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana y la trigonometría esférica.
TRIGONOMETRÍA PLANA
Se ocupa fundamentalmente de la resolución de triángulos planos. Para ello , se definen las razones trigonométricas de los ángulos y se estudian las relaciones entre ellas.
La base de la trigonometría está en las razones trigonométricas , valores numéricos asociados a cada ángulo , que permiten relacionar operativamente los ángulos y lados de los triángulos. Las más importantes son seno , coseno y tangente , que se definen más adelante.
TRIGONOMETRiA ESFeRICA
La trigonometría esférica , que se usa sobre todo en navegación y astronomía , estudia triángulos esféricos, es decir, figuras formadas por arcos de circunferencias máximas contenidos en la superficie de una esfera. El triángulo esférico, al igual que el triángulo plano, tiene seis elementos: los tres lados a , b , c , y los tres ángulos A , B y C. Sin embargo , los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares en vez de lineales, y dado que son arcos de circunferencias máximas de una esfera, su medida viene dada por el ángulo central correspondiente. Un triángulo esférico queda definido dando tres elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que en la geometría plana, hay fórmulas que relacionan las distintas partes de un triángulo, que se pueden utilizar para calcular los elementos desconocidos.

Por ejemplo, el teorema del seno adopta la siguiente forma para triángulos esféricos:

La trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección estereográfica y en geodesia. Es también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.
TriAngulo esfErico :
Es un triángulo dibujado sobre una superficie esférica con tres arcos de circunferencia máxima. Todo triángulo esférico se obtiene mediante la intersección de un triedro con la superficie de la esfera.

Los lados a , b , c del triángulo (arcos de circunferencia máxima) se corresponden con las caras del triedro. Los ángulos del triángulo son los correspondientes diedros del triedro.
El estudio trigonométrico del triángulo esférico da lugar a la trigonometría esférica.

Hiparco (190 – 120 a.C.) nació en la colonia griega de Nicea en Bitinia (en la actualidad territorio turco) y se considera el creador de la Trigonometría. Fue el primero en elaborar tablas que relacionaban las longitudes de los lados en un triángulo, las que usa para estimar la distancia tierra – luna en 386 100 Km valor muy cercano al real y para elaborar sus mapas estelares en los que traslada sus observaciones a planos. Antes de Hiparco, las tablas astronómicas basadas sobre métodos geométricos no existían.
También se le atribuye la invención del astrolabio, instrumento que permitía fijar la altura de los astros.
Ptolomeo (85 – 165) reconoce en la obra de Hiparco la más valiosa fuente para el desarrollo de su teoría geocéntrica.

introduccion
a la trigonometria
La trigonometría fue iniciada por Hiparco , aproximadamente el año 150 a.C. Tiempo después Tolomeo siguió con estos estudios, basandose en sus estudios y de otros personajes de la Astronomía, para crear su síntaxis Matemática llamada Almagesto.
En el curso Comenzamos por tratar el uso de las unidades angulares, y sus equivalencias, para poder aplicarlas al cálculo de una longitud de arco de circunferencia , como también el área de un sector circular y algunos casos más , como es la determinación de la cantidad de vueltas que gira una rueda o dos poleas o más que estan trabajando en un sistema
Después , nos introducimos a la columna vertebral de la Trigonometría que es el estudio de las razones trigonométricas , primero para un ángulo agudo y luego para un ángulo que posea cualquier medida , determinaremos dentro de ellos los valores de cada una de ellas por medio del estudio analítico y su representacion mediante segmentos de recta dirigidos en la circunferencia trigonométrica .
Esta parte es fundamental ya que los temas siguientes trataran sobre las diversas identidades que las relacionan , las cuales por cierto son muy numerosas que solo con la constancia en la practica se puede dominar, porque un mal entendimiento de los primeros temas conducira , inevitablemente , a dificultades continuas en las partes más avanzadas.
Dentro de las identidades, clasificaremos a aquellas que son imprescindibles , a las cuales llamaremos, identidades básicas, y otras que son menos importantes; pero se dan con el fin que nos permita resolver situaciones matemáticas de un modo mucho más breve.
Seguidamente, le daremos uso a todo el bloque de las identidades en el estudio de las funciones trigonométricas ya sea en las funciones directas e inversas , al hacer el calculo de sus dominios y rangos , al resolver una ecuación e inecuación trigonométrica o al resolver problemas de figuras geométricas, tan solo con el uso de las razones trigonométricas que relacionan sus elementos . Finalmente, culminaremos con los temas de: límites , derivadas e integrales trigonométricos , traslación y rotación , números complejos y trigonometría esférica .
Tenga presente que el objetivo, en el estudio de las Matemáticas no es mecanizarse, sino en saber aplicar correcta y logicamente una determinada definicion , propiedad o teorema a cada problema que se está resolviendo. Solo así , el estudiante encontrará en las Matemáticas una recreación amena y ágil .
Hoy en día , los ingenieros y los físicos ocupan muchas de estas herramientas trigonométricas en su diario actuar , sin quizas conocer quien las crea y cual es su historia , la cual vamos a presentar a continuación.
HISTORIA
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados , minutos y segundos . Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 7,5° y yendo hasta 180° con incrementos de 7,5°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco , pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r=60 , pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.
Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de 0,5°, desde 0° hasta 180°, con un error menor que
1/3600 de unidad . También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas , y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver triángulos esféricos, y durante muchos siglos su trigonometría fue la introducción básica para los astrónomos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, al contrario que el seno utilizado en la actualidad , no era una proporción , sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada . Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India , y prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r= 60, lo que dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas . Los árabes también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca , lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica . Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Por ejemplo , las tablas del seno y de la tangente, construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones. Además, el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura transversal, el primer estudio de las trigonometrías plana y esférica como ciencias matemáticas independientes.
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. El matemático francés Francois Viète incorporó el triángulo polar en la trigonometría esférica y encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples, sennq y cosnq , en función de potencias de senq y cosq.
Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos oblicuos.
Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el senx y series similares para el cosx y la tgx. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos ; además , Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
La trigonometría egipcia

El documento más antiguo con procedimientos matemáticos de que se tenga noticia, es el papiro del Rhind. En el se encuentran los rudimentos de la de la rama de las matemáticas que más tarde se llamaría trigonometría. En la construcción de las pirámides un problema fundamental era mantener una pendiente (inclinación) uniforme en cada cara y la misma en las cuatro caras. Este problema llevó a los egipcios a introducir un concepto equivalente al de cotangente de un ángulo.
La trigonometría babilónica

Se ha creído que toda la matemática que se desarrolló antes de la civilización griega tenía un carácter netamente utilitarista. Sin embargo, en tablillas de escritura cuneiforme de los babilonios se encontró una prototrigonometría donde se presentan listas con ternas de números pitagóricos.

La trigonometría griega
La trigonometría al igual que cualquier otra rama de las matemáticas no es el fruto de la inteligencia de un sólo hombre, ni aún de una sola civilización. Con los griegos , se presentan por primera vez el estudio sistemático de las ralaciones entre los ángulos centrales de una circunferencia y la longitud de las cuerdas que subtienden . En los «Elementos de Euclides» no aparece la trigonometría , en el sentido estricto del término.

Pero se presentan teoremas relativos a la razón entre los lados de un triángulo rectángulo y problemas concretos como el teorema del coseno para un triángulo obtusángulo.

La astronomía exigió a los científicos de la época la medición de arcos y ángulos cada vez con mayor exactitud . De esta forma todo el progreso de la trigonometría durante la civilización griega se produjo al lado del desarrollo de la astronomía. Se puede afirmar que la trigonometría fue nodriza de la astronomía.
Aristarco de Samos, según cuentan Arquímedes y Plutarco , propuso un sistema astronómico heliocéntrico anticipándoce a Copérnico en más de mil quinientos años. Aristarco medió al ángulo entre la visual dirigida al centro del Sol y la visual dirigida al centro de la Luna cuando se encuentra medio llena y descubrió que este ángulo es menor en de cuadrante. Esto significa que la razón entre la distancia de la Tierra a la luna y de la Tierra al Sol es aproximadamente igual a sen 3°.

Otro astrónomo importante que contribuyó al desarrollo de la trigonometría , fue Eratóstenes de Cirene quien midió la

distancia real de la Tierra al Sol y de la Tierra a la Luna a partir del radio terrestre.
Hiparco de Nicea , Menelao de Alejandría y finalmente Ptolomeo desarrollaron casi toda la trigonometría que se conoce hasta la época.
el almagesto ptolomeo
Claudio Ptolomeo vivió y trabajó en Alejandría alrededor del 150 d.c. En su principal obra , llamada Almagesto que en árabe significa el más grande, Ptolomeo desarrolló , no sólo los modelos astronómicos geocéntricos que perduraron hasta Copérnico , sino también las herramientas matemáticas que además de la geometría elemental incluyen la trigonometría. El Almagesto es una obra maestra , en ella jamás presentó Ptolomeo una tabla trigonométrica sin explicar previamente la forma de obtenerla y como calcularla.
Ptolomeo fue el último gran representante de la cultura helenística y con él , el desarrollo de la cultura y los progresos de la ciencia termina para Occidente. El eje de desarrollo en el mundo se traslada al Oriente , a la India y Arabia.
La trigonometria india
Los indios adquidieron los conocimientos de los alejandrinos , pero la transformaron a la forma como se trabaja en la actualidad . Mientras que la trigonometría de Ptolomeo se base en la ralción funcional, a los arcos o ángulos centrales en una circunferencia y las cuerdas que ellos subtienden , los matemáticos indios transformaron esta relación y la convirtieron en el estudio de la correspondecia entre la mitad de la cuerda y la mitad del arco o ángulo central subtendido por la cuerda total . Así fue como nació , aparentemente en la India el antepasado de la función trigonométrica que conocemos como seno.
la trigonometria arabe
Así como los árabes tuvieron que definirse entre el sistema de numeración indio y el griego ; también en los cálculos astronómicos , hubo en Arabia al principio , dos trigonometrías . Una la geometría griega de las cuerdas tal como se encuentra en el Almagesto de Ptolomeo ; y la otra , basada en la tabla india de los senos. Así como en el sistema de numeración el triunfo correspondío a la matemática india , la trigonometría árabe adopto una forma más sistemática; en ella se demuestran algunos teoremas y se presentan las identidades para las funciones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad . Las funciones trigonométricas como coseno , tangente, secante cosecante y cotangente se estudiaron através de las sombras que proyecta una varilla vertical sobre el piso y sobre una pared vertical.
La trigonometría se independiza de la astronomía por primera vez en el tratado del árabe Nasir Eddin (1201 – 1274) . Desgraciadamente , la obra de este matemático tuvo muy poca influencia en el desarrollo de esta ciencia posteriormente.
Pero es aquí donde propiamente se puede hablar de la trigonometría como una rama independiente de las matemáticas.
La trigonometría en la europa medieval
Así como el álgebra llega a Europa , gracias a los árabes , lo mismo sucede con la trigonometría.

Los romanos nunca se interesaron por la trigonometría griega , a pesar de lo elemental y lo relativamente útil que era. Solo hasta el siglo XII los intelectuales latinos aprendieron la trigonometría árabe tal como aparecía en los tratados de astronomía.
Roberto de Chester , al traducir del árabe la palabra jiba le asigno el término de sinus que es el nombre latino de la palabra bahía o ensenada.

La trigonometría renacentista
El matemático que retomó la trigonometría en Europa es Johann Múller (1436 – 1476) más conocido como Regiomontano , quien fundamentalmente se preocupó por traducir al latín las grandes obras de los griegos , Regiomontano escribió el libro «De triangulis» en el cual siguió los pasos de Nasir Eddin y sistematizó todos los conocimientos de la trigonometría como ciencia independiente de la astronomía . Sus manuscritos eran conocidos en el círculo donde se desempeñaba como instructor en la ciudad de Nuremberg , que se convertiría en un importante centro del saber , de las artes y de la invención ; además de ser el centro de la impresión de libros. En esta ciudad se publicaron algunas de los más grandes clásicos científicos que iniciaron el Renacimiento.
Durante la época que vivió Regiomontano , Polonia atravesó una verdadera edad de oro cultural y la universidad de Cracovia en la que se matriculó Copérnico gozaba de gran prestigio en matemáticas y astronomía . En el famoso libro que cambió toda la concepción sobre el universo «De las revoluciones y las órbitas celestes» , se encuentran importantes secciones de trigonometría que Copernico desarrolló con amplio dominio de la materia.
A finales del siglo XVI se desarrolló un entusiasmo considerable por la trigonometría , el cual se materializó básicamente en la publicación de síntesis y libros de texto . Durante este período se le dio por primera vez el nombre de trigonometría a esta rama del saber.

La trigonometría
en la revolución científica
Los momentos estelares de la humanidad se presentan durante las grandes crisis, cuando la aritmética, la geometría y el álgebra no pueden responder a los requirimientos del desarrollo de la ciencia ; una gran cantidad de nuevas ramas de las matemáticas surgen para dar respuestas a los interrogantes que la época requiere . La geometría analítica , el cálculo, los logaritmos y el estudio en general del movimiento producen lo que se llama la gran revolución científica. En ella , la trigonometría es la principal aliada de los científicos que con las largas y precisas observaciones del movimiento de los planetas pueden fundamentar , con Newton a la cabeza , una nueva concepción del universo regido por leyes mecánicas de una asombrosa precisión.
¿Sabías que …

el matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) fue el descubridor de las aplicaciones más sorprendentes de las funciones trigonométricas?.
Utilizó las sumas de estas funciones para describir fenómenos físicos como la transmisión del sonido y el flujo del calor. Sus investigaciones sobre este último tema le llevaron a introducir unas series trigonométricas conocidas hoy como Series de Fourier.
Una aplicación moderna de los descubrimiento de Fourier es la codificación digital del sonido en los discos compactos (CD).
Fourier quedó huérfano a corta edad, por lo que recibió su educación en una escuela militar, de donde se convirtió en maestro de matemática cuando tenía 20 años. Más tarde rechazó ser designado profesor de la École Polytechnique para acompañar a Napoleón en su expedición a Egipto de donde Fourier fue gobernador.

Cuando regresó a Francia empezó a hacer experimentos relacionados con el calor, pero la Academia francesa no publicó sus primeros trabajos por falta de rigor. Años más tarde, cuando Fourier fue secretario de la Academia logró publicarlos en la forma original.
Quizá debido a sus años de estudio sobre el calor y a los años que pasó en el desierto de Egipto, Fourier estaba obsesionado por mantenerse caliente, usaba varias ropas encimadas, incluso en el verano, y mantenía sus habitaciones incómodamente calientes. Evidentemente éstos hábitos, sobrecargaron su corazón y contribuyeron a su muerte a la edad de 62 años.
La TRIGONOMETRÍA no se limita a la aplicación de resolución de triángulos a la geometría, astronomía, navegación y agrimensura sino que también se aplica en física. Así la vemos en el estudio de movimientos ondulatorios, vibraciones , sonido , corriente alterna, termodinámica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar el concepto de razones trigonométricas al de funciones
trigonométricas.
Situación Problemática
Una fuerte ráfaga de aire impacta sobre un rascacielos, lo que ocasiona que la construcción se mueva de un lado a otro según un movimiento armónico amortiguado . La frecuencia de la oscilación es 0,5 ciclos por segundo y la constante de amortiguamiento es c= 0,9. Calcule una ecuación que describe el movimiento del rascacielos. (Suponga k = 1 y t = 0 instante cuando la ráfaga de aire golpea al rascacielos).

APLICAIONES HISTORICAS
«El rasgo más importante de la matemática árabe fue la formación de la trigonometría, teniendo lugar la síntesis de diversos elementos trigonométricos: el cálculo de cuerdas y las tablas de los antiguos, en particular los resultados de Ptolomeo y Menelao, las operaciones de los antiguos hindúes, la acumulación de experiencias de mediciones astronómicas.
Sobre la base de este material heterogéneo los matemáticos de los países del Medio Oriente y el Asia Central introdujeron todas las líneas trigonométricas fundamentales. En relación con los problemas de astronomía, confeccionaron tablas de las funciones trigonométricas con gran frecuencia y alto grado de exactitud. Los datos acumulados fueron tantos que resultó posible estudiar las propiedades de los triángulos planos y esféricos, y los métodos de su resolución. Se obtuvo un sistema de trigonometría armonioso, rico en hechos, tanto plana como esférica….»

«…En el año 1461, apareció la obra «Cinco libros sobre triángulos de cualquier género», en la cual la trigonometría fue separada de la astronomía y tratada como una parte independiente de las matemáticas. La escribió el matemático alemán Johannes Müller (1436-1476), más conocido por Regiomontano…»
Pero los hechos más famoso de la antigüedad fueron medir la altura de la gran piramide, para ello Thales sólo uso su bastón y las sombras de la piramide y el bastón y la medición del radio de la Tierra por Eratostenes.
«La trigonometría ha sido una herramienta útil desde la antigüedad, el famoso historiador griego Herodoto, describió tres hazañas de la ingeniería griega en la isala de Samos. Una de ellas era un túnel que trasladaba el agua a través del monte Castro a Samos, la capital. Este se descubrió en 1882, 2500 años después de su construcción y tenía 1 Km. de longitud y más de dos metros tanto en altura como en anchura…
Lo más notable del túnel es que los equipos de excavación, que comenzaron a cada uno de los lados, se encontraron en el centro con un error de solamente 10 metros horizontalmente y 3 metros verticalmente. Sabemos esto porque en el centro del túnel hay un recodo de este tamaño que hace que los dos túneles se unan….
Herón describió el posible método que utilizaron, desde su punto de vista usaron la semejanza de triángulos.»
La Trigonometría y El Everest
Una aplicación histórica de la trigonometría …

Un gran proyecto de reconocimiento de los 1800s fue la “Gran Planimetría Trigonométrica” de la India británica. Se construyeron para el proyecto los mayores teodolitos, monstruos con escalas circulares de 363 de ancho, cuyas lecturas se hacían con extraordinaria precisión con 5 microscopios. Cada uno con su caja pesaba media tonelada y se necesitaban 12 hombres para trasladarlo. Usándolos el proyecto cubrió el país con múltiples cadenas de triángulos en las direcciones norte-sur y este-oeste (las áreas entre las cadenas de dejaron para más tarde) y se necesitaron décadas para completarla.
En 1843 Andrew Scott Waugh se encargó del proyecto como Inspector General y puso especial atención a las montañas del Himalaya del norte de la India. Debido a las nubes y a la niebla, esas montañas se ven raramente desde las tierras bajas, y hasta 1847 no se consiguieron varias mediciones. Después de haberse hecho, los resultados necesitaron ser analizados laboriosamente por “computadores” en las oficinas de inspección; no eran máquinas sino personas que efectuaban los cálculos trigonométricos.

La historia dice que en 1852 el jefe de los “computadores” fue hacia el director y le dijo: “Señor, hemos descubierto la mayor montaña del mundo”. Desde una distancia de más de 100 millas (160 km), se observó la montaña desde seis estaciones diferentes, y “no dio lugar a que el observador sospechara que estaba viendo a través de su telescopio el punto más alto de la Tierra”. Al principio se la designó como “Pico XV” por la inspección, pero en 1856 Waugh la denominó en memoria de Sir George Everest, su predecesor en la oficina de jefe de inspectores. El Everest fue el primero en registrarse y en usar los teodolitos gigantes; ahora están expuestos en el “Museum of the Survey of India” en Dehra Dum.

Como dato adicional: para topografiar una tierra los topógrafos la dividen en triángulos y marcan cada ángulo con un “punto de referencia”, que hoy en día es, a menudo, una placa de latón redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que ponen sus varillas y teodolitos (George Washington hizo este trabajo cuando era un adolescente). Después de medir la base, como la AB en el ejemplo del río, el topógrafo medirá (de la forma descrita aquí) los ángulos que se forman con el punto C y usar la trigonometría para calcular las distancias AC y BC. Estas pueden servir como base de 2 nuevos triángulos, que a su vez suministrarán bases para dos más … y de esta forma construirá más y más triángulos hasta que se cubra la tierra al completo con una red que tiene distancias conocidas. Posteriormente se puede añadir una red secundaria, subdividiendo los triángulos grandes y marcando sus puntos con estacas de hierro, que proporcionarán distancias conocidas adicionales en las que se pueden basar los mapas o los planos.

Hoy en día la posición sobre la Tierra se puede localizar de forma muy precisa usando el sistema de posicionamiento global (GPS) de 24 satélites en órbita exacta, que están difundiendo constantemente su posición. Un pequeño instrumento electrónico de mano recibe sus señales y nos devuelve nuestra posición con un error de 10-20 metros ( aún es más preciso para usos militares, los patrocinadores del sistema). Se usa una gran cantidad de trigonometría, pero lo hace todo la computadora que está dentro de su aparato, lo único que usted necesita es pulsar los botones apropiados.
! resumen ¡
La época que al nacimiento de la trigonometría se quiera atribuir depende en realidad de la aceptación que a dicho término se le dé, vale decir, de la amplitud que a su significado se le quiere encontrar.
Así, tomada en su estricto significado etimológico de «medida de los triángulos», la encontramos ya en las lejanas épocas de los babilonios, los egipcios y los hindúes, allá por los tres y dos mil años antes de nuestra era.
Si la consideramos a la trigonometría como ese capítulo de la Astronomía, donde ciertas funciones del ángulo eran ya conocidas y empleadas, la encontramos a partir de los trabajos de Hiparco allá por el año 140 a.C.
Pero la trigonometría como disciplina autónoma y sistemática, como esa ciencia analítica que es ahora, solo surgió y se desarrolló en el siglo XVII, después que el gran matemático Vieta perfeccionara admirablemente el simbolismo algebraico, sin el cual jamás hubiera podido consolidar esta ciencia.
Históricamente fueron los geómetras y astrónomos griegos quienes, entre los años 180 y 125 a.J.C. encontraron los principales fundamentos de la trigonometría plana y esférica, deducidos de la geometría y los aplicaron a los problemas astronómicos.
Según Theon, de Alejandría, entre los citados astrónomos griegos, es a Hiparco, especialmente, a quien se le puede considerar como el verdadero creador de la trigonometría (Padre de la Trigonometría), pues sobre los fundamentos debidos a éste, Ptolomeo publicó en el primer libro de su almagesto, una tabla de valores de las razones trigonométricas, para ser usados en los cálculos astronómicos.
Para resolver los triángulos rectángulos, los griegos procedían así: calculaban los lados aplicando el Teorema de Pitágoras, y los ángulos mediante un Teorema de Ptolomeo; la resolución de triángulos cualesquiera la hacían descomponiendo en triángulos rectángulos (trazando altura).

Es a Regiomontano (1436 – 1476), al que se debe el renacimiento de la trigonometría, pues fue él quien, valiéndose de traducciones del griego, escribió un notable tratado de trigonometría rectilínea y esférica, que puede considerarse como el primer tratado de trigonometría europea.

Copérnico (1473 – 1543), fue el primero que demostró en forma sencilla las fórmulas trigonométricas de la trigonometría esférica.

Viete (1540 – 1603), no era matemático de profesión, sino jurisconsulto que se ocupaba como abogado de asuntos de estado, pero su amor por la ciencia matemática fue tan grande que dedicaba la mayor parte del tiempo necesario para su descanso al estudio y a la investigación matemática. De posición económica desahogado, su espíritu noble y generoso lo llevó a proteger económicamente aun a sus contrarios científicos.

Como contribución a la trigonometría, en 1579 estableció las fórmulas que determinan las funciones trigonométricas de múltiplos de un ángulo, cuando se conocen las funciones trigonométricas del mismo, y por primera vez en occidente expone los métodos que permiten resolver triángulos planos o esféricas aplicando las 6 funciones trigonométricas, pues Regiomontano solo utilizaba el seno.

Neper (1550 – 1617), con la creación de los logaritmos, abrevió notablemente los cálculos trigonométricos, aunque en realidad su nombre en la historia de la trigonometría se destaca por las analogías que llevan su nombre, así como por la conocida regla del pentágono de Neper, de tanta aplicación en la Resolución de Triángulos Esféricos.

Es sólo en el siglo XVII que la trigonometría comienza a formar su carácter analítico, y es Euler (1707 – 1783) el primero que en realidad hace progresar dicha ama de la matemática en este nuevo aspecto analítico, hasta darle forma que conserva actualmente.

Completa los siguientes textos con los datos correctos que correspondan a los espacios en blanco.

La Trigonometría aparece en Babilonia, ligada al estudio de la …………………………………….

Los astrónomos babilónicos de los siglos V y IV a. de C. acumularon datos ………………….. y …………………… que permitieron más tarde a los matemáticos griegos construir gradualmente la ……………………………

……………………… que vivió entre 310 y 230 a. de C., en una pequeña obra titulada ASobre la dimensión y las distancias del Sol a la Luna , establece algunas ………………………. trigonométricas.

Hiparco de Niceo vivió entre ………………………. a. de C., vivió en ………………………., es considerado el ……………………. de la Trigonometría.

Ptolomeo escribió una obra muy significativa para la trigonometría, que los árabes la enominaron ………………………… y que significaba …………………………

OBJETIVOs :
* Conocer las relaciones básicas entre las razones trigonométricas de una cierta variable , así comos sus aplicaciones.
* Reconocer y emplear de manera eficaz propiedades auxiliares que simplifican las expresiones , mucho más rápido que si colocáramos la expresión en términos de senos y cosenos.
introducción :
En matemáticas, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Identidad Trigonométrica
A toda identidad de expresiones trigonométricas que se verifica para todo valor admitido por la variable se denomina Identidad Trigonométrica.
Ejemplo:

* Es una identidad trigonométricas , porque se verifica la igualdad para todo valor de “x” diferente a 180° n: (0°,180°, 360°…..)
* Probamos para:

* Así podemos seguir dándole valores a “x” y siempre se va a verificar la igualdad pero no para: 0°, 180°, 360°…………..
* Estudiaremos las Fundamentales:

A) IDENTIDADES PITAGÓRICAS :
Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo anterior se obtiene :
sen2x + cos2x = 1……………. (*)
* Dividiendo por cos2x en (*):

* Dividiendo por sen2x en (*) :

* Resumiendo:

B) IDENTIDADES RECÍPROCAS :
* Del triángulo OSM se puede deducir:

C) IDENTIDADES POR COCIENTE :

Los problemas que se presenten , son de tipo de demostración ; simplificación , condicionales y eliminación de variables ; pero lo mas importantes es el manejo adecuado de las igualdades ya conocidas , para obtener la solución del problema.
Observación:
Verso de “x” : ver x = 1– cosx

Converso de “x” : Cov x = 1– senx

Exsecante de “x” : Ex secx = secx–1

Simplificacion de Expresiones Trigonométricas
Las ocho identidades fundamentales y sus formas equivalentes se pueden aplicar también para simplificar expresiones trigonométricas.
Simplificar quiere decir reducir el número de términos de la expresión trigonométrica , este proceso llamado simplificación se muestra en el siguiente ejemplo ilustrativo.
Ejemplo:
Simplificar la expresión:
E = Cosx Tanx – Senx
A) 1 B) cosx C) tgx D) secx E) 0
RESOLUCIÓN:
* Colocando la expresión en términos de senos y cosenos:
E=cosx. tanx – senx

Rpta: “E”

Cálculo de Expresiones Trigonométricas Dado
Una Condición
A continuación citaremos un ejemplo que ilustran el cálculo de expresiones trigonométricas a partir de una condición , esta condición es una relación entre otras expresiones trigonométricas , para tal efecto aplicaremos las identidades fundamentales y sus formas equivalentes.
Ejemplo:
Si:
Calcular el valor de: E = senxcosx
A) 1 B) 2 C) D) 1/2 E) 3
RESOLUCIÓN:
* Para obtener “senxcosx” elevamos al cuadrado a ambos miembros de la condición así:

Identidades Trigonoméricas
Auxiliares
A partir de las identidades trigonométricas fundamentales se pueden demostrar que:

Propiedad:
Si:

La utilización de estas fórmulas , reducen el tiempo de resolución de los problemas ; por ello se recomienda familiarizarse con su empleo.