TRIGONOMETRIA 4TO DE SECUNDARIA – ESO EJERCICIOS RESUELTOS

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Razones trigonométricas.
– Resolución de triángulos rectángulos.
– Uso de la calculadora científica en los cálculos trigonométricos.
DEBERÁS RECORDAR
■ Cuándo son semejantes dos triángulos rectángulos.
■ Cómo utilizar las sombras para medir ciertas
longitudes inaccesibles.
Hace más de 3 000 años, babilonios y egipcios utilizaron
la semejanza y rudimentos de trigonometría
para medir campos, realizar construcciones, e incluso
para la astronomía y la navegación… Estos conocimientos
pasaron a Grecia, donde cabe destacar a dos
grandes astrónomos (pues trigonometría y astronomía
van de la mano):
Hiparco de Nicea (180-125 a.C.), considerado el
“padre de la astronomía”, consolidó el sistema sexagesimal
para la medida de ángulos. Teniendo en
cuenta que la esencia de la trigonometría es sustituir
medidas angulares por medidas lineales, elaboró
unas tablas en las que asociaba la medida
de cada ángulo con la longitud
de la cuerda correspondiente.
Ptolomeo de Alejandría (85-165) amplió y mejoró
la obra de Hiparco y escribió un enorme tratado de
astronomía de trece libros, al que se acabó llamando
el Almagesto, (el más grande).
Los indios, durante los siglos iv y v, desarrollaron
una trigonometría con un enfoque distinto al de los
griegos: asociaron a cada ángulo la longitud de la
semicuerda del ángulo doble (lo que
posteriormente se llamaría seno del
ángulo), consiguiendo así trabajar
con triángulos rectángulos, más fáciles
de manejar.
Los árabes (siglos ix-x) se inspiraron en el Almagesto
de Ptolomeo pero utilizaron las tablas de los senos de
los indios, las ampliaron con otras medidas y las mejoraron.
Su trigonometría, bien fundamentada y muy
práctica, se extendió por Europa a partir del siglo xii.
c
a
a s
Trigonometría
76 1 Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Vamos a estudiar todas las posibles razones entre dos de los lados de un triángulo
rectángulo.
Definiciones
Sobre un ángulo agudo, a, construimos un triángulo rectángulo, ABC. Damos
las siguientes definiciones con sus correspondientes abreviaturas:
seno de a = longitud del cateto opuesto a a
longitud de la hipotenusa
sen a = BC
AB
coseno de a = longitud del cateto contiguo a a
longitud de la hipotenusa
cos a = AC
AB
tangente de a = longitud del cateto opuesto a a
longitud del cateto contiguo a a
tg a = BC
AC
Estas relaciones se llaman razones trigonométricas del ángulo a.
Cálculo gráfico (aproximado)
de las razones trigonométricas de un ángulo
La propia definición nos proporciona un método para calcular las razones trigonométricas
de un ángulo agudo:
Se dibuja el ángulo. Desde un punto, B, de uno de los lados se traza una perpendicular
al otro lado. De este modo se forma un triángulo rectángulo ABC. Se
miden los lados:
AC = 41 mm, BC = 28 mm, AB = 50 mm
Ahora, con estos datos, calculamos las razones trigonométricas:
sen a = BC
AB
= 28
50
= 0,56 cos a = 41
50
= 0,82 tg a = 28
41
= 0,68
Podríamos medir el ángulo con el transportador. Obtendríamos a = 34°. Por
tanto:
sen 34° = 0,56 cos 34° = 0,82 tg 34° = 0,68
Las medidas efectuadas son aproximadas. Por tanto, las relaciones finales también
lo son.
Razón. Se llama razón entre dos números
a su cociente.
Recuerda
1 Dibuja sobre un ángulo como el anterior, 34°, un triánguo rectángulo mucho más grande. Halla
sus razones trigonométricas y observa que obtienes, aproximadamente, los mismos valores.
Actividades
Para designar ángulos, se suelen utilizar
letras griegas como:
a alfa
b beta
g gamma
f fi
A
C
B
a
A
C
B
a
Las razones trigonométricas dependen
del ángulo pero no del triángulo.
No lo olvides
UNIDAD
77
2 Relaciones trigonométricas fundamentales
Los valores de sen, cos y tg de un mismo ángulo no son independientes, sino
que están relacionados, de tal modo que conociendo uno de ellos, podemos calcular
los otros dos. Las relaciones que los ligan son las siguientes (se las suele llamar
relaciones fundamentales):
(sen a)2 + (cos a)2 = 1 [I] sen a
cos a = tg a [II]
Estas igualdades son fáciles de demostrar:
[I] (sen a)2 + (cos a)2 = (BC
AB)2
+ (AC
AB)2
= BC2 + AC 2
AB2 = 1
pues por el teorema de Pitágoras se cumple que BC2 + AC 2 = AB2.
[II] sen a
cos a = BC
AB
: AC
AB
= BC
AC
= tg a
En los siguientes ejercicios resueltos vemos cómo, conocida una razón trigonométrica
de un ángulo, se pueden calcular las otras dos.
1 sen 37° = 0,6. Calcula cos 37° y tg 37°. 2 tg 28° = 0,53. Calcula sen 28° y cos 28°.
Actividades
En lugar de (sen a)2 se suele poner
sen2 a. Del mismo modo:
(cos a)2 = cos2 a y (tg a)2 = tg 2 a
A pesar de la costumbre, y para evitar
confusiones, utilizaremos durante este
curso la expresión con paréntesis.
Notación
1. S abiendo que cos a = 0,63, calcular s = sen a y t = tg a.
Mediante la igualdad I, conocido sen a obtenemos cos a, y viceversa.
s2 + 0,632 = 1 8 s2 = 1 – 0,632 = 0,6031 8 s = √0,6031 = 0,777
(Solo tomamos la raíz positiva, porque sen a ha de ser positivo).
t = 0,777
0,63
= 1,23 Solución: sen a = 0,777 tg a = 1,23
2. Sabiendo que tg a = 2, calcular s = sen a y c = cos a.
Mediante las igualdades I y II, conocida tg a se obtienen, resolviendo un
sistema de ecuaciones, los valores de sen a y cos a:
sc
= 2
s2 + c2 = 1
°
§
¢
§
£s = 2c
(2c)2 + c2 = 1 8 4c2 + c2 = 1 8 5c2 = 1
c2 = 15
ÄsoÄlo tÄomaÄmo8s la raíz positiva ÄÄÄÄ8 c = 1
√5
ÄracÄionÄalizÄand8o c = √5
5
; s = 2√5
5
Solución: sen a = 2√5
5
= 0,894 cos a = √5
5
= 0,447
Ejercicios resueltos
A C
B
a
78 Razones trigonométricas de 30°, 45° y 60°
Los triángulos rectángulos cuyos ángulos agudos son 45°, 30° o 60° aparecen con
mucha frecuencia, por lo que resultan especialmente interesantes en geo metría.
Vamos a hallar las razones trigonométricas de estos ángulos.
■Razones trigonométricas de 45°
La hipotenusa de este triángulo rectángulo isós celes
mide:
h = √12 + 12 = √2. Por tanto:
sen 45° = 1
√2
= √2
2
, cos 45° = √2
2
45° , tg 45° = 1
h 1
1
■Razones trigonométricas de 30° y de 60°
Calculamos la altura de este triángulo equilátero:
a = √12 – (12
)2
= √1 – 14
= √34
= √3
2
30°
60°
1/2
1
a
Por tanto:
sen 30° = 12
cos 30° = √3
2
tg 30° = 1/2
√3/2
= 1
√3
= √3
3
sen 60° = √3
2
cos 60° = 12
tg 60° = √3/2
1/2
= √3
3 Teniendo en cuenta que tg 45° = 1, deduce el valor
de sen 45° y de cos 45° mediante las relaciones fundamentales.
4 Teniendo en cuenta que sen 30° = 1/2, halla el valor
de cos 30° y de tg 30° mediante las relaciones fundamentales.
5 Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:
sen a 0,94 4/5
cos a 0,82 √3/2
tg a 3,5 1
En las operaciones donde aparezcan radicales, trabaja
con ellos; no utilices su expresión decimal.
6 Un carpintero quiere construir una escalera de tijera,
cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo
de 60°.
Para que la altura de la escalera,
estando abierta, sea
de 2 metros, ¿qué longitud
deberá tener cada brazo?
7 Calcula el seno y la tangente de un ángulo cuyo coseno
vale 0,8.
8 Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente
vale 0,7.
Actividades
60°
1
30°
45°
Ä3
Ä 3—
3
1—2
Ä 2—
2
Ä 3—
2
sen cos tg
30° 12
√3
2
√3
3
45° √2
2
√2
2
1
60° √3
2
12
√3
UNIDAD
79
3 Utilización de la calculadora en trigonometría
Las calculadoras científicas nos dan directamente el valor del seno, del coseno o
de la tangente de cualquier ángulo. También nos dicen cuál es el ángulo del que
conocemos el valor de una de sus razones trigonométricas.
Veamos, paso a paso, cómo se recurre a la calculadora para trabajar en trigonometría.
■Selección del modo deg (grados sexagesimales)
Las calculadoras manejan tres unidades de medida de ángulos:
• Grados sexagesimales (deg). Son los que utilizamos normalmente.
• Grados centesimales (gra). Un ángulo recto tiene 100 grados centesimales.
Nunca usaremos esta unidad de medida.
• Radianes (rad). Esta unidad de medida de ángulos está relacionada con el
estudio funcional de las razones trigonométricas (funciones trigonométricas).
A partir del curso próximo se usará con frecuencia.
En este curso utilizaremos, exclusivamente, los grados sexagesimales. Por
tanto, selecciona en la calculadora el modo deg, a partir de la tecla M o !
,
según el modelo de calculadora.
■Anotar un ángulo. Tecla O
Para escribir el ángulo 38° 25′ 36”, se procede así:
38O25O36O{«°…¢“\\\\\|} sO{∫«°o“∞o«\}
Se anota el ángulo en forma decimal Se expresa el ángulo en forma sexagesimal
En las calculadoras de pantalla descriptiva se procede del mismo modo:
38O25O36O=
■Cálculo de una razón trigonométrica. Teclas ß©t
Para calcular sen (47° 25′), se procede así:
ß47O25O {¢|…¢‘\\\\\|}={≠…|«\“£«£∞‘“‘}
Es decir, sen 47° 25′ = 0,736
Análogamente, se procede con coseno, ©, y tangente, t.
■Funciones inversas: fi (sß), Â (s©), T (st)
¿Cuál es el ángulo cuyo seno vale 0,5? Sabemos que es 30°. La forma de preguntárselo
a la calculadora es esta:
sß0,5 ={∫∫∫∫«≠}
Análogamente:
cos a = 0,56 8 ¿a? 8 s©0,56 =sO{∞∞o∞\o«£…‘«}
tg a = 3 8 ¿a? 8 st3 =sO{|‘o««o∞¢…‘°}
Para el cálculo y el manejo de las razones
trigonométricas, hasta ahora solo
hemos utilizado las operaciones aritméticas
de la calculadora: + – *
/ y $.
En este apartado vamos a aprender a
manejar las teclas específicamente trigonométricas.
Teclas trigonométricas
Obtén las siguientes razones trigonométricas
y escribe en tu cuaderno los
resultados redondeando a las milésimas.
a) sen 86° b) cos 59°
c) tg 22° d) sen 15° 25′ 43”
e) cos 59° 27′ f) tg 86° 52′
g) sen 10° 30” (atención, 10° 0′ 30”)
Entrénate
80 4 Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo es hallar uno o más elementos desconocidos (lados o
ángulos) a partir de algunos elementos conocidos.
Las razones trigonométricas nos permiten resolver cualquier tipo de triángulo
rectángulo.
■Conocidos dos lados
• El tercer lado se obtiene mediante el teorema de Pitágoras.
• Cada uno de los ángulos agudos se halla a partir de la razón trigonométrica
que lo relaciona con los dos lados conocidos.
■Conocidos un lado y un ángulo
• Otro lado se halla mediante la razón trigonométrica que lo relaciona con el
lado y el ángulo conocidos.
• El otro ángulo agudo es complementario del que conocemos.
1. Los dos catetos de un triángulo
rectángulo miden 17 cm y
40 cm. Hallar los ángulos del
triángulo.
2. Iris está haciendo volar su cometa.
Ha soltado 36 m de hilo
y mide el ángulo que forma la
cuerda con la horizontal: 62°.
¿A qué altura se encuentra la
cometa sabiendo que la mano
de Iris que sostiene la cuerda
está a 83 cm del suelo?
Ejercicios resueltos
1. El ángulo a se relaciona con los dos catetos mediante
su tangente: tg a = 17
40
= 0,425
40
17
a
Hallamos con la calculadora el ángulo cuya tangente es 0,425:
st0,425=sO{“«o‘o«‘…||}. Es decir, a = 23° 1′ 32”.
El otro ángulo es su complementario: 90° – 23° 1′ 32” = 66° 58′ 28”
2. a es la altura de la cometa por encima de la mano de
Iris.
a es el cateto opuesto al ángulo de 62°. El seno es la razón
trigonométrica que la relaciona con la hipotenusa:
sen 62° = a
36
8 a = 36 · sen 62° = 31,79 m
La cometa está a una altura de 31,79 + 0,83 = 32,62 m.
a
62°
36 m
A^ = 90° – B^
B
B
A
a c
c = — a
cos B^
ac
sen A^ = —
b = c2 – a2
a
b = a · tg B^
1 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide
27° y la hipotenusa 46 m. Halla los dos catetos.
2 ¿Cuánto mide la apotema de un pentágono regular
de lado l = 10 cm?
3 Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden
48 cm y 71 cm. Calcula, en grados y minutos, los
dos ángulos agudos.
4 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide
37°, y el cateto opuesto, 87 m. Halla el otro cateto y
la hipotenusa.
Actividades
81
81
Ejercicios y problemas
Consolida lo aprendido utilizando tus competencias
■ Practica
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
1 Halla las razones trigonométricas del ángulo
a en cada uno de estos triángulos:
a) b) c)
7 m
25 m
8 m
a
a
a
11,6 cm
32 m
60 m
2 Midiendo los lados, halla las razones trigonométricas
de B^ en cada caso:
a) b)
A
B A
C B
C
3 Halla las razones trigonométricas de los ángulos
agudos de los siguientes triángulos rectángulos
(A^ = 90°):
a) b = 56 cm; a = 62,3 cm
b) b = 33,6 cm; c = 4,5 cm
c) c = 16 cm; a = 36 cm
4 Comprueba, con el teorema de Pitágoras,
que los triángulos ABC y AHB son rectángulos.
Halla en cada uno
las razones trigonométricas
de B^ y
compara los resultados.
¿Qué observas?
C H B
A
1,96 cm
23,04 cm
24 cm
6,72 cm
7 cm
5 Calcula las razones trigonométricas de los ángulos
A^ y C^, ABD y CBD.
B
16 cm C
15 cm
A D
12 cm
Relaciones fundamentales
6 Si sen a = 0,28, calcula cos a y tg a utilizando
las relaciones fundamentales (a < 90°). 7 Halla el valor exacto (con radicales) de sen a y tg a sabiendo que cos a = 2/3 (a < 90°). 8 Si tg a = √5, calcula sen a y cos a (a < 90°). 9 Calcula y completa esta tabla en tu cuaderno, con valores aproximados: sen a 0,92 cos a 0,12 tg a 0,75 10 Calcula el valor exacto (utilizando radicales) de las razones trigonométricas que faltan en la tabla siguiente (a < 90°). Hazlo en tu cuaderno. sen a 2/3 cos a √2/3 tg a 2 Calculadora 11 Completa en tu cuaderno la tabla siguiente, utilizando la calculadora: a 15° 55° 20′ 72° 25′ 40” 85,5° sen a cos a tg a 12 Halla el ángulo a en cada caso. Exprésalo en grados, minutos y segundos. a) sen a = 0,58 b) cos a = 0,75 c) tg a = 2,5 d) sen a = √5 3 e) cos a = 1 √3 f ) tg a = 3√2 13 Halla, con la calculadora, las otras razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de los casos siguientes: a) sen a = 0,23 b) cos a = 0,74 c) tg a = 1,75 d) sen a = 1 √2 e) tg a = √3 f ) cos a = √3 2 82 Ejercicios y problemas Consolida lo aprendido utilizando tus competencias ■ Aplica lo aprendido 14 Halla la medida de los lados y los ángulos desconocidos en los siguientes triángulos rectángulos (A^ = 90°): a) b = 7 cm c = 18 cm b) a = 25 cm b = 7 cm c) b = 18 cm B^ = 40° d) c = 12,7 cm B^ = 65° e) a = 35 cm C^ = 36° 15 Cuando los rayos del sol forman 40° con el suelo, la sombra de un árbol mide 18 m. ¿Cuál es su altura? 16 En un triángulo isósceles, su lado desigual mide 18 m, y su altura, 10 m. Calcula sus ángulos. 17 Calcula el perímetro y el área de un triángulo isósceles en el que el ángulo desigual mide 72° y la medida del lado opuesto a ese ángulo es de 16 m. 18 Los brazos de un compás, que miden 12 cm, forman un ángulo de 50°. ¿Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura? 19 Calcula la altura, h, y el área de los siguientes triángulos: a) B b) B D A D A C C 28 cm 32 cm 13 cm 18 cm h h 65° 35° 20 Calcula la altura sobre el lado AB en los siguientes triángulos: a) b) 21 Para medir la altura de un árbol, nos situamos a 20 m de su base y observamos, desde el suelo, su parte más alta bajo un ángulo de 50°. ¿Cuánto mide el árbol? 22 Dos antenas de radio están sujetas al suelo por cables tal como indica la figura. Calcula la longitud de cada uno de los tramos de cable y la distancia AE. 23 Una escalera, por la que se accede a un túnel, tiene la forma y las dimensiones de la figura. Calcula la profundidad del punto B. ¿Dominas las razones trigonométricas de un ángulo agudo y sabes utilizarlas para calcular lados y ángulos? ¿Conoces las relaciones entre ellas? 1 a) Si cos a = 0,52, calcula sen a y tg a. b) Si tg b = 12 5 , calcula sen b y cos b. La calculadora científica es un instrumento básico en trigonometría. ¿Sabes manejarla con eficacia? 2 Si sen a = 0,35, ¿cuánto mide a? Halla las otras razones trigonométricas de a con ayuda de la calculadora. ¿Sabes resolver triángulos rectángulos a partir de un lado y un ángulo o de dos lados? 3 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 50°, y la hipotenusa, 16 cm. Resuelve el triángulo. 4 Una escalera de 3 m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo si su base está a 1,2 m de la pared? 5 En un triángulo isósceles, cada uno de los ángulos iguales mide 70° y su altura es de 12 cm. Halla la medida de los lados del triángulo. Autoevaluación B B A C 15 cm 70° B B A C 23 cm 40° B A 30° 25 m 30 m 10 m 50° B P C E D A Q 75 m 100 m 60° 30° 45° 30° RELACIONES FUNDAMENTALES Son: I) …………………………………………………….. II) …………………………………………………….. Sirven para obtener ……………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO sen a = ………………… cos a = ………………… tg a = …………………… RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resolver un triángulo es hallar ……………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………. • Triángulos rectángulos: para resolverlos se utiliza ……………………………………………………………. • Triángulos oblicuángulos: para resolverlos es necesario trazar ……………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………….. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ENTRE 0° Y 360° Representación de ángulos • Se utiliza una circunferencia de radio ……….. y centro en ………………. que se llama ……………… • Para representar un ángulo en la circunferencia se procede así: – Su vértice en ……………………………………………………………………… – Uno de sus lados sobre ……………………………………………………….. – Para situar el otro lado se mide el ángulo en sentido ………………….. ………………………………………………………………………………………… Seno, coseno y tangente Si 0°  a  360°: sen a = ………………….. cos a = ………………….. tg a = ………………….. Los ángulos que no tienen tangente son los de ……………………………… B A C  c a b  1 y z x RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS 30° 45° 60° sen a cos a tg a PRACTICA Nombre y apellidos: …………………………………………………………………………………………………………………… Curso: …………………………………………………………… Fecha: ………………………………………………………….. UNIDAD Ficha de trabajo A Trigonometría 1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada caso: a) b) 2 Si sen a = 2 5 , calcula cos a y tg a utilizando las relaciones fundamentales (0 < a < 90°). 3 Sabiendo que tg a = 2, calcula, en forma de radical, el valor de sen a y cos a (a < 90°). 4 Resuelve (halla los lados y ángulos desconocidos) el siguiente triángulo: 5 Calcula el área de este triángulo (calcula primero la altura sobre la base). 4,2 cm 1,4 cm  10 cm 6 cm A B a C 50 m 10 m 50° A B C h 15 cm 12 cm  Nombre y apellidos: …………………………………………………………………………………………………………………… 125 Ficha de trabajo A APLICA. LA BUHARDILLA Unos tíos tuyos quieren construir una buhardilla sobre su casa del pueblo y te piden ayuda para hacer los cálculos. Observa el plano que te da tu tía y a ver si puedes contestar a sus preguntas. 1 “¿A qué distancia de A y de B habrá que poner la viga de máxima altura?”, te pregunta tu tía. ¿Qué le contestas? 2 “Oye, me vendría bien que me dijeras cuál va a ser la altura de las puertas de los armarios, h y h’, para comprar la madera”. Halla el dato que te pide tu tío. 3 Una vez hechos los armarios, tus tíos quieren forrar de madera toda la superficie de los techos y te preguntan cuál es esa superficie. (Son rectángulos de longitud 13 m y anchura — DC y — CE respectivamente). 4 Además, quieren poner radiadores para calentar la buhardilla. Te dicen que cada uno calienta unos 30 m3. ¿Cuántos radiadores necesitarán para toda la buhardilla? (Debes calcular el volumen útil de la buhardilla, esto es, descontando el volumen de los armarios). 13 m 8 m A 1 m 1 m B D E C 60º 40º 4,52 m h h’ 126 PRACTICA Nombre y apellidos: …………………………………………………………………………………………………………………… Curso: …………………………………………………………… Fecha: ………………………………………………………….. UNIDAD 12 m 10 m 50° B P C A a h Ficha de trabajo B Trigonometría 1 Dibuja dos ángulos en la circunferencia goniométrica cuyo seno sea 3 4 , y halla su coseno y su tangente. 2 Sabiendo que tg a = –3 y que 0 < a < 180°, halla, sen a y cos a. ¿Cuál es el ángulo a? 3 Sabiendo que sen 40° › 0,64, calcula: a) cos 40° b) tg 130° c) sen 220° d) cos 320° 4 En el triángulo de la figura, calcula: a) Altura h. b) Longitud — BP. c) Longitud — PC. d) Longitud — BC = a. e) Área. Nombre y apellidos: …………………………………………………………………………………………………………………… APLICA. LA GRAN PRESA Ficha de trabajo B Paula suele veranear todos los años en un pueblo, cerca del cual van a construir una presa. Curiosamente, una amiga de su madre está en el equipo de trabajo y un día la lleva a ver las obras. Paula aprovecha para hacerle muchas preguntas sobre cómo se diseña y se construye una presa de este tipo. 1 En primer lugar, Paula quiere saber cómo calculan la anchura de la presa. Su amiga le enseña los dibujos preliminares y le dice. “Bueno, con estos datos, hasta tú puedes calcular la anchura, CD, de la presa”. ¿Cuál es esa anchura? 2 Después, Paula le pregunta por la construcción de la presa. Observa el dibujo que vio Paula y calcula la altura, x, de los cimientos. Aprovecha, también, para calcular la longitud d de la rampa de caída. 3 Paula se ha enterado de que la presa va a dar servicio eléctrico a los pueblos A y B, tendiendo cables de alta tensión entre la presa y cada uno de los pueblos, y entre los propios pueblos. Esta vez no hace falta que pregunte nada, porque su amiga le asegura que, desde la presa, los pueblos se ven bajo un ángulo de 43°. ¿Cuál es la distancia entre los dos pueblos? (Calcula primero — AA’ ). C 35º 30º a D B A 500 m 60 m x d 60º 40 m P A B A’ h 43º 30 km 20 km 128 Soluciones UNIDAD Ficha de trabajo A PRACTICA 1 a) tg a = 0,33 cos a = 0,95 sen a = 0,32 b) sen a = 0,8 cos a = 0,6 tg a = 1,3 2 cos a = = 0,92 tg a = 0,43 3 1 + tg2 a = 1 cos2 a ; cos a = sen a = 4 a = 11,66 ^B = 30° 57′ 50” ^C = 59° 2′ 10” 5 h = 7,66 8 A = 191,5 m2 APLICA 1 A 2,61 m de A y a 5,39 m de B. 2 h = 1,73 m h’ = 0,84 m 3 La parte izquierda del techo es un rectángulo de 13 m de ancho y 3,22 de alto. Su superficie es de 41,86 m2. La parte derecha tiene 13 m de ancho y 5,74 m de alto. Su superficie es de 74,62 m2. 4 La altura de la viga más alta es de 4,52 m. El volumen de la buhardilla es 235,04 m3. El volumen de los armarios es 11,245 m3 y 5,46 m3, respectivamente. Por tanto, el volumen que se debe calentar es de 218,335 m3. Así, se necesitan 218,335 : 30 = 7,28 8 ra diadores. Ficha de trabajo B PRACTICA 1 2 cos a = –0,31 sen a = 0,9 a = 108° 26′ 3 a) cos 40° = 0,77 b) tg 130° = –1,19 c) sen 220° = sen (180° + 40°) = –sen 40° = = –0,64 d) cos 320° = cos (360° – 40°) = cos 40° = = 0,77 4 h = 12 · sen 50° › 9,19 m — BP = 12 · cos 50° › 7,71 m — PC = z102 – h2 = 3,94 m — BC = 11,65 m Área = 53,53 m2 APLICA 1 La anchura de la presa es 1,67 km. 2 Los cimientos medirán 9,28 m de altura. La rampa mide 80 m. 3 La distancia entre los pueblos es de 20,55 km. z1 – 5 25 z 20 25 1 = z1 + 22 z5 5 z5 5 = = 2 z1 – 4 25 cos a = 0,66 cos b = –0,66 tg b = –1,13 tg a = 1,13 z1 – ( 34 )2 cos a = Ï