TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y EL TEOREMA DE PITAGORAS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

El desarrollo de la geometría ha sido parte fundamental del progreso del hombre y de la humanidad. No es posible entender lo que nos rodea sin mirar a través del prisma de la geometría. Sin duda, así también lo entendieron los grandes matemáticos en la Antigüedad. La geometría ha estado asociada a la perfección, la belleza, las artes, etc. En esta unidad se abordarán dos temas de singular importancia: el teorema de Euclides y el teorema de Fermat, ellos en relación al triángulo rectángulo, y el teorema de Pitágoras y los tríos pitagóricos. El estudio de esta unidad se realizará desde el desarrollo formal de los conceptos geométricos y la aplicación a la vida cotidiana de los alumnos y alumnas.
Es fundamental mostrar a los estudiantes la importancia del trabajo geométrico de los matemáticos a través de la historia. La introducción pretende dar una idea de este hecho y poder situar a los alumnos y alumnas
en el contexto en el que fueron trabajados los conceptos que estudiará.
Recuerde que contextualizar los contenidos en el momento en el que se trabajaron ayuda a sus estudiantes a comprender mejor los procesos lógicos empleados
Objetivos fundamentales de la unidad
• Conocer y utilizar conceptos matemáticos de nociones de trigonometría en
el triángulo rectángulo, mejorando en rigor y precisión la capacidad de
análisis, de formulación, de verificación o refutación de conjeturas.
• Aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas y en el
análisis de situaciones concretas.
• Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando sus
propias capacidades.
• Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas
a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos.

Teorema de Euclides. Reconocer el teorema de Euclides
como relaciones que se establecen en
un triángulo rectángulo a partir de las
semejanzas de triángulos existentes.
Reconoce cuándo se debe ocupar el
teorema de Euclides.
Aplica correctamente el teorema de
Euclides en la resolución de ejercicios
y problemas.
Teorema de Pitágoras. Demostrar el teorema de Pitágoras a
partir del teorema de Euclides
Utilizar correctamente el teorema de
Pitágoras en la resolución de ejercicios.
Demuestra el teorema de Pitágoras,
utilizando el teorema de Euclides.
Usa correctamente el teorema de
Pitágoras en la resolución de ejercicios
y problemas.
Tríos pitagóricos. Distinguir tríos de números que
cumplan la condición de ser
tríos pitagóricos.
Generar tríos pitagóricos utilizando
fórmulas.
Identifica tríos de números pitagóricos.
Genera tríos de números pitagóricos
utilizando las fórmulas dadas.
Teorema de Fermat. Reconocer el teorema de Fermat y
mostrar su validez.
Reconoce el teorema de Fermat.
Muestra el teorema de Fermat y lo
relaciona con los tríos pitagóricos.
Razones trigonométricas seno, coseno
y tangente en el triángulo rectángulo.
Definir razones trigonométricas.
Calcular las razones trigonométricas
de ángulos de 30º, 45º y 60º.
Definen las razones trigonométricas
seno, coseno, tangente para ángulos
de 30º, 45º y 60º.
Aplicación de las razones
trigonométricas a problemas de
medición de la vida diaria.
Aplicar las razones trigonométricas a
la resolución de ejercicios de cálculo
de medidas y problemas de planteo.
Aplican correctamente las razones
trigonométricas en el cálculo de
distancias y problemas.
Razones trigonométricas cosecante,
secante y cotangente.
Definir las razones trigonométricas
secante, cosecante y cotangente a
partir de las definidas anteriormente.
Definen las razones trigonométricas
cosecante, secante y cotangente.
Calculan valores para secante,
cosecante y cotangente de ángulos
notables.
Identidades trigonométricas. Definir el concepto de identidades
trigonométricas.
Demostrar identidades
trigonométricas.
Establecen relaciones trigonométricas
fundamentales.
Demuestran razones trigonométricas
simples.
Funciones trigonométricas. Establecer las relaciones de seno,
coseno, tangente, cosecante, secante
y cotangente de un ángulo como
una función.
Determinar, gráficamente, dominio y
recorrido de ellas.
Extienden el concepto de razón
trigonométrica al concepto de función
trigonométrica.
Determinan, utilizando los gráficos
correspondientes, el dominio y
recorrido de las funciones
trigonométricas.
Desarrollo de la Unidad
a) Introduciendo la unidad
Como ya se ha abordado con anterioridad, se debe contextualizar la unidad,
generando la necesidad de abordar los temas que se tratarán. Algunas
sugerencias de estos contextos son las siguientes:
• Se está construyendo un edificio. En la entrada se necesita hacer una rampa
para la entrada de personas discapacitadas, para la cual se cuenta con solo
1 metro de vereda. ¿Qué inclinación tendrá la rampa?, ¿de qué depende
esta inclinación?, ¿será de fácil acceso?, ¿existe alguna normativa sobre las
rampas de acceso para discapacitados?
Note que es conveniente recalcar que debe establecerse aquí una relación
entre lados y ángulos en un triángulo, la que nunca se ha establecido antes.
Las relaciones vistas para triángulos en años anteriores hacen alusión solo a
ángulos o solo a lados.
• Al mirar el teorema de Pitágoras de manera algebraica, es decir, como la
relación que se puede establecer entre un trío de números, aparece la
pregunta: ¿Se podrá establecer una relación similar para otros exponentes
distintos de 2? De esta manera surge el teorema de Fermat. Es bueno hacer
énfasis en que, independiente de si la demostración es sencilla o muy compleja,
el hecho de cuestionarse y ser inquieto intelectualmente sobre lo que nos
rodea ha permitido los avances no solo en el terreno de la matemática, sino en
todas las áreas de la humanidad. Invite a sus alumnos y alumnas a preguntarse,
a reflexionar, a no conformarse con lo que se vislumbra obvio a primera vista, a
plantear teorías y mostrarlas o demostrarlas.
b) Preparando cada tema
A continuación se entregan algunas sugerencias metodológicas para tratar
cada uno de los conceptos y ejercicios abordados en el Libro del Estudiante.
También se hacen notar algunas consideraciones y sutilezas conceptuales
para que el docente tenga presente. Por último, al iniciar la preparación de
cada tema se presenta un cuadro con los OFT tratados y las capacidades
trabajadas según los mapas de progreso.

Resuelve los siguientes problemas de planteo.
Hazlo con tu grupo y coloca todo el desarrollo en
tu cuaderno:
1. A determinada hora del día, la altura del sol
sobre el horizonte es de 50°, momento en que la
sombra de un árbol mide 25 m en el suelo. Con
el transcurrir de las horas, ¿en cuánto metros se
habrá alargado la sombra, cuando la altura del
sol sobre el horizonte baja a 25°?
2. “Martín está enfrente de mí, hacia el norte. De
allí, 19 m hacia el oeste, está Bernardo. Si al
recorrer mi vista desde este último hacia el
primero se describe un ángulo de 30°,
¿cuántos metros me separan de cada uno?”
3. Se reúnen doce triángulos isósceles de lados
iguales; cada lado mide 9 cm y el ángulo
comprendido entre ellos es de 30°, para
inscribirlos en una circunferencia. ¿Cuántos cm
más supera la longitud de la circunferencia al
perímetro de la unión de estos doce
triángulos? (Considere π =3,14).
4. “Sí, Matías, me metí a la página de los
estudiantes de ingeniería en Internet, y
encontré varias reglas para aprenderse los
teoremas de Euclides, el de Pitágoras, los de
trigonometría, poemas, chistes para
matemáticos, etc. Te mando esta adivinanza…

Primer acto: Aparece un triángulo rectángulo.
Segundo acto: Aparece el mismo triángulo
rectángulo, con su altura encerrada y
protegida por el triángulo.
Tercer acto: Aparece el mismo triángulo
rectángulo, con su altura encerrada y
protegida, más las proyecciones de los
catetos: p y q”.
Pregunta: ¿Qué es pq? Matías lo leyó, pero
dudó al responder. ¿Cuál es tu respuesta?
5. –Sí jefe, escucho perfectamente a través del
audífono oculto que llevo en mi pelo. Estoy
en la mesa indicada de la sala rectangular de
los grandes caballeros, y ya ordené mi cena…
Cuénteme.
–Escucha, Max, enfrente tuyo debiera estar
sentada Marjorie, en un rincón que hace de
esquina, una joven de vestido azul piedra,
cabello rubio y colgante… ¿es así?
–Así es… muy bella.
–Sonríele si es necesario. Ahora bien, gira tu
cabeza disimuladamente hasta llegar a la
altura de tu hombro derecho. Ten cuidado, allí
está sentada la más peligrosa. Ella es de pelo
negro y su nombre es Nelda. ¿Es así?…
–Sí, la veo; además, es muy atractiva y está
sentada también en una esquina como a
cuatro metros de donde estoy… ¡Oh, qué
hermosa es!
–Si continúas girando ahora tu cabeza en
180°…
–¿Pero cómo lo hago jefe, si no soy
una lechuza?
–¡Déjate de bromas!… hacia el lado contrario,
por encima de tu hombro izquierdo, está la
bella Ariana. Seguramente de traje blanco y
liso. Mírala pero con distinción… ¿Es así?…
–La veo, es de pelo rojizo… debe estar a tres
metros de donde me hallo… pero ¡Ay!…
Max cae herido al suelo, víctima de un disparo,
pero no muere inmediatamente. Algunos
testigos sospechan que el disparo provino de la
mujer que estaba más lejos de él.
Conforme a lo que se sospecha, ¿quién le
disparó a Max?
6. Nicolás está improvisando una escuadra
usando un trozo de varilla que ha seccionado
en tres partes. Lleva unido dos de los lados, uno
de 40 cm y otro que mide 1 cm más que el
anterior. –“¡Bien hasta el momento!” –exclama.
Apresurándose para terminar, grita: –¡Oh no!
¡Qué alguien me ayude para saber qué hacer
con los 39 cm de este último trozo; así se ve
absolutamente desproporcionada! Piensa un
rato, corta este último trozo y usa la medida
exacta para terminarla. En efecto, consiguió el
objetivo. ¿De cuántos centímetros debió cortar
el último trozo para garantizar que fuera una
escuadra la que se formaría?
7. María del Rosario es la profesora
reemplazante de Matemática. Ella propuso a
sus alumnos y alumnas la siguiente actividad:
sumen dos números naturales cualesquiera n
y m y el resultado elévenlo al cuadrado.
Luego quiten, a este, dos veces su producto y
anoten su respuesta. ¿Es este un cuadrado
perfecto? Lo más probable es que no lo sea…
¿En qué caso sí lo es?
8. “A ver, creo no entenderte bien. Tú me dices
que escriba dos cubos perfectos distintos de
0, que provengan de números naturales, que
sean pares y que los sume. Está bien, puedo
imaginarlo con 8 + 216, y que con esta
información escriba el resultado como cubo
perfecto… y, más aún, que invente por lo
menos tres ejemplos parecidos. Mira, de
antemano te digo que eso no será jamás
posible. No me gustan tus bromas
matemáticas”. ¿Cuál es la supuesta “broma
matemática”? Justifica tu respuesta.

12. “La calle Esperanza, en ese trayecto, iba cerro en
bajada. En ese lugar, nos despedimos y parecía
que aún lo podía abrazar, mirando cómo se
alejaba en su bicicleta, mientras, con mano
alzada, me mostraba un hasta mañana. Lo
seguí observando desde ese borde, donde un
letrero decía: 100 m sobre el nivel del mar”.
Conforme al relato, y siempre que fuera
posible: ¿Cuál(es) dato(s) necesitarías conocer
para saber la pendiente de inclinación (desde
el plano) de ese trayecto de la calle
Esperanza? Propón otras formas de resolver
matemáticamente este requerimiento.
13. “Me dirigiré a conversar con mi profesor de
Matemática y le diré: “Lo que pasó es que me
puse muy nervioso durante la prueba, y por eso
contesté mal esa pregunta. No sabía, señor,
cómo averiguar la hipotenusa, si conocía el
valor del cateto adyacente a 40°, y más aún
usando mi calculadora”. Explica los pasos que
debiera seguir esta persona para resolver el
ejercicio aludido.
14. Don José es el encargado de la mantención del
parque municipal con el paisajista han logrado
enderezar a tiempo el ciprés central de 22 m.
Para ello, uno de los trabajadores instaló desde
un metro y veinte cm debajo de la cúspide de
este árbol de hojas perennes, un alambre que
ató y luego fijó con una estaca en el suelo.
Ocuparon unos 24 m de firme alambre. Hubo
una discusión por él ángulo en que debía estar
inclinado el alambre al suelo. ¿Cuál es el ángulo
que en quedó finalmente?
15. “La dejé de abrazar, y la miré fijamente a sus ojos…
¿Cómo vencer la distancia, el dolor y aquellos
veinte centímetros que eran familiares entre
nuestras miradas? Levanté mis ojos… di media
vuelta, marché… pensé en aquellos 15 centímetros
que separaban nuestros cuerpos antes de esa
media vuelta final y en que un segundo podría
haber revertido todo”. Este problema involucra
sentimientos, pero también matemática. Solo te
pediremos que encuentres el ángulo de
depresión correspondiente.

3. Adela y Adelaida están preparando su próxima
prueba de Matemática y para ello responden las
preguntas dadas por su profesor. De esta manera,
una de ellas pregunta y la otra responde.
– Lee en voz alta –dice Adelaida–, para que lo
sepan incluso los que leen este texto.
–Bien. ¿Están todos atentos?… “En una
circunferencia se inscribe un triángulo
rectángulo cuyo lado mayor mide 26 cm y el
menor; 10 cm ¿Cuál es su área?
4. Ivo e Ivonne están en la clase de laboratorio de
Química General, y han hecho una serie de
medidas de volúmenes con agua destilada. Entre
tantas mediciones iban llenando diferentes
cubos con uno que tenía Ivo y otro cubo que
tenía Ivonne, en todos ellos la medida de las
aristas eran números naturales. Sin botar líquido
fuera de ellos, nunca lograron llenar exactamente
alguno: o les faltaba o les sobraba agua. Ivo e
Ivonne olvidaron que matemáticamente esto es
imposible. ¿Por qué?
5. “¡Hay que tener una buena disposición para que
todo te resulte bien, Clarita! Tú quieres que te
construya aproximadamente un ángulo de 47°
en tu hoja blanca, sin transportador, solo con
escuadra graduada y calculadora. ¡Es fácil! Todo
se resuelve formando un “triángulo estratégico”.
Dibujas un trazo de medida conocida. Elige
cualquier extremo de este, para que sea el
vértice de ángulo. En el otro extremo, levanta
una perpendicular. Pero ¿qué medida debiera
tener esta? Bien, usa ahora tus conocimientos
de trigonometría y tu calculadora…
Clarita cambió su rostro de desagrado,
completó el triángulo e indicó correctamente
el ángulo de 47°”. Ahora te toca a ti… Sigue
todos los pasos sugeridos y construye, de esta
manera, un ángulo de 47°.
6. “Cuando uno está estudiando una carrera
profesional, no puede equivocarse de esta
manera, “futuros científicos”. ¿A quién se le
ocurrió que el inverso de la razón coseno es la
razón seno? Y peor aún, ¿que se podían calcular
las razones trigonométricas de un ángulo de 70º
en un triángulo cuando dos de sus ángulos
interiores miden 70º y 30º ?” Tú que sabes
trigonometría, ¿qué errores imperdonables
cometieron estos alumnos y alumnas?
7. –“No joven, ya no usamos esa ruta que usted
me dice”– le dijo el chofer del taxi colectivo
local, al último pasajero que transportaba al
pueblo vecino. ¿Se acuerda que tomando el
camino “El Alba” se recorrían, 19 km y medio de
pura tierra y después había que doblar en una
punta bien peligrosa para tomar el camino “Los
Almendros”, de 25km pedregosos, y así llegar a
la entrada principal del pueblo? Pues bien,
ahora han construido este camino de asfalto y
mucho más corto. –Ah… ya lo veo
–dijo el joven–, este camino es perpendicular a
“El Alba” y forma un triángulo con “Los
Almendros, ¿se fija? Con estos datos, responde:
a. ¿Cuál es el valor aproximado del ángulo
formado por los caminos “El Alba” y
“Los Almendros”?
b. ¿Cuántos km de camino se ahorra por el
camino asfaltado?

12. Una pareja de turistas, Max y Susy, están
observando los edificios de la Plaza de Armas
de una ciudad portuaria. Se detienen frente al
renombrado y añoso restaurante “El Castillo”.
“Susy, querida, acá, en el catálogo turístico que nos
dieron, dice que en el terremoto de 1985 parte de la
cúspide se cayó y disminuyó en 4 m por los trabajos
de reparación. Con este ángulo en que estoy
mirando podré hacer una buena filmación.
Max observa el borde superior del edificio con
sus binoculares y exclama:
¡Una cornisa por desprenderse! ¡No puede ser!
Con este ángulo lo veo nítidamente.
Decide avanzar 6 m para cerciorarse. –¡La
cornisa está por caerse! Susy, llama urgente a un
carabinero o a alguien que nos ayude” . Los
turistas no saben de trigonometría… pero tú
los puedes ayudar…
Si estaba inicialmente a 25 m de la base del
restaurante, antes de avanzar, y miró con 40°
de elevación:
a. ¿Con qué ángulo miró la segunda vez?
b. Estima la distancia del borde superior del
restaurante con respecto del lugar donde
Max lo observó la segunda vez:
c. ¿Cuál era probablemente la altura de “El
Castillo”, antes del terremoto de 1985?
13. “Mira, Rómulo, tú como buen abogado eres
muy diestro en leyes y te voy a mostrar aquí
mismo, en el terreno, que yo lo soy haciendo
cálculos. Como estamos a campo abierto y
discutiendo sobre un terreno triangular, puedes
mirar hacia adelante y ¿ves aquel árbol?, ¿ese
nogal? Pues bien, de aquí hasta allá hay 500
metros. Ahora bien, vamos a girar a la izquierda,
mira la cantidad de grados con que lo hago.
Toma nota, por favor. Ahora, usando mi distanciómetro nuevamente, vamos a elegir el
poste de luz que vez allá para determinar la
distancia. Observa, 634 m… ”.
Suponiendo que el triángulo es rectángulo,
pero no donde están ubicadas las personas.
a. ¿Encuentra el ángulo de giro que se
mencionó en el relato?
b. En el vértice de 90° de este terreno triangular
¿se encuentra el nogal o el poste de luz?
c. ¿Cuál es la medida entre el poste y el árbol?
Justifica trigonométricamente tu respuesta.
14. La guía de Física dice que tenemos que inclinar este
riel de 31 cm a cierta altura para que la pelotita al
ser lanzada desde abajo corra por él y salga
disparada. Será mejor nuestro experimento
mientras más rápido salga la pelotita de la rampa.
“Mira, tenemos dos soportes similares, uno de
ellos da una altura de 21 cm, al ponerlo
perpendicular al piso. Probemos, coloquemos
un extremo del riel en el suelo y el otro
apoyado en la rampa… veamos qué pasa…”.
Después de unos instantes, concluyen que con
ambos soportes funcionan bien, pero que con
el que no mide 21 cm es mejor. Responde:
a. ¿Cuál es el valor de la pendiente y el valor
del ángulo de apoyo del riel con el suelo al
usar el soporte de 21 cm?
b. ¿Cómo debiera ser el valor del ángulo de
apoyo del riel, sobre el soporte, con
respecto a lo mismo, pero usando el otro
soporte en lugar del de 21 cm?

6. –¿Recuerdas, Antonio?… donde cayó el
supuesto meteorito, la erosión ha
transformado el forado casi en un perfecto
cilindro recto de 12 metros de diámetro.
Cuando Elías bajó por una de las paredes del
forado y sin las protecciones adecuadas, rodó
hasta el centro. Al momento de sentir sus
gritos, acudimos todos. Pasado el susto, desde
el centro, Elías clavó la estaca para amarrar un
cable hasta uno de los extremos superiores
del pozo. El cable se tensó ocupando
13 metros. Ahora, me puedes ayudar y
decirme ¿cuál es el valor del ángulo que
formaba el cable y la pared del pozo?
7. –“Estábamos sentados en el pasto, Silvia y yo,
tomados de la mano y mirando las estrellas”.
De repente, sale de entre nosotros una luz
resplandeciente que parecía una persona,
UNIDAD 4
185
caminó cerca de diez metros alejándose de
nosotros en línea recta, desde allí nos miró y
se elevó en forma perpendicular al suelo. A
una altura de veinte metros desapareció”. El
público que estaba escuchando atento este
relato se conmovió. El entrevistador del
programa “Episodios sin explicación”
preguntó, entonces, a los panelistas invitados,
¿qué ángulo permitiría ver desaparecer a esas
extrañas y supuestas personas? Calcula tú
dicho ángulo.
8. Jacinto y Emelino están en un desacuerdo
respecto a la información entregada sobre la
torre Entel. Me enviaron una foto de la torre
de telecomunicaciones, donde me indican
que el ángulo de elevación de una medición
a 70 m de la base es 57, 37°. Además,
sabemos que la altura de la Torre Entel es de
127,35 m desde su base.
–Jacinto, mira, si hago los cálculos obtengo
que, a esa distancia, el ángulo de elevación
debería medir 61, 20° y no el que indican. ¿Se
deberá a que la base de la torre está
considerada varios metros bajo tierra? –Así es,
Emelino. ¿Puedes determinar cuántos metros
más bajo está dicha base?

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