TRIANGULOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Geometría SEMANA Nº 2 TRIÁNGULOS 2.1. DEFINICIÓN Si A, B y C son tres puntos no colineales, entonces al conjunto AB BC AC se denomina triángulo. Lados: AB, BC y AC Vértices: A, B y C Ángulos interiores: BAC, ACB y ABC. Una región triangular es la unión de un triángulo con su interior. 3. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS 3.1. SEGÚN SUS LADOS Triángulo equilátero; si sus tres lados son congruentes. Triángulo isósceles; si solo tiene dos lados congruentes. Triángulo escaleno; si ningún par de sus lados es congruente. Triángulo Triángulo Triángulo equilátero isósceles escaleno 4. DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO 4.1. Teorema de la desigualdad triangular En todo triángulo, la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados. a < b + c b < a + c c < a + b 4.2. Teorema de existencia En todo triángulo, la longitud de un lado es menor de la suma de las longitudes de los otros dos lados pero mayor que su diferencia. a b < b < a + b 4.3 Teorema de correspondencia En todo triángulo, al lado de mayor longitud le corresponde el ángulo de mayor medida y viceversa. a > c > 5. TEOREMAS FUNDAMENTALES A. Teorema 1 En todo triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual a 180°. En el ABC se cumple: + + = 180° B. Teorema 2 En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos exteriores, considerado uno por vértice, es igual a 360°. En el ABC se cumple: + + = 360° C. Teorema 3 En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos interiores no adyacentes a él. En el ABC se cumple: = + 6. LÍNEAS NOTABLES 6.1 Altura Segmento perpendicular a un lado, trazado desde el vértice opuesto. En el ABC: BH: Altura relativa al lado AC 6.2 Mediana Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. En el ABC: BM: mediana relativa al lado AC. 6.3 Mediatriz Recta perpendicular a un lado, trazada desde su punto medio. En el ABC: L : mediatriz del lado AC . 6.4 Bisectriz interior Segmento que biseca un ángulo interior. En el ABC: BD : bisectriz interior relativa al lado AC . 6.5 Bisectriz exterior Segmento que biseca un ángulo exterior. En el ABC: BE : bisectriz exterior relativa a AC . 6.6 Ceviana Segmento que une un vértice con un punto cualquiera de lado opuesto o de su prolongación. En el ABC: BD : ceviana interior relativa al lado AC. BE : ceviana exterior relativa al lado AC. 7. PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO 7.1 CIRCUNCENTRO Es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo; equidista de sus vértices y es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. TRIÁNGULO ACUTÁNGULO TRIÁNGULO RECTÁNGULO O Circuncentro del ABC R Radio de la circunferencia circunscrita al ABC (circunradio). TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO 7.2 ORTOCENTRO Es el punto de intersección de las alturas de un triángulo. L ortocentro del ABC TRIÁNGULO TRIÁNGULO TRIÁNGULO ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO 7.3 BARICENTRO Es el punto de intersección de las medianas de un triángulo. Divide a cada mediana en dos segmentos tales que uno es doble del otro. G Baricentro y centro de gravedad 7.4 INCENTRO Es el punto de intersección de las bisectrices interiores de un triángulo, equidista de los lados y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. I Incentro del ABC r Radio de la circunferencia inscrita en el ABC (inradio). B 7.5 EXCENTRO Es el punto de intersección de dos bisectrices exteriores y una bisectriz interior. Cada triángulo tiene tres excentros, los cuales son puntos exteriores al triángulo, equidistan de los lados y son los centros de las circunferencias exinscritas al triángulo. E Excentro relativo a BC r Radio de la circunferencia exinscrita relativa al lado BC (exinradio). 8. PROPIEDAD DE ÁNGULOS DETERMINADOS POR BISECTRICES 8.1 Ángulo determinado por las bisectrices de un ángulo interior y un ángulo exterior En el ABC se cumple: 2 x 8.2 Ángulo determinado por las bisectrices de dos ángulos interiores En el ABC se cumple: 2 x 90 8.3 Ángulo determinado por las bisectrices de dos ángulos exteriores En el ABC se cumple: 2 x 90 9. PARALELISMO 9.1. DEFINICIÓN Dos rectas son paralelas si su intersección es el vacío. 6.1.1. NOTACIÓN Si las rectas L1 y L2 son paralelas, se denota como L1 // L2. Observación Dos segmentos son paralelos si las rectas que los contienen son paralelas. 9.2. POSTULADO DE LAS PARALELAS Sea una recta L y un punto P que no pertenece a la recta, entonces existe una única recta paralela a la recta dada que y contiene al punto. Si P no está en L, entonces existe una única recta L paralela a L que contiene a P. 9.3. POSTULADO Los ángulos alternos internos determinados entre dos rectas paralelas son congruentes. Si L1 // L2 entonces = . 9.4 TEOREMA I Los ángulos correspondientes determinados entre dos rectas paralelas son congruentes. Si L1 // L2 entonces = . P L1 L2 L L L1 L2 L2 L1 9.5 TEOREMA II Los ángulos conjugados internos determinados entre dos rectas paralelas son suplementarios. Si L1 // L2 entonces + = 180. Observación: Los recíprocos de las tres propiedades anteriores también son verdaderos L1 L2
En un , AB=BC y , calcular la medida del ángulo exterior en el vértice “C”. A)89° B)124° C)136° D)144° E)132° En un triángulo isósceles, la suma de dos ángulos distintos es igual a 110°. Entonces la suma de los ángulos de la base es: A)150° B)146° C)140° D)136° E)160° En un triángulo ABC , la medida del ángulo exterior en el vértice B es el triple de medida del ángulo C y la mediatriz de corta a en el punto F. Sabiendo que , calcular AB. A) 24 B) 16 C) 12 D) 8 E) 10 En la figura , PSRQ es un cuadrado y PQT es un triángulo equilátero , el ángulo STR es : A) 110° B) 130° C) 120° D) 150° E) 95°