TRIANGULOS EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 6–SEXTO AÑO PDF

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triángulo acutángulo
, diagonal
, triángulo equilátero
, triángulo isósceles
, triángulo obtusángulo
, triángulo rectángulo
, triángulo escaleno
, PREPARACIÓN
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, triángulo acutángulo Un triángulo que tiene tres ángulos
menores que 908.
triángulo rectángulo Un triángulo que tiene un ángulo recto.
triángulo obtusángulo Un triángulo que tiene un ángulo
mayor de 908.
Aprende
40
50
35
120 25
65
75 40
3 cm 3 cm
3 cm 1 m
3 m 3 m 4 km
9 km
11 km
D
F
E
2,6 m
3 m
5 m
122 27
31
G
H J
45
45
5,0 cm
5,0 cm
7,1 cm
7 cm 7 cm
5 cm
A
B C
1
LECCIÓN
194
Triángulos
OBJETIVO: usar las propiedades de un triángulo para clasificar triángulos y
hallar medidas desconocidas.
Un triángulo puede clasificarse según los ángulos que contiene. Un triángulo
acutángulo contiene solo ángulos agudos. Un triángulo rectángulo contiene
un ángulo recto. Un triángulo obtusángulo contiene un ángulo obtuso.
Clasificación según los ángulos
Triángulo acutángulo Triángulo rectángulo Triángulo obtusángulo
Un triángulo también puede clasificarse según las longitudes de sus lados. Los
lados que tienen la misma longitud son congruentes. Un triángulo equilátero
tiene tres lados congruentes. Un triángulo isósceles tiene exactamente dos
lados congruentes. Un triángulo escaleno no tiene lados congruentes.
Clasificación según los lados
Ejemplo 1 Cristina hizo un bosquejo de uno de los triángulos que se
muestran en el edificio de la derecha. Clasifica el triángulo según sus lados.
El triángulo tiene exactamente dos
lados congruentes.
Entonces, nABC es un triángulo isósceles.
Ejemplo 2 Clasifica el triángulo según sus lados y ángulos.
El triángulo no tiene
lados congruentes
y tiene un ángulo
obtuso.
El triángulo tiene
2 lados congruentes y
un ángulo recto.
Entonces, nDEF es un triángulo obtusángulo escaleno. Entonces, nGHJ es un triángulo rectángulo isósceles.
Repaso rápido
Identifica el ángulo como agudo,
obtuso o recto.
Vocabulario
triángulo acutángulo triángulo isósceles
triángulo rectángulo triángulo escaleno
triángulo obtusángulo diagonal
triángulo equilátero
Triángulo equilátero Triángulo isósceles Triángulo escaleno
180
180
C
A D B
A
C
B
41 x
26
A
C
B
x
40 110
31 31
2 cm 118 2 cm
3,5 cm
3,1 cm 3,1 cm
3,1 cm
60
60 60
75
75
30
4 mm
2 mm
4 mm
1,8 m
1,1 m
2,1 m
32
58
Práctica con supervisión
Capítulo 11 195
Medidas de los ángulos de los triángulos
Dibuja un triángulo cualquiera, recorta dos de sus ángulos y ubícalos a los lados del
tercer ángulo, como muestra la figura, ¿qué medida tiene el ángulo que se forma?
Este ejercicio muestra que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
Si dibujas otro triángulo, igual al que tenías y lo haces compartiendo el lado de mayor
longitud, se forma un cuadrilátero cuya diagonal es el lado en
común del triángulo. Como se forma con dos triángulos, entonces la
suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero será dos veces la
del triángulo, es decir: 2 · 180° = 360°
Luego la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero
es igual a 360°.
Entonces, la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 1808.
Ejemplo 3 Halla la medida de B. Luego clasifica nABC según sus ángulos.
x 1 41 1 26 5 180 La suma de las medidas de los ángulos en un
x 1 67 5 180
triángulo es 180º. Suma.
x 1 67 2 67 5 180 2 67 Usa la propiedad de resta de la igualdad.
x 1 0 5 113 Usa la propiedad de identidad.
x 5 113
Entonces, la medida de B es 1138. Como nABC tiene un ángulo obtuso,
nABC es un triángulo obtusángulo.
1. Halla la medida del ángulo desconocido. Luego clasifica el triángulo según sus ángulos.
x 1 40 1 110 5 180
x 1 150 5 180
x 1 150 2 150 5 180 2 150
x 1 0 5 30
x 5 j
Entonces, nABC es un triángulo j.
Clasifica cada triángulo según sus ángulos y las longitudes de sus lados.
2. 3. 4. 5.
Dos líneas son
perpendiculares
si se intersectan y
forman ángulos
rectos.
Recuerda
180º
A
B x 37 C
A
54
B
C
x
96
A 60
B
C
x
60 A
B
C
x
28 46
90
43
47
2,6 cm
2,8 cm
3,7 cm
63 13 m
27
12 m
5 m
9 cm
3,5 cm
8,75 cm
33 64
83
5,8 m
3,4 m
4,2 m
30
30 120
A
88
C
45 x B
A
C
B
48
105 x  A
C
B
20
20 x A C
B
x
20
C ángulo exterior
27
G J L
120
T
Q
P R
S
53
53
37
8 m 8 m
4,8 m 4,9 m
6,4 m 5,6 m
10 m
74
53
47 93
40
Práctica independiente y resolución de problemas
196
ÁlgebraHalla la medida de /B y clasifica nABC según sus ángulos.
6. 7. 8. 9.
10. Explica por qué un triángulo no puede tener dos ángulos obtusos.
Clasifica cada triángulo según sus ángulos y las longitudes de sus lados.
11. 12. 13. 14.
Álgebra Halla la medida de /B y clasifica nABC según sus ángulos.
15. 16. 17. 18.
Clasifica cada triángulo según las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos dados.
19. lados: 15 m, 18 m, 20 m 20. lados: 4,5 cm, 4,9 cm, 5,6 cm 21. lados: 8 km, 8 km, 8 km
ángulos: 468, 608, 748 ángulos: 508, 588, 728 ángulos: 608, 608, 608
22. El triángulo PQR es un triángulo rectángulo y
el ángulo Q mide 908. ¿Los ángulos P y R son
complementarios o suplementarios?
24. Si extiendes un lado de un triángulo, formas un
ángulo exterior. CJL es un ángulo exterior de
nGCJ. Halla la medida de CJL. Explica.
23. El triángulo XYZ es un triángulo rectángulo. Si uno
de los ángulos agudos mide 468, ¿cuánto mide el
otro ángulo agudo? Explica.
25. Observa la siguiente figura. Nombra todos los
triángulos. Luego clasifica cada triángulo según
sus ángulos y las longitudes de sus lados.
26. Razonamiento En nABC, la medida de A es
dos veces la medida combinada de B y C. La
medida de B es dos veces la medida de C.
¿Qué medidas tienen los ángulos de nABC?
Explica cómo lo sabes.
27. Plantea un problema Repasa el problema 26.
Escribe un problema similar cambiando las
relaciones entre las medidas de los ángulos del
triángulo. Luego resuelve.
Comprensión de los aprendizajes
30 A N
M
B
D
120
60 60
A
B
C
30 x
30
A
B C
37 x
104
A
B C
x
29
131
F
ángulo exterior
D
120
J
C
L
ángulos interiores no adyacentes
28
G
Práctica adicional en la página 204, Grupo A Capítulo 11 197
Del 28 al 29, usa la figura de la derecha.
28. Halla todas las medidas de ángulo desconocidas. Nombra
todos los triángulos y clasifícalos según sus ángulos.
29. ¿Cuál es la pregunta? La respuesta es
BMA y DAN.
RAZONAMIENTO Un ángulo exterior está formado por un lado
de un triángulo y la extensión de otro lado. La medida de un
ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las
medidas de sus dos ángulos interiores no adyacentes.
En la figura, CJL es un ángulo exterior de nCGJ.
Los ángulos JCG y CGJ son ángulos interiores no adyacentes a
CJL. Halla mCJL.
mCJL 5 mJCG 1 mCGJ
mCJL 5 1208 1 288
mCJL 5 1488
Los ángulos JCG y CGJ son los ángulos
interiores no adyacentes a CJL.
Suma.
Entonces, CJL mide 1488.
En cada triángulo, halla el ángulo desconocido.
1. 2. 3.
30. El jardín rectangular de Jazmín mide 30 metros
de largo. Si el perímetro mide 90 metros, ¿cuál
es el ancho del jardín?
31. Carolina tiene 332 tarjetas de colección. Esto
equivale al doble de lo que tiene Marta. ¿Cuántas
tarjetas de colección tiene Marta?
32. Halla el valor de n.
189 1 n 5 360
33. El triángulo FGH es un triángulo acutángulo. ¿En
qué opción se muestran las posibles medidas de
ángulos para el triángulo FGH?
A 908, 358, 558 C 408, 658, 758
B 308, 1158, 358 D 208, 1408, 208
34. Los ángulos de un triángulo obtusángulo isósceles
miden 1128, 348 y x8. ¿Cuál es el valor de x?
A 1808 B 1128 C 688 D 348
Aprende
2 Repaso rápido
LECCIÓN
198
Escribe agudo, obtuso o recto
para cada medida de ángulo.
1. 1568 2. 768
3. 328 4. 908
5. 948
Puedes usar las propiedades de los triángulos para trazarlos en
papel punteado.
Trazar triángulos
OBJETIVO: usar las propiedades de los triángulos para trazar diferentes tipos
de triángulos.
Actividad
Materiales ■ papel punteado cuadriculado ■ papel punteado isométrico
• Usa las propiedades para trazar un triángulo rectángulo isósceles.
Puedes usar el papel punteado cuadriculado para trazar figuras
que tengan ángulos rectos.
Piensa: el triángulo debe tener dos lados congruentes
que formen un ángulo recto. A partir del mismo
punto, traza dos segmentos congruentes que sean
perpendiculares entre sí. Asegúrate de que ambos
tengan la misma longitud de 2 unidades.
El triángulo también debe tener dos ángulos
congruentes. Une los extremos para
formar el tercer lado.
• Usa las propiedades para trazar un triángulo equilátero.
Puedes usar papel punteado isométrico para trazar figuras que tengan lados
congruentes y no tengan ángulos rectos.
Piensa: el triángulo debe tener tres lados congruentes. A partir del mismo punto,
traza dos segmentos congruentes tal como se muestra. Asegúrate de que ambos
tengan la misma longitud de 4 unidades. Une los extremos para formar el tercer lado
de 4 unidades.
• ¿Es posible trazar un triángulo rectángulo que tenga un ángulo obtuso? Explica.
Idea matemática
El papel punteado
isométrico se usa para trazar
triángulos equiláteros, ya que
las diferentes hileras de puntos
forman un ángulo
de 608 entre sí.
Comprensión de los aprendizajes
Práctica independiente y resolución de problemas
Práctica con supervisión
L3
L1
ángulo exterior
126
Práctica adicional en la página 204, Grupo B Capítulo 11 199
1. Copia y completa el dibujo de la derecha
para trazar un triángulo obtusángulo
isósceles.
Dibuja en tu cuaderno un punteado cuadriculado o un punteado isométrico y traza el triángulo donde
corresponda.
2. un triángulo
rectángulo isósceles
3. un triángulo
equilátero
4. un triángulo
rectángulo escaleno
5. un triángulo
obtusángulo isósceles
6. un triángulo obtusángulo isósceles que tenga cada
uno de sus lados de 4 unidades de longitud
7. un triángulo rectángulo escaleno que tenga un
lado de 3 unidades de longitud
8. Explica la diferencia entre papel punteado cuadriculado y papel punteado isométrico.
Traza el triángulo.
13. María trazó el triángulo equilátero ABC. Luego
trazó un segmento para unir el vértice A con el
punto medio del segmento BC. ¿Qué tipo de
triángulos formó?
14. Traza un triángulo rectángulo isósceles ABC. Sea
/A un ángulo recto. Halla las medidas de los otros
dos ángulos.
15. Razonamiento El ángulo exterior de un triángulo isósceles mide 1268.
Halla dos medidas posibles de los ángulos del triángulo.
16. Explica por qué usarías papel punteado cuadriculado
en lugar de papel punteado isométrico para trazar un triángulo
rectángulo escaleno.
17. La temperatura al atardecer era de 28 8C. A la
medianoche, la temperatura había bajado 8 8C.
¿Cuál era la temperatura a la medianoche?
18. ¿Cuál es la media del conjunto de datos 8, 12, 9,
10, 16, 12, 19, 10, 12?
19. Un triángulo tiene ángulos que miden 568, 498 y
x 8. ¿Cuál es el valor de x ?
20. ¿En cuál de las siguientes opciones usarías
papel punteado isométrico para trazar la figura?
A triángulo rectángulo escaleno
B triángulo rectángulo isósceles
C triángulo equilátero
D triángulo rectángulo
9. un triángulo rectángulo escaleno que tiene
un lado de 6 unidades de longitud
11. un triángulo rectángulo isósceles que tiene
2 lados de 7 unidades de longitud cada uno
10. un triángulo equilátero que tiene lados de
8 unidades de longitud cada uno
12. un triángulo equilátero que tiene lados de
4 unidades de longitud cada uno
¿Por qué te resulta útil
buscar un patrón para
resolver los problemas?
200
Estrategia: buscar un patrón
ObjetivO: resolver problemas con la estrategia buscar un patrón.
Aprende la estrategia
Buscar patrones en los problemas puede servirte para identificar valores u otro
tipo de información que no se da en el problema. Hay diferentes tipos de
patrones en diferentes tipos de problemas.
Los patrones numéricos pueden aumentar, disminuir, repetirse o detenerse.
Cristina abre una nueva cuenta de ahorros y deposita $ 32 000 cada semana.
¿Cuál será su saldo después de 5 semanas?
Semana 1 2 3 4 5
Saldo $ 32 000 $ 64 000 $ 96 000 $ 128 000 $ 160 000
Los patrones geométricos pueden relacionarse con el tamaño, la
forma, la posición, el color o el número de las figuras.
Alicia está pintando una cenefa en la pared. Si continúa su patrón, ¿qué
figura geométrica podría pintar a continuación?
Algunos patrones visuales pueden describirse con números.
Vera está trazando formas geométricas planas. Traza un triángulo
equilátero seguido de un cuadrado. La tercera forma es un pentágono
regular y la cuarta forma es un hexágono regular. Si el patrón continúa,
¿cuál podría ser la octava figura?
3
LECCIÓN
1 · 180  180
3 · 180  540
4 · 180  720
2 · 180  360
Capítulo 11 201
• ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta?
Usa la estrategia
PROBLEMA Trinidad está haciendo un jardín que tiene forma de octógono
regular. En un polígono regular, todos los lados son congruentes y todos los
ángulos son congruentes. Entonces, un octógono regular tiene 8 lados
congruentes y 8 ángulos congruentes. ¿Cuánto mide cada ángulo del
octógono regular?
• ¿Qué información se da?
• ¿Cómo puedes organizar la información para
resolver el problema?
• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema?
Puedes buscar un patrón en las sumas de las medidas de los ángulos
de los polígonos que tengan menos lados que un octágono.
• ¿Cómo puedes usar la estrategia y los recursos visuales para resolver el problema?
Puedes escribir una regla para el patrón.
El número de triángulos siempre es 2 veces menor que el número de lados.
Sea n el número de lados de un polígono. Puedes usar ( n 2 2) · 1808 para
hallar la suma de los ángulos interiores de un octágono reemplazando n por 8.
(8 2 2) · 1808 5 6 · 1808 o 1 0808
Entonces, un octágono puede dividirse en 8 2 2 5 6 triángulos. La suma de
los ángulos interiores de un octágono es 1 0808. Para hallar la medida de
cada ángulo en un octágono regular, divide la suma entre 8.
1 0808 : 8 5 1358
Entonces, cada ángulo de un octágono regular mide 1358.
Traza polígonos.
Divide cada uno
en triángulos.
Polígono Lados Triángulos Suma de las medidas de
los ángulos
Triángulo 3 1 1 · 1808 5 1808
Cuadrilátero 4 2 2 · 1808 5 3608
Pentágono 5 3 3 · 1808 5 5408
Hexágono 6 4 4 · 1808 5 7208
La suma de los
ángulos interiores
de un triángulo es
1808 y los de un
cuadrilátero de
3608.
Recuerda
Resolución de problemas con supervisión
Resolución de problemas • Práctica de estrategias
4 lados,
2 diagonales
5 lados,
5 diagonales
6 lados,
9 diagonales
7 lados,
14 diagonales
Unidades = 1
Perímetro = 4
Unidades = 4
Perímetro = 8
Unidades = 9
Perímetro = 12
Unidades Perímetro Unidades = 1
Perímetro = 4
Unidades = 4
Perímetro = 8
Unidades = 9
Perímetro = 12
Unidades = 16
Perímetro = 16
Unidades = 1
Perímetro = 4
Unidades = 4
Perímetro = 8
Unidades = 9
Perímetro = 12
Unidades Perímetro Unidades = 1
Perímetro = 4
Unidades = 4
Perímetro = 8
Unidades = 9
Perímetro = 12
Unidades = 16
Perímetro = 16
202
1. En las figuras de la derecha se
muestra la cantidad de diagonales
que pueden trazarse en un
cuadrilátero, pentágono, hexágono
y heptágono. ¿Cuántas diagonales
pueden trazarse en un octógono?
Busca un patrón para resolver.
4. Luis trazó 40 triángulos en la primera fila de un
diseño de 4 filas que hizo en la clase de arte. Trazó
30 rectángulos en la segunda fila y 24 pentágonos
en la tercera fila. Si continuó su patrón, ¿qué forma
trazó en la cuarta fila y cuántas filas trazó? ¿Cuál es
la regla posible del patrón?
5. Eduardo apila cajas cuadradas para crear
cuadrados más grandes. Si apila cajas para crear
un cuadrado con 8 unidades por lado, ¿cuántas
cajas usará en total y cuál será el perímetro del
cuadrado más grande?
Polígono Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono
Número de lados 4 5 6 7
Diagonales trazadas
desde un vértice 1 2 3 4
Número total de
diagonales
2
(4 · 1 : 2 5 2)
5
(5 · 2 : 2 5 5)
9
(6 · 3 : 2 5 9)
14
(7 · 4 : 2 5 14)
Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3 Triángulo 4
Altura (cm) 2 4 6 8
Área (cm2) 6 12 18 24
6. Describe dos formas de hallar el
área del triángulo 5 si se continúa el patrón de
la tabla.
2. ¿Qué pasaría si te pidieran que hallases el número de diagonales que pueden
trazarse en un polígono que tiene 14 lados? ¿Cuántas diagonales pueden
trazarse?
3. Irene traza un octógono regular que tiene un perímetro de 48 cm y un
heptágono regular que tiene un perímetro de 35 cm. Luego traza un hexágono
regular que tiene un perímetro de 24 cm y un pentágono regular que tiene
un perímetro de 15 cm. ¿Qué regla sigue este patrón? Si Irene continúa este
patrón, ¿cuál será la longitud de cada lado de su triángulo equilátero?
Primero, organiza la información en una tabla.
Luego, halla una regla para el patrón de la tabla que permita mostrar
cuántas diagonales pueden trazarse en un polígono de n lados.
Por último, usa la regla para hallar el número de diagonales que hay
en un octógono.
ESTRATEGIA
de resolución
de problemas
ESTRATEGIAS
fila 1
fila 2
fila 3
fila 4
Longitud de la base (1 ficha) 8 cm
Longitud del lado (1 ficha) 5 cm
Costo por ficha $ 75
Fichas de color verde claro y verde oscuro
Capítulo 11 203
Práctica de estrategias mixtas
USA LOS DATOS Del 7 al 11, usa el diagrama y la tabla.
Hacer un diagrama
Hacer una representación
Hacer una lista organizada
Buscar un patrón
Hacer una tabla o gráfico
Predecir y probar
Trabajar desde el final hasta el
principio
Resolver un problema más
sencillo
Escribir una ecuación
Usar el razonamiento lógico
7. Ana está haciendo un triángulo grande con fichas
para una clase de arte. Usa fichas de color verde
claro y oscuro que tienen forma de triángulo
isósceles. Ana coloca las fichas como se muestra en
el diagrama. ¿Cuántas fichas necesitará para hacer un
triángulo de 6 filas?
8. ¿Cuántas fichas verde claro habrá en la séptima fila?
¿Cuántas fichas verde oscuro habrá?
9. Si Ana quiere que la base del triángulo grande mida
exactamente 80 cm, ¿cuántas filas necesitará?
10. Ana tiene $ 48 000 para comprar las fichas. ¿Cuáles
son las longitudes de los lados y de la base del
triángulo más grande que puede hacer?
11. Plantea un problema Escribe y resuelve un nuevo
problema acerca del triángulo de Ana usando
diferentes costos para las fichas verde claro y verde
oscuro.
12. Tu profesor te dice que uno de los
ángulos de un triángulo rectángulo mide 308. Explica
de qué manera hallarías la medida de los otros dos
ángulos.
ESFUÉRZATE
Ana compró una caja de 100 fichas que contenía
las figuras que se muestran abajo.
13. La mitad de las fichas de la caja de Ana contienen
al menos un ángulo recto. Tres quintos de esas
fichas son rectángulos y la mitad de los rectángulos
no tienen lados iguales. ¿Cuántas fichas de la caja
son rectángulos pero no cuadrados?
3,5 cm
3 cm
2,5 cm
60
45 75
4,6 m 4,6 m
8 m
100
45 45
4 cm
60
30
5 cm
3 cm
6 cm
6 cm
45
45
8,5 cm
Práctica adicional
204
Grupo A Clasifica cada triángulo según sus ángulos y las longitudes de sus lados.
1. 2. 3. 4.
1. Un triángulo rectángulo isósceles que tiene dos
lados de 4 unidades.
3. Un ángulo de un triángulo isósceles mide 928.
¿Cuáles son las medidas de los otros dos
ángulos?
2. Un triángulo acutángulo isósceles que tiene dos
lados de 3 unidades.
4. Un ángulo de un triángulo equilátero mide
608. ¿Cuáles son las medidas de los otros dos
ángulos?
Escribe siempre, a veces o nunca para cada frase.
7. Un triángulo equilátero tiene lados congruentes.
9. Un triángulo rectángulo tiene dos ángulos agudos.
8. Un triángulo obtusángulo tiene un ángulo recto.
10. Un triángulo escaleno es un triángulo acutángulo.
Grupo B Traza el triángulo. Usa papel punteado cuadriculado o papel punteado isométrico.
5. Un triángulo tiene lados que miden 8 m,
8 m y 8 m. Clasifica el triángulo según las
longitudes de sus lados.
6. Un triángulo tiene ángulos que miden 328, 328
y 1168. Clasifica el triángulo según sus ángulos.
5. Traza un triángulo obtusángulo isósceles que
tiene dos lados de 7 cm.
6. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo agudo
que mide 27º. ¿Cuánto mide el otro ángulo
agudo?
7. Un triángulo isósceles tiene un ángulo que
mide 38º. ¿Cuánto miden los otros dos que son
iguales?
8. Traza un triángulo equilátero de lado 6 unidades.
26
26
x
64º
49º
135º
7
7
x 60º
60º
12
12
x
25º
145º
Capítulo 11 205
Mezcla las tarjetas y colócalas en un mazo boca
abajo.
Cada jugador elige una moneda y la coloca sobre
la caja de Salida. Decidan quién empezará.
El jugador 1 saca una tarjeta del mazo.
El jugador 1 halla la medida del ángulo
desconocido de la figura de la tarjeta.
El jugador 2 comprueba la respuesta. Si es
correcta, el jugador 1 mueve su moneda un
espacio en el tablero y el turno pasa al otro
jugador.
Si la respuesta es incorrecta el jugador no avanza.
El turno pasa al otro jugador.
Gana el primer jugador en alcanzar la LLEGADA.
SALIDA
LLEGADA
¡Ya!
¡En sus marcas!
2 jugadores
¡Listos!
• 30 tarjetas con triángulos
o cuadrilátero que tengan
un ángulo desconocido
• 2 monedas diferentes
¡Todo suma!
13 cm
12 cm
5 cm 60
30
8 m
17 m
90 15 m
60 30
60
60 60
5 m 5 m
5 m
20 20
2,1 cm 140 2,1 cm
4 cm
42 x
107 x
45 27
43
x
206
Repasar el vocabulario y los conceptos
Elige el mejor término del recuadro.
1. Un triángulo sin lados congruentes se llama ___________________ .
2. Un ________________ tiene tres lados congruentes.
3. Un ________________ tiene todos sus ángulos agudos.
Repasar las destrezas
Clasifica cada triángulo según sus ángulos y las longitudes de sus lados.
4. 5. 6. 7.
VOCABULARIO
triángulo acutángulo
triángulo equilátero
triángulo escaleno
12. obtusángulo isósceles 13. que tiene un ángulo recto 14. que tiene lados iguales
Repasar la resolución de problemas
Resuelve.
Escribe siempre, a veces o nunca para cada conjetura.
8. Un triángulo escaleno tiene tres ángulos agudos. 9. Un triángulo rectángulo es un triángulo escaleno.
10. Un triángulo equilátero tiene un ángulo recto. 11. Un triángulo acutángulo tiene tres ángulos agudos.
Traza el triángulo. Usa papel punteado cuadriculado o papel punteado isométrico.
Halla la medida del ángulo desconocido.
15. 16. 17.
18. Matías traza un triángulo, un cuadrado y un
pentágono. Si su patrón continúa, ¿qué figura
debe trazar en sexto lugar?
19. Eliana apila cajas cuadradas. Si apila cajas para
crear un cuadrado con 4 unidades de cada lado,
¿cuántas cajas usará?
20. Mario trazó un hexágono con un área de 30 metros cuadrados, un pentágono con un área
de 20 metros cuadrados y un rectángulo con un área de 12 metros cuadrados. Si Mario continúa el patrón,
¿cuál será el área de su triángulo? Explica.
Repaso/Prueba del capítulo 11
Enriquecimiento • Trazar figuras con pares ordenados
Francisca está trazando el rombo ABCD en un plano cartesiano.
Ha trazando tres puntos sobre el plano de coordenadas: A (4,7),
B (1,5) y C (4,3). ¿Dónde debe colocar el punto D?
Completa la actividad para hallar las coordenadas del punto D.
Actividad
Materiales papel cuadriculado, regla
A Para hallar la ubicación del punto D necesitas conocer las
propiedades de un rombo. Un rombo tiene lados opuestos
paralelos y cuatro lados congruentes.
B El punto D tiene la misma relación con el punto C que el punto A
con el B. Compara el punto A (4,7) con el punto B (1,5). El punto A
está tres unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba del
punto B.
C Para ubicar el punto D cuenta tres unidades a la derecha y dos unidades
hacia arriba desde el punto C (4,3). El punto D se ubica en (7,5).
D Usa una regla para unir los puntos A, B, C y D y formar el
rombo ABCD.
E Para asegurarte de que los cuatro lados del rombo ABCD son
congruentes, mide las longitudes de los lados con una regla.
Entonces, Francisca debe colocar el punto D para formar el rombo
ABCD en (7,5).
Explica cómo hallaste el punto desconocido en el problema 2.
6
8
4
2
0 2 4 6 8
6
8
4
2
0 2 4 6 8
6
8
4
2
0 2 4 6 8
6
8
4
2
0 2 y
x
y
x
y
x
y
A (4,7)
B (1,5)
C (4,3)
B (1,5)
C (4,3)
(6,2)
(2,6) (2,7) (6,4)
(4,0)
(0,4)
(1,3) D (7,5)
A (4,7)
6
8
4
2
0 2 4 6 8
6
8
4
2
0 2 4 6 8
6
8
4
2
0 2 4 6 8
6
8
4
2
0 2 y
x
y
x
y
x
y
A (4,7)
B (1,5)
C (4,3)
B (1,5)
C (4,3)
(6,2)
(2,6) (2,7) (6,4)
(4,0)
(0,4)
(1,3) D (7,5)
A (4,7)
6
8
4
2
0 2 4 6 8
6
8
4
2
0 2 4 6 8
6
8
4
2
0 2 4 6 8
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
A (4,7)
B (1,5)
C (4,3)
B (1,5)
C (4,3)
(6,2)
(2,6) (2,7) (6,4)
(4,0)
(0,4)
(1,3) (4,3)
(5,7)
(1,1) (6,1)
(3,4)
D (7,5)
A (4,7)
6
8
4
2
0 2 4 6 8
6
8
4
2
0 2 4 6 8
6
8
4
2
0 2 4 6 8
6
8
4
2
0 2 4 6 8
6
8
4
2
0 2 4 6 8
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
A (4,7)
B (1,5)
C (4,3)
B (1,5)
C (4,3)
(6,2)
(2,6) (2,7) (6,4)
(4,0)
(0,4)
(1,3) (4,3)
(5,7)
(1,1) (6,1)
(3,4)
D (7,5)
A (4,7)
6
8
4
2
0 2 4 6 8
Pruébalo
Halla el punto desconocido para completar la figura dada.
1. rectángulo 2. paralelogramo 3. trapecio con 2 ángulos rectos
Capítulo 11 207
208
Números y operaciones
1. ¿Cuánto es 1_84_ expresado en forma de fracción
en su mínima expresión?
A 1 3__
4
B 1 6__
8
C 1 6__
7
D 2 1__
4
2. Cuál es el valor de 4 8_ 9 +2 3 _ 5 ?
A 6 1__1_ 14
B 7 2__2_ 45
C 7 1__1_ 45
D 5__7_ 14
3. ¿Qué lista de números está ordenada de menor
a mayor?
A 3
_7_ ; 3
__ 8 ; 4
__ 9 ; 2
_5_
B 4
__ 9 ; 3
__ 8 ; 2
_5_ ; 3
_7_
C 2__
5
; 3__
7
; 4
__ 9 ; 3
__ 8
D 3__
8
; 2
_5_ ; 3
_7_ ; 4
__ 9
4. ¿Qué lista de números está ordenada de mayor
a menor?
A 1__
5
; 0,05; 0,5; 5 1__
5
B 0,05; 1__
5
; 0,5; 0,5; 5 1__
5
C 5 1__
5
; 0,5; 1__
5
; 0,05
D 5 1__
5
; 0,5; 0,05; 1__
5
5. Explica cómo se puede
encontrar la diferencia entre 5 – 1__
4
. Escribe la
respuesta en su mínima expresión.
Patrones y álgebra
6. (7 1 3) : 2 5
A 5 C 10
B 8 D 20
7. ¿Qué valor de x hace que la siguiente ecuación
sea verdadera? x – 14 = 26
A 40 C 29
B 30 D 4
8. En la tabla se indica cuánto cuesta patinar y
arrendar patines en el centro de patinaje El Sol.
¿Qué expresión indica el costo total, en pesos,
por x horas de patinaje?
Centro de patinaje El Sol
Patinaje: $ 7 500 por hora
Arriendo de
patines:
$ 500
A 7 500 x + 500
B 500 x + 7 500
C 7 500 x  500
D 500 x  7 500
Comprensión de los aprendizajes
9. Si tuviera 22,5 kg más de manzanas de los que
ahora tengo, podría llenar un recipiente en el
que caben 94,6 kg y me faltarían 5 kg para
llenarlo. ¿Cuántos kg de manzanas tengo ahora?
A 62,1 kg C 72,1 kg
B 67,1 kg D 77,1 kg
Capítulo 11 209
Geometría – Medición
10. ¿Qué enunciado es siempre verdadero sobre dos
ángulos complementarios?
A sus medidas suman 90º
B sus medidas suman 180º
C son del mismo tamaño
D sus medidas suman 360º
11. Pablo trazó un triángulo isósceles
en un papel cuadriculado. Midió uno de los
ángulos y descubrió que medía 708. ¿Qué dos
posibilidades hay para los otros ángulos de su
triángulo isósceles? Explica tu razonamiento y
dibuja el triángulo.
Datos y probabilidades
14. En la tabla se muestran las puntuaciones de
5 estudiantes en una prueba de ortografía.
¿Cuál es el rango de las puntuaciones de la
prueba de ortografía?
Puntuación de la prueba de ortografía
Natalia Andrea Laura Alejandro Darío
53 42 75 98 62
12. El triángulo ABC es isósceles. Su perímetro es
40 cm y uno de sus lados iguales mide 13,7cm.
¿Cuánto mide el tercer lado?
A
B C
A 13,7 cm
B 27,4 cm
C 15,6 cm
D 12,6 cm
B 62 D 45
15. ¿Qué estudiante obtuvo la mayor puntuación de
la prueba de ortografía?
A Natalia C Darío
B Alejandro D Laura
16. ¿Cuál es el promedio obtenido por los estudiantes
en la prueba de ortografía?
A 66 C 65
B 80 D 70
A 98 C 56
13. En un festival de música, los organizadores quieren
saber cuánta gente de la que asiste prefiere tomar
jugo en lugar de bebida. ¿Cuál sería la mejor forma
de reunir esa información?
A Encuestar a toda la población.
B Realizar una encuesta online el día del evento.
C Preguntar por teléfono a las personas.
D Reunir los datos a medida que la gente
va pasando.