TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS PROBLEMAS RESUELTOS DE NIVEL UNI PDF Y VIDEOS

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OBJETIVOS :
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de:
* Convertir una suma o diferencia de funciones trigonométricas en un producto.
* Transformar un producto de funciones trigonométricas en una suma o diferencia de las mismas.
*Aplicaciones de las transformaciones trigonométricas.
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TRANSFORMACIÓN
DE UNA SUMA Y DIFERENCIA
DE SENOS EN UN PRODUCTO
Para factorizar una suma o diferencia de senos, se recurrirá a las fórmulas de la suma y diferencia de dos ángulos:

Sumando y restando (1) y (2), tenemos:

Haciendo un cambio de variable:

Luego, reemplazando tenemos:

es decir, la suma de senos de dos ángulos es igual al doble producto del seno de la semisuma de los ángulos por el coseno de su semidiferencia.

es decir, la diferencia de senos de dos ángulos es igual al doble producto del coseno de la semi suma de los ángulos por el seno de su semidiferencia.

Ejemplos:
Transforme a producto:

Resolución:

TRANSFORMACIÓN
DE UNA SUMA Y DIFERENCIA DE COSENOS EN UN PRODUCTO
Al igual que las fórmulas anteriores, emplearemos las relaciones de la suma y diferencia de dos ángulos:

Sumando y restando (3) y (4) tenemos:

Haciendo un cambio de variable:

Reemplazando tenemos:

es decir, la suma de cosenos de dos ángulos es igual al doble producto del coseno de la semisuma de los ángulos por el coseno de la semidiferencia.

es decir, la diferencia de cosenos de dos ángulos es igual a menos el doble producto del seno de la semisuma de los ángulos por el seno de la semidiferencia.

Ejemplo 1 :
Transforme a producto:

Resolución:

Ejemplo 2 :
Simplificar:

Resolución:
Transformando a producto el numerador y denominador, tenemos:

Ejemplo 3 :
Factorice :

Resolución:
Agrupando convenientemente:

CASOS ESPECIALES DE FACTORIZACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Además de factorizar la suma, diferencia de senos y cosenos, podemos encontrar otras expresiones que se pueden transformar a producto aplicando las relaciones anteriores, Analicemos algunos de ellos:
Transforme a producto:

TRANSFORMACIÓN
DE UN PRODUCTO DE SENOS
Y COSENOS EN UNA SUMA O DIFERENCIA
Para transformar un producto de senos y cosenos en suma o diferencia, tenemos que recurrir a las fórmulas de seno y coseno de la suma y diferencia de ángulos:

Sumando (1) y (2):

Restando (1) y (2):

Ejemplos :
Transforme a suma o diferencia los siguientes productos:

Resolución:

De las fórmulas de suma y diferencia :

Sumando (3) y (4):

Restando (3) y (4):

Ejemplo 1 :
Transforme a suma o diferencia los siguientes productos:

Resolución :

Ejemplo 2 :
Reduce:
K=Sen6xSen4x –Sen15xSen13x+ Sen19xSen9x
Resolución :
Multiplicamos por ‘‘ 2’’ para pasar los productos a suma o diferencia:

Ejemplo 3 :
Reduce:

Resolución:
Efectuando como sigue, tendremos:

A continuación pasamos de producto a diferencia, así:

Simplificando:

Ejemplo 4 :
Calcule: A = 4Sen 10° Sen50°Sen70°

Resolución :

Ordenando de la siguiente manera:

Efectuando, quedará:

Pero:

Luego:

Finalmente:

PROPIEDADES
Si: A + B +C = 180°
Se cumple:

DEMOSTRACIÓN de (i) :
De la condición A+B+C = 1800, se tiene
aplicando propiedad de ángulos cuya suma es 900 :

transformando el 1er. miembro :

Factorizando se tiene :

Reemplazando por :

DEMOSTRACIÓN de (iII) :
* En la condición tenemos : A+B+C=180°
aplicando propiedad de ángulos cuya suma es 1800 sen(A + B) = sen C y cos(A + B) = cosC
*Transformando el primer miembro :
sen2A + sen2B + sen 2C = 4 sen Asen B sen C
2sen(A+B)cos(A-B)+ 2senCcosC=4senAsenBsenC
2senCcos(A-B) + 2senCcosC =4senAsenSsenC 2senC [cos(A-B) + cosC] = 4senAsenBsenC
2senC [cos(A – B) – cos(A + B)] = 4 sen AsenBsenC
2senC[ – 2senAsen(-B)] = 4senAsenBsenC
:. 4senAsenBsenC=4senAsenSsenC ……L.Q.Q.D.

Sumatoria de Senos y Cosenos de ángulos en Progresión Aritmética
Para simplificar la notación de una suma de n términos, introducimos ahora el símbolo . La letra griega correspondiente a la S) se utiliza para indicar la ‘‘suma de’’. Con dicho símbolo se utiliza una especie de subíndice que se suele denominar con k.

Por ejemplo :

se lee ‘‘la suma de las x a la K-ésima potencia, con K= 1;2 ;3 …., es decir

Así escribimos la sumatoria de senos y cosenos cuyos ángulos satisfacen una progresión aritmética de razón r en notación

La propiedad para la sumatoria de senos y cosenos cuyos ángulos están en progresión aritmética se presenta

donde para ambos casos
n : es el número de términos
r : es la razón de la progresión aritmética del ángulo
: es el primer ángulo de la serie
: es el último ángulo de la serie
DEMOSTRACIÓN de (i) :
Desarrollando la serie de arcos en progresión aritmética , tal como :

* Multiplicando por ambos miembros de la expresión propuesta, donde observamos que r es la razón del ángulo.

como sabemos cada doble producto de senos también nos representa una diferencia de cosenos, es decir :

Sumando miembro a miembro, obtenemos :

Transformando a producto el segundo miembro :

Si:

también

Utilizando (I), calculamos la sumatoria e las quintas de los cosenos para angulos x,120°–x y 120°+x como

de donde deducimos :

ejemplo :

Si utilizamos la identidad (11), ahora calculemos la suma de las sétimas de los cosenos cuyos aángulos son
.
como :

de donde concluimos:

ejemplos :
Aplicando la identidad (12), calcule el valor de

Se sabe que

Además
Luego en la expresión:

Efectuando

Pero como :

Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de
interpolación de diferencias finitas de una función f(x);
xtendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual

Del A proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u
nos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u
VVnos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constones. En la varilla conductoraa figura muconductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.a figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético uniforme; sobre unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.a figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético uniforme; sobre unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.a figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético uniforme; sobre unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.a figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético uniforme; sobre unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.a figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético uniforme; sobre unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones..

a figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético uniforme; sobre unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u
nos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u
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nos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u
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nos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u
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a figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético uniforme; sobre unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u
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a figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético uniforme; sobre unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u
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nos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u
nos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético upo magnético uniforme; sobre unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.a figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético uniforme; sobre unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.a figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético uniforme; sobre unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.a figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético uniforme; sobre unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.a figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético uniforme; sobre unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.a figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético uniforme; sobre unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.a figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético uniforme; sobre unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.a figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético uniforme; sobre unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.a figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético uniforme; sobre unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones..

a figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético uniforme; sobre unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético unos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u
nos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u
nos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u
nos rieles metálicos; si v = 6m/s, L = 0,60m, B = 1T; señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético u En la varilla conductoraa figura muestra una varilla conductora que se desplaza con velocidad constante en un campo magnético conductoraa figura muestra Calcule la siguiente suma:
cos1°+cos2°+cos3°+…+cos359°

A) 0 B) –1 C) 1 D) 1/2 E)–1/2

La siguiente suma:
Contiene 16 términos.
Su equivalente será igual a :

A) Sen16x cscx B) Senx C) Sen17x
D) Sen16x E) Sen16x sen17x cscx
Si:

Calcule: A–B

A) n B) n2 C) 1 D) 2n E) n/2

Obtenga el equivalente de :

Reduzca la expresión :