TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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Al finalizar el presente capítulo, el Alumno estará en la capacidad de:




* Conocer las equivalencias que transforman sumas o diferencias de razones trigonométricas (senos o cosenos) a producto. Dichas identidades permiten simplificar expresiones complicadas.

* Conocer las equivalencias que nos permitan transformar el producto de dos razones trigonométricas (senos o cosenos) a una suma o diferencias de dos razones trigonométricas (senos o cosenos).

* Conocer las propiedades que se deducen a partir de las identidades de las transformaciones trigonométricas.
Introducción :
A menudo se presenta el problema de transformar la suma o diferencia de dos funciones trigonométricas y viceversa. Esto permitirá las simplificaciones de expresiones complicadas. Dichas transformaciones son demostradas a partir de las identidades de arcos compuestos.
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Transformación de una suma o diferencia a producto

EN PRODUCTO DE LA SUMA O DIFERENCIA DE SENOS Y COSENOS

EN SUMA O DIFERENCIA DEL PRODUCTO DE SENOS Y COSENOS



IDENTIDADES DE TRANSFORMACION TRIGONOMETRICA DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO
IDENTIDADES DE TRANSFORMACION DE PRODUCTO EN SUMA O DIFERENCIA
• Conocer las equivalencias que transforman sumas o diferencias de razones trigonométricas (senos o cosenos) a producto. Dichas identidades permiten simplificar expresiones complicadas.
• Conocer las equivalencias que nos permitan transformar el producto de dos razones trigonométricas (senos o cosenos) a una suma o diferencia de dos razones trigonométricas (senos o cosenos).
• Conocer las propiedades que se deducen a partir de las identidades de las transformaciones trigonométricas.

INTRODUCCIÓN
A menudo se presenta el problema de transformar la suma o diferencia de dos funciones trigonométricas y viceversa. Esto permitirá la simplificación de expresiones complicadas. Dichas transformaciones son demostradas a partir de las identidades de arcos compuestos, como por ejemplo la expresión:
E = sen 52º30′ × cos 7º30′
Con la aplicación de este capítulo podemos obtener el valor numérico de dicha expresión el cual será:

Consideramos las identidades para el seno de la suma y diferencia de arcos:

Sumamos y restamos miembro a miembro las igualdades anteriores, resultando:

Si cambiamos:

del sistema de ecuaciones obtenemos:

sustituyendo en la identidad (a) obtenemos:

es decir, la suma de senos de dos ángulos es igual al doble producto del seno de la semisuma de los ángulos por el coseno de su semidiferencia.
y sustituyendo en la identidad (b) obtenemos:

es decir, la diferencia de senos de dos ángulos es igual al doble producto del coseno de la semisuma de los ángulos por el seno de su semidiferencia.
De manera análoga, recordamos las identidades para el coseno de la suma y diferencia de dos arcos.

Sumando y restando miembro a miembro obtenemos:

Haciendo los mismos cambios de lo anterior y sustituyendo en la identidad (c) obtenemos:

es decir, la suma de coseno de dos ángulos es igual al doble producto del coseno de la semisuma de los ángulos por el coseno de la semidiferencia.
Sustituyendo en la identidad (d) obtenemos:

es decir, la diferencia de cosenos de dos ángulos es igual a menos el doble producto del seno de la semisuma de los ángulos por el seno de la semidiferencia.
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Exprese cada suma o diferencia como un producto:
Ejemplo 1: sen 50º + sen 24º
Resolución:
Utilizando la identidad (1)

sen 50º + sen 24º = 2 sen 37º cos 13º
Ejemplo 2:
sen 7x – sen x
Resolución:
Utilizando la identidad (2)

sen 7x – sen x = 2 cos 4x sen 3x
Ejemplo 3:
cos 10a + cos 6a
Resolución:
Utilizando la identidad (3)

cos 10a + cos 6a = 2cos 8a cos 2a
Ejemplo 4:
cos 19º – cos 3º
Resolución:
Utilizando la identidad (4)

cos 19º – cos 3º = –2sen 11º sen 8º
Ejemplo 5:
Factorice la expresión: K = 1 + 2 sen a
Resolución:
Busquemos la forma tal que se aplique la identidad (1).

hacemos que:

Queda como ejercicio para usted que transforme de forma análoga la siguiente expresión:
2 cos a + 1
y debe obtener como respuesta:

Ejemplo 6
Transforme en producto: sen x – cos x
Resolución:
Sabiendo que: cos x = sen (90º – x), entonces:
sen x – cos x = sen x – sen (90º – x)

sen x – cos x = 2 cos 45º sen (x – 45º)

PARTIENDO DE LAS IDENTIDADES

sumando miembro a miembro obtenemos:

De igual forma a partir de:

de: (4) + (5) obtenemos:

de: (5) – (4) obtenemos:

Expuesto lo anterior concluimos en las siguientes identidades:

EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Exprese en forma de suma o diferencia.
Ejemplo 1:
2 sen 7x cos 4x
Resolución:
Utilizando la identidad (I)
2 sen 7x cos 4x = sen (7x + 4x) + sen (7x – 4x)

Ejemplo 2:
2 cos 31º cos 9º
Resolución:
Utilizando la identidad (II).
2 cos 31º cos 9º = cos (31º + 9º) + cos (31º – 9º)

Ejemplo 3:
2 sen 10º cos 40º
Resolución:
Utilizando la identidad (I).
2 sen 10º cos 40º=sen (10º+40º)+sen (10º–40º)
2 sen 10º cos 40º = sen 50º + sen (–30º)
2 sen 10º cos 40º = sen 50º – sen 30º
Ejemplo 4:

Resolución:
Utilizando la identidad (III).

Demuestre que se verifican las siguientes igualdades:
Ejemplo 1:
cos (x + y) cos (x – y) = cos2x – sen2y
Resolución:
Multiplicamos y dividimos por 2 al primer miembro:

transformando a suma de cosenos:

sustituyendo con la identidad del coseno de arco doble:

cos2x – sen2y = cos2x – sen2y
Ejemplo 2:
4 sen x sen (60º + x) sen (60º – x) = sen 3x
Resolución:
Agrupando convenientemente los factores:

Transformando de producto a diferencia utilizando identidad (III):

sen x (2 cos 2x + 1) = sen 3x
sen 3x = sen 3x
Ejemplo 3:
4 cos x cos (60º + x) cos (60º – x) = cos 3x
Resolución:

cos x (2 cos 2x – 1) = cos 3x
cos 3x = cos 3x
Ejemplo 4:
cos 3x sen 2x – cos 4x sen x = cos 2x sen x
Resolución:
Multiplicamos y dividimos por 2:

transformando a producto:

cos 2x sen x = cos 2x sen x
Ejemplo 5:

Resolución:
Expresando a senos y cosenos:

multiplicando por 2 al numerador y denominador:

transformando a suma o diferencia:

Ejemplo 6:
Demuestre que:

Resolución:
Designando W al primer miembro de la igualdad y multiplicando por:

Multiplicando por 2 y transformando a suma de senos: