TRANSFORMACIONES ISOMETRICAS Y CONGRUENCIA DE FIGURAS EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA 1 SECUNDARIA – MEDIA PDF

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Esta unidad en una primera parte retoma el estudio de formas y figuras geométricas ya conocidas en los niveles
anteriores, pero con un grado mayor de profundización al incorporar al plano cartesiano como referente
de representación. En una segunda parte, se incorpora la congruencia de figuras planas centrando la atención
en la relación de ellas con las transformaciones isométricas; para así entregar a los alumnos y alumnas
las herramientas necesarias que le permitan deducir y demostrar algunas propiedades de los polígonos.
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serás capaz de:
Temas que estudiaremos
en esta Unidad:

Geometría
desarrolladas en el
Plano Cartesiano:
Par ordenado, sistema de
coordenadas rectangulares,
representación de formas
geométricas unidimensionales
y bidimensionales en dicho
plano.
para trabajar la
Componer y descomponer fi guras analizando la
congruencia entre sus lados y ángulos.
Resolver problemas que involucran congruencias de trazos,
ángulos y triángulos.
Conjeturar y demostrar propiedades de polígonos utilizando
la congruencia de triángulos.
Caracterizar la estructura y uso de un sistema de
coordenadas rectangular y denominarlo Plano Cartesiano
Resolver problemas geométricos de áreas y perímetros de
fi guras representadas en un plano cartesiano.
Representar puntos, trazos, triángulos y cuadriláteros en un
plano cartesiano en forma manual o mediante el uso de un
procesador geométrico.
Identifi car las regularidades presentes en las traslaciones.
Construir traslaciones y composiciones de traslaciones
utilizando la adición de vectores en un plano cartesiano.
Construir, en el plano cartesiano, refl exiones y rotaciones
en forma manual o utilizando un procesador geométrico.
Construir composiciones de refl exiones.
Reconocer reflexiones, traslaciones y/o rotaciones en pares
de figuras dadas en el plano cartesiano y fundamentar su
razonamiento. Reconocer las transformaciones isométricas
presentes en distintos tipos de teselaciones.
Caracterizar los aspectos invariantes que se observan en
la aplicación de refl exiones, rotaciones y traslaciones en un
sistema cartesiano de coordenadas.
Transformaciones Isométricas:
Traslación, refl exión y rotación.
Composición de traslaciones y
refl exiones.
Teselaciones.
Analizar los datos necesarios y sufi cientes para construir
un triángulo, y relacionar dichos datos con los criterios de
congruencia de triángulo y las transformaciones isométricas.
Congruencia de Polígonos
Congruencia de triángulos
Criterios de Congruencia de
Triángulos.
Objetivos fundamentales
verticales
CMO Aprendizajes esperados
– Identificar regularidades
en la realización de transformaciones
isométricas
en el plano cartesiano.
– Identificación del plano
cartesiano y su uso para
representar puntos y
figuras geométricas
manualmente y haciendo
uso de un procesador
geométrico.
– Notación y representación
gráfica de vectores
en plano cartesiano y su
aplicación para describir
traslaciones de figuras
geométricas en el plano
cartesiano.
– Aplicación de la suma de
vectores para describir
composiciones de
traslaciones en el plano
cartesiano.
– Construcción de traslaciones,
reflexiones y rotaciones
de figuras geométricas
en el plano cartesiano,
empleando instrumentos,
un procesador geométrico
u otras herramientas
tecnológicas.
– Caracterizan la estructura y uso de un sistema de coordenadas
rectangular y lo denominan Plano Cartesiano.
– Representan puntos, trazos, triángulos y cuadriláteros en un
plano cartesiano en forma manual o mediante el uso de un
procesador geométrico.
– Resuelven problemas geométricos de áreas y perímetros de
figuras representadas en un plano cartesiano.
– Construyen traslaciones en el plano cartesiano utilizando
vectores e identifican las regularidades presentes en este
tipo de transformación isométricas.
– Construyen composiciones de traslaciones utilizando la
adición de vectores en un plano cartesiano.
– Construyen, en el plano cartesiano, traslaciones, reflexiones
y rotaciones en forma manual o utilizando un procesador
geométrico y construyen composición de reflexiones.
– Reconocen reflexiones, traslaciones y/o rotaciones en pares
de figuras dadas en el plano cartesiano y son capaces de
fundamentar su razonamiento como también de reconocerlas
en teselaciones.
– Caracterizan los aspectos invariantes que se observan en
la aplicación de reflexiones, rotaciones y traslaciones en un
sistema cartesiano de coordenadas.
– Conocer y utilizar conceptos
y propiedades
asociados al estudio de
la congruencia de figuras
planas, para resolver
problemas y demostrar
propiedades.
– Relación del concepto de
congruencia con las transformaciones
isométricas,
identificación y utilización
de los criterios de congruencia
de triángulos y
su aplicación para realizar
construcciones geométricas,
resolver problemas
y demostrar propiedades
en polígonos.
– Analizan los datos necesarios y suficientes para construir
un triángulo, y relacionan dichos datos con los criterios de
congruencia de triángulo y las transformaciones isométricas.
– Componen y descomponen figuras analizando la congruencia
entre sus lados y ángulos.
– Resuelven problemas que involucran congruencias de trazos,
ángulos y triángulos.
– Conjeturan y demuestran propiedades de polígonos utilizando
la congruencia de triángulos.
– Conocen algunos antecedentes acerca del aporte de Euclides
a la geometría.

Si hay un deporte en el que las isometrías juegan un papel fundamental,
ese es el billar. De hecho, para ser un buen billarista no
es importante tener un buen golpe de muñeca, sino poseer unas
nociones básicas de geometría para saber elegir qué golpe dar. Eso
sí, no es el único deporte donde
la geometría juega un papel
importante. El estudio de las
isometrías permite precisar el
punto de golpe del golpe en la
banda, aunque sea a una, dos o
más bandas.
Analicemos el caso del “pillo a una banda”, es decir cuando queremos
pegarle a una bola y forzadamente tenemos que pegarle a una
banda primero para darle a la bola que queremos. Para ello debemos
realizar una simetría, como si la banda fuera un espejo donde
se puede proyectar la mesa. Así
tenemos que trazar la trayectoria
de la bola blanca a la bola 5
de la mesa proyectada para determinar
el punto de golpe en la
banda, el cual permitirá pegarle
a la bola 5. ¿Puedes determinar
otros puntos en las bandas los
cuales permitan pegarle a la bola 5 o a otra?
3
66,2º
66,2º
130
1 Indica cuáles de los siguientes triángulos son rectángulos y marca el vértice recto.
a) b) c) d)
2 Determina la transformación isométrica que se aplicó a la fi gura para obtener A, B, C y D.
a) b) c) d)
3 Observa la fi gura de la derecha y responde:
a) ¿Qué transformación isométrica se le aplicó a la región
naranja sin letra para obtener la región A? ¿Y
para obtener la región C?
b) A la fi gura A se aplicó una rotación para obtener la región
D. Determine el punto y el ángulo de rotación.
4 Señala en cuál o cuáles de los siguientes casos la información
que se entrega permite construir inequívocamente
el triángulo que se pide y en cuáles no. En caso de no
entregarse la información necesaria, explica por qué dicha
información no permite determinar el triángulo.
a) a = cm; γ = 45˚; b = 4,6 cm
b) α = 40˚; c = 4 cm; β = 50˚
c) α = 30˚; β = 60˚; γ = 90˚
para recordar
3u
3 2u 3u
4u
9
2
u
3u 4u
3u
5u
5d
13d
12d
A
B
C
D
C
A B
b a
c
α
γ
β
13
2
A
2Ð Sur
3Ð Sur
3 Poniente
8 Norte
1 Sur
2 Poniente
1 Norte
1Ð Norte
Av. 2 Sur
1 Oriente
3 Oriente
Av. Isidoro del Solar
3 Sur
2 Oriente
3 Oriente
2Ð Oriente
5 Oriente
1 Sur
Av. 1 Poniente
3Ð Norte
2 Oriente
1 Poniente
3
Unidad
Ubiquémonos: sistema de referencia
En muchas situaciones necesitamos referirnos a un lugar y para ello indicamos
puntos de referencia y un número para logar la ubicación del lugar, como por ejemplo
en un tablero de ajedrez, se usan las letras de la a a la h para identifi car las
columnas del tablero y los números del 1 al 8 para identifi car sus fi las. Es así como
cada movimiento se indica por la letra inicial de la pieza que se mueve (T: torre, R:
rey) seguido por la casilla a donde llega la pieza. Es así por ejemplo, que si movemos
la torre a la posición a7 entonces dicho movimiento se anota T a 7. Con esta
técnica, los jugadores pueden anotar sus jugadas, en los partidos, o simplemente
comunicarle a su adversario las coordenadas de la pieza que piensa mover y este
sabe exactamente cual será la nueva confi guración del tablero.
Ahora recuerda las ubicaciones del tablero de ajedrez para ayudar a Amaru a ubicarse
en el mapa de Talca. Él se encuentra en una esquina de la Plaza de Armas,
en la intersección de las calles 1 Sur con 1 Oriente. Necesita llegar a la tienda en
que trabaja uno de sus tíos. Para ello le pregunta a un transeúnte: ¿cuántas cuadras
me faltan para llegar a esta dirección? Mientras le muestra un papel que tenía escrita
la intersección de las calles en que se encontraba la tienda, el transeúnte le
responde, “te faltan 5 cuadras”. Marca en el mapa la ubicación de la tienda del tío
de Amaru.
8 a8 b8 c8 d8 e8 f8 g8 h8
7 a7 b7 c7 d7 e7 f7 g7 h7
6 a6 b6 c6 d6 e6 f6 g6 h6
5 a5 b5 c5 d5 e5 f5 g5 h5
4 a4 b4 c4 d4 e4 f4 g4 h4
3 a3 b3 c3 d3 e3 f3 g3 h3
2 a2 b2 c2 d2 e2 f2 g2 h2
1 a1 b1 c1 d1 e1 f1 g1 h1
a b c d e f g h
Júntate con 3 compañeros más y responde: ¿Todos marcaron el mismo punto en el
mapa? La información proporcionada por el transeúnte, ¿fue sufi ciente?, ¿a cuántos
lugares diferentes podría haber llegado Amaru? La intersección de las calles
donde está ubicada la tienda es 3 Norte con 4 Oriente, ¿podría haber llegado Amaru
a este punto sin pedir ayuda a otra persona?, ¿qué referencia hubieses usado tú para
llegar a esta dirección?
Juegan las blancas
primero
Ta7
Tres primeras jugadas para un
Mate de Torre Rey contra Rey
Rg8
segundo
tercero
Rg2
Juegan las blancas
132
Geometría
1. Di sin dibujar, en que cuadrante están situados los puntos A(4;1), B(3;5), C(−1;4) y D(0;0). Luego dibuja
los puntos y une los puntos con segmentos. ¿Qué figura geométrica es la que trazaste? ¿Cómo puedes
comprobarlo?
2. ¿En qué cuadrante puede estar situado un punto si la abscisa es positiva?
3. ¿Qué signos tienen las coordenadas de los puntos situados en el segundo cuadrante? ¿En el tercer cuadrante?
¿Y en el cuarto cuadrante?
4. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos cuya ordenada es 5? ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos
cuya abscisa es −2?
RENÉ DESCARTES
(1596-1650)
Filósofo, matemático y
científico francés.
Descartes fue uno de los
primeros filósofos modernos.
En 1637 publicó su
gran obra “Discurso del
método para conducir
bien la razón y buscar la
verdad en las ciencias”,
en la que figuran La
Dióptrica, Los Meteoros
y la Geometría, siendo
esta última un apéndice
de dicha obra. En La
Geometría aparecen
las ideas sobre lo que
hoy se conoce como
sistemas de coordenadas
cartesianas debido
a la forma latina de su
apellido Cartesius.
En todas las situaciones anteriores hemos considerado dos elementos para dar una
ubicación, la dirección (recta) y una unidad de medida (cuadra). En general en un
plano, para dar un sistema de referencia se consideran dos rectas (denominadas ejes
de coordenadas) que se cortan en un único punto que usualmente se denota con la
letra O y se denomina origen (en el caso de Talca, fue la plaza). Sobre cada una de
estas rectas se toma una unidad de medida, no necesariamente la misma en ambos
ejes (en el caso de Talca, fueron las cuadras). Al fijar una unidad de medida en uno
de los ejes, tomamos la longitud del segmento como la unidad. De esta manera, en
ese eje, tenemos una correspondencia con los números reales. De la misma forma
se procede con el otro eje. Este par de rectas con sus respectivas unidades de medidas,
es lo que se llama sistema de Coordenadas Cartesianas en el plano.
Dado un punto P del plano, al trazar
por P paralelas a los ejes, éstas
cortan a dichos ejes en puntos a
los que podemos asociar números
reales que se denominan coordenadas
del punto P. También se tiene
que: dados dos números reales
x e y podemos asociar un único
punto en el plano cuyas coordenadas
son el par ordenado (x;y). El
par ordenado (x;y) tiene en primer
lugar a la abscisa x y en segundo
lugar a la ordenada y.
Observemos que los ejes particionan
al plano cartesiano en 4 zonas,
las cuales llamaremos cuadrantes.
Así tenemos 4 cuadrantes.
Recuerda que ya habíamos utilizado
el plano cartesiano en otras
oportunidades, como por ejemplo
cuando graficamos la ecuación
afín de una recta.
1
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
X
Y
-1
-2
C. II C. I
C. III C. IV
EJES DE LAS ORDENADAS
ordenadas del punto P
abscisa del punto P
origen EJES DE LAS ABSCISAS
P (x,y)
actividades
3
Unidad
Figuras en el Plano Cartesiano
Amaru esta en el liceo haciendo una tarea de geometría que consiste en trazar un
triángulo equilátero ABC de lado 3 unidades, en el plano cartesiano, tal que el vértice
A se encuentre en el origen y el lado AB se encuentre en el eje de las abscisas.
¿Cómo lo hará Amaru?
Procedimiento de Amaru
Él colocó el vértice B en el punto de coordenadas (3;0),
luego pensó, ¿dónde trazo el vértice C? Amaru recordó
que la altura hc cae en forma perpendicular en el
punto de medio del lado AB , de ello concluyó que la
abscisa de la coordenada del vertice C es la mitad del
lado del triángulo, es decir 3
2
unidades. ¿Por qué pensó
eso Amaru? Él lo pensó porque faltaba la ordenada del
vértice C y por lo tanto utilizó el Teorema de Pitágoras,
planteando la siguiente expresión:
BC AB hc
2
2
2
2
= +
Así Amaru determinó que la ordenada del vértice es
3 2
2
unidades. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice
C?
Amaru necesita saber cuales son todos los puntos del
plano que están a 3 unidades del origen del Plano Cartesiano.
¿Cómo podrá determinarlo? Amaru responde
hay que usar Pitágoras otra vez, planteando la siguiente
expresión.
32 = x2 + y2
donde x e y representan las longitudes de los catetos del
triángulo rectángulo formado. Los puntos pertenecen a
una circunferencia de radio 3 unidades.
2
1. Determina las coordenadas de todos los puntos del plano cartesiano donde se pudo haber trazado el vértice
C del primer problema.
2. ¿Cuál es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cartesiano tal que su abscisa es el doble de su
ordenada más uno? Grafica el lugar geométrico.
3. Determina la expresión que deben satisfacer todos los puntos del plano cartesiano que están a dos unidades
del punto de coordenadas (−1,1).
recuerda r
En general, para establecer
un sistema de coordenadas
en el plano basta con que
se den dos curvas que se
cortan en un único punto y
una unidad de medida en
cada una de estas curvas.
Ahora podemos pensar el
plano como una red determinada
por todas las curvas
paralelas prefijadas.
0
0 1
2
3
4
5
a
b
c
d
0
-1
-2
-3
-4
1
2
3
1 2 3 0 -1 -2 -3
C (y+x)
-4
B D
c
A
2 1 0 B A
C
3 0,5 1,5 2,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
h
F
acti vidades
134
Geometría
1. Construye ayudándote del programa Geogebra un cuadrado ABCD de lado 5 unidades, tal que cada
uno de sus vértices se encuentre en cada cuadrante. ¿Cuántos cuadrados se pueden construir?
2. Construye un rectángulo ABCD cuya área es de 6 unidades cuadradas y los vértices A y B tengan coordenadas
(1,-2) y (3,0) respectivamente. ¿Cuáles son las posibles coordenadas de los vértices C y D?
Visualizando el Plano Cartesiano
con Geogebra
En la red de Internet hay muchos programas que permiten visualizar el plano cartesiano.
Entre estos programas está el Geogebra, el cual puedes descargar de la
página www.geogebra.org
Para que aparezca en la zona gráfica la cuadrícula, debes hacer clic secundario y
activar la opción de cuadrícula.
El geogebra te permite colocar puntos en cualquier parte del plano cartesiano. Para
ello debes activar el botón de punto, así podrás ver en la descripción de los objetos
definidos en la zona gráfica, las coordenadas del punto que definiste en el plano
cartesiano.
También geogebra permite construir figuras geométricas, como por ejemplo un
triángulo isósceles ABC de altura 5 unidades y base 4 unidades con el vértice A en
las coordenadas (0,1).
Podemos observar que se puede construir más de un triángulo con las condiciones
dadas. ¿Cuántos triángulos más se pueden construir con las condiciones dadas?
3
actividades
3
Unidad
1 que está escrita en el plano
cartesiano:
(6,2), (9,2), (12,1), (12,0), (11,2), (9,−2), (4,−2),
(2,−1), (1,1), (−1,1), (−2,0), (−2,−2), (2,1),
(5,2), (12,2), (9,1), (10,2), (10,0), (4,1), (2,2),
(−2,2), (−2,1), (0,0), (2,0), (2,−2), (4,0), (4,−1),
(12,−1), (12,−2), (11,0), (7,2), (9,0), (4,2),
(−2,−1), (9,−1), (5,0), (6,0), (7,1), (7,0), (7,−1),
(7,−2)
2 Señala que fi gura geométrica es la que está determinada
por los puntos (1,−2), (4,−2) y (4,2).
Además calcula su perímetro y área.
3 Los vértices de un cuadrilátero son los puntos
(1,4), (7,4), (9,7) y (3,7). Prueba que el cuadrilátero
es un paralelogramo y calcula su área.
4 Dos de los vértices de un triángulo equilátero
son los puntos (−1,1) y (3,1). Determina las
coordenadas del tercer vértice.
5 Determinar el lugar geométrico de todos los
puntos del plano cartesiano tal que la ordenada
más 3 es igual a la abscisa menos 1.
6 Los puntos A(−2,1), (0,53
) y (7,4), pertenecen a
una recta. ¿Cuál es la expresión algebraica de
la recta?
7 Sean los puntos O(0,0) y A(6,−4). Determina
el punto medio del segmento AO . Determina
el lugar geométrico de todos los puntos que
están a igual distancia de los puntos A y O.
-1 0
O
1 2 3 4
0
5 6
A
-1
-2
-3
-4
-5
Descifra la palabra aplicando lo aprendido
8 El punto (2,−1) es el centro de una circunferencia
que es tangente al eje de las ordenadas.
Determina la expresión algebraica de la circunferencia.
B A
c
1
0
-1
-2
-3
-4
9 El hexágono regular OABCDE, tiene el vértice
O y A en las coordenadas (0,0) y (3,0). Determina
las coordenadas de los demás vértices.
B
A
-1 0
E
D C
O
-2
1
2
3
4
5
1 2 3 4
-1
0
a) Determina la circunferencia inscrita al
hexágono.
b) Determina la circunferencia circunscrita
al hexágono.
136
Geometría
4 Mingaco de traslado
Lautaro Montaña, quiso cambiarse de cuidad, pero quería llevarse la casa con él
hacia el norte, así que programó una minga para trasladar la casa. Uno de los problemas
que se le presentó a Lautaro fue el río, el cual tenía una corriente de 4
kilómetros por hora de oeste a este, mientras que el bote tenía una velocidad de 6
kilómetros por hora. ¿Dónde llegó la casa de Lautaro?
La velocidad de la casa en la dirección del río puede ser representada por una fl echa
de longitud 4 en el eje X del plano cartesiano, y la velocidad en la dirección perpendicular
por una flecha de longitud 6 en el eje Y.
Así representamos la velocidad resultante de la casa como la fl echa roja que parte
en el origen del plano cartesiano y termina en el punto de coordenadas (4,6).
Esta velocidad resultante, no puede ser descrita por un simple número. Ésta fl echa
queda determinada por su longitud, denominada módulo que vale 2 13 unidades,
por su dirección, la de la recta que pasa por los puntos O y A y por su sentido O
hacia A.
Estas magnitudes reciben el nombre de Magnitudes Vectoriales y se representan
mediante un vector geométrico o fl echa.
En lo que sigue denotaremos a los vectores del plano cartesiano mediante una letra
minúscula con una fl echa encima cómo por ejemplo u

. Los vectores son identifi –
cados por las coordenadas del punto terminal las cuales se denominan componentes
del vector. Por ejemplo el vector v

= (4,6).
Notamos que al hacer la minga, Lautaro trasladó rígidamente la casa para dejarla al
norteste de donde se encontraba, pero para especifi car exactamente donde quedaría
la casa fue necesario modelar las velocidades en el plano cartesiano por medio de
vectores, los cuales quedaron identifi cados por sus componentes. Así la casa de
Lautaro se trasladó 6 km hacia el Norte y 4 km hacia el Este de donde estaba.
1. En la cuadrícula traslada la casa según el vector u

= (5,2). ¿Dónde queda la casa con respecto a la anterior?
2. Traslada la casa que obtuviste del traslado anterior según el vector w

= (1,2). ¿Dónde queda ahora la
casa?
6
5
4
3
2
1
0
-1 0 1 2 3 4
Y
X
A
actividades
3
Unidad
Las traslaciones las anotaremos T(a,b); donde el par ordenado (a,b) denota las componentes
del vector de traslado, lo que se entiende por trasladar a unidades en la
dirección horizontal y b unidades en la dirección vertical. Así si a es positivo se
traslada a lugares a la derecha, pero si a es negativo se traslada a puestos a la izquierda.
Del mismo modo, si b es positivo se traslada b puestos hacia arriba y si b
es negativo se traslada b puestos hacia abajo.
Por ejemplo, vemos abajo que hemos trasladado la casa de Lautaro según la traslación
T(−12,−3) o bien , Tv
 , donde v

= (−12,−3), es decir, 12 puestos a la izquierda
y 3 puestos hacia abajo.
investiga i
¿Cuál es la acción de la
traslación T(0,b)? y ¿de
la traslación T(a,0)? y
¿de la traslación T(0,0)?
importante i
Lo que resulta al aplicar
una traslación a una
figura o un punto se
llama la imagen de la
traslación a esa figura o
a ese punto.
1. ¿Cuál es la traslación que permite ir de A hacia A’? ¿Cuál es
la traslación que permite ir de A’ a A? ¿Cuál es la relación
entre estas dos traslaciones?
2. En general, ¿qué ocurre si aplicamos la traslación T(a;b) al
plano y luego la traslación T(−a,−b)?
3. Traza los vectores de traslación de A hacia A’ y de B hacia
B’. ¿Los vectores tienen la misma dirección? ¿Los vectores
tienen el mismo sentido? ¿Los vectores tienen el mismo módulo?
¿Qué figura geométrica determina los puntos ABB’A’?
¿Tiene alguna relación la figura geométrica con el sentido,
orientación y módulo de los vectores antes determinados?
-6
-6
-7
A’
B’
A
12
3
Podemos pensar las traslaciones como movimientos de todo el plano, es decir, todos
los puntos del plano se mueven según indica la traslación. Si la traslación dice
que se muevan 3 puestos hacia arriba y 2 puestos hacia la izquierda, entonces todos
los puntos se mueven en esa dirección.
¿Qué pasa si a la casa trasladada, le aplicamos la traslación T(−12, −3)?
actividades
138
Geometría
* Esta actividad está dirigida a demostrar que las traslaciones preservan ángulos: Dibuja un ángulo cualquiera
y trasládalo.
α
β
δ
γ
Debemos demostrar que el ángulo rojo ∠ACB mide lo mismo que ∠A’C’B’.
a) Nota que CC’B’B es un paralelógramo, lo mismo que CC’A’A. ¿Por qué?
b) Como los ángulos opuestos en un paralelógramo miden lo mismo, muestra que ∠ACC’ = γ y que
∠A’C’C = β .
c) Demuestra que el ∠A’C’B’ = δ + β . Como los ángulos opuestos en un paralelogramo son suplementarios
(suman 180°). Muestra que δ = 180o −α y que β = 180o −γ .
d) Demuestra que ∠A’C’B’ = δ + β = 360o − (α +γ ).
e) Demuestra que el ángulo rojo mide 360o − (α +γ ). Concluye que el ángulo rojo mide lo mismo que el que
resulta de la traslación.
Consideremos un trazo cualquiera AB y apliquémosle una traslación T; que lo
transforma en el trazo A′B′ ; como muestra la figura:
Marquemos la perpendicular a AA′ que pasa por B; y denotemos por C la intersección
de esas rectas. Del mismo modo, D es la intersección entre BB′ y su perpendicular.
Como AA′ mide lo mismo que BB′ se tiene que, BC mide lo mismo que
A′D y que AC mide lo mismo que B′D.
Por lo tanto los triángulos ABC y A’B’D son rectángulos y tienen dos catetos
iguales, por el teorema de Pitágoras las hipotenusas miden lo mismo, por lo tanto
AB mide lo mismo que A′B′: Resumiendo, tenemos la siguiente propiedad de
las traslaciones:
Las traslaciones preservan la distancia entre dos puntos.
A
B
C
A’
B’
D
actividades
3
Unidad
Como hemos visto hasta ahora, las traslaciones tienen la propiedad que transforman
un trazo en otro del mismo largo, y si dos rectas se intersectan las traslaciones
las transforman en dos rectas que se intersectan, formando el mismo ángulo,
es decir:
Es por esto que decimos que la traslación es una transformación isométrica,
pues mantiene medidas (Iso = igual, Métrica = medida). Existen otras transformaciones
isométricas que veremos más adelante. También se le llama un movimiento
rígido del plano, pues mueve el plano sin encoger o dilatar; mueve todos
los puntos rígidamente.
Composición de Traslaciones
Consideremos ahora, el caso de aplicar dos traslaciones, una después de la otra:
En la imagen de al lado vemos que al triángulo le aplicamos primero la traslación
T = T(4,1) y luego, a la imagen que resulta se le aplica la traslación t = T(−3,−5) .
Notamos entonces que el triángulo quedó definitivamente un puesto a la derecha y
cuatro hacia abajo de su posición inicial. Es decir, resultó lo mismo que si desde el
inicio hubiésemos aplicado una sola traslación: la traslación T(1,−4) .
Generalmente, si al punto (x, y) se le aplica la traslación T(a,b) resulta (x + a, y + b), si
ahora le aplicamos al resultado la traslación T(c,d) resulta (x + a + c, y + b + d), que
es lo mismo que aplicar al punto (x, y) la traslación T (a+c,b+d).
Además, hay que notar que resulta lo mismo que si se aplican las traslaciones en
el orden inverso.
Si aplicamos dos traslaciones, una después de la otra, el orden no
importa y además es lo mismo que aplicar una sola traslación.
De lo anterior, podemos pensar en las traslaciones y en general en todas las transformaciones
isométricas que veremos, (como máquinas que transforman puntos
del plano en otros puntos del plano). Los puntos entran por la derecha de la máquina,
la máquina trabaja y entrega un resultado por la izquierda. Por ejemplo, la
siguiente máquina representa la traslación T(a,b).
Las traslaciones preservan ángulos y distancias.
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
importante i
Notamos que T (a,b)
aplicado a (x,y) resulta
el punto (x+a , y+b).
(a + x,b + y)
(x, y)
140
Geometría
1. Dibuja un cuadrado que tiene vértices A(0,0); B(1,0) y C(1,1): ¿Cuál es el otro vértice?
Después de una traslación el vértice A se transformó en A'(–3,5): ¿Cuáles son las coordenadas de todos
los otros vértices? Después de otra traslación el vértice A’ se transformó en A”(4,1): ¿Cuáles son las coordenadas
de los otros vértices? ¿Cuál es la traslación que lleva a A a A”?
2. La concatenación de máquinas de al lado está compuesta por la
máquina azul, que es la traslación T(1,1) y otra máquina que es la
traslación T (–1,1):
a) ¿Cuál punto entrega la máquina por la izquierda, si por la derecha
entra (0,0)? ¿y (1,1)? ¿y (0,–1)? ¿y (1,–1)?
b) ¿Cuál punto debe entrar para que la máquina entregue (0,0)?
c) ¿Hay algún punto tal que cuando entra por la máquina sale el mismo?
Aplicar dos movimientos rígidos, uno después de otro, es concatenar estas máquinas.
Es decir, si el punto P es transformado por la traslación I en P’ y luego otra isometría
transforma P’ en P”; entonces las isometrías I y J concatenadas, transforman
P en P”. O sea, el resultado de la primera máquina es la “materia prima” de la
segunda máquina.
Cuando concatenamos dos isometrías, U y V en el orden de aplicar primero U y
luego V; decimos que la isometría resultante es la composición de U con V y la
anotamos VU o también V o U; y quiere decir que si aplicamos a VU a un punto P
el resultado es aplicar V al resultado de aplicar U a P. Es decir,
VU(P) = V(U(P)):
En este lenguaje tenemos que la composición de dos traslaciones es una traslación,
más precisamente
T(a,b) o T(c,d) = T(a+c,b+d) = T(c,d) o T(a,b)
Lo que hemos hecho anteriormente es sumar dos vectores, obteniendo un tercer
vector, así entonces podemos decir que:
La suma de los vectores del plano a

= (p,q) y b

= (r,s)
es el vector a

+b

= (p + r, q + s).
P ” P ‘ P
J I
R T(1,1) (0,90o )
actividades
3
Unidad
1 Dibuja en el plano cartesiano el trapecio ABCD de coordenadas: A(−2,2); B(−1,5); C(3,6); D(1,0).
a) Dibuja la imagen A’B’C’D’ del trapecio ABCD por la traslación T(2,−3).
b) Dibuja la imagen A”B”C”D” que resulta al aplicar la traslación T(−1,−4) al trapecio A’B’C’D’.
c) ¿Existe una traslación que lleve el trapecio ABCD en el trapecio A”B”C”D”? Si la respuesta es afi rmativa
escribe dicha traslación.
2 Dado el cuadrado de la fi gura:
a) Dibuja la imagen que se obtiene al aplicar al cuadrado ABCD la traslación T(0,3). Nombra los vértices
de esta imagen con las letras A’B’C’D’.
b) Al cuadrado A’B’C’D’ aplícale la traslación T(0,3). La imagen resultante la denominaremos con los
vértices A’B’C’D’.
c) ¿Cuál traslación debes aplicar al cuadrado A”B”C”D” para que el vértice A” quede en el origen de
coordenadas?
3 Traslada la fi gura ABCDE sabiendo que la imagen del vértice A es A’. ¿Cuál es la traslación?
aplicando lo aprendido
142
Geometría
5 Reflexiones
Si pones una figura frente a un espejo, ésta se ve al revés, es decir, la mano derecha
se ve enfrente en la misma posición, pero para la persona del otro lado del espejo
es su mano izquierda. Sin embargo, si respeta la distancia, es decir, lo que está más
cerca del espejo se ve como si estuviera más cerca.
La acción de dar vuelta una transparencia es la misma acción que reflejar en un
espejo; por ejemplo: la siguiente imagen la puedes pensar como que la línea azul es
un espejo que refleja lo de la izquierda en la derecha o también que la transparencia
de la izquierda se dio vuelta según la recta azul.
La operación de dar vuelta una transparencia o reflejar en el espejo se llama reflexión
y consiste en lo siguiente:
• Considera una recta L cualquiera.
• Para cada punto P del plano, se debe considerar la recta perpendicular a la
recta L que pasa por P, y que llamaremos L’.
• Mide la distancia de P a la recta L.
• Ubica P’ al otro lado de la recta L, sobre L’ y a la misma distancia de L.
Decimos que P’ es el reflejado de P respecto a la recta L. También decimos que P’
es la imagen de P por la reflexión respecto a L.
B’ C’
A’ D’
C B
D A
L’
L
P
P’
1. Si a un punto P se le aplica una reflexión, resulta P’, ¿qué le pasa a P’ si se le aplica la misma reflexión?
2. ¿Qué les pasa a los puntos de la recta L cuando se les aplica la reflexión respecto L’?
3. Si el punto P(3,4) se refleja con respecto al eje Y y el resultado se refleja respecto del eje X, ¿cuáles son
las coordenadas del punto que resulta?
actividades
3
Unidad
Realiza la reflexión a A y a B, respecto de recta CH.
Obteniendo A’ y B’, respectivamente. Traza las rectas
AB y A’B’.
1. ¿Por qué esas rectas se intersectan en la recta de
reflexión? ¿Por qué CB = C′B′ ? ¿Por qué
AB = A′B′ ?
2. Nota que a y b son complementarios. Explica por
qué b = c = f. Explica también por qué a = d = e.
¿Es cierto que a = x?
3. Demuestra que la reflexión preserva ángulo.
Cuando estudiamos las traslaciones, vimos que éstas preservan la distancia y los
ángulos. Ahora veremos que las reflexiones tienen la misma propiedad. Partamos
con la distancia. Consideremos dos puntos A y B y reflejémoslos respecto de una
recta L, como muestra la figura.
Nombramos por A’ y B’ las imágenes de A y B. El punto C es la intersección de
la recta BB’ con su perpendicular. Respectivamente D denota la intersección de la
perpendicular con BB’.
Como AA’ y BB’ son paralelas se tiene que AC = A’D. Además, como PC = PD
y como PB = PB’ se tiene que
BC = B′D
Entonces, los triángulos rectángulos ΔACB y ΔA’DB’ tienen catetos que miden lo
mismo, por lo tanto sus hipotenusas miden lo mismo. Luego:
AB = A’B’
Por lo tanto
Las reflexiones preservan distancias.
Es cierto que las reflexiones preservan ángulos, pero la explicación del porqué de
esto será un interesante ejercicio para que tú lo realices.
C C’
A A ‘
P
B c
a
f
H x
d e
b
A’
B C P D B’
A
L
actividades
B‘
144
Geometría
Figuras simétricas
Por lo visto anteriormente y por las actividades que has realizado, se puede
decir que:
Las reflexiones preservan ángulos y distancias.
Por esta razón, al igual que las traslaciones, las reflexiones también se denominan
isometrías o movimientos rígidos, porque mueven las figuras sin distorsionarlas,
sin apretarlas ni expandirlas.
Hay figuras que si se reflejan respecto a una recta que las atraviesa, resulta la misma
figura idénticamente igual.
Por ejemplo, si a un cuadrado lo reflejamos respecto a una de sus diagonales, se
obtiene el mismo cuadrado, pero en cambio, si tomamos un triángulo escaleno, y
lo reflejamos respecto una de sus transversales de gravedad, no se obtiene el mismo
triángulo. En la figura el triángulo reflejado es el azul, y como vemos, no coincide
con el triángulo original.
A la recta que hace que al reflejar una figura resulte la misma se denomina eje de
simetría de la figura, por ejemplo en la figura de la izquierda, la recta L es un eje
de simetría del cuadrado, en cambio L’ no es un eje de simetría del triángulo.
A continuación mostramos algunas imágenes simétricas, la recta pintada encima
muestra el eje de simetría. En el segundo ejemplo la imagen es simétrica si no consideramos
las imágenes de adentro, y solamente nos fijamos en el contorno.
1. ¿Es un rectángulo simétrico respecto a la recta que une los puntos medios de los lados opuestos?
2. ¿Es un pentágono regular simétrico respecto a la recta que une un vértice con el punto medio del lado
opuesto?
3. Determina la expresión algebraica del eje de simetría del triángulo rectángulo con vértices en los puntos
de coordenadas A(0,0), B(8,0) y C(0,8).
L’
L
6
actividades
3
Unidad
1 Dibuja la imagen que resulta al refl ejar las siguientes
fi guras con respecto a la recta L dada
y luego, a las imágenes obtenidas aplícales la
traslación T(−2,−2):
a)
L
b)
L
2 Al triángulo ABC se le aplica una refl exión con
respecto a la recta de ecuación x = −6. Determina
las coordenadas del triángulo A’B’C’.
aplicando lo aprendido
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
B
C
7
6
5
4
3
2
1
0
D
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 0
A
B
C
3 Determina la expresión algebraica de los ejes
de simetría del cuadrado ABCD.
4 Supongamos que tenemos una recta horizontal
L que pasa por el punto (0,b), donde b es
un número entero. Ubica un punto P(x,y) arriba
de la recta L. Si refl ejas este punto P con
respecto a L, ¿cuáles son las coordenadas de
P‘? Escribe las coordenadas de P‘ en términos
de x, y ó b.
5 Determine las coordenadas del cuadrado, tal
que uno de sus ejes de simetría tiene como
ecuación 6x + 2y = 8, y uno de los puntos medios
de los lados tiene coordenadas (3,0).
6 Determine las ecuaciones de los ejes de simetría
del octágono regular que esta contenido
en los cuadrantes I y II, tal que las coordenadas
A y B del octagono son (-1,0) y (1,0) respectivamente.
7 Sabiendo que las ecuaciones de los ejes de simetría
de una fi gura geométrica que tiene solamente
dos ejes de simetría son x = 2 e y = 0,
determine a que fi gura corresponde y determine
las coordenadas de al menos una fi gura.
146
Geometría
Rotaciones
Hemos visto diseños que se generan por traslación o por reflexión. Sin embargo,
existen otros para los cuales estos “movimientos” no bastan. Por ejemplo, observemos
el siguiente diseño, del más famoso artista que utilizó los movimientos rígidos
para desarrollar sus trabajos, Maurits Cornelius Escher (1898-1972).
Como vemos, la figura del personaje se rota en un ángulo marcado por las líneas
azules. No es una reflexión ni tampoco una traslación.
En general, si consideramos un punto y un ánguloα , la rotación de ánguloα y
centro O, a cada punto P le asocia el punto P’ del siguiente modo:
• Construímos la circunferencia de centro O, que pasa por P.
• Marcamos el ángulo α de modo que el radio OP sea uno de los rayos del
ángulo. (Medimos los ángulos en sentido opuesto a las manecillas del reloj,
a menos que se diga otra cosa).
• El rayo que forma el ánguloα y no es OP intersecta a la circunferencia en un
punto, ese punto es P’.
α
P P ‘
O O
P P
O
nota
“Con frecuencia me siento
más próximo a los
matemáticos que a mis
colegas los artistas” .
M.C. Escher.
n
1. ¿Por qué existe una sola circunferencia de centro O y que pasa por P?
2. Consideremos dos puntos en el plano, digamos P y P’, ¿es cierto que existe una rotación que lleva P en
P’? ¿Es la única?
3. Si rotamos todos los puntos del plano en torno a O, con ángulo α , ¿qué le pasa a O?
4. Si rotamos en torno a O todos los puntos del plano en 360o, ¿qué le pasa a cualquier punto P?
7
MAURITS CORNELIS
ESCHER
(1898 – 1972)
Comenzó estudios de
Arquitectura, pero allí
se dió cuenta de que su
auténtica pasión eran
las artes gráficas. Tras
dos años en la escuela
de arte, obtuvo una especialización
en técnicas
gráficas y trabajo en
madera. Luego viajó
por el sur de Francia,
España e Italia, donde
encontró inspiración
para su obra.
A lo largo de su carrera,
Escher se centró en el
arte de la estructura. Sin
embargo, sus primeras
obras retrataban de forma
realista los paisajes
y la arquitectura que
encontró en sus viajes.
actividades
3
Unidad
Vimos que las reflexiones y las traslaciones preservan las distancias y los ángulos.
Fue por eso que las llamamos movimientos rígidos o isometrías. La verdad es que
la rotación pertenece al mismo grupo, es decir, la rotación es una isometría. La demostración
de esto no la daremos en este texto, pero es importante que investigues
para conocer por qué este resultado es cierto. Entonces:
Las rotaciones preservan distancias y ángulos.
Este resultado permite rotar polígonos de forma muy simple. Como preservan ángulos
y distancias basta rotar los vértices de un polígono y luego unir los vértices
rotados para obtener el polígono rotado. A continuación vemos la rotación de
un triángulo equilátero ΔABC, cuya imagen es el triángulo, también equilátero,
ΔA’B’C’ .
B’
A’
C’ C’
A’
B’
A A
B B
C C
0 0
importante i
Es importante notar que
el arco AA’ no es igual al
arco BB’ , pues pertenecen
a circunferencias de
distintos radios. Sin embargo,
el ángulo ∠BOB’
es el mismo que el ángulo
∠AOA’que corresponde
al ángulo de la
rotación.
1. Rota el cuadrado en torno al origen con un ángulo de 90°.
2. Rota el cuadrado en torno a (–2,0) con un ángulo de 180º.
3. Rota el cuadrado en torno a (–3,1) con un ángulo de 270º.
4. Al cuadrado que te resultó en el problema 1 aplícale la traslación T(4,4). ¿Se puede hacer lo mismo con un
solo movimiento?
5. Aplícale la rotación de centro (–3,1) y ángulo 90° al cuadrado inicial, pero en el sentido de las manecillas
del reloj. Compara tu resultado con el del problema 3.
A B
D C 2
1
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
actividades
148
Geometría
recuerda r
A la rotación de centro O
y ángulo α , la anotamos
R(0,α )
¿Cómo rotar un punto?
Para realizar una rotación, necesitaremos un compás, un trasportador y una regla.
Con el compás haremos las circunferencias, con el transportador marcaremos los
ángulos y con la regla marcaremos los radios.
Si queremos rotar P, en torno a O con un ángulo α , (nosotros lo haremos con un
ángulo de 40° según el sentido de las manecillas del reloj, para fijar ideas) marcamos
la recta OP con la regla. Luego pondremos la marca de inicio del transportador
en el punto O y marcando 0° en la recta OP .
P’
L
P P
O O
Enseguida, marcaremos el ángulo α y con la regla trazaremos la recta L que pasa
por O y por la marca que acabamos de hacer.
Luego con el compás haremos la circunferencia con centro O y radio OP . Entonces
la rotación del punto P será la intersección de la circunferencia y la recta L.
Existen figuras que al rotarlas, según cierto ángulo que no es un múltiplo de 360°,
se obtiene la misma figura. En ese caso decimos que la figura tiene Simetría Rotacional.
Las de arriba tienen simetría rotacional en torno a su centro de gravedad.
En cada caso, ¿cuál es el ángulo de rotación que permite que quede la misma figura
después de rotada?
8
1. Rota el triángulo equilátero en torno a A, en un ángulo de 60°. Haz lo mismo con
el triángulo que resulta, y luego lo mismo con el triángulo que resulta.
Repite lo mismo hasta obtener 5 nuevos triángulos. ¿Qué figura obtienes?
2. Rota el triángulo equilátero en torno al centro de gravedad en un ángulo de
120°, ¿es cierto que el triángulo rotado se confunde con el original?
A
B
C
actividades
3
Unidad
9
Algo más de composiciones isométricas
Cuando estudiábamos traslaciones vimos que si aplicamos una traslación y luego
otra, el resultado era aplicar una sola traslación. Más precisamente, si aplicamos
T (a,b) y luego T (c,d), resulta lo mismo que aplicar desde un principio T (a+c,b+d).
En particular, se tiene que el orden en que se aplican las traslaciones no es importante,
es decir, si se aplican consecutivamente dos traslaciones, para el resultado
final da lo mismo cuál se aplica primero y cuál después. Sin embargo, esto no
sucede para todas las composiciones isométricas. Por ejemplo observa la siguiente
máquina de composición.
Las máquinas de arriba muestran la composición entre la traslación T(1,1) y la rotación
R de centro en el origen y ángulo 90°. Ahora si entra el punto (0,0), tenemos
que R ° T(0,0) = R(T(1,1)(0,0)) = R(1,1) = (−1,1). Pero si ahora tenemos la máquina
de composición
1. Para las mismas isometrías que vimos en los ejemplos anteriores:
a) Dibuja el cuadrado que resulta de aplicar TR, al cuadrado C, tal que, tres de sus vértices son (0,−1) , (1,−1)
y (0,−2) .
b) Al cuadrado anterior aplica RT. Dibuja el cuadrado que resulta. ¿Es el mismo que antes?
c) Al cuadrado que resultó en b refléjalo respecto a la recta paralela al eje Y, que pasa por
3
2
,0

 

 
.
Dibuja el cuadrado que resulta. Compara este resultado con el de a, ¿es el mismo?
importante i
Es decir, en general, el
orden en que se aplican
las isometrías es importante,
pues no siempre
se obtiene el mismo resultado
si aplica primero
una u otra.
R T(1,1)
T(1,1) R
actividades
T R( , ) T (R( , )) T ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 11 11 11 = = =
150
Geometría
Hemos visto también que en general las isometrías no conmutan, es decir, si I y J
son dos isometrías no siempre se cumple que I ° J = J ° I. Por ejemplo, vimos que
en general, no es lo mismo una traslación compuesta por una rotación que la misma
rotación compuesta por la misma traslación.
¿Qué pasará con una reflexión y una traslación? Consideraremos una reflexión respecto
a una recta L, llamaremos a esa reflexión S. Consideraremos una traslación
T en una dirección distinta a la dirección de la recta L. La figura siguiente muestra,
la composición S ° T, es decir, compondremos primero la traslación y al resultado
aplicaremos la reflexión. A la derecha compondremos las mismas isometrías en el
sentido opuesto.
A A’
A”
L L
A
A’
A”
Como vemos, esas isometrías no conmutan.
¿Qué pasa con una rotación compuesta con otra rotación del mismo centro?
Consideremos el centro O de ambas rotaciones, digamos Rα = R(O,α) y Rβ = R(O,β).
Para fijar ideas, pensemos en el caso en que α +β < 360o . Entonces, cualquier punto P, lo rotamos con un ángulo de α y luego el resultado lo rotamos en un ángulo β . Es decir, aplicar dos rotaciones (del mismo centro) seguidas es lo mismo que aplicar una rotación cuyo ángulo es la suma de los ángulos de cada rotación. En particular, Rα Rβ = Rα +β = Rβ Rα . P ' P '' α +β β α O P 1. ¿Conmutan las rotaciones de diferente centro?, es decir, si O es distinto de O', ¿es cierto que R(O,α) o R(O,β) = R(O',β) o R(O',α)? 2. ¿Qué pasa con la composición de una reflexión respecto a la recta L con una traslación que tiene la misma dirección que L? ¿Conmutan? 3.* Considera la traslación, T = T(4,10) y la reflexión respecto a la recta L que pasa por el origen y el punto (2,5). Denotemos por S esa reflexión. Considera la concatenación ST y la concatenación TS. a) ¿Es cierto que si un punto P está en la recta L, entonces ST lo transforma en un punto de L? b) ¿Es cierto que TS(P) = ST(P) para cualquier punto P, del plano? actividades 3 Unidad 1. ¿Qué se obtiene si se componen dos reflexiones que tienen el mismo eje de simetría? 2. ¿Qué se obtiene si se componen dos reflexiones que tienen ejes de simetría paralelos no coincidentes? 3. En la explicación que dimos arriba, pusimos P más cerca de L, ¿cómo hubiese sido la explicación si hubiese estado en L? 4. ¿Cómo hubiese sido la explicación, si P hubiese estado en donde resultó P''? 5. ¿Conmutan las reflexiones? ¿Qué pasa con la composición de reflexiones? Para responder esta pregunta, debemos considerar tres casos: 1o que los ejes de las simetrías son el mismo. 2o que los ejes son paralelos no iguales. 3o que los ejes se intersectan en un solo punto. Ahora estudiaremos el tercer caso. Para eso, consideremos dos reflexiones, una respecto a la recta L y otra respecto a la recta L'. Denotemos por O, la intersección de L con L' y por α el ángulo agudo o recto que forman. Dispongamos un punto P, apliquemos la reflexión respecto a L, llamemos P' su imagen. A P' apliquemos la reflexión respecto a L' y llamemos P'' su imagen. α β β γ γ Como las reflexiones preservan distancia, se tiene que OP mide lo mismo que OP ' . Por la misma razón OP ' mide lo mismo que OP '' . Es decir, los puntos P, P' y P''están en una circunferencia de centro O. Como las reflexiones también preservan ángulos, se tiene que la medida del ángulo entre OP y L es la misma que el ángulo entre L y OP ' . Llamemos β ese ángulo. Del mismo modo la medida del ángulo entre L' y OP ' es la misma del ángulo entre L' y OP '' . Llamemos γ a ese ángulo. Por lo tanto el ángulo ∠POP '' mide 2β + 2γ . Notemos que β +γ =α , por lo tanto ∠POP ''mide 2α . Resumiendo, tenemos el siguiente resultado: Dada la reflexión V respecto a L y dada la reflexión U respecto a L'. Si L y L' se intersectan en O con un ángulo agudo o recto α , entonces la isometría UV es la rotación de centro O y ángulo 2α . 10 L' P O L P'' P' P P' O L' L P'' actividades 152 Geometría 1 Si al segmento AB de coordenadas A(–1,0) y B(–2,3) se le aplica la composición R(0,180°)° T(1,1), las coordenadas de la imagen B‘ es: a) B‘ (–1;4) b) B‘ (2,–3) c) B‘ (–1,–4) d) B‘ (1,–4) 2 Dado el siguiente pentágono, grafi ca las siguientes composiciones de transformaciones aplicadas a él: a) Refl exión respecto a la recta horizontal que pasa por el punto P(0,3) compuesta con T(–5,3). b) T(–5,3) compuesta con una refl exión respecto a la recta horizontal que pasa por el punto P(0,3) c) ¿Qué puedes conjeturar a partir de los resultados que obtuviste en los ejercicios a) y b)? aplicando lo aprendido 3 Observa la siguiente fi gura: a) ¿Qué composición isométrica permite llevar al segmento AB , al segmento AD y luego al segmento BC ? b) ¿Qué composición isométrica permite llevar al segmento AB , al segmento BC y luego al segmento AD ? c) ¿Cuáles son las coordenadas del cuadrado si se le aplica la composición R((2,–2),180°) ° R((2,–2),180º)? d) ¿Cuáles son las coordenadas del cuadrado si se le aplica las composición T(4,3)° R((6,1),90°)? e) ¿Cuáles son las coordenadas del cuadrado si se le aplica la composición T(4,3) ° R((3,5),180°) ° T3,–4? 4 Sea el segmento AB de coordenadas A(3,1) y B(6,1). Por medio de las composiciones R ° S ó S ° R, construya un hexágono regular que se encuentre en el primer cuadrante. S, es una refl exión con respecto a una recta L. -1 0 1 2 3 4 5 A B C 6 5 4 3 2 1 0 D E -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 A B C 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 D 3 Unidad 1. En la baldosa básica de la teselación de El Cairo, los lados AB , BC, CD y DE miden lo mismo. Demuestra que β = 90o y que 2α +δ = 360o . 2. Utiliza esta teselación para hacer una nueva utilizando hexágonos no regulares. En las calles de El Cairo, en Egipto, se ven baldosas que cubren todo el piso, en la forma que mostramos abajo: La de la derecha corresponde a la baldosa básica, que si se disponen varias de ellas en diferentes posiciones, cubren todo el piso, sin dejar trechos vacíos entre ellas, y sin necesidad de superponer una en la otra. Al proceso de llenar el plano con baldosas, los matemáticos llaman teselar. Una teselación es una manera de cubrir el plano con figuras, de tal manera que no haya lugares del plano que no resulten cubiertos por las figuras (no hay vacíos), ni tampoco las figuras se superpongan (no se traslapan). Si con la repetición de una misma figura F se puede cubrir el plano, decimos que F tesela el plano. Por ejemplo, las baldosas de El Cairo teselan el plano y la teselación resultante se denomina Teselación de El Cairo. La figura de esa baldosa corresponde a un pentágono, pero no cualquier pentágono, sino que uno con propiedades especiales que permiten el calce perfecto entre una y otra figura (ver figura de la derecha). De hecho, veremos que el pentágono regular no tesela el plano. Estudiemos teselaciones con un solo tipo de figuras, y partamos con una muy simple: el paralelógramo. Los paralelógramos tienen la propiedad de que sus lados opuestos son paralelos, de modo que si se pone uno al lado del otro calzan perfectamente bien, lo mismo que si se coloca uno arriba del otro. Es decir: Cualquier paralelógramo tesela el plano. α β δ α β E D A B C actividades 154 Geometría Ya sabemos que cualquier paralelógramo tesela el plano. Ahora, consideremos un triángulo cualquiera, y consideremos el que resulta de aplicar la rotación en 180o y centro en A. A' B' B A Si pegamos esos triángulos por el lado ABy A'B', respectivamente, se forma un paralelógramo, que como sabemos tesela el plano. Entonces tenemos el siguiente resultado: Todo triángulo tesela el plano. Como casos particulares, podemos decir que el cuadrado, el rectángulo, el triángulo isósceles, el triángulo equilátero y el rombo teselan cada uno por si solo el plano. Existen muchas teselaciones distintas con diversos diseños, algunas están formadas por un patrón que se repite y en otras no hay patrones. A continuación mostramos algunas: Detalle de un mosaico del Palacio de La Alhambra en Granada, España. Obra del artista holandés M.C Escher (1898-1972) Teselación del físico británico Roger Penrose (1931) 3 Unidad 1. En la teselación de El Cairo, ¿cuáles isometrías hay que aplicarle a la baldosa B, sin considerar las traslaciones, para ponerla en cada caso en 1 en 2 y en 3? 2. La teselación de la derecha surge de la del triángulo equilátero. Explica el proceso de cómo el triángulo equilátero fue transformado en la baldosa básica de esta teselación. Como hemos visto, las teselaciones han sido empleadas en el arte y en la arquitectura. Sin duda M.C. Escher es considerado el más grande artista que utilizó la geometría y la matemática en general para desarrollar sus obras. Él desarrolló una técnica exquisita al respecto y muchos de sus trabajos tienen como tema central objetos matemáticos. Las teselaciones generalmente nacen de los polígonos, pero para formar teselaciones más interesantes es muy utilizado el método de “agregar y quitar”. Éste consiste en tomar un polígono que sabemos que tesela, quitarle alguna figura de uno de sus lados y agregarlo en algún lado que permita que encajen perfectamente bien las nuevas baldosas. A continuación mostramos un ejemplo de este método aplicado a un cuadrado. nota Puedes visitar su galería en el sitio: www.mcescher.com n 1 2 3 B actividades 156 Geometría 1. ¿Cuánto mide el ángulo interior de un hexágono regular? ¿Es un divisor de 360°? 2. ¿Puedes teselar con un pentágono regular? ¿Su ángulo interior es un divisor de 360°? 3. ¿Puede ser 180° el ángulo interior de un polígono? Teselaciones regulares Como vimos antes, se puede teselar el plano con triángulos de cualquier tipo y también con paralelogramos. En particular, se puede teselar con un triángulo equilátero, y con un cuadrado. ¿Con qué otro polígono regular se puede teselar? Recuerda que un polígono regular de n lados, es aquel cuyos lados y todos sus ángulos interiores miden lo mismo. Un polígono regular se puede construir en una circunferencia, dividiendo el ángulo completo del centro en n partes iguales. En la figura de la izquierda, construimos un polígono regular de 8 lados. Dividiendo el ángulo 360o en 8, resultó 45o. Entonces marcamos 8 ángulos de 45o cada uno. Como cada triángulo que se forma en el interior del polígono es isósceles, el ángulo α cumple con 2α + 45 = 180, entonces, 2α = 135. Como un ángulo interior del polígono es igual a 2α se tiene que el ángulo interior del octógono mide 135o . Al intentar teselar con octógonos resulta que al pegar dos, en cualquiera de los vértices comunes tenemos 135 +135 = 270 grados. Por lo tanto, sólo nos falta un ángulo recto para formar un ángulo completo (360o ). Como vemos en la figura superior, no podemos ag regar un nuevo octógono, puesto que la suma de los ángulos interiores superaría los 360°. Por lo tanto, no podemos teselar con octógonos regulares. Pero como bien saben las abejas, se puede teselar con hexágonos regulares. 450 α 11 a ct i vid ad es 3 Unidad 1. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla: n indica la cantidad de lados del polígono regular y α es la medida del ángulo interior. n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 α 120 90 ? ? ? ? ? ? ? ? Una teselación se denomina regular si está compuesta por un solo tipo de baldosa y ésta es un polígono regular. Por ejemplo, la teselación con triángulos equiláteros, con cuadrados y con hexágonos regulares, son ejemplos de teselaciones regulares. ¿Habrá otras? ¿Qué crees tú? Para dar respuestas a las preguntas planteadas, primero es necesario notar que en cada vértice de una teselación regular confluye la misma cantidad de baldosas, para el caso de los cuadrados son 4, para el caso del triángulo equilátero son 6 y para el hexágono son 3. 2 1 3 4 5 6 1 2 3 3 4 1 2 Supongamos que un polígono regular tesela el plano, entonces en cada vértice confluye el mismo número de polígonos, digamos m. Como es regular, todos los ángulos miden lo mismo, y como forman un ángulo completo, se tiene que m veces el ángulo interior es 360o . Si llamamos α al ángulo interior, podemos afirmar que mα = 360, es decir, m = 360 α Por lo tanto, tenemos el siguiente resultado: La medida de un ángulo interior de un polígono de una teselación regular es un divisor de 360 Entonces, el problema se reduce a encontrar los polígonos regulares, cuyos ángulos interiores sean divisores de 360. A continuación en la tabla te presentamos los divisores de 360: 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 18 20 24 30 36 40 45 60 72 90 120 180 360 Como el ángulo interior de un pentágono regular es 108o y como el 108o no es un divisor de 360o, podemos afirmar que el pentágono regular no tesela el plano. Como 135o no divide a 360o se tiene que el octógono regular tampoco lo tesela. actividades 158 Geometría Como sabemos, un polígono regular tesela el plano si su ángulo interior divide a 360o . Para encontrar aquellos ángulos, hagamos la siguiente observación: consideremos dos triángulos isósceles, donde la base es ABy A'B' respectivamente. A B A' C B' C' α β α ' β ' Notamos que si α es más chico que α ' , entonces 2β es más grande que 2β ' , pues 2β = 180 −α y por su parte 2β ' = 180 −α ' En particular, consideremos un polígono regular A de n lados y otro B de m lados, con m > n . El ángulo del centro de A es 360
n
, en cambio, el ángulo del centro de B
es 360
m
. Como m > n , se tiene que:
Como el hexágono regular tiene un ángulo interior de 120°, cualquier polígono regular
de más lados que 6, tendrá un ángulo interior mayor que 120°, pero como entre
120° y 180° no hay ningún divisor de 360° se tiene que no hay ningún polígono regular
de más de 6 lados que tesele al plano. Entonces, los únicos polígonos regulares
que teselan al plano son los que ya conocemos: el triángulo equilátero, el cuadrado
y el hexágono regular.
En definitiva, hemos demostrado el siguiente resultado:
Las únicas teselaciones regulares están formadas por polígonos
regulares de 3, 4 ó 6 lados.
360 360
m n
< B A 1. Cuando intentábamos teselar con octógonos regulares nos dimos cuenta de que era imposible, porque al pegar dos baldosas sólo quedaban disponibles 90° los que no eran suficientes para poner otra baldosa. Esto nos lleva a pensar que sí podemos teselar utilizando octógonos y cuadrados: Estas teselaciones se llaman semi-regulares y están compuestas por más de un polígono regular. Encuentra otra de este tipo. 2. ¿Puede el pentágono regular ser parte de una teselación semi-regular? actividades 3 Unidad Vitral Amaru está realizando un trabajo de artes para el Liceo, debe construir un vitral usando papeles transparentes de colores. Él ha decidido recrear una iglesia como la que se muestra en la figura. Para terminar el trabajo le falta colocar la última pieza (aparece en blanco en la imagen), pero no puede calcarla por el tipo de material, necesita construirla directamente en el papel transparente. Amaru tomó las medidas del cuadrilátero que le falta construir para completar su vitral. Las medidas del cuadrilátero son 15 cm, 12 cm, 6 cm y 13 cm. Sin embargo, al comenzar a construir el cuadrilátero obtuvo varias figuras diferentes. ¿Coinciden con el cuadrilátero que le falta a Amaru para completar el vitral?, ¿cómo puede construir Amaru el cuadrilátero correcto? Amaru recordó que para construir los triángulos que están en la parte superior de la iglesia, la estrategia de medir los lados le dio resultado. Por lo que midió la diagonal del cuadrilátero que necesitaba construir, obteniendo así el cuadrilátero correcto. Amaru concluyó que había que determinar triángulos en el cuadrilátero para poder construirlo. ¿Será necesario medir las dos diagonales? 13 160 Geometría 1 Ubica el punto H(3,5) en el plano cartesiano. a) Rota el plano en torno al origen de coordenadas en 90°. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen H‘? b) Rota el plano en torno al origen de coordenadas en 180°. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen H‘‘? c) Rota el plano en torno al origen de coordenadas en 270°. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen H‘‘‘? 2 Determina las coordenadas de los vértices de la fi gura geométrica MNOPQR y realiza las transformaciones que se indican: M N P O R Q 0 -1 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 1 a) Aplica una rotación R(0,270º) a la fi gura MNOPQR. b) A la imagen que obtuviste anteriormente llámale M‘N‘O‘P‘Q‘R‘. Realiza la siguiente rotación a esta fi gura: R(0,180º) cuya imagen denominarás M‘‘N‘‘O‘‘P‘‘Q‘‘R‘‘. c) ¿Existe una rotación que lleve la fi gura MNOPQR en la fi gura M‘‘N‘‘O‘‘P‘‘Q‘‘R‘‘? Si así fuera, ¿cuál sería esa rotación? 3 Se tiene el segmento AB de coordenadas A(0,3) y B(4,0). Este segmento es rotado en torno a B entonces: a) Si la imagen A'B' es una línea vertical, ¿cuáles son las posibles coordenadas para A' y B'? aplicando lo aprendido b) Realiza el mismo ejercicio que en a), pero antes refl eja el segmento AB con respecto al eje X de coordenadas y luego rótalo en torno a B. 4 Para producir un cuadrilátero idéntico a otro, ¿basta conocer la medida de sus lados? 5 Toma dos lápices de distintas medidas, por ejemplo, uno mide 10 cm y otro 8 cm. Disponlos de modo que sean los lados de un triángulo. Cierra el triángulo, con otros lápices, de diferentes medidas, uno por vez. ¿Es cierto que el tercer lado, puede ser tan pequeño como se quiera? ¿Puede ser tan grande como queramos? ¿Es cierto que el ángulo entre los dos primeros lápices, depende del largo del tercero? ¿Es cierto que mientras más largo es el tercero, más grande es el ángulo entre los dos primeros lápices? 6 Para que Amaru, construya una pieza triangular del vitral, ¿basta saber los ángulos del triángulo? 7 Para que Ancavil, construya una pieza triangular del vitral, ¿basta saber la medida de los lados del triángulo? 8 ¿Qué información se necesita para construir una pieza del vitral de forma pentagonal? 9 Para construir un rombo, ¿basta conocer la medida de sus diagonales? 10 Para construir un rectángulo, ¿basta conocer la medida de un lado y la medida de una diagonal? 3 Unidad 1. ¿Es cierto que un cuadrado de lado a es congruente con cualquier cuadrado de lado a? 2. ¿Es cierto que un segmento de largo 10 cm es congruente con cualquier otro segmento de largo 10 cm? Congruencias Cuando dos amigos se encuentran, y se percatan que llevan el mismo modelo de zapatillas, uno de ellos dice: “¡tus zapatillas son iguales a las mías!,” en realidad están abusando del lenguaje, pues no son exactamente iguales; para una se ocupó un pedazo de lona y para la otra otro pedazo de lona. Si fuesen iguales ocuparían el mismo lugar en el espacio. Ni siquiera tu ojo izquierdo es igual a tu ojo derecho. Ni siquiera un máquina troqueladora de cuero puede cortar dos piezas iguales, pues están hechas de pedazos de cuero distintos. Lo que queremos decir, es que usamos la palabra “igual” cuando queremos expresar que si pudiésemos poner un objeto sobre otro calzarían perfecto. Es decir, si los amigos que llevan el mismo modelo de zapatillas, y si tienen la misma medida de pie, se intercambiaran las zapatillas nadie lo notaría. En matemáticas pasa lo mismo: si dibujas dos hexágonos regulares de lado 10 cm cada uno, en una hoja de papel, no pueden ser iguales, pues están en lugares distintos de la hoja, pero con una isometría es posible transformar uno en el otro. En este caso la isometría es una traslación. En matemáticas, cuando existe una isometría (traslaciones, rotaciones, reflexiones o composición de ellas) que transforma una figura en otra, no decimos que son iguales, sino que son congruentes. Dos figuras son congruentes si una es la imagen de la otra, vía una isometría. Como las isometrías preservan medidas de ángulos y segmentos, entonces si dos figuras son congruentes, las medidas de sus ángulos y segmentos son las mismas. Si una figura tiene un segmento recto AB , y se le aplica una isometría a la figura obteniendo el segmento recto A'B' en la imagen, A y A' se llaman puntos homólogos, y los segmentos AB y A'B' , también se llaman homólogos. Si decimos AB es homólogo a A'B' queremos decir que existe una isometría que lleva A en A' y B en B', en ese orden. nota n Si dos figuras A y B son congruentes, anotaremos A ≅ B . A B A ' B' 13 actividades 162 Geometría importante i Desde luego la pregunta inversa es inmediatamente cierta, pues si dos segmentos son congruentes, entonces uno de ellos es la imagen del otro vía una isometría, pero como las isometrías preservan distancias, esos segmentos deben medir lo mismo. Para comenzar, consideremos dos segmentos de la misma medida, ¿serán congruentes? α Primero con una traslación, hagamos coincidir un extremo de un segmento con un extremo del otro segmento. Ahora, medimos el ángulo entre los segmentos, si ese ángulo es α , entonces realizamos un rotación de ángulo α y con centro en el punto de coincidencia de los trazos, como ambos segmentos miden lo mismo, ambos son radios de una misma circunferencia. Entonces, la composición de la traslación con la rotación transforma un segmento en el otro. Entonces tenemos que: Un par de segmentos son congruentes sí y sólo sí miden lo mismo. Consideremos ahora, dos circunferencias si son congruentes, quiere decir, que existe una isometría que transforma una en la otra, en particular el centro de una es transformado en el centro de la otra y como la isometría preserva distancias, se tiene que los radios miden lo mismo. En el otro sentido, consideremos dos circunferencias del mismo radio. En este caso, basta considerar la traslación que transforma el centro de una circunferencia en el centro de la otra. Como los radios miden lo mismo, la primera circunferencia es transformada en la segunda vía la traslación. • Considera las siguientes figuras en el plano cartesiano: ¿Cuáles parejas de figuras son congruentes? En cada caso describe la isometría que transforma una figura en la otra. actividades 3 Unidad De la página anterior tenemos que: Dos circunferencias son congruentes sí y sólo sí tiene el mismo radio. Según vimos, en la actividad de la página anterior, para dar la información precisa de un paralelógramo, no basta con dar a conocer la medida de sus lados, pues hay infinitos con esas condiciones. En nuestro nuevo lenguaje, significa que dos paralelogramos de lados que miden lo mismo no necesariamente son congruentes. Pero, si además agregamos como datos las medidas de sus ángulos, entonces sí los podemos conocer únicamente. Primero, reconozcamos dos ángulos que midan lo mismo en cada uno de los paralelogramos, luego vía una traslación llevemos el vértice del ángulo reconocido en el primer paralelógramo en ángulo reconocido del segundo. Luego vía una rotación, con centro en el vértice en común, hagamos coincidir los lados que forman el ángulo reconocido como ambos son paralelogramos de las mismas medidas, todos los otros lados coincidirán. Por lo tanto, los paralelogramos son congruentes. En un caso más general puede ser necesario, además, una reflexión. Entonces, dos paralelogramos son congruentes si y sólo si sus lados y ángulos miden lo mismo. Dos paralelogramos son congruentes si y sólo si sus lados homólogos tienen iguales medidas y la medida de uno de sus ángulos coincide. • Describe la isometría que permite afirmar que los siguientes paralelogramos son congruentes: actividades 164 Geometría 1. ¿Existe un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 6 cm y 7 cm? Júntate con varios compañeros y cada uno construya un triángulo con palitos de helados, con las medidas dadas. ¿Son todos los triángulos construidos congruentes? 2. Si las medidas de los lados de dos triángulos son las mismas, ¿los triángulos son congruentes? 3. De un triángulo se conoce que un lado mide 7 cm y otro lado mide 8 cm y que el ángulo entre ellos es de 60o. Júntate con varios compañeros y cada uno construya un triángulo con palitos de helados, con las medidas dadas. ¿Son todos los triángulos construidos congruentes? Como los rectángulos son paralelogramos, entonces dos rectángulos son congruentes si y sólo si sus lados homólogos miden lo mismo y la medida de uno de sus ángulos coincide. Pero, como los rectángulos tienen todos sus ángulos rectos, la información de los ángulos es redundante, no es necesario darla. Por lo tanto: Dos rectángulos son congruentes si y sólo si sus lados homólogos miden lo mismo. Como los cuadrados son un caso especial de rectángulos, entonces dos cuadrados son congruentes si y sólo si sus lados miden lo mismo. Pero como los lados de un cuadrado miden todos lo mismo se tiene que: Dos cuadrados son congruentes si y sólo si sus lados homólogos miden lo mismo. Ahora, estudiemos el caso de los triángulos. Si dos triángulos son congruentes, entonces sus lados y ángulos miden lo mismo. A la inversa, si tenemos dos triángulos ΔABC y ΔA'B'C' tales que AB ≅ A'B', AC ≅ A'C', y BC ≅ B'C' , y además m(∠ABC) = m(∠A'B'C'), m(∠ACB) =m(∠A'C'B'), y m(∠CAB) = m(∠C'A'B') A B C A' B' C' A B B A C' C' C C A' A' B' B' Vía una traslación llevamos el punto B' en el punto B . Como AB ≅ A'B' , una rotación con centro en B , permite llevar A' en A . Luego, si es necesario, vía una reflexión entorno al eje AB , se obtiene que C ' calza con C . Luego los triángulos son congruentes. Entonces, Dos triángulos son congruentes si y sólo si sus lados y ángulos homólogos miden lo mismo. actividades 3 Unidad aplicando lo aprendido 1 Si ΔDCO ≅ ΔBAO entonces: a) Prueba que O es punto medio de DB y AC. b) Es correcto afi rmar que si AB ⊥ BD entonces CD ⊥ BD?, ¿porqué? 2 Analiza y determina para cada caso si los siguientes pares de triángulos dados son congruentes: a) Si ΔABC, AB = 4 cm, m∠ABC = 45° y BC = 6 cm y ΔDEF, DE = 4 cm, m ∠DEF = 45° y EF = 6 cm. b) Si ΔRST, RS = 5 cm, m∠RST = 100° y m∠SRT = 30°y ΔXYZ,XY = 5 cm, m ∠YXZ = 30° y m∠XYZ = 100° 3 El pentágono KBLAC es congruente con el pentágono SROHE como muestra la fi gura. L A K B C S E R H O 65o a) Completa: m(KB) == cm m(EH) = cm m(LA) = cm m∠SRO = cm b) ¿Cuál es la medida de la suma de los ángulos interiores de un pentágono? c) Si tenemos dos pentágonos que no son congruentes, ¿es la misma la suma de los ángulos interiores de los pentágonos? 4 Júntate con cinco compañeros y observen el triángulo ABC de la fi gura: a) Determinen de manera individual las coordenadas de un punto D tal que ΔABC ≅ ΔABD. b) Comparen sus respuestas: ¿coincidieron o hay alguna respuesta distinta? Si todos coinciden en la respuesta encuentren otro punto E tal que ΔABC ≅ ΔABE. ¿Existirán más puntos que cumplan con estas características? c) Verifi quen que con todos los puntos encontrados se cumpla la congruencia con el triángulo ABC. 5 Observa junto a tres compañeros el triángulo ΔOPQ y el segmento RS de la fi gura: a) Determinen de manera individual las coordenadas de un punto T tal que ΔOPQ ≅ ΔRTS. b) Comparen sus respuestas. ¿Coincidieron o hay alguna respuesta distinta? Si todos coinciden en la respuesta encuentren otro punto M tal que ΔOPQ ≅ ΔRTM. ¿Existirán más puntos que cumplan con estas características? c) Verifiquen que con todos los puntos encontrados se cumpla la congruencia con el triángulo OPQ. 166 Geometría • Don Pedro corta maderas de formas triangulares. El está seguro de que todavía hay información redundante. Es decir, si conoces los lados de un triángulo, entonces lo conoces completamente. En nuestro lenguaje, decimos que si dos triángulos tienen lados que miden lo mismo, entonces son congruentes. ¿Estás de acuerdo con don Pedro? Triángulos congruentes Como hemos visto, dos triángulos son congruentes si y sólo si sus lados miden lo mismo y sus ángulos miden lo mismo. Sin embargo, como los ángulos interiores de un triángulo suman un ángulo extendido (180o), en realidad nos basta que tengan los tres lados de iguales medidas y dos ángulo de iguales medidas, pues el tercero está obligado a medir la diferencia entre 180o y la suma de los otros dos. Es decir, si dos triángulos tienen dos ángulos de iguales medidas, el tercero también coincide. Entonces, hemos quitado una información redundante, ¿podremos quitar otra? ¿Bastará tres lados iguales y un ángulo igual para que dos triángulos sean congruentes? Investiguemos. Consideremos dos triángulos ΔABC y ΔA'B'C', tales que AB ≅ A'B', AC ≅ A'C', y BC ≅ B'C', y además ∠ABC mide lo mismo que ∠A'B'C'. A B C A' B' C' A' C' C' A' B' B' C C A A γ α β β γ Como AB ≅ A'B', existe una isometría que lleva A en A' y B en B'. Tracemos ahora el segmento CC', Por la congruencia de los lados, se tiene que los triángulos. ΔCBC' y ΔCAC' son isósceles, entonces los ángulos ∠CC'A y ∠C'CA miden lo mismo. Del mismo modo los ángulos ∠CC'B y ∠C'CB miden lo mismo. Por lo tanto, el ángulo ∠ACB mide lo mismo que el ángulo ∠A'C'B' , entonces los triángulos ΔABC y ΔA'B'C', tienen lados que miden lo mismo, y dos ángulos que miden lo mismo. Por lo tanto los triángulos son congruentes. Resumiendo, tenemos: Si la medida de los lados de dos triángulos y la medida de uno de sus ángulos son iguales, entonces los triángulos son congruentes. 14 actividades 3 Unidad 1. Muestra que las diagonales de un cuadrado dividen a éste en cuatro triángulos rectángulos congruentes. 2. En una circunferencia, marca un ángulo de 60°, donde el vértice sea el centro de la circunferencia. Une los puntos del ángulo que intersecten a la circunferencia, con un trazo t. Muestra que t mide lo mismo que el radio de la circunferencia. Nuestra intuición nos dice que todavía hay información redundante, de hecho si construimos triángulos con palitos de maquetas o con palitos de helados de medidas fijas, los ángulos, los tres, quedan totalmente determinados. Entonces, nuestra conjetura es que si dos triángulos tienen los tres lados de igual medida entonces los triángulos son congruentes. Investiguemos este caso. Consideremos dos triángulos de iguales medidas, ΔABC y ΔA'B'C' , tales que AB ≅ A'B', AC ≅ A'C', y BC ≅ B'C'. Por lo que vimos la página anterior, basta mostrar que tienen al menos un ángulo de igual medida para demostrar que son congruentes. A B C A' B' C' A B C A' B' C' A B C A' B' C' α ϖ α ϖ Mediante una isometría haremos coincidir los vértices A con A' y B con B' , igual que en el caso anterior, trazando el segmento CC', formamos dos triángulos isósceles, a saber son, ΔCC'A y CC'B . Por lo tanto los ángulos ∠CC'A mide lo mismo que el ángulo ∠C'CA y por la misma razón los ángulos ∠C'CB y ∠CC'B miden lo mismo. Por lo tanto los ángulos ∠ACB y ∠A'C'B' miden lo mismo, por lo tanto los triángulos ΔABC y ΔA'B'C' , son congruentes. Resumiendo, hemos demostrado: Teorema (Criterio LLL) Si las medidas de los lados correspondientes de dos triángulos son las mismas, entonces los triángulos son congruentes. Al anterior teorema le llaman el Criterio de Congruencia de triángulos lado-ladolado. Este teorema explica por qué las construcciones buscan formar triángulos. Pues si tienes un triángulo de madera por ejemplo, bien clavados y si las maderas no se deforman, debieran mantenerse en el tiempo sin variar sus posiciones, debido a que los ángulos deben ser los mismos a lo largo del tiempo, si los lados se mantienen fijos. En cambio si tuvieras un cuadrado, este puede deformarse, transformándose en un rombo, pues los ángulos pueden cambiar sin necesidad de cambiar la medida de sus lados. actividades 168 Geometría Existen otros criterios que permiten asegurar, la congruencia de triángulos; sin embargo, no haremos estas demostraciones, pero un estudiante interesado debiera investigar y encontrarlas. Uno de esos criterios es el siguiente: Teorema (Criterio LAL) Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes congruentes y el ángulo que forman los lados congruentes mide lo mismo, entonces los triángulos son congruentes. Este criterio se conoce como “lado-ángulo-lado” y lo que postula es que si tú tienes dos palitos y los unes por uno de sus extremos, y los abres o lo cierras de manera de formar un ángulo dado, entonces existe una sola forma de cerrar el triángulo. Es decir, la distancia entre los extremos no unidos, está totalmente determinada. α α α α Si AB ≅ FD , BC ≅ DE y los ángulos ∠ABC y ∠FDE miden lo mismo, entonces los triángulos ΔABC y ΔFDE son congruentes. Otro criterio es el siguiente: Teorema (Criterio ALA) Si dos ángulos de un triángulo miden lo mismo que dos ángulos de otro triángulo, y los lados comprendidos entre los ángulos son congruentes, entonces los triángulos son congruentes. Este criterio se conoce como “ángulo-lado-ángulo” y lo que postula, es que si tienes un palito y en cada extremo del palito pones dos palos de manera tal de formar ángulos determinados con el primero. Entonces la intersección de los palitos está únicamente determinada. Si EF ≅ BC , los ángulos ∠DEF y ∠BCA miden lo mismo, y los ángulos ∠ABC y ∠EFD miden lo mismo, entonces los triángulos ΔABC y ΔFDE son congruentes. α β α β 3 Unidad aplicando lo aprendido 1 En la fi gura O es punto medio de SK y RT . a) Demuestra que ΔSTO ≅ ΔROK. b) Si ΔSTO es la imagen vía cierta transformación isométrica, ¿cuál podría ser ésta? Describe la imagen de cada vértice del ΔROK . c) Prueba que ST  RK . 2 Dados los triángulos, decide si son o no congruentes indicando el criterio utilizado. a) b) c) C E A B D d) e) f) 3 Si SA es bisectriz de ∠DAR y ∠DTR, prueba que Δ ≅ Δ DAT RAT . 4 Demuestra que el triángulo escaleno no tiene ejes de simetría. Demuestra que el triángulo isósceles tiene sólo un eje de simetría. Finalmente, demuestra que el triángulo equilátero tiene 3 ejes de simetría. 5 ¿Cuántos ejes de simetría tiene el rombo? ¿Y el romboide? ¿Es cierto que las diagonales del romboide se dimidian? ¿Y las del rombo? ¿Son perpendiculares las diagonales del rombo? ¿Y las del romboide? S W R T P A D C E B T M N R S D C A B 170 Geometría 1. Si el radio de la circunferencia, donde está inscrito el hexágono, mide 1 m. ¿Cuánto mide la altura de cada uno, de los seis triángulos, que forman el hexágono? 2. Con los datos del problema anterior, ¿cuánto mide el área de cada triángulo que forma el hexágono? 3. ¿Cuál es el área del hexágono regular, inscrito en la circunferencia de radio 1m? 4. Recuerda que el perímetro de la circunferencia de radio r es 2πr, y recuerda que el perímetro del hexágono regular inscrito en la circunferencia de radio r es 6r. Muestra que esto implica que π > 3.
Aplicaciones geométricas
Muchos resultados muy importantes en geometría se pueden deducir de propiedades
de los triángulos congruentes, debido a que siempre podemos triangular una
figura poligonal. Por ejemplo, el hexágono regular está formado por seis triángulos
congruentes.
De hecho, el hexágono regular resulta de tomar una circunferencia, dividir, el ángulo
completo del centro en 6 partes iguales y marcar los puntos de la circunferencia
que determinan esos ángulos. Como el ángulo completo mide 360o su sexta parte
es 60o. Una vez formado los seis triángulos, cada uno de ellos tiene dos lados, al
menos, que miden lo mismo, pues corresponden a la medida del radio r de la circunferencia.
Entonces los triángulos son congruentes por el criterio LAL.
Como el triángulo, por lo menos, es isósceles, los otros dos ángulos del triángulo
miden lo mismo y suman 120o, que es lo que le falta a 60o para formar 180o.
Como los ángulos son iguales y suman 120o, entonces cada uno de ellos mide 60o.
Es decir, el triángulo es equilátero de lado r. Entonces, podemos deducir varios
resultados de este descubrimiento; por ejemplo:
El hexágono regular inscrito en la circunferencia de radio r,
tiene perímetro 6r.
Otro resultado es el siguiente:
Los ángulos interiores de un hexágono regular miden todos 120°.
60o
60o
60o
β α
60o
γ
15
actividades
3
Unidad
1. Considera la figura lateral. En esta actividad demostrarás que ∠BCD mide
la mitad que el ángulo ∠BOD. Muestra que ∠ODC mide β . Muestra que
2β + α = 180°. Si ∠DOB mide x, muestra que α + x = 180°. Muestra que
x = 2β. Concluye que ∠BCD mide la mitad que el ángulo ∠BOD.
2. Demuestra que un triángulo inscrito en una circunferencia, que tiene un
diámetro como lado es un triángulo rectángulo.
Las propiedades de los triángulos se pueden deducir de la característica de los triángulos
congruentes. Consideremos un triángulo isósceles ΔABC, donde AC ≅ AB,
por lo tanto los ángulos α y β miden lo mismo. Consideremos la bisectriz del
ángulo ∠BAC.
Como AD es bisectriz, se tiene que el ángulo ∠BAD mide lo mismo que el ángulo
∠DAC. Entonces por el criterio LAL, se tiene que los triángulos BDA y CAD
son congruentes. Por lo tanto BD ≅ DC, luego D es punto medio de BC. Es decir,
AD es transversal de gravedad. También por congruencia, podemos afirmar que δ
y μ miden lo mismo y como son suplementarios, se tiene que miden 90o cada uno
de ellos, por lo tanto AD ⊥ BC , es decir AD es altura del triángulo.
Resumiendo, tenemos el siguiente resultado:
En un triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo opuesto
a la base, es transversal de gravedad y altura.
Estudiemos ahora algunas propiedades de los trazos de la circunferencia. Consideremos,
una cuerda CD en ella. Existe un único diámetro que divide por la mitad a
esa cuerda. Llamemos Z la intersección de la cuerda con el diámetro. Marquemos
los radios OC y OD. Por el criterio LLL, se tiene que los ΔOZC ≅ ΔOZD, por lo
tanto los ángulos ∠OZD y ∠OZC miden lo mismo y como son suplementarios
se tiene que ∠OZD = 90°, por lo tanto OZ ⊥ CD Entonces, hemos demostrado el
siguiente resultado:
O
D
C O C
D
Z Z
El diámetro que dimidia a una cuerda es perpendicular a ella.
D β
B
C
O
α
β
x
α β
A
B D C
δ μ
σ σ
actividades
172
Geometría
problema resuelto
Un joven enamorado quiere ir a visitar a su novia que está a 30 km de distancia río arriba,
pero el camino esta en una línea recta paralela al río. El joven va a caballo a cumplir su romántica
misión, el río está a 10 km del camino que une los puntos A del joven y B de la doncella.
El caballo necesita agua para hacer todo el viaje, el jinete se pregunta dónde debe parar para
que el caballo tome agua, ¿en algún punto más cerca de la doncella? ¿En algún punto más
cerca de él? ¿En el punto medio?
A B
C
x
Solución:
Denotemos por x la distancia de A ‘ a C, como muestra la fi gura. Completa en tu cuaderno una tabla como
la siguiente, de la distancia recorrida D para distintos valores de x.
D(km) ? ? ? ? ? ? ?
x(km) 0 5 10 15 20 25 30
Al parecer, el punto que hace que la distancia recorrida sea mínima, es el punto medio o alguno muy cercano
a él. Hagamos un modelo puramente geométrico.
α
α
A B A B A B
A’ C C C
A ” A ”
A ‘ A ‘
Si refl ejamos el punto A, en torno a A’C obtenemos el punto A” , como se trata de una refl exión AA’ ≅ A’A”.
La distancia de A a C más la distancia de C a B es la misma que la distancia de A ” a C más la distancia
de C a B. Como buscamos la distancia mínima, necesitamos que los puntos B, C y A ” estén en una línea
recta. Como los triángulos ΔA’A”C y ΔBB’C tienen ángulos de iguales medidas y BB’ ≅ A’A”, entonces
ΔA’A”C ≅ ΔBB’C. Por lo tanto A’C ≅ CB’.
Entonces C es el punto medio de A’B’, por lo tanto el jinete debe hacer beber agua al caballo en el punto
medio del trayecto.
B‘
A ‘
3
Unidad
Programas computacionales
Existen programas computacionales que permiten hacer construcciones geométricas.
Como ejemplo abajo te mostramos uno llamado Cabri, que tiene bastantes
funciones geométricas.
Como ves, puede hacer polígonos regulares, trazar rectas, trazos segmentos, por
cualquier par de puntos que tu elijas. También realiza reflexiones de cualquier figura
respecto a la recta que tú elijas, rotaciones respecto al punto que quieras y en el
ángulo que puedas copiar, y traslaciones respecto a algún vector.
Con este programa, por ejemplo, te mostraremos cómo construir un triángulo isósceles.
Traza una recta L cualquiera. Luego marca un punto P fuera de la recta. Ahora
construye un segmento que tenga por extremo a P, y el otro extremo Q que esté
en la recta, pero que el trazo no sea perpendicular a la recta. Ahora haz la reflexión
del trazo respecto a la recta L, llama P ‘ el reflejado de P. Para finalizar marca el
segmento PP ‘. Concluimos que el triángulo ΔPP ‘Q es isósceles.
1. Explica por qué la construcción de arriba efectivamente produce un triángulo isósceles. ¿En cuál caso
resulta un triángulo equilátero?
2. Dada una circunferencia, la cual tiene marcada una cuerda construye una cuerda del mismo tamaño que
la cuerda dada. El programa no tiene la opción “cortar y pegar”.
P ‘
Q
P
16
actividades
174
Geometría
Figura 1
Figura 2
1. En un modelo geométrico, en papel, del problema de Lautaro. Traza la perpendicular
L a DE que pasa por E. Continúa el segmento HJ hasta que
intersecte a L. Llama a la intersección I. Traza la paralela a AB que pasa por
I, a la intersección de esa recta con BC , llámalo K. Demuestra que las figuras
pintadas del mismo color son congruentes. Concluye que el profesor de
Martina tenía razón, al decirle que podía formar un cuadrado.
2. Justifica todas las afirmaciones de Martina, en el primer puzle, aquel que
cambió un triángulo en un rectángulo.
Puzles geométricos
Martina tiene un trozo triangular de madera; para un trabajo en Tecnología necesita
transformarlo en un trozo rectangular. Tiene pegamento y pasta para pegar los trozos,
si es necesario cortar, y empastar las uniones para que no se note el ensamblaje. Ella
cree que haciendo un corte en DE y luego otro en CF , obtendrá dos trozos, el amarillo
y el rojo, que luego pegando como indica la figura se obtendrá un rectángulo.
G
A
D
C
E
B
F
E
C
G B
F
F F
A
D
Lo que no sabe bien, es dónde hacer el corte DE , pero está segura, por pura intuición,
que CG es una altura. Sin embargo, observando el bosquejo con detenimiento
se da cuenta que FC ≅ FG, lo que quiere decir que el corte DE hay que hacerlo
a la mitad de la altura.
Pensándolo bien, Martina se da cuenta que ∠DFC será un ángulo del rectángulo,
por lo tanto, el ángulo es recto y como DE  AB se tiene que efectivamente CG
es una altura.
Lautaro, el profesor de Martina, sorprendido con su ingenio, le propone el siguiente
puzzle:
En un trozo de madera que está formado por dos cuadrados (Figura 1). El profesor
le dice que haga un corte en ED, luego un corte perpendicular al anterior, pasando
por D. Llame H el punto del corte en AB. Para finalizar haga un corte perpendicular
al anterior, pasando por H (Figura 2). Cuando tiene todas las piezas desordenadas, le
pide que arme un cuadrado con todas esas piezas. ¿Puedes ayudarle a Martina?
F E
I
A H B
J
K
G C
D
17
actividades
3
Unidad
aplicando lo aprendido
1 El pentágono ABCDE es regular. Prueba que las diagonales AC y AD son congruentes.
A
B
C
E D
2 Considera las siguientes 12 fi guras compuestas, cada una de ellas por 5 cuadraditos.
Si el lado de cada cuadradito es de 1 cm. construye un rectángulo lados 6 cm y 10 cm. ¿Existe alguna
fi gura formada por 5 cuadrados que no sea congruente a una de las que te presentamos?
3 Un par de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes y paralelos. Prueba que el otro par de
lados opuestos también son congruentes y paralelos.
4 Martina tiene las piezas negras y cree que las puede disponer de forma de llenar completamente el
cuadrado amarillo, sin que las piezas se traslapen. ¿Puedes comprobar que la creencia de Martina es
cierta? Si el cuadrado negro rotulado con A tiene área 4 cm2, ¿cuál es el área del cuadrado amarillo?
A
B
¿Cuántas veces más grande es el área del cuadrado A que el área del cuadrado B?
¿Cuántas veces mayor es el área del cuadrado amarillo que el área del cuadrado B?
176
Geometría
EUCLIDES Y SUS ELEMENTOS
Muy poco se sabe de la vida de Euclides. Se cree que probablemente, fue llamado
a Alejandría en el año 300 ae. ya que Ptolomeo, sucesor de Alejandro en
sus dominios africanos, había fundado una gran biblioteca en Alejandría. Creó
una universidad y Euclides se encontraba entre sus primeros maestros. Enseñó
durante 20 ó 30 años, mientras escribía sus conocidos “Elementos” y muchas
otras obras de importancia. Esta enseñanza infl uyó notablemente en otros matemáticos,
como Arquímides y Apolonio, dos de los principales miembros de la
universidad.
En los “Elementos”, Euclides intentó hacer una descripción exhaustiva de la
matemática que se conocía en su tiempo. Escribió esa matemática en 13 libros.
Hoy esta tarea sería muchísimas veces más colosal, debido al gran desarrollo y
diversifi cación que ha tenido la matemática en todos estos siglos.
Los libros I, II, IV y VI tratan sobre líneas, áreas y fi guras planas regulares simples,
son en su mayor parte pitagóricos.
EL libro III trata sobre círculos, sigue a Hipócrates.
El libro V, elabora el método de Eudoxo sobre proporciones, que servirá para
estudiar el libro VI que trata de semejanza de fi guras planas.
Los libros VII,VIII y IX son de aritmética. Se introducen los números primos y compuestos
y propiedades de ellos, que fueron la base para que muchos siglos después,
Gauss demostrara el Teorema Fundamental de la Aritmética.
El libro X está dedicado a estudiar los números irracionales, especialmente los
de la forma a + b y los de la forma a − b donde a y b son enteros
positivos.
EUCLIDES
El Teorema fundamental
de la Aritmética dice
que todo número entero
se puede escribir como
el producto de potencias
de números primos,
además dice que salvo
el orden y signos de los
números, esa escritura es
única, demostró que no
existe un número primo
que es mayor que todos
los demás.
un poco de historia
Defi niciones euclidianas
En los elementos de Euclides, se dan defi niciones de objetos geométricos, de algo muy importante como
son las relaciones que defi ne entre los objetos. Presentamos algunos ejemplos:
1. “Un punto es lo que no tiene partes.”
2. “Una línea es una longitud sin anchura.”
3. “Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella.”
4. “Una superfi cie es aquello que sólo tiene longitud y anchura.”
5. “Un límite es lo que es extremo de algo.”
6. “Una fi gura es aquello que está contenido por cualquier límite o límites.”
Discute con tus compañeros acerca de la claridad de estas defi niciones.
actividades
3
Unidad
El libro XI trata sobre geometría elemental del espacio y el XII se
dedica a mostrar el método de exhausión, donde se demuestra
el Teorema de Hipócrates que dice que el área de un círculo de
radio r es πr2. Estos métodos son los mismos que muchos siglos
después desarrollaran Newton y Barrow para la creación del
Cálculo Integral, que consiste, gruesamente, en calcular áreas
encerradas por cualquier tipo de curvas. El libro XIII proporciona
y demuestra las construcciones de los cinco cuerpos geométricos
regulares de Pitágoras, alabados por Platón.
Entre todos sus logros, uno muy importante, es que presentó
un cuerpo ordenado de definiciones, axiomas, postulados,
teoremas, corolarios. Dentro de esa teoría, cada resultado nuevo
se deduce de las definiciones básicas, axiomas, postulados
o de los teoremas demostrados con anterioridad. Esta forma
de hacer matemáticas es la que se practica hasta nuestro días.
Si bien, sus definiciones y postulados tenían lagunas lógicas y
ambigüedades, fue el primer intento en presentar de esta forma
las matemáticas. Por ejemplo una de sus definiciones es la
de punto, que la define como “una cosa que no tiene parte”,
lo cual no da una idea precisa de lo que se está hablando.
El quinto de sus postulados dice, en su forma más simple:
Dada una recta L y un punto P fuera de ella, existe una única
paralela a L que pasa por P.
Euclides no demostró esto, sino que su recíproco. Euclides se expuso al ridículo y a los ataques. Los
críticos de Euclides decían que éste no es un supuesto adecuado y debe ser demostrable con los anteriores
postulados. Muchos años pasaron de intentos de demostrar este postulado con los anteriores,
pero no se logró. Pero, en su defecto, se pudo cambiar este postulado por otros, sin que se produzcan
inconsistencias lógicas. Los cambios a este postulado produjeron nuevas geometrías, llamadas no Euclideanas.
En las geometrías no euclideanas, por un punto exterior a una recta L pueden pasar infinitas
paralelas a L, o también ninguna recta paralela a L.
Primera impresión
del libro “Elementos”,
un incunable de 1482
impreso por Ratdolt.
* El método de Exahusión de Hipócrates consistió en aproximar
el área del círculo mediante polígonos regulares.
a) Considera una circunferencia de radio 1, construye el
triángulo equilátero inscrito y circunscrito a la circunferencia.
Calcula las áreas de esos triángulos.
b) Construye el hexágono regular inscrito y circunscrito a
la circunferencia y calcula el área de ellos. El método,
consistía en aumentar la cantidad de lados del polígono
regular, calcular sus áreas y encajonar el área del círculo,
entre el área del inscrito y del circunscrito. De forma
que mientras más grande sea la cantidad de lados mejor
será la aproximación.
actividades
178
Geometría
información en los medios
LAS TORRES PETRONAS EN MALASIA
A principios de los 80 el gobierno malasio relocalizó el céntrico Selangor Turf Club a las afueras de
la ciudad. Esto posibilitó el uso de un enorme terreno en pleno centro de Kuala Lumpur, el llamado
Triángulo Dorado. El plan contemplaba el desarrollo de dos torres, las que deberían ser reconocidas
como símbolo de Malasia y para ello se desarrolló un concurso internacional.
A falta de una tradición malasia de construir edifi cios altos, César Pelli (arquitecto argentinonorteamericano)
basó su propuesta en patrones geométricos basados en referencias islámicas, presidida
por dos torres iguales de planta en estrella de 12 puntas y un puente que las interconectaba.
Ambas torres conformaban una puerta urbana y marcaban un lugar simbólico, algo sobre lo que
Pelli ha escrito profusamente. Dado que las otras propuestas planteaban torres asimétricas o usaban
3
Unidad
apliquemos
Junto a tus compañeros busca edifi cios chilenos que tengan algún tipo de transformación isométrica.
a) ¿Cuántos ejes de simetría tienen las torres después del puente que las conecta?
b) ¿Qué otras transformaciones isométricas puedes observar en la construcción?
un lenguaje moderno-internacional, la idea de
Pelli fue aceptada por unanimidad, no sin antes
establecer algunas modifi caciones: la planta de las
torres debería basarse en 2 cuadrados girados y su
fachada debería incluir una aguja. Una planta en
estrella de 8 puntas traía muchas complicaciones
funcionales, por lo que finalmente se optó por
añadirle 8 lóbulos circulares, otorgando al edifi cio una
forma única, totalmente diferente a los rascacielos
de occidente.
Como se observa, los edifi cios son simétricos, tanto
en su estructura como en su posición uno con
respecto al otro.
Fuente: http://moleskinearquitectonico.blogspot.com/2007/12/las-torres-petronas-csar-pelli.html
180 REFUERZO DE LA UNIDAD
actividades finales
6 Dadas las coordenadas de VFAT, para cada
caso, determina las coordenadas de un punto
C tal que VFAT ≅ VCAT.
a) F(1,2); A(4,7); T(4,2)
b) F(7,5); A(–2,2); T(5,2)
7 Las coordenadas del VABC son A(1,2); B(4,2);
C(2,4), y las coordenadas del segmento DE son
E(6,7); D(6,4). Encuentra las coordenadas del
punto F de tal manera que VABC ≅ VDEF.
8 Dada la fi gura A en la siguiente ilustración,
describe la transformación isométrica que lleva
la fi gura A en la B, luego la B en la C y así continúa
hasta la fi gura F.
A
B C
D
E
F
9 Aplica la composición T(6,−1) ° T(−7,2) al trazo
PQ . ¿Cuál es la traslación que lleva la imagen
P′Q′ que resulta de la composición, al trazo
PQ ?
P 1
0
-1
-1 0 1 2Q
-2
1 Sean los puntos A(0,1), B(4,−2), C(7,2) y D(3,5)
los vértices de un cuadrilátero.
a) Prueba que el cuadrilátero ABCD es un cuadrado.
b) Determina las coordenadas de la imagen de
ABCD en cada una de las siguientes transformaciones:
i) Traslada ABCD tal que la imagen de A
sea D.
ii) Refl eja ABCD respecto al eje Y.
iii) Rota ABCD entorno a D con un ángulo
de 90º.
iv) Aplica a ABCD la traslación T(−1,−8) y la
imagen resultante A’B’C’D’ refl éjala con
respecto al eje X de coordenadas en el
plano cartesiano.
2 Uno de los extremos de un segmento rectilíneo
de longitud 5 es el punto (3,−2). Si la abscisa
del otro extremo es 6 hallar su ordenada.
¿Cuántas soluciones hay?
3 Los vértices de un triángulo son A(2,8), B(0,−1)
y C(6,−1). Determina las coordenadas de los
puntos medios del triángulo ABC, luego pruebe
que las medianas (segmento que une los
puntos medios), miden la mitad del lado.
4 Las coordenadas de los puntos medios de los
lados de un triángulo son (2,5), (4,2) y (1,1).
Encuentra las coordenadas de los tres vértices.
(Ind: usa lo anteriormente probado)
5 Los puntos extremos de un segmento son
P1(2,4) y P2(8,−4). Halla el punto P(x,y) que
divide a este segmento en dos partes tales que
PP PP 1 : 2=1 : 3
Unidad 3
13 Sea el VGJK con HK ≅ IK y GH ≅ IJ . Prueba
que GK = JK.
K
G H I J
14 Sea el VRST Isósceles con RT ≅ ST, M punto
medio de RT y N punto medio de ST. Demuestra
que SM≅ RN.
T
M N
R S
15 Si X es punto medio de US y RV , y el punto
Y es punto medio de VT y SW. Además,
UR  VS WT. Decide, ¿cuáles pares de triángulos,
en la fi gura, son congruentes?
16 Demuestra que en todo triángulo las transversales
de gravedad se cortan en la razón 1 : 2.
10 Las coordenadas del VABC son A(−1,2); B(4,2);
C(2,4) y las del VDEF son F(10,−1); E(7,1);
D(5,−1).
a) ¿Son congruentes estos triángulos?
b) Fundamenta tu repuesta.
11 El polígono ABCDE es congruente a cierto polígono
A’B’C’D’E’, es decir, existe una transformación
isométrica en la cual A’ es imagen de
A, B’ es imagen de B, C’ es imagen de C, D’ es
imagen de D y E’ es imagen de E.
Entonces de las siguientes aseveraciones es
(son) verdadera(s):
I. BC = B′C′
II. ∠DEA = ∠D’E’A’
III. C′D′ es proporcional a CD
a) Sólo I.
b) Sólo II.
c) Sólo III.
d) Sólo I y II.
e) Sólo II y III.
12 Si AC ≅ BC y AD ≅ BD.
Demuestra que AB ⊥ CD.
C
A B
E
D
182 REFUERZO DE LA UNIDAD
17 Sea el cuadrilátero ABCD con Q, R, S, P, puntos medios de AB, BC, CD y DA respectivamente.
Demuestra que el cuadrilátero PQRS es un paralelógramo.
A
B
C
D
S R
P Q
18 En el juego del Pool, cuando una bola golpea la banda, el ángulo con el cual golpea es el mismo
con el cual sale la bola.
α α
Supón que tienes que golpear la bola amarilla con la bola blanca, pero la bola negra y azul te
impiden hacerlo directamente. Por lo tanto tienes que lanzar la bola a una o dos bandas para que
luego golpee a la bola amarilla.
¿En que puntos de la banda debes golpear la bola blanca para que en el rebote golpee a la
amarilla?
Geometría
Unidad 3
autoevaluación
1 (Timss, 2003 modifi cado). Los puntos A(2,3) y
B(4,7) son los vértices de un cuadrado ABCD que
tiene todos sus vértices en un solo cuadrante.
¿Cuáles son las coordenadas de los vértices C
y D?
a) C(−1,8) y D(−2,4)
b) C(8,5) y D(6,1)
c) C(1,−1) y D(−3,1)
d) C(1,0) y D(2,7)
2 (Timss, 2003) Si el patrón de teselación continua
cubriendo la malla de abajo, ¿cuál es la pieza
que debería ir en X?
x
A B C D
3 (Problema modifi cado de Prueba Timss 2003)
Dadas las siguientes baldosas:
A B C D
Si en el cuadriculado PQ y RS son ejes de simetría,
¿cuál baldosa debería ir en el lugar de X e
Y respectivamente?
P
R S
Q
D X
C
B
Y A
a) C y B
b) B y C
c) C y D
d) A y D
e) C y A
4 Si al segmento AB de coordenadas A(−1,0) y B(−2,3)
se le aplica la composición R((−3,−1),90˚) º T(1,1),
las coordenadas de la imagen B’ es:
a) B’(−1,4)
b) B’(2,−3)
c) B’(−1,−4)
d) B’(1,−4)
5 (Prueba TIMSS 2003) ABCD es un trapecio.
Otro trapecio, GHIJ (no se muestra), es congruente
con ABCD. El ángulo cuyo vértice es G y el ángulo
cuyo vértice es J miden 70º cada uno. ¿Cuál de
estas afi rmaciones podría ser verdadera?
B C
A D
70º 70º
a) GH = AB.
b) El ángulo cuyo vértice es H es un ángulo
recto.
c) Todos los lados de GHIJ tienen la misma
longitud.
d) El perímetro de GIHJ es tres veces el perímetro
de ABCD.
e) El área de GHIJ es menor que el área de
ABCD.
6 (Prueba TIMSS 2003) En el cuadrado EFGH,
¿cuál de estas afi rmaciones es FALSA?
H G
E F
I
a) VEIF y VEIH son congruentes.
b) VGHI y VGHF son congruentes.
c) VEFH y VEGH son congruentes.
d) VEIF y VGIH son congruentes.
e) VEGF y VFGH son congruentes.
Las habilidades que pretende desarrollar esta unidad, y en particular sus actividades están relacionadas
con analizar propiedades de figuras planas que permitan embaldosar el plano, identificar
isometrías y composiciones de ellas, construir la imagen de figuras vía una transformación isométrica,
demostrar propiedades de la isometría y de sus composiciones, describir regularidades
geométricas. En esta unidad también, hay muchas actividades con preguntas abiertas, del tipo
¿Es cierto que…? En estos casos es preciso dar tiempo para que los estudiantes analicen las posibilidades
y en el caso en que no se llegue a resultados satisfactorios, entregar pistas que ayuden
a resolver los problemas.
Las respuestas honestas del estudiante, deben ser valoradas y encauzadas a reflexiones más profundas
para fomentar la confianza personal. Los trabajos de investigación deben ser rigurosos en
la selección y organización de la información y los argumentos deben condecirse con el pensamiento
lógico.
Esta unidad utiliza muchos conocimientos adquiridos por el estudiante, en su vida diaria, por la
intuición o por sus cursos anteriores. Es muy importante recoger este conocimiento y encausarlo
a los nuevos.
A continuación veremos algunas actividades referidas a las habilidades antes comentadas.
• Determinan figuras geométricas en el plano cartesiano.
En esta unidad los estudiantes comienzan estudiando las características del sistema de referencia de
coordenadas rectangulares “plano cartesiano”, ubican puntos y trazan figuras una vez ubicados sus
vértices, calculan el área y el perímetro de dichas figuras. También determinan una figura o lugar
geométrico dados algunos de sus puntos o una relación entre la abscisa y ordenada, por ejemplo:
Determinar el lugar geométrico de todos los puntos del plano cartesiano tal que la ordenada
más 3 es igual a la abscisa menos 1.
Esta actividad está después de varias actividades en que los estudiantes han determinado puntos,
figuras y lugares geométricos en el plano cartesiano, además en unidades anteriores han estudiado
la función lineal y afín, así que se espera que cuenten con herramientas para desarrollar
este problema. Si observa que los estudiantes tienen dificultades para abordar esta situación, en
el plano cartesiano vaya ubicando puntos, en conjunto con los estudiantes, que cumplan con las
condiciones dadas, de manera que intuitivamente determinen cuál es el lugar geométrico que
cumple con las condiciones dadas.
Una vez que ellos han sido capaces de determinar dos o tres puntos que cumplen con esta condición,
preguntar ¿cómo podemos expresar algebraicamente la condición dada?, se espera que los
estudiantes sean capaces de determinar que si representamos la abscisa por x y la ordenada por
y, esta condición queda determinada por la expresión y + 3 = x – 1. Pregunte a sus estudiantes,
¿Cómo quedan determinados los puntos que pertenecen a este lugar geométrico?, ¿Qué ocurre
si despejamos y en función de x?
Después de este trabajo de discusión, se espera que sean los propios estudiantes quienes
determinen que esta ecuación es la ecuación de una recta y sean capaces de dibujarla en el
plano cartesiano.
• Reconocen propiedades de transformaciones isométricas.
Varias actividades están diseñadas para estudiar propiedades de Isometrías. Por ejemplo:
¿Qué ocurre si aplicamos la traslación T (a,b) al plano y luego la traslación T (−a,b) ?
Esta actividad está después de varias actividades numéricas, de modo que se espera que el caso
numérico ya esté dominado. Si aún no es así, insistir con los casos numéricos, para luego pasar al
caso general.
Si los estudiantes, pese al esfuerzo, no logran dar una respuesta, se sugiere estudiar casos menos
generales, por ejemplo, considerar primero a = 0 . Preguntar, ¿qué le hace la traslación T(0,b) a un
punto cualquiera? ¿Lo mueve horizontalmente o sólo en dirección vertical? ¿En cuáles casos lo
mueve hacia arriba y en cuáles hacia abajo? Luego que estas preguntas encontraron respuestas,
preguntar las siguientes: Si T(0,b) mueve a un punto b puestos hacia arriba, ¿qué hace T(0,-b) a un
punto cualquiera? Recíprocamente, si T(0,b) mueve a un punto b puestos hacia abajo, ¿qué hace
T(0,-b) a un punto cualquiera? Invitar a los estudiantes a concluir que la acción de T(0,b) seguida de
T(0,-b) deja a los puntos en su posición inicial.
Hacer un estudio similar para el caso b = 0 , para concluir que T(a,0) seguida de T(-a,0), deja a todos
los puntos en su posición inicial.
Después de esta introducción invitar a los estudiantes a resolver el problema general. Se espera
que luego de este entrenamiento previo, los estudiantes puedan concluir qué ocurre en general.
Se sugiere que los estudiantes entreguen un informe para medir la calidad de sus argumentos y
la certeza de sus conclusiones.
• Demuestran propiedades de las transformaciones isométricas.
A lo largo de la unidad, existen varias actividades para demostrar propiedades de las transformaciones
isométricas, por ejemplo, la siguiente:
¿Qué le pasa a los puntos de la recta L cuando se le aplica la reflexión respecto a L?
Si el estudiante ha hecho varios ejemplos numéricos, la respuesta de esta pregunta debiera surgir
rápidamente. Si no es así, hacer ejemplos prácticos, y hacer las siguientes preguntas: Si das
vuelta una transparencia respecto a uno de sus bordes, ¿qué le pasa a los puntos del
borde? En un espejo hecho de un vidrio muy delgado, si haces una pinta con lápiz en
el vidrio, ¿cuál será la imagen reflejada de la marca? Luego que conjeturan la respuesta
correcta, recordar la forma de encontrar el reflejado de un punto. Como la distancia de un punto
de la recta L a la recta a L es cero, su reflejado también estará a distancia cero de la recta L, que
es equivalente a decir que el reflejado está en la recta también. Como la recta perpendicular a
L, intersecta a L en un solo punto, concluimos que la imagen de un punto del eje de simetría de
una reflexión es el mismo punto. Es importante motivar a dar argumentos lógicos, utilizando el
castellano, sin “marearse” demasiado con fórmulas matemáticas. Recolectar los argumentos y
corregir los errados. Se sugiere dar otra actividad para demostrar y verificar que no se cometen
los mismos errores que antes.
56
GEOMETRÍA 3 Unidad
• Encuentran la imagen de un punto vía una isometría.
Es muy importante que estos cálculos numéricos se hagan con abundancia, para luego generalizar
y descubrir resultados generales. En esta unidad hay varios de estos problemas. Por ejemplo:
Ubica el punto H(3,5) en el plano cartesiano. Rota el plano en torno al origen de coordenadas
en 90o. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen H’?
El estudiante puede hacer esto utilizando compás y transportador, pero no puede asegurar cuál
es exactamente la posición de la imagen H.
Se debe invitar al estudiante a justificar su respuesta, preguntar por ejemplo, ¿por qué estás seguro
de que las coordenadas de la imagen es (−5,3)? ¿Por qué no son (−4,999;3,00001) ?
P’
Q
5
P H
O 3
Luego de eso motivar al estudiante a dar una demostración que asegure la certeza de la respuesta.
Se espera una respuesta como la siguiente:
Como la rotación, preserva ángulo y distancia, la imagen de P es P’. El trazo PH mide lo mismo
que el trazo P’Q, y el ángulo OP’H mide lo mismo que el ángulo OPQ, entonces OP’ mide 5 y
del mismo modo P’Q mide 3. Por lo tanto, las coordenadas de Q son (−5,3) y Q es la imagen de
H vía la rotación. Luego Q = H′.
Revisar los razonamientos en los cuadernos de los estudiantes y escribir en ellos los comentarios
respecto de sus argumentos.
• Analizan datos necesarios y suficientes para construir figuras.
Para producir un cuadrilátero idéntico a otro, ¿basta conocer la medida de sus lados?
Es importante que el estudiante, experimente con material concreto y compare sus construcciones.
Un tipo de actividad puede ser grupal pidiéndole a cada uno que construya con cartulina un
cuadrilátero, con medidas predefinidas por el docente dando la siguiente instrucción “Construye
un cuadrilátero de lados 10 cm, 8 cm, 12 cm y 6 cm”. Luego en grupos de 4 estudiantes comparan
sus construcciones, verifican que todos cumplieron las indicaciones. Probablemente todos
los estudiantes construyan cuadriláteros diferentes, para comprobar que efectivamente dichas
construcciones presentan diferencias, puede pedir a los estudiantes que vayan superponiendo los
cuadriláteros que dibujaron.
57
3 Unidad
Guía Didáctica para el Profesor Matemática 1o año Medio
Para generar una discusión en torno a la información necesaria para construir un cuadrilátero,
plantee preguntas referidas a los cuadriláteros construidos por el grupo:
1. ¿Qué otra información sería necesario conocer para que todos construyan el mismo cuadrilátero?
2. ¿Todos los cuadriláteros construidos tienen los mismos ángulos?,
3. ¿Todos los cuadriláteros construidos tienen diagonales que miden lo mismo?
4. Si solo consideramos tres medidas y construimos un triángulo, ¿obtendrán todos el mismo
triángulo?
Pedir a los estudiantes realizar un informe respecto a sus conclusiones.
Una vez que los alumnos y alumnas hayan reflexionado sobre las preguntas anteriores es importante
destacar cuál es la información mínima y suficiente para producir un único cuadrilátero,
probablemente los estudiantes señalarán que es necesario tener la medida de todos los lados,
ángulos y diagonales, sin embargo es necesario llevarlos a reflexionar cuál es la información
mínima: la medida de los lados y una diagonal, la medida de los lados y un ángulo, entre otras.
Destaque además, que es necesario conocer el orden en que van dispuestos los lados para
producir el cuadrilátero, cuáles son los vértices que une la diagonal dada o entre qué lados está
comprendido el ángulo.
Otra alternativa es que cada estudiante recorte en cartulina franjas cuya longitud sea igual a los
lados del cuadrilátero dado por el profesor o profesora. Luego, que unan estas franjas por las
esquinas, con tachuelas o alfileres, formando un cuadrilátero. Así podrán determinar de manera
tangible que existen infinitos cuadriláteros que tienen lados de la misma medida.
Esta actividad está diseñada para introducir a los estudiantes en el estudio de congruencia de
triángulos, por tanto en su gestión no se puede utilizar los criterios de congruencia. Sin embargo,
es importante que el profesor tenga claro este aspecto, para que sin señalarlo directamente, vaya
relacionando la información mínima que se necesita para construir un único cuadrilátero con la
congruencia de triángulos, por ejemplo, trazando una diagonal del cuadrilátero.
• Caracterizan y clasifican triángulos y cuadriláteros a partir de sus ejes y centros de simetría.
Las actividades relacionadas con esta habilidad, deben ser desarrolladas de tal manera que el estudiante
descubra estas caracterizaciones, de otra forma, sólo sería una repetición del enunciado
de un teorema.
Una actividad tendiente a esta habilidad es la siguiente: “Demuestra que el triángulo escaleno no
tiene ejes de simetría”.
Primero, debe pedirles que supongan que un triángulo escaleno tiene un eje de simetría.
Luego, que construyan varias líneas rectas que atraviesen al triángulo escaleno, y que argumenten
que si tuviese un eje de simetría, necesariamente éste pasa por un vértice. Un argumento
58
GEOMETRÍA 3 Unidad
puede ser, que si no es así resultaría que un triángulo es isométrico con un cuadrilátero, lo cual
es imposible.
Una vez argumentado que el eje de simetría necesariamente pasa por un vértice, como el hecho
de que las reflexiones preservan ángulos y distancias, implica varias cosas. Invitar a los estudiantes
a descubrir esas implicancias. Por ejemplo, se tiene que:
Uno de esos resultados (el último), por ejemplo, contradice el hecho de que el triángulo es escaleno.
Invitar a los estudiantes a encontrar otras implicancias que contradicen el hecho que el
triángulo es escaleno.
• Descubren las condiciones para que una figura tesele el plano.
En la unidad se hace mención a la Teselación de El Cairo.
Al respecto se propone la siguiente actividad:
En la baldosa básica de la teselación de El Cairo, los lados AB , BC , CD y CE miden lo mismo.
Demuestra que β = 90o y que 2α + δ = 360°.
Invitar a los estudiantes a copiar la baldosa en una hoja, tres veces, y luego hacer que coincidan
esas tres baldosas, de forma de construir una parte de la teselación de El Cairo. A continuación
mostramos cómo se vería. Creemos importante que el estudiante mueva físicamente las cartulinas,
para lograr una comprensión más concreta y a la vez profunda.
1. AD es bisectriz de ∠BAC,
2. BD mide lo mismo que DC,
3. ABmide lo mismo que AC,
4. El ∠DBA mide lo mismo que ∠DCA.
D
B
A
C
E
D
C
B
A
α
β
δ
β
α
59
3 Unidad
Guía Didáctica para el Profesor Matemática 1o año Medio
De este modo, se observa de inmediato que en uno de los vértices, encerrado en línea punteada,
aparecen dos ángulos que miden lo mismo β y que suman un ángulo extendido, por lo tanto
β es un ángulo recto. Invitar a los estudiantes a observar la convergencia de ángulos, encerrados
en línea segmentada, para deducir, casi de forma inmediata que 2α +δ = 360o . Aunque los argumentos
son bastante evidentes, preocuparse mucho de que sean presentados en forma clara y
precisa.
La actividad continúa:
Utiliza esta teselación para hacer otra formada por hexágonos no regulares.
En la teselación de El Cairo invitar a los estudiantes a reconocer un hexágono (no necesariamente
regular), si no lo ven destacarlo, como se muestra abajo.
Invitar a los estudiantes a construir una baldosa de El Cairo para un valor dado de α por ejemplo
110°, para alguna medida fija, escogida por el alumno, para el lado AB. Luego al unir estas
baldosas como muestra la figura de arriba, formar la teselación requerida. Es muy importante
destacar que la medida de AE estará determinada por α , sin embargo, no es fácil de determinar,
aunque es posible de construir con regla y compás. Evaluar la construcción es esencial, aparte de
lo correcto de los argumentos expuestos.
α
β
δ
β
α
α
β
δ
β
α α
β
δ
β
α
E
B
A
B
C
D
60
GEOMETRÍA 3 Unidad
Antes de la demostración de que las únicas teselaciones regulares, son las que se consiguen con
triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares, es muy importante que intenten varios
casos en forma práctica, antes de llegar al teorema. Es muy probable que los estudiantes tengan
argumentos muy buenos, para asegurar que no hay más casos que los que dice el teorema. Con
total seguridad tendrán argumentos para descartar algunos casos particulares, como que el pentágono
regular no tesela el plano. Se sugiere invitar a los estudiantes a argumentar por qué, por
ejemplo el polígono regular de 7 lados no tesela el plano.
• Conjeturan y demuestran propiedades en triángulos, cuadriláteros y circunferencia por
medio de congruencia de triángulos.
Clásicamente se relaciona la geometría con las demostraciones, aunque en realidad se pueden
hacer demostraciones de este nivel, en otros temas, como aritmética, álgebra, etc. Como se ha
hecho a lo largo de esta guía y también en el Texto del Estudiante.
Mostramos actividades referentes a esta habilidad, con diferentes grados de complejidad.
Muestra que las diagonales de un cuadrado, dividen a éste en cuatro triángulos rectángulos
congruentes.
Invitar a los estudiantes a dibujar el cuadrado y sus diagonales. Recortar los triángulos, que abajo
pintamos de colores distintos:
Verde
Amarillo Naranja
Rojo
Una vez recortados los triángulos, invitar a los estudiantes a poner uno encima de otro, y darse
cuenta que coinciden perfectamente. Sin embargo, es importante recalcar que esto no constituye
una demostración, pues nuestro cuadrado es uno particular, y el ojo es un instrumento no muy
preciso que no puede distinguir, diferencias pequeñas, de modo que hasta el momento sólo conjeturamos
que los triángulos son congruentes. Además, no hemos dicho si son rectángulos o no.
Para hacer la demostración, invitar a los estudiantes que analicen el ΔADC ; les ayudará que les
pregunte: “¿Qué clase de triángulo es?” “¿Es equilátero, isósceles o escaleno?” “¿Es rectángulo?”
Una vez que se haya argumentado que es isósceles y rectángulo, concluir que el ∠CAD mide
lo mismo que ∠ACD y esa medida es 45°. Del mismo modo, analizando el ΔDAB, se obtiene que
el ∠ADB también mide 45°. Por lo tanto, el ΔAPD es isósceles y el ∠APDes recto.
Invitar a los estudiantes a argumentar que todos los triángulos recortados, satisfacen la misma
condición que ΔAPD.
61
3 Unidad
Guía Didáctica para el Profesor Matemática 1o año Medio
Como AP ≅ PD y como PD ≅ PC se tiene que, por el criterio LAL los ΔAPD y ΔDPC son congruentes.
Invite a los estudiantes a argumentar acerca de la congruencia de los otros triángulos.
Es muy importante motivar a los estudiantes que una vez resuelto un problema, aún se puede
seguir aprendiendo del mismo problema. Invitar a los estudiantes a responder otras preguntas,
relacionadas con el mismo problema:
1. ¿Es cierto el resultado anterior en un rectángulo?
2. ¿Es cierto el resultado anterior en un rombo?
3. ¿Es cierto que las diagonales de un cuadrado se dimidian?
4. ¿Es cierto que las diagonales de un cuadrado son perpendiculares?
• Componen y descomponen figuras; analizan congruencia entre sus lados y ángulos.
Una actividad referida a esta habilidad es la siguiente:
Tomando la figura ABCEFGD, solicite al estudiante que haga un corte en ED , luego un corte
perpendicular al anterior, pasando por D. Llame H el punto del corte en AB. Para finalizar haga
un corte perpendicular al anterior, pasando por H. Cuando tiene todas las piezas desordenadas,
pídale que arme un cuadrado con todas esas piezas. Pregunte, ¿puedes hacerlo?
A H B
D C
F E
L
A B
C
D G
F E
Una forma de realizar la tarea es:
F E
D
B
G C
K
J
I
A H
L
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GEOMETRÍA 3 Unidad
Para ello es necesario argumentar que, efectivamente, DHIE es un cuadrado, que
ΔJKI ≅ ΔLFE, que ΔDGL ≅ ΔHBJ y que ΔADH ≅ ΔKEI.
• Resuelven problemas que involucren congruencias de trazos, ángulos y triángulos.
A continuación presentamos un ejemplo de una actividad, que involucra esta habilidad.
P W Q
B R
80 cm
20 cm
1,6 m
2,2 m
α α
Invitar al estudiante: Supón que tienes que golpear la bola roja con la bola blanca, pero la bola
verde te impide hacerlo directamente. Por lo tanto tienes que lanzar la bola a una banda para que
luego golpee a la roja. ¿En qué punto de la banda debes golpear la bola blanca para que en el
rebote golpee a la roja?
Denotemos por B el punto sobre la mesa, donde está la bola blanca y por R el punto donde está
la bola roja. Tracemos la perpendicular a BRque pasa por B, y también la perpendicular a BR que
pasa por R. Denotemos por P y Q la intersección de estas perpendiculares con una de las bandas
y por W el punto de la banda donde debe pegar la bola roja.
Como los ∠BWPy ∠RWQ miden lo mismo, se tiene que los ΔBPW y ΔRQW son rectángulos,
cuyos ángulos tienen iguales medidas.
Además como BP mide lo mismo que RQ , se tiene que los ΔBPWy ΔRQW son congruentes. Por
lo tanto, W es el punto medio de PQ.
Los estudiantes debieran hacer un informe, mostrando los argumentos necesarios para obtener
cada conclusión de la demostración.
Blanca Roja
63
3 Unidad
Guía Didáctica para el Profesor Matemática 1o año Medio
ERRORES FRECUENTES
• Si una recta divide una figura en dos partes iguales es un eje de simetría.
Muchos estudiantes confunden ejes de simetría de una figura, con cualquier recta que divida por
la mitad a la figura, lo cual es un error muy común. En estos casos se sugiere, con material concreto,
hacer físicamente la reflexión para que reconozcan que la candidata a eje de simetría no lo es.
Por ejemplo, la diagonal del rectángulo no cuadrado, no es un eje de simetría, pese a que divide
al rectángulo en dos triángulos congruentes.
Si se hace la reflexión respecto a la diagonal se obtiene un rectángulo que no coincide con el
original. Varios de estos ejemplos aparecen en las actividades.
• Las transformaciones isométricas conmutan.
Este error es muy común entre los estudiantes, debido a que hasta ahora todas las operaciones
que conocen son conmutativas. En el texto del estudiante existen varios ejemplos donde se demuestra
que la composición no es siempre conmutativa. Un ejemplo de esos fue considerar la
rotación R = R(O,900 ) y la traslación T = T(1,1) . Es importante mostrar varios ejemplos donde se ve la
no conmutatividad. Es necesario evaluar continuamente si un par de isometrías conmutan o no.
Utilizar las metáforas de las máquinas es una buena herramienta, para asimilar esta idea.
• Falso criterio de congruencia.
Aparte del falso criterio: “Dos triángulos son congruentes si tienen los mismos ángulos”, existen
otros más sutiles, por ejemplo, el siguiente, el cual es muy común entre los estudiantes:
Si dos triángulos tienen dos pares de lados congruentes y un ángulo de igual medida, entonces los
triángulos son congruentes.
Invite a los estudiantes, a mostrar que esta proposición es falsa. Por ejemplo, invite a construir un
triángulo rectángulo de catetos 3 y 4, por lo tanto la hipotenusa mide 5. Luego, con un compás
hacer la circunferencia, con centro en el vértice del ángulo recto y de radio 4. Entonces un vértice
O será el centro de la circunferencia, otro vértice Q estará en la circunferencia, y otro vértice P
estará al interior de la circunferencia.
Luego trazar la perpendicular que pasa por P. Uno de los puntos de intersección de ésta recta con
la circunferencia, denotarlo por R.
64
GEOMETRÍA 3 Unidad
R P
3
4
O 4
Q
Ahora, mostrar que el triángulo ΔOPR tiene un lado que mide 3, otro que mide 4 y además un
ángulo recto, pero no es congruente a ΔOPQ.
Invitar al estudiante a argumentar por qué los triángulos antes mencionados no son congruentes.
• Demostraciones incompletas.
En geometría es muy común dar demostraciones incompletas, debido a que se piensa en un caso
que se cree paradigmático, pero siempre existen casos “límites” o “degenerados” que no se aprecian
a primera vista. En el Texto del Estudiante se da una demostración incompleta del resultado:
Si dos rectas, L y L’ se intersectan en un único punto O, entonces la reflexión con eje de simetría
L, compuesta con la reflexión con eje de simetría L’ produce una rotación de centro O y ángulo
2α , que corresponde al ángulo entre L y L’.
L’
α
P
P’’
P’
L
O O
γ β β
γ
L’
P
P’’
P’
L
En la demostración se escogió un P genérico, pero no se consideró el caso P L∈ . Por ejemplo:
es muy importante, como se hace en el texto, reconocer que faltan estos casos y tratarlos en las
actividades, como aparece en la unidad. También se puede considerar el caso P L∈ como un caso
límite del caso demostrado, tomando β = 0. En el caso que el estudiante entregue demostraciones
incompletas, invitarlo a reconocer los casos que faltan.
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3 Unidad
Guía Didáctica para el Profesor Matemática 1o año Medio
ACTIVIDADES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN
Para reforzar.
• Uso de programa computacional.
Si los estudiantes se sienten agobiados por algunas actividades del texto, insistir con las actividades
más simples. También se sugiere trabajar mucho con material concreto o con algún
software geométrico. Uno muy conocido es CABRI, también, existen otros similares a aquél, y
que son gratuitos en la red. Uno de ellos es GeoGebra, que se encuentra en forma gratuita en
www.geogebra.at. Aquí pueden graficar funciones, hacer trazos, dibujar polígonos, trasladar,
reflejar, rotar, etc. Se invita a visitar esta página y utilizar el programa. En un botón hay opciones
para todos los movimientos rígidos.
La figura de arriba muestra una reflexión de una imagen, según una recta dada, utilizando este
programa. La imagen tiene la gracia de tener un sentido muy distinto al ser reflejada.
El programa tiene la opción de mostrar ejes coordenados y también cuadrículas, lo que permite
realizar actividades utilizando coordenadas. Por ejemplo, la imagen de abajo, muestra la rotación
del trazo AB, con centro en el origen y ángulo -90°. Se puede preguntar, por ejemplo, por las
coordenadas de B’.
66
GEOMETRÍA 3 Unidad
Este programa, a diferencia de CABRI, no tiene la opción de construir polígonos regulares directamente.
Pero una actividad interesante para el estudiante es pedirle que construya un triángulo
equilátero, utilizando el programa. Una estrategia que el estudiante puede utilizar, o que el profesor
puede guiar es:
1. Crear un trazo cualquiera AB.
2. Rotar en torno a A el trazo AB, en un ángulo de 60°.
3. Unir los puntos B y B’.
Es importante que el estudiante justifique por qué lo que resulta es un triángulo equilátero.
• Utilizan material concreto para visualizar criterios de congruencia.
Aquellos estudiantes que en primera instancia no pueden seguir las demostraciones, es bueno
introducirlos, con material concreto, a las construcciones, de tal manera que descubran los teoremas
en forma empírica. Por ejemplo, unir dos palitos de maqueta, de tamaños distintos, con una
tachuela, de forma que parezca un brazo articulado.
Pedirles a estos estudiantes que formen un ángulo recto, luego pedirles que cierren el triángulo
con otro palito de maqueta. Preguntarles luego: “¿Existe un único triángulo tal que dos de sus
lados midan lo que los palitos de maqueta y el ángulo ente ellos es recto?” Luego repetir la actividad
con otros ángulos. Pedirles que enuncien el criterio LAL, y que describan su razonamiento,
que permite asegurar la veracidad del criterio. Estos argumentos no serán una demostración formal,
pero esconderán en lo profundo la idea fundamental y es que dado dos lados de un triángulo
y el ángulo entre ellos existe una única medida para el lado opuesto al ángulo.
• Demostraciones acerca de isometrías.
Como la definición de congruencia está basada en las isometrías, es importante conocer resultados
respecto de ellas. Uno muy importante es el siguiente:
Si una isometría M deja fijos tres puntos no colineales, entonces es la identidad.
Mostraremos una forma geométrica, de la demostración de este resultado. Consideremos tres
puntos O, A y B no colineales. Consideremos P un punto distinto de los anteriores y denotemos
por P’ su imagen vía M. Si demostramos que P = P’, habremos probado el resultado.
Notemos que OP mide lo mismo que OP’, pues M preserva distancias. Por lo tanto, P’ está en la
circunferencia de centro O que pasa por P.
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3 Unidad
Guía Didáctica para el Profesor Matemática 1o año Medio
Del mismo modo el trazo BP mide igual que BP’, por lo tanto P’ está en la circunferencia de centro
B, que pasa por P. Luego los únicos candidatos a P’, son P y Q.
Pero también sabemos que AP mide lo mismo que AP’, pero la distancia de A a Q no es la misma
que la de A a P. Luego la única posibilidad para P’es P. Entonces M fija a todos los puntos del
plano. Luego M es la identidad.
Otro resultado importante en el conjunto de teoremas de isometrías es el siguiente:
Si una isometría fija dos puntos, entonces es una reflexión o la identidad.
Esto quedó probado en la demostración anterior, pero es importante dejarlo establecido. Supongamos
que M no es la identidad, por el teorema anterior, M no puede fijar ningún otro punto no
colineal a los ya fijos por M.
Respondamos primero la pregunta: “¿Qué le hace M a los puntos de la recta OA ?”
Sea O’ un punto en la recta OA , entonces la imagen de O’ vía M, está en la circunferencia de
centro O que pasa por O’ y también en la circunferencia de centro A que pasa por O’, pero O’
es el único punto que satisface esa condición. Entonces la isometría M fija todos los puntos de la
recta OA .
Ahora analicemos el caso general: sean O y A los puntos fijos por la isometría M, y sea P cualquier
punto del plano, distinto a los anteriores. Denotemos por P’ la imagen de P vía M. Como M
preserva distancias, se tiene que los trazos OP y OP’miden lo mismo. Del mismo modo los trazos
AP y AP’ son congruentes. Por lo tanto el único punto candidato a ser P’, es la intersección de
las dos circunferencias, el cual no es P.
68
GEOMETRÍA 3 Unidad
Por lo tanto, el triángulo PP’A es isósceles, y además O’ es punto medio de PP’, por el caso particular
que vimos antes. De aquí se deduce que O’A es transversal de gravedad, por tanto altura.
Luego OA y PP’ son perpendiculares, de lo que se deduce que P’es la imagen de P vía la reflexión
respecto a la recta OA. Luego M es una reflexión.
POSIBLES AMPLIACIONES CONDUCENTES A TÓPICOS DE CURSOS SUPERIORES
Transformaciones isométricas
Congruencia
Se puede ampliar a
Se puede ampliar a
Criterios de congruencia Se puede aplicar a
Homotesias
Semejanzas
Crieterios de semejanzas
Teorema de Tales
Ángulo inscrito y del centro de una
circunsferencia
Teorema de Euclides
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3 Unidad
Guía Didáctica para el Profesor Matemática 1o año Medio
ACTIVIDADES DE CIERRE DE UNIDAD
Las actividades del texto del estudiante están diseñadas para que el estudiante modele, resuelva
problemas, calcule y aplique los conceptos e ideas descubiertos en esta unidad. Las preguntas que
presentamos a continuación pretenden reconocer si se logró un conocimiento profundo de los
tópicos estudiados en esta unidad.
1. Identifique los aspectos invariantes que resultan de efectuar una traslación y una reflexión.
2. Si un programa computacional permite reflejar respecto a cualquier recta y dibujar trazos,
describa una estrategia que permite construir un triángulo isósceles.
3. Si se componen dos reflexiones con ejes de simetrías paralelos, ¿qué se obtiene? ¿Es una
reflexión? ¿Conmutan esas transformaciones?
4. Una rotación deja al centro de rotación fijo, esto es, si R es la rotación y O es el centro se tiene
que R(O) = O.
a) Si compones dos traslaciones, la transformación que resulta, ¿tiene puntos fijos?
b) ¿Cuántos puntos fijos tiene una reflexión? ¿Cuáles son?
c) Una rotación ¿tiene más puntos fijos, aparte del centro?
d) ¿Una isometría puede tener exactamente dos puntos fijos?
5. Describe una estrategia que te permita construir un triángulo congruente a uno dado, de tal
suerte que ninguno de los lados del triángulo original sea paralelo al triángulo imagen.
6. Si una isometría deja fijos los vértices de un triángulo, ¿qué puedes decir de la isometría? ¿Es
la identidad?
7. Si una isometría deja fijo un único punto:
a) ¿Es una traslación?
b) ¿Es una reflexión?
c) ¿Es una rotación?
8. Si dos triángulos ABC y A’B’C’, son tales que AB ≅ A’B’, BC ≅ B’C’, y los ángulos BCA y B’C’A’ miden
lo mismo. ¿Es cierto que los triángulos son congruentes?
B B´
A
C


70
GEOMETRÍA 3 Unidad
MODELOS DIDÁCTICOS
A continuación se darán ejemplos concretos y actividades que ayudarán a que los alumnos
logren los aprendizajes esperados en esta tercera unidad.
• Caracterizan la traslación, la simetría y la rotación de figuras en un plano.
1. ¿Qué le pasa a los puntos de la recta L cuando se les aplica la reflexión respecto a L?
2. Si a un punto P se le aplica una reflexión, resulta P’, ¿qué le pasa a P’ si se le aplica la misma
reflexión?
3. Si rotamos todos los puntos del plano en torno a O, con ángulo α, ¿qué le pasa a O?
En estas actividades los alumnos descubren las características y propiedades de las isometrías para
obtener resultados generales.
• Construyen, utilizando escuadra y compás, figuras simétricas, trasladadas y rotadas.
Dado el cuadrado de la figura:
A B
C D
0
1. Dibuja la imagen que se obtiene al aplicar al cuadrado ABCD la traslación T(0,3) . Nombra los
vértices de esta imagen con las letras A’B’C’D’.
2. Al cuadrado A’B’C’D’aplícale la traslación T(0,3) .
3. Usa regla y compás para reflejar la siguiente figura con respecto a la recta L.
L
• Analizan los datos necesarios y suficientes para construir un triángulo o cuadriláteros.
En un colegio están renovando las pizarras con las que se ocupaba tiza para escribir, por las pizarras
para plumones. El maestro Luis fue el que tomo las medidas y su memoria no es de lo mejor,
recordando solo la superficie aproximada de las pizarras que debía ser 3 m2
71
3 Unidad
Guía Didáctica para el Profesor Matemática 1o año Medio
a) Construye una pizarra de superficie 3 m2, utilizando la escala 10 : 1 para las dimensiones de
tu pizarra.
b) La pizarra que construiste, ¿es la única con esa superficie? ¿Podrías construir otras?
c) ¿Qué otro dato sería necesario para tener con precisión la pizarra encargada para colocar en las
salas de clases?
Este problema esta orientado a que el alumno(a) se de cuenta que puede construir muchas pizarras
de superficie 3 m2, luego necesita más información para construir exactamente la que el
colegio necesita. Cuando llega a esa primera conclusión es importante el análisis guiado por el
profesor, de cuáles son los posibles datos necesarios y suficientes para obtener la pizarra deseada.
Recordar que las pizarras son rectangulares, así que ya contamos con que sus ángulos son rectos,
esto nos lleva a buscar el dato que nos falta y es, por ejemplo, la medida de sus lados.
La pregunta importante que deben responderse los alumnos es: sabiendo la superficie del rectángulo,
¿necesito las dimensiones de los dos lados o solo me basta con una dimensión?
Esta actividad, se podría trabajar dando solo la diagonal del rectángulo o el perímetro del rectángulo,
o también un lado de éste, y que los alumnos analicen las condiciones para construirlo.
• Resuelven problemas que involucran congruencia de trazos, ángulos y triángulos.
1. Júntate con cinco compañeros más y observen el ΔABC de la siguiente figura.
B
C
A
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5
a) Determinen de manera individual las coordenadas de un punto D tal que ΔABC ≅ ΔABD
b) Comparen sus respuestas. ¿Coincidieron o hay alguna respuesta distinta? Si todos coinciden
en la respuesta encuentren otro punto E tal que ΔABC ≅ ΔABE. ¿Existirán más puntos
que cumplan con estas características?
c) Verifiquen que con todos los puntos encontrados se cumpla la congruencia con el triángulo
ABC.
Esta actividad colaborativa es importante para que cada alumno obtenga un vértice y compare sus
resultados con los de los otros estudiantes. Si todos tienen el mismo resultado en la actividad, insista
en encontrar más soluciones y que los alumnos comprendan que dado un triángulo y fijando
una base, es posible encontrar para el tercer vértice, tres distintas coordenadas a la inicial, de tal
manera que los tres triángulos obtenidos sean congruentes entre sí y con el primero.
72
GEOMETRÍA 3 Unidad
En este problema se trabaja directamente con la definición de congruencia, sin utilizar los criterios
de congruencia para triángulos, con el fin de que los alumnos reafirmen y utilicen los conceptos
de transformaciones isométricas y determinen las correspondientes para encontrar triángulos congruentes.
• Conjeturan y demuestran propiedades en polígonos por medio de congruencia de
triángulos.
El pentágono ABCDE es regular. Prueba que las diagonales AC y AD son congruentes.
E
A
B
C
D
En este problema el objetivo es bien concreto, demostrar la propiedad de congruencia para las
diagonales del pentágono. Si el alumno construye este pentágono y traza las diagonales AC y
AD, observará que el polígono queda dividido en tres triángulos. Deber trabajar la congruencia
de dichos triángulos, utilizando alguno de los criterios de congruencia para los triángulos y por
supuesto considerar todos los datos que proporciona la regularidad del pentágono, para de esta
manera demostrar la congruencia entre las diagonales mencionadas.
• Componen y descomponen figuras (puzles geométricos); analizan congruencia entre sus
lados y ángulos.
1. Martina tiene las piezas negras y cree que las puede disponer de forma de llenar completamente
el cuadrado amarillo, sin que las piezas se traslapen.
¿Puedes comprobar la creencia de Martina? Si el cuadrado negro rotulado con A tiene área 4 cm2
¿Cuál es el área del cuadrado amarillo?
A
B
¿Cuántas veces más grande es el área del cuadrado A que el área del cuadrado B?
73
3 Unidad
Guía Didáctica para el Profesor Matemática 1o año Medio
¿Cuántas veces mayor es el área del cuadrado amarillo que el área del cuadrado B?
En esta actividad sería de gran ayuda que los alumnos recortaran las figuras en un papel, para que
de esta manera visualicen qué figuras tienen lados congruentes para juntarlas y así armar el puzle.
Es importante también analizar y comparar la medida de las áreas entre las figuras y si alguna
coincide en esta medida verificar si son congruentes, además de la relación entre las áreas de cada
pieza con respecto al área del cuadrado mayor.