TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS, CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 8 – OCTAVO AÑO PDF

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• Traslación
• Reflexión
• Rotación
• Teselaciones
• Definición de circunferencia y círculo
• Elementos lineales de una
circunferencia
• Elementos angulares de circunferencias
y círculos
• Perímetro de una circunferencia
• Área de un círculo.
En esta unidad aprenderás a:
Realizar traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas.
Identificar y construir teselaciones.
Reconocer la circunferencia y el círculo.
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Identificar los elementos de la circunferencia y el círculo.
Calcular el perímetro de una circunferencia y el área de un círculo.
Traslación
Como ya sabes, la Tierra se traslada alrededor del Sol y este, a su
vez, lo hace junto a la galaxia, como consecuencia de la expansión del
Universo.
En un ámbito más cotidiano estamos rodeados de elementos que
se trasladan constantemente: los microbuses, el metro, los autos, etc.
Nosotros mismos utilizamos nuestras piernas para trasladarnos de un
lugar a otro en nuestro diario quehacer.
Todos los objetos mencionados anteriormente son tridimensionales,
por lo que surgen algunas preguntas.
ff¿Pueden las figuras planas –bidimensionales– trasladarse?
La traslación de una figura plana está determinada por una dirección
y sentido y por una magnitud o distancia. El movimiento se representa
mediante un segmento de recta con una punta de flecha. Este segmento
se denomina vector.
Realicemos la traslación del cuadrilátero ABCD horizontalmente
hacia la derecha ocupando el vector V

. La metodología a seguir es:
Cuadrilátero ABCD
y vector V

.
En geometría, una traslación es una isometría caracterizada por
un vector V

, tal que, a cada punto P de un objeto o figura, le hace
corresponder otro punto P’. Las traslaciones pueden entenderse
como movimientos directos sin cambios de orientación que mantienen
la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados
Reflexión
En muchos elementos de la naturaleza podemos apreciar cierta
simetría. Por ejemplo, cada cristal de nieve es único en su forma, sin
embargo, todos ellos son aproximadamente simétricos.
ff¿Qué clase de simetría poseen los cristales de nieve?
En cada cristal, es posible definir líneas –llamadas ejes de simetría–
tal que a cada lado de ellas encontramos la misma estructura,
conservándose las mismas formas y tamaños. A este tipo de simetría
se le llama simetría axial.
Dada una recta e, una simetría axial en torno a ella es el movimiento
que transforma un punto P en un punto P’ (llamado su
imagen o reflejo), verificando:
• El segmento que une P y P’ es perpendicular a la recta e.
• Los puntos P y P’ están a la misma distancia de la recta e.
Se dice entonces que la recta e es el eje de simetría de la transformación.
Una figura geométrica es simétrica axialmente cuando es posible
definir en ella una recta o eje de simetría que la divide en dos partes
idénticas entre sí. Una figura simétrica puede tener 1 o más
ejes de simetría.
Por ejemplo:
A A’
B C C’ B’
e
e
Observa el siguiente triángulo escaleno ABC:
A
A’
B
B’
C
C’
O
La mayoría de los organismos
animales presenta
simetría axial. Excepciones
son algunos tipos de erizo y
de estrella de mar. La simetría
axial –conocida también
como bilateral– permite la
definición de un eje corporal
en la dirección del movimiento,
lo que favorece la
formación de un sistema
nervioso centralizado y la
cefalización.
La Naturaleza
Enlace con…
Ejercicios individuales
Señala la cantidad de ejes de simetría que p a. oseen las siguientes figuras planas:
a) b) c)
a) b)
b. Calca en tu cuaderno las siguientes figuras planas y obtén la imagen de cada una, realizando
una simetría central respecto al punto O señalado:
A
B
C
O O A
B
C
D
E
F
ff¿Qué clase de simetría se ha realizado sobre el triángulo?
Esta transformación corresponde a una simetría diferente a la anteriormente
vista. En este caso podemos determinar, no un eje, sino un
punto o centro de simetría, en torno al cual ocurre la transformación.
Diremos entonces, que la figura plana ha sufrido una transformación
isométrica que denominaremos simetría central.
Dado un punto O, una simetría central en torno a él es el movimiento
que transforma un punto P en un punto P’ (llamado su
homólogo), verificando:
• Los punto P y P’ están a la misma distancia del punto O.
• Los puntos P, P’ y O están alineados.
Se dice entonces que el punto O es el centro de simetría de la
transformación.
Algunas letras del alfabeto
que presentan simetría
central son la N, la S y
la Z.
Para obtener el triángulo A’B’C’ a partir del triángulo ABC debes:
1° Trazar una recta que pase por A y por el punto de simetría O, y sobre
esta recta determinar A’ tal que AO = OA’.
2° Repetir el procedimiento para los pares de puntos B – B’ y C – C’.
3° Finalmente, uniendo los puntos A’, B’ y C’ obtendrás el triángulo
A’B’C’ simétrico u homólogo al triángulo ABC.
Rotación
Claudio se fue de excursión a la laguna San
Rafael y sacó algunas fotos con su cámara digital
para mostrarlas a sus amigos. Al regresar a su
casa, comenzó a descargar el contenido de su
cámara al computador y se percató de que una
de sus mejores fotos estaba como se muestra en
la figura del costado.
ff¿Qué transformación puede aplicar Claudio
a su fotografía para que quede en la posición
correcta?
Si observas detenidamente, te darás cuenta que si Claudio rota 90º la
figura hacia la derecha obtendrá la fotografía en la posición correcta:
La rotación es una transformación isométrica en la cual una figura
gira sin deformación en torno a un punto determinado dentro de
la figura o fuera de ella, llamado centro de rotación. La magnitud
de la rotación se puede medir a través del ángulo de rotación.
Se considera un ángulo de
rotación positivo cuando
la rotación se realiza en
sentido contrario a las
manecillas del reloj:
Negativo Positivo
Una rotación de centro O
y ángulo de rotación de
180º, equivale a una simetría
central con centro de
simetría O.
O
a
O: centro de rotación
a: ángulo de rotación
]AOA’ = 90°
]BOB’ = 90°
]COC’ = 90°
A
A’
B
B’
C
C’
O
El glaciar San Rafael es uno
de los mayores glaciares
de los Campos de Hielo
Norte, en la Patagonia chilena.
Alimenta a la laguna
San Rafael y, a través de
esta, desagua en el Canal
Moraleda. Es el cuerpo de
agua glaciar más cercano
al ecuador terrestre.
La Geografía
Enlace con…
Rotemos el triángulo ABC en torno a un punto O en un ángulo de

Teselaciones
Observa con atención la siguiente imagen:
ff¿Cuál es el patrón que se repite en la imagen?
ff¿Qué transformaciones isométricas reconoces en la imagen?
En la imagen se ocupan dos pentágonos, y las transformaciones
isométricas de estos pentágonos llenan todo el plano. A este proceso
de recubrimiento se le llama teselación.
Una teselación es la cobertura de una superficie plana por un patrón
de figuras y sus transformaciones isométricas, de manera
que no quede espacio entre ellas y no se superpongan.
ff¿Es posible teselar un plano con un triángulo equilátero, un cuadrado
o un hexágono regular?
El triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular pueden
cubrir completamente una superficie plana y, de hecho, son los únicos
polígonos regulares que pueden hacerlo. A estas teselaciones se les llama
regulares. También es posible teselar un plano con más de un polígono
regular o con polígonos regulares e irregulares. A estas teselaciones
se les llama semirregulares e irregulares, respectivamente.

Definición de circunferencia y círculo
Los Juegos Olímpicos modernos se vienen realizando cada cuatro
años desde el año 1896. Solo se suspendieron los años 1916, 1940 y
1944, debido a las guerras mundiales. El símbolo de las olimpiadas
son cinco anillos de colores entrelazados que representan a los cinco
continentes.
Una circunferencia está formada por todos los puntos cuya distancia
a un punto llamado centro es la misma. El segmento que
va desde cualquier punto de una circunferencia a su centro, es el
radio de la circunferencia.
Un círculo es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran
contenidos en una circunferencia.
ffEn los anillos olímpicos, ¿puedes distinguir qué puntos forman una
circunferencia y qué región forma un círculo?
Cada uno de los anillos olímpicos es una curva llamada
circunferencia.
En los anillos olímpicos, la región blanca encerrada por cada uno
de ellos corresponde a un círculo.
Tanto en una circunferencia
como en un círculo
se habla de lo mismo
al referirse al radio y al
diámetro de cada uno
de ellos.
Circunferencia
D
o
r
D = 2r
Círculo
D
o
r
D = 2r
Los Juegos Olímpicos
modernos se inspiraron
en los eventos deportivos
organizados por los antiguos
griegos en la ciudad
de Olimpia entre los años
776 a. de C. y 393 d. de C.
Estos juegos eran fiestas
religiosas, culturales y deportivas
que se celebraban
en honor a los dioses.
El Deporte
Enlace con…
Ejercicios individuales
a. Indica con un ✓ en cuál de las siguientes figuras los puntos de color rojo forman un círculo y en
cuál una circunferencia:
b. Mide con una regla el radio y el diámetro de las siguientes circunferencias:
a) b)
Circunferencia
Círculo
Circunferencia
Círculo
Ejercicios grupales
a. Formen grupos de dos integrantes y discutan si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V)
o falsas (F):
a) _____ Circunferencia y círculo son términos sinónimos.
b) _____ El segmento que va desde cualquier punto de una circunferencia a su centro se
llama radio.
c) _____ La distancia entre dos puntos de una circunferencia es siempre la misma.
d) _____ La distancia de un punto de una circunferencia a su centro es siempre la misma.
e) _____ La distancia de cualquier punto de un círculo al centro del círculo es siempre la
misma.
Los elementos lineales de una circunferencia son: radio, cuerda,
diámetro, secante y tangente.
Un radio es un segmento que une el centro de una circunferencia
con cualquier punto perteneciente a ella. Su longitud equivale a
la mitad de la longitud del diámetro.
Una cuerda es un segmento que une dos puntos cualesquiera de
la circunferencia. Su longitud es siempre menor o igual a la del
diámetro.
Un diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Su longitud equivale al doble de la del radio.
Una secante es una recta que corta a una circunferencia en dos
puntos.
Una tangente es la recta que interseca a la circunferencia en un
único punto (llamado punto de tangencia). Es perpendicular al
radio y al diámetro en el punto de tangencia.

Algunos elementos angulares de una circunferencia y su correspondiente
círculo son: arco, sector circular, y ángulos del centro,
inscrito y semi-inscrito.
Un arco es una porción de la curva de la circunferencia que se
extiende entre dos puntos de ella.
Un sector circular es una parte de un círculo limitada por dos
radios y el arco que determinan.
Un ángulo del centro es un ángulo formado por dos radios de una
circunferencia.
Un ángulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia
y sus lados son dos cuerdas.
Un ángulo semi-inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia,
uno de sus lados es tangente a la circunferencia y el
otro es una cuerda.
Perímetro de una circunferencia
La plaza de una ciudad tiene forma circular y su radio mide 50 m.
Con motivo del aniversario de la ciudad se organizó una prueba de
marcha atlética. Ganará el primero que dé una vuelta completa a la
plaza de la ciudad:
ff¿Cómo podemos calcular el perímetro de una circunferencia si
conocemos la medida de su radio?
ff¿Qué distancia recorrerán los atletas?
Si calculas el cociente entre el perímetro y el diámetro de cualquier
circunferencia encontrarás valores cercanos a 3,14:
Perímetro
Diámetro
= π ≈ 3,14
El valor exacto de estos cocientes es un número decimal fijo que
se anota π y cuya parte decimal es infinita y aperiódica. El número π
redondeado a su cuarto dígito decimal es 3,1416.
Entonces, si queremos averiguar el perímetro de una circunferencia
conociendo la longitud de su diámetro debemos despejar el perímetro
de la ecuación señalada:
Perímetro = π · Diámetro
Y como la longitud del diámetro es igual a dos veces la del radio,
podemos concluir que:
Perímetro = π · (2 · Radio)
El radio de la plaza de la ciudad mide 50 m, por lo tanto:
Perímetro ≈ 2 · 3,14 · 50 m ≈ 314 m
Como los atletas deben dar una vuelta completa a la plaza, concluimos
que deberán recorrer aproximadamente 314 m.
La fórmula que nos permite calcular el perímetro p de una circunferencia
es:
p = 2 · π · r
Donde r es el radio de la circunferencia y π ≈ 3,14.
50 m
La marcha atlética es una
modalidad del atletismo
que consiste en recorrer
una determinada distancia
caminando, de manera
que el atleta nunca pierda
contacto con el suelo. Es
un deporte olímpico en
la categoría masculina
desde el año 1908, y en la
femenina desde 1992.
El Deporte
Enlace con…
En el siglo III a. de C. el
matemático griego Eratóstenes
de Cirene (284 a.
de C. – 194 a. de C.) realizó
uno de los experimentos
más ingeniosos de todos
los tiempos al medir el perímetro
de la circunferencia
de la Tierra utilizando las
rudimentarias técnicas de la
época y los conocimientos
de matemática que había
aprendido de los egipcios.
El error en el cálculo
realizado fue del 1% o del
17% (hay historiadores
que defienden una u otra
cifra) respecto al valor
aceptado en la actualidad
de 40 008 km.
La Historia
Enlace con…
Ejercicios individuales
Completa la siguiente tabla de acuerdo a las medidas correspondientes a. de cada circunferencia.
Utiliza la aproximación π ≈ 3,14:
Diámetro Radio
Perímetro
(aprox.)
20 km
5 cm
6π m
10 km
2,5 cm
9 m
b. Con ayuda de una regla completa con la información que se pide sobre cada circunferencia:
Problemas
1. Un deportista quiere atravesar a nado una laguna circular por su
diámetro. Para calcular la longitud del diámetro dio una vuelta
completa a la laguna por su perímetro y verificó que era igual
a 6 km. ¿Cuál es el diámetro de la laguna, aproximadamente?
(Usa π ≈ 3,14).
2. Don Eduardo construyó una piscina circular de 3,28 m de radio.
Para evitar accidentes –sus hijos son muy pequeños y tiene dos
perros poodle toy– mandó a construir una reja por todo el borde
de la piscina. ¿Qué longitud abarcará esta reja? (Usa π ≈ 3,14).
a)
Diámetro: _ ___________
Radio: _______________
Perímetro: ____________
Diámetro: _ ___________
Radio: _______________
Perímetro: ____________
Diámetro: _ ___________
Radio: _______________
Perímetro: ____________
b) c)
X X X
El área de un polígono regular
se calcula como:
A =
p · a
2
Donde p es el perímetro
y a es la apotema del
polígono.
Por ejemplo, para el área
de un cuadrado de lado b,
sabemos que la apotema a
es la mitad de la longitud
de uno de sus lados b
2
;
y el perímetro p, 4 veces
la longitud de sus lados
4b, entonces:
A =
4b ·
b
2
2
A = 2b2
2
= b2
Esta fórmula ya la conocíamos.
La fórmula que nos permite calcular el área de un círculo es:
A = π · r2
Donde r es el radio del círculo.
Área de un círculo
Alberto necesita calcular el área de la superficie de su mesa para comprar
un mantel a la medida. El diámetro de la mesa de Alberto mide 110 cm.
ff¿Cuál es el área de la superficie de la mesa de Alberto?
Podemos encontrar una forma para calcular el área de un círculo aplicando
algunas relaciones y propiedades de los polígonos regulares.
Si dentro de una circunferencia comenzamos a trazar polígonos regulares
inscritos, aumentando progresivamente el número de sus lados,
podemos constatar que a medida que aumenta el número de lados la
apotema (a) se aproximará al radio de la circunferencia (r).
Considerando la circunferencia como un
polígono regular de infinitos lados, podemos
decir que la apotema (a) coincide con el radio
(r) de la circunferencia y que el perímetro
del polígono coincide con el perímetro de la
circunferencia. Entonces, llamando p a este
perímetro tenemos:
A =
p · a
2
= 2πr · r
2
=
2π · r2
2
= π · r2
a
a
y
a
Para calcular el área de la mesa de Alberto debemos considerar que
D = 110 cm y que, por lo tanto, r = 55 cm. Entonces:
A = π · r2 ≈ 3,14 · (55 cm)2 ≈ 3,14 · 3 025 cm2 = 9 498,5 cm2
El área de la superficie de la mesa de Alberto es de aproximadamente
9 498,5 cm2.
110 cm
El apotema es el segmento
que va desde el centro de
un polígono regular hasta
el punto medio de uno de
sus lados.
Archívalo
En su libro De la Medida del
Círculo, el matemático griego
Arquímedes de Siracusa
indicó que el área de una
circunferencia es al área
del cuadrado circunscrito
a ella como 11 es 14.
La Historia
Enlace con…
Problemas
Una pista de baile circular 1. tiene un área de 50,24 m2. ¿Qué
distancia tendría que recorrer una persona que cruza la pista
desde un extremo a otro pasando por el centro de ella?
Considera π ≈ 3,14.
2. Elena diseña un papelógrafo con imágenes y dibujos. El contorno
de la cartulina lo adornará con círculos rojos. Si el papelógrafo
tiene forma rectangular con un ancho de 50 cm y un largo de
100 cm, ¿qué área de papel rojo necesitará para colocar a todo
lo ancho 5 círculos y a lo largo 10 círculos iguales?
Ejercicios individuales
a. Mide el radio de los siguientes círculos y calcula sus áreas:
a) b)
Área: _____________ Área: _____________
b. Deduce la fórmula que relaciona el área de un círculo con su diámetro a partir de la fórmula que
ya conoces (A = π · r2) y la relación D = 2r.
c. Calcula el valor que debe tener el radio de un círculo para que su área sea igual a 530,66 cm2.
Considera π ≈ 3,14.
d. Calcula el área sombreada en las siguientes figuras según los datos que se indican:
a) Circunferencia inscrita en un cuadrado de
5 cm de lado:
b) Circunferencia mayor de 20 cm de diámetro y
circunferencias menores de 1 cm de radio:
Área: Área:
HIPERTEXTO
Resolución de problemas
Problema modelo
Para conmemorar el centenario de una ciudad, su alcalde ha decidido
construir una rotonda cubierta por completo de pasto. La longitud del
diámetro de la rotonda será de 12 m.
a) ¿Cuál será el radio y el perímetro de la rotonda?
b) ¿Cuántos metros cuadrados de pasto se necesitarán?
En ambos cálculos considera π ≈ 3,14.
a) Entiende: ¿qué sabes del problema?
• La longitud del diámetro de la rotonda es de 12 m.
• El perímetro de la rotonda lo calculamos ocupando la fórmula correspondiente.
• Los metros cuadrados de pasto los obtendremos calculando el área del círculo que da forma
a la rotonda. Para ello ocuparemos la fórmula correspondiente.
b) Planifica tu estrategia: ¿cómo puedes resolver el problema?
• Calculamos la longitud del radio de la circunferencia dividendo la del diámetro por 2, ya
que D = 2r.
• Conocido el valor del radio de la rotonda, calculamos su perímetro mediante p = 2 · π · r
y el área de su superficie mediante A = π · r2.
c) Resuelve: desarrolla el problema para llegar a una respuesta
• Diámetro: D = 12 m Radio: r =
D
2
=
12 m
2
= 6 m
• Perímetro: p = 2 · π · r p = 2 · 3,14 · 6 m p = 37,68 m
• Área: A = π · r2 A = 3,14 · (6 m)2 A = 113,04 m2
d) Responde: contesta las preguntas del problema
• La longitud del radio de la rotonda circular será de 6 m.
• El perímetro de la rotonda medirá 37,68 m.
• Se necesitarán 113,04 m2 de pasto para cubrir la superficie de la rotonda.
e) Comprueba: aplica otra estrategia para comprobar el resultado
• Puedes calcular el perímetro y el área de la rotonda usando las fórmulas que relacionan el
perímetro de una circunferencia y el área de un círculo, con su diámetro.
• Puedes expresar la longitud del diámetro de la rotonda en centímetros y obtener el radio
también en centímetros. Luego, calcular el perímetro y el área de la rotonda y, finalmente
expresar los valores nuevamente en metros y comparar.
Problema 1
Cada una de las aspas de la hélice de una turbina de un avión de
pasajeros mide 120 cm. Responde usando calculadora:
¿Qué distancia recorre el extremo del a) aspa más alejado de la turbina
al dar una vuelta completa?
b) ¿Qué distancia recorre un punto marcado a la mitad de la longitud
de un aspa al dar esta una vuelta completa?
c) Calcula el área del círculo que describe la hélice al ponerse en
marcha el motor.
120 cm
Problema 2
Todos los sábados Gonzalo trota, dando 7 vueltas alrededor de un parque
que tiene forma circular. La distancia más larga de un extremo a otro del
parque es igual a 120 m.
a) ¿Cuál es el radio del parque?
b) ¿Qué distancia trota Gonzalo cada sábado?
Problema 4
La Tierra gira alrededor del Sol describiendo una órbita curva. Supón que
esta órbita corresponde a una circunferencia (así se creía antiguamente)
y considera que la distancia media entre el Sol y la Tierra es de aproximadamente
150 000 000 de kilómetros.
a) ¿Cuál es el perímetro de la órbita de la Tierra alrededor del Sol
descrita en el enunciado?
b) Averigua el valor aceptado como exacto para este perímetro y calcula
el porcentaje de error de tu cálculo. ¿Es significativo?
c) ¿Cuál es el área de la órbita de la Tierra alrededor del Sol descrita
en el enunciado?
Problema 3
Un payaso realiza una prueba de equilibrismo en un listón de madera apoyado
sobre una rueda de bicicleta. El diámetro de la rueda mide 55 cm.
a) ¿Cuál es el perímetro de la rueda?
b) ¿Cuál es el área determinada por la rueda?
c) ¿Qué transformación isométrica experimenta la rueda del
esquema?
d) ¿A qué elemento lineal de una circunferencia corresponde el listón
sobre el que está apoyado el payaso sobre la rueda?