TOPICOS DE MATEMATICA DISCRETA EN TEXTO PDF

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La matemática discreta es una rama de las matemáticas que trata las estructuras finitas y numerables.
Esta definición, forzosamente imprecisa, queda mejor delimitada cuando se da una
descripción de sus contenidos. A grandes rasgos, las lineas básicas de las que se ocupa la matemática
discreta son las técnicas de enumeración, las estructuras combinatorias, la teoría de
grafos y las estructuras algebraicas. Asimismo, la algorítmica es una herramienta imprescindible
para la construcción de soluciones a los problemas que se tratan.
Aunque históricamente éstas eran áreas que no formaban un cuerpo estructurado, el progreso
de la informática y de las técnicas de computación les ha dado un impulso decisivo y las
ha convertido en una de las ramas de la matemática aplicada con más vitalidad.
Este impulso ha influido también en el diseño de los curricula en las enseñanzas de ingeniería
y matemáticas alrededor del mundo. En este sentido, en nuestro país, la implantación de
nuevos planes de estudio y la reforma de los existentes hace que la matemática discreta haya
sido introducida como un elemento importante de la formación básica.
El libro de texto que se propone ha sido pensado para servir de soporte a cursos básicos
de matemática discreta. Así, los conocimientos de matemáticas que se presuponen en el lector
son los que corresponden a unos primeros cursos universitarios de álgebra y cálculo. El texto
contiene material más que suficiente para cubrir dos cuatrimestres lectivos, y facilita así una
cierta flexibilidad en la elección de los temas a explicar. Desde el punto de vista pedagógico
se ha hecho un esfuerzo especial para presentar los temas de una forma simple pero rigurosa.
Como cualquier texto de matemáticas, los problemas al final de los capítulos y los ejercicios
insertados en el texto constituyen un elemento importante del libro.
El contenido del libro se estructura en un capítulo inicial sobre algorítmica seguido de tres
partes dedicadas a la enumeración, la teoría de grafos y las estructuras algebraicas discretas.
En el capítulo inicial se introducen las nociones básicas de recursividad, lenguajes algorítmicos
y complejidad de algoritmos. En la primera parte, se hace un repaso de la combinatoria
elemental, se discuten principios básicos de enumeración y se presentan técnicas de enumeración
más elaboradas basadas en las funciones generadoras y las ecuaciones de recurrencia.
Paralelamente, se van introduciendo también algunos temas clásicos de combinatoria como,
por ejemplo, las particiones de conjuntos y de enteros, desarreglos o la teoría de Ramsey, entre
otros.
La segunda parte presenta los temas básicos de la teoría de grafos. Se introducen en primer
lugar los elementos básicos de la teoría y la terminología. A continuación se estudian los árboles,
en cierto sentido la clase más simple de grafos, a pesar de tener numerosas aplicaciones
en áreas muy diversas. En particular, se trata también la obtención de árboles generadores de
coste mínimo, que constituye un problema clásico en investigación operativa. Sigue el estudio
de la estructura cíclica de un grafo y su aplicación al análisis de redes eléctricas. También
se tratan los problemas clásicos de existencia de circuitos eulerianos y ciclos hamiltonianos,
y su relación con ciertos problemas de optimización combinatoria como pueden ser los problemas
del viajante o del cartero chino. El último capítulo de esta parte estudia tres temas
aparentemente no relacionados, pero que resultan estar estrechamente ligados: flujos en redes
de transporte, conectividad de grafos y apareamientos en grafos bipartitos. Todos ellos tienen
numerosas aplicaciones a problemas de optimización y de asignación y en el diseño de redes
de interconexión.
Finalmente, la última parte está dedicada a estudiar las estructuras algebraicas
discretas. Después de introducir las operaciones binarias y sus propiedades, se presentan los
conceptos básicos de la teoría de grupos. Se describen las propiedades más significativas de
los grupos cíclicos y de los grupos de permutaciones, y se dedica una atención especial a la
representación de grupos per medio de los grafos de Cayley. A continuación se tratan estructuras
algebraicas definidas a partir de dos operaciones: anillos y cuerpos. En particular, se
estudia el anillo de polinomios y se aplica a la construcción de cuerpos finitos. Las estructuras
combinatorias estudian de manera sistemática las relaciones de incidencia entre determinados
objetos y ciertos subconjuntos de estos objetos. En el último capítulo se introducen los diseños
combinatorios como modelos generales de estas estructuras. En particular, se introducen
las llamadas geometrías finitas y se particulariza en el estudio de planes afines y proyectivos
finitos. El capítulo se acaba con el estudio de cuadrados latinos y la construcción de conjuntos
de cuadrados latinos mutuamente ortogonales.