TESELACIONES EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 6–SEXTO AÑO PDF

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Geometría en movimiento
Estudia y describe la simetría en cada una de las
flores. Después, dibuja una flor que tenga justo un
eje de simetría y una flor que tenga más de un eje
de simetría. Explica en qué se parecen las dos flores
y en qué se diferencian.
Rosa Suspiro
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La idea importante Realizar teselados de figuras 2D, usando traslaciones,
reflexiones y rotaciones. 12
El desierto florido es un
fenómeno natural que se
produce en el desierto de
Atacama, el más árido del
mundo. Sucede cuando la
poca lluvia hace germinar
semillas que permanecen
enterradas. Cada vez que
esto ocurre florecen más de
200 especies distintas de
flores.
DATO
BREVE
Capítulo 12 211
Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se
necesitan para completar con éxito el capítulo 12.
u Comparar figuras
Indica si las dos figuras parecen tener el mismo
tamaño y forma. Escribe sí o no.
1. 2. 3.
4.
u Identificar figuras simétricas
Indica si la línea azul parece ser un eje de
simetría. Escribe sí o no.
5. 6. 7. 8.
u Partes de un entero
Escribe una fracción para cada parte sombreada.
9. 10. 11. 12.
PREPARACIÓN
congruente Que tiene el mismo tamaño y la misma
forma.
teselación Es el recubrimiento total del plano con un
conjunto de figuras sin superponerlas ni dejar espacios
entre ellas.
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
ángulo
grado ()
patrón
unidad de patrón
isometría
teselación
transformaciones isométricas
212
1
LECCIÓN
Teselaciones
OBJETIVO: realizar teselados de figuras 2D, usando traslaciones,
reflexiones y rotaciones.
PROBLEMA Se llama teselación a una regularidad o
patrón geométrico que permite cubrir una superficie usando
transformaciones isométricas sobre la o las figuras originales.
Actividad
Materiales ■ compás ■ regla ■ tijeras ■ lápiz grafito ■ goma ■ hojas de block ■ papel lustre
Dibuja en el papel lustre de colores 20
triángulos equiláteros de 3 cm de lado,
20 cuadrados de 3 cm y luego recórtalos.
Dispón las figuras geométricas de papel
lustre, triángulos y cuadrados, en una hoja de
bloc, de modo que no se superpongan, pero
que tampoco queden espacios blancos entre
estas. Luego, cuando encuentres un patrón
de llenado de la hoja, pégalas.
Cubre la hoja de bloc completamente con
el patrón geométrico que decidiste utilizar
aplicando las transformaciones isométricas.
Exhíbelos en el muro de la sala de
clases junto con el de tus compañeros.
Sacar conclusiones
1. ¿Es posible cubrir la hoja de bloc solo con
cuadrados o solo con triángulos?
2. ¿Cuántos patrones geométricos distintos se
hicieron en tu clase?
3. ¿Qué condición deben satisfacer los cuadrados
y triángulos para que se forme un teselado?
4. ¿Qué condición deben cumplir los ángulos de
esos polígonos para formar un teselado?
5. ¿Es posible teselar con otras figuras
geométricas?
6. ¿Qué transformaciones isométricas utilizaste?
Aprende
Repaso rápido
Identifica la figura geométrica
Vocabulario
teselación
teselado semi regular
teselado regular
Capítulo 12 213
Clasificación de teselados
Los teselados se clasifican según las características de las figuras
geométricas que lo componen.
Teselado regular: es un teselado que emplea un solo tipo de polígono
regular. Ha sido ampliamente utilizado desde la antigüedad. Solo son
posibles teselados regulares empleando triángulos equiláteros, cuadrados
y hexágonos regulares.
Teselado semi regular: es un teselado compuesto por 2 o más polígonos regulares.
7. ¿Qué transformaciones isométricas fueron utilizadas
para la creación de los siguientes teselados?
Teselado no regular: formado por polígonos no regulares, como por ejemplo las
teselaciones formadas por romboides, rectángulos y otros polígonos y combinaciones
de estas figuras.
a) b) c)
d) f) g)
Rotación Traslación
Simetría
Recuerda
214
Comienza con un cuadrado para recortar
una figura en un lado del cuadrado y
luego añadirla en el lado opuesto con
cinta adhesiva.
La nueva figura está lista para teselar una
superficie.
¿Puedes utilizar otro polígono regular
como figura inicial?
¿Qué otro polígono regular puedes
utilizar?
Clasifica la teselación en regular, semi regular o no regular.
Práctica con supervisión
Práctica adicional en la página 218, Grupo A
8. 9. 10.
Actividad Materiales ■ Papel lustre
■ Tijeras
■ Cinta adhesiva
Una transformación isométrica modifica la posición de una figura en el plano.
La reflexión es una
transformación isométrica
donde cada punto de una
figura se ve reflejada en su
imagen al otro lado de un eje
de simetría.
La traslación es una
transformación isométrica en
el plano donde la figura se
mueve de una posición a otra
nueva sin cambiar la forma ni
el tamaño.
La rotación es el movimiento
que realiza una figura
alrededor de un punto y un
ángulo.
Capítulo 12 215
Clasifica la teselación en regular, semi regular o
no regular e identifica las figuras geométricas
presentes en las teselaciones.
Identifica la o las figuras geométricas que dieron origen a la teselación.
15. Identifica la o las transformaciones isométricas que se utilizaron en la teselación.
Práctica independiente y resolución de problemas
18. ¿Qué dificultad tuviste para contar los polígonos de la pregunta anterior?
19. ¿Qué isometrías podrían utilizarse para convertir las figuras claras en las
figuras oscuras?
20. ¿Crees que existen otras opciones de transformaciones isométricas
aplicables a la figura para desarrollar la teselación?
21. ¿Cuál es el polígono que da origen a esta teselación?
22. ¿Podría hacerse esta teselación solo con traslaciones?
23. Crea una teselación en una cuadricula con al menos 3 de las siguientes
figuras e indica la transformación isométrica que utilizaste.
24. ¿Qué relación tiene entre sí las figuras geométricas que
componen una teselación?
11. 12. 13. 14.
16. 17.
Comprensión de los aprendizajes
25. Indica si las siguientes teselaciones son
regulares, semiregulares, o no regulares.
26. Para formar una teselación, los ángulos de un
polígono deben sumar alrededor de un vértice:
A 90º B 180º C 270º D 360º
216
Aprende
Repaso rápido
Paso Paso
— ?
2
LECCIÓN
Patrones geométricos
OBJETIVO: identificar, describir, extender y formar
patrones geométricos.
PROBLEMA Los patrones geométricos se usan con
frecuencia como adornos en edificios. Se pueden basar
en color, tamaño, forma, posición y número de figuras.
En los patrones geométricos, la unidad de patrón se repite una y otra vez.
En este patrón victoriano, la unidad es una hoja dentro de un marco. La
regla para este patrón es girar 180 y después repetir.
Escribe una regla para el patrón.
1. 2, 5, 8, 11
2. 2, 4, 8, 16
3. 30, 26, 22, 18
4. 80, 40, 20, 10
5. 7, 12, 9, 14, 11
Ejemplo Busca un posible patrón. Escribe una regla.
Actividad Materiales ■ cuadrados de 3 cm
■ lápices de colores
Dibuja el mismo diseño sencillo en cinco
cuadrados de 3 cm de papel.
Usa giros para formar con los cuadrados
un patrón que se repite.
• ¿Cuál es la regla para este patrón?
• ¿Dónde estará el rectángulo anaranjado en la
octava figura?
Más ejemplos:
Escribe una regla para el patrón. Copia
el patrón y dibuja la figura que sigue.
Escribe una regla para el patrón. Dibuja la
figura que falta.
Regla: aumentar el número de columnas por 1. Regla: disminuir el número de lados por 1.
Por lo tanto, la figura que sigue es . Por lo tanto, la figura que falta es .
Por lo tanto, la regla para el color es: amarillo, anaranjado, rojo y la regla
para el tamaño es: pequeño, grande.
Regla para el color: amarillo, anaranjado, rojo
Regla para el tamaño: pequeño, grande
Capítulo 12 217
Práctica con supervisión
Comprensión de los aprendizajes
Práctica independiente y resolución de problemas
edredón
1. Usa la regla repetir cuadrado anaranjado, girar el trapecio rojo 90 en
el sentido de las manecillas del reloj para hacer un patrón que se repite.
Después, traza cada figura y colorea las figuras para que coincidan con
el patrón que hiciste.
Práctica adicional en la página 218, Grupo B
16. ¿El par ordenado (3,2) hace que
y 5 2x 2 4 sea verdadera? Escribe sí o no.
17. Dado el siguiente patrón, ¿qué figura ocupa el
lugar 14?
Escribe una regla para el patrón. Después, copia y dibuja las
dos figuras que siguen en tu patrón.
2. 3. 4.
5. Forma un patrón de un rectángulo y un punto. Escribe una
regla para tu patrón.
Escribe una regla para el patrón. Después, copia y dibuja las
dos figuras que siguen en tu patrón.
6. 7. 8.
Escribe una regla para el patrón. Después, copia y dibuja las
dos figuras que siguen en tu patrón.
9. 10. 11.
— ? — ? — ? ? —
USA LOS DATOS Para los ejercicios 12 y 13, usa la imagen del edredón.
12. ¿Crees que la regla para el patrón incluye color? Explica.
18. Nombra un polígono de 3 lados.
19. ¿Cuál sería la décima figura en el patrón del
ejercicio 9?
A B C D
13. Escribe una regla para las dos hileras de abajo del edredón. Si se añade
otra hilera al edredón, ¿cómo se vería?
14. DATO BREVE Los patrones de los frisos
se repiten en una dirección. Describe las
traslaciones, las inversiones o giros de este patrón de friso.
15. Forma tu propio patrón. Explica la regla que usaste
para hacer el patrón.
Patrón de friso
218
Práctica adicional
Grupo A Teselaciones
1. Indica si es posible teselar con cada una de las figuras que se muestran a continuación,
en caso de ser posible hazlo, si no lo es, indica el motivo.
2. Agrupa las figuras geométricas presentes en el teselado de acuerdo a su forma y grafica las
transformaciones isométricas aplicadas para cubrir la superficie.
Grupo B Patrones geométricos
1. Encuentra mediante dos procedimientos distintos la medida de los ángulos interiores
de los polígonos que se muestran y el número de diagonales que poseen.
¿Cómo puedes comprobar tu respuesta?
2. Si el área de cada triángulo es dos unidades cuadradas, ¿cuál es el área de la figura?
CCaappííttuulloo 1124 221199
Partido congruente
¡Dobles!
2 equipos, por lo menos 2 jugadores en cada
equipo.
¡Sirve!
• Papel de trazar
• Fichas de dos colores (rojas y amarillas)
¡Punto!
Un equipo es rojo. El otro es amarillo.
Un jugador del equipo rojo coloca una ficha
roja en una figura en el tablero de juego. Un
compañero de equipo coloca una ficha roja en
la figura que es congruente. Pueden usar el
papel de trazar para determinar si las figuras
elegidas son congruentes. Si lo son, dejen
las fichas en el tablero. Si las figuras no son
congruentes, saquen las fichas.
Después, el equipo amarillo coloca fichas
amarillas en figuras congruentes.
Los equipos se turnan hasta que todas las
parejas de figuras congruentes hayan sido
utilizadas.
El equipo con el mayor número de fichas en el
tablero gana.
220
VOCABULARIO
teselación
teselado regular
Repasar el vocabulario y los conceptos
Elige el mejor término del recuadro.
1. Un _______ emplea un solo tipo de polígono regular.
2. Una _______ es el recubrimiento del plano con un conjunto de
figuras sin superponerlas ni dejar espacio entre ellas.
Repasar las destrezas
Clasifica cada teselación en regular, semi–regular o no regular.
3. 4. 5.
Identifica la o las figuras geométricas presentes en las teselaciones.
6. 7. 8.
Repasar la resolución de problemas
Resuelve.
9. Escribe una regla para el patrón. Después,
copia y dibuja las tres figuras que siguen en
tu patrón.
10. una regla para el patrón.
Dibuja la figura que falta.
Repaso/Prueba del capítulo 12
Capítulo 12 221
Enriquecimiento • Percepción visual
Cuando las letras se escriben en mayúscula, algunas no
tienen ejes de simetría, algunas tienen 1 eje y otras tienen
2 ejes. Si una letra tiene un eje de simetría, el eje es
horizontal o vertical.
¿Puedes leer la palabra de abajo usando la simetría axial?
Usa un espejo para ayudarte a leer una letra. Pon el espejo
de manera que refleje el eje de simetría. Cuando el espejo está en la
posición correcta, ya sea horizontal o verticalmente, aparece la letra
completa.
Actividad
Lee la palabra de abajo.
Dibuja la segunda mitad de cada letra o usa un
espejo. La palabra es CAVA.
Escribe la palabra BEBE en código simétrico.
Dibuja la parte de arriba, la parte de abajo, la
mitad derecha o la mitad izquierda de cada letra.
Inténtalo
Escribe cada palabra en código simétrico.
5. Escribe una palabra de 3 letras en la cual solo
una letra tenga simetría axial.
6. Escribe una palabra de 5 letras en la cual
cada letra tenga simetría axial.
1. PEPE 2. HOY 3. FÚTBOL 4. FAMA
Explica cómo se lee una palabra que está
escrita en código simétrico.
Recuerda. Una letra puede
tener un eje de simetría
horizontal o vertical o
ambas. Algunas letras no
tienen ejes de simetría.
ABCDEFGHI
JKLMNOPQ
HOLA RSTUVWXYZ
HOLA
CAVA BEBE
222
Patrones y álgebra
5. Mira el problema de abajo.
j 5 m 1 6
Si m 5 9, ¿cuánto es j?
A 27
B 18
C 15
D 3
6. ¿Cuál es el valor de la expresión de abajo?
(15 1 8) 2 (2 · 9)
A 189
B 37
C 7
D 5
7. La expresión algebraica m · 36 5 d expresada
en palabras es:
A El cociente de un número y 36.
B El producto de un número y 36.
C La diferencia entre 36 y un número.
D La suma de 36 y un número.
Números y operaciones
1. Es correcto decir que:
R
P Q 37º
Comprensión de los aprendizajes
A Los ángulos RPQ y QPR son
suplementarios.
B El triángulo Δ PQR es un triángulo rectángulo
isósceles.
C El ángulo PRQ es recto.
D Sus ángulos interiores miden 360º.
3. ¿Qué enunciado no es verdadero?
A Los únicos factores de 9 son 1 y 9.
B Los únicos factores de 7 son 1 y 7.
C Los únicos factores de 5 son 1 y 5.
D Los únicos factores de 3 son 1 y 3.
4. El sr. Sánchez vendió 52
cascos de bicicletas en su tienda por $ 3 900,
¿cuánto dinero recibió el sr. Sánchez por el
total de la venta?
2. 6 053 : 7
A 8,6471 C 864,71
B 86,471 D 8647,1
8. La cuidadora de mascotas llevó
a Rex a dar un paseo de 1,6 kilómetros dos
veces al día por d días.
Explica cómo escribir una expresión algebraica
para el número total de kilómetros que
caminó Rex.
Capítulo 12 223
Sándwiches que no
se vendieron
Venta de sándwiches
Hora
11:00 12:00 1:00 2:00 3:00
28
24
20
16
12
8
4
0
Datos y probabilidades
13. Hugo hizo una encuesta acerca del número
de veces que los estudiantes compraron
almuerzo en la cafetería la semana pasada. Los
resultados de su encuesta se muestran en la
tabla.
¿Cuántos estudiantes compraron la mayor cantidad
de almuerzos?
A 4 C 3
B 5 D 1
14. Mira el gráfico de línea.
La meta de los animadores de la Banda era
vender por lo menos 20 sándwiches.
¿Lograron su meta? Explica cómo lo sabes.
Geometría – Medición
9. ¿Cuál es el valor del ángulo Z?
A 180º C 60º
B 90º D no se puede
determinar
Z
Z Z
10. Gina dibuja los siguientes
triángulos.
Explica dos maneras en que puede clasificar
cada triángulo.
11. El complemento de un ángulo es 37º.
¿Cuánto mide el ángulo?
A 53º C 63º
B 143º D 73º
12. El complemento de 35º y el suplemento de
180º es respectivamente:
A 45º y 0º C 55º y 0º
B 100º y 65º D 45º y 90°
Veces Nº de estudiantes
0 x x x x x
1 x x x
2 x x
3 x x
4 x x x x x
5 x x x x x x