TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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Valores Máximos y Mínimos de una Funcion
, Teorema de Rolle
, Teorema del Valor Medio (o de Lagrange)
, Fórmulas de Taylor y Maclaurin
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, En este capítulo, abordaremos algunos teoremas importantes sobre funciones
derivables, entre ellos, el Teorema de Rolle, el Teorema del Valor Medio o de
Lagrange y el Teorema de Cauchy. El Teorema de Rolle es importante en el
Cálculo diferencial e integral y nos servirá para demostrar los Teoremas de
Lagrange y de Cauchy, que también son teoremas centrales del Cálculo
diferencial e integral. El Teorema de Cauchy lo demostraremos en el capítulo 9.
conjuntamente con la Regla de L’Hôpital. Finalmente, estudiaremos las fórmulas
de Taylor y Maclaurin para funciones derivables de orden n, con las cuales se
encuentran polinomios de grado n “próximos” a cualquier función / ( x ) que
admite derivadas hasta el orden n.
6.2 V A LO RES M Á X IM O S Y M ÍN IM O S DE UNA FUNCIÓN
Sea / : R -> R una función cuyo d minio es D c E y sea a 6 D.
Definición 1. Se dice que / presenta valor máximo absoluto en x = a si
f i x ) < / ( a ) , V x 6 D. / ( a ) se denomina valor m áxim o absoluto de / . Definición 2. Se dice que / presenta mínimo absoluto en x = a si f i a ) < f i x ) , V x e D. f i a ) se denomina valor mínimo absoluto o global de / . Definición 3. Se dice que / presenta máximo relativo o local en x = a, si existe. ô > 0 tal que
f i x ) < f i a ) , V x e (a — <5; a + 6). A / ( a ) se denomina valor máximo relativo o local de f (Fig. 6.1a). Definición 4. Se dice que / presenta mínimo relativo o local en x = a, si existe 8 > 0 tal que
f i a ) < f i x ) , V x e (a - 6] a + S). f i a ) se denomina valor mínimo relativo o local de f (Fig. 6.1b). TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I Ejemplo 1. Si / (x) = V9 — x 2, determine sus valores máximo y mínimo absolutos. Solución El dominio de / es Df = [—3; 3] y su gráfica es una semicircunferencia (Fig. 6.2). Existe valor máximo absoluto en x = 0 y /(O ) = 3 es el valor máximo absoluto, pues /(O ) > f ( x ) , V x E [ – 3 ; 3j.
Existe valor mínimo absoluto en i = – 3 y en x = 3, y el valor mínimo absoluto
es / ( —3) = / ( 3 ) = 0.
Observación 1
1.- Si f (c) es un valor máximo ó mínimo, entonces este valor recibe el nombre ele
valor extrem o de f . Asi. se hablará de valores extremos relativos o extremos
absolutos. E’t punto c es llamado punto de extremo.
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
o Si f ( c ) es un valor extremo relativo, entonces c es un punto interior a Df, es
decir, existe 8 > 0 tal que B(c; ó’) c: Df. Esta condición no necesariamente se
verifica si f ( c ) es un extremo absoluto, ya que un extremo absoluto puede
estar en un punto que no es interior al dominio. En el ejemplo 1. el mínimo
absoluto está en x = — 3 y en x — 3, y estos puntos se encuentran en la
frontera del dominio ([—3; 3]).
Ejemplo 2. Considerando la definición de extremo, si f ( x ) = k (función
constante), todo x £ K es un punto de extremo relativo y absoluto, es decir, k es a
su vez valor máximo absoluto, valor máximo relativo, valor mínimo absoluto y
valor mínimo relativo.
Ejemplo 3. Sea la función f ( x ) —
\2x\
, cuya gráfica se m uestra en la Fig. 6.3.
1 + x 2 ‘
Observando su gráfica, notamos que / ( —1) — f ( 1) = 1 es valor máximo local y
absoluto y /(O ) = 0 es valor mínimo absoluto y local.
Ejemplo 4. Sea
f ( x )
— — , SI
X
*2
– x ,
2 < x < 0 si 0 < x < 1 si x = 1 si 1 < x < 3 Aralizando la gráfica de esta función (Fig. 6.4), se concluye que: / ( —2) = —2 es el valor mínimo absoluto. /(O ) = 0 y / ( 1 ) = 2 son valores máximos relativos. No tiene valor máximo absoluto, tampoco tiene valores mínimos relativos. 245 TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I Ejemplo 5. Sea / ( * ) = 3 < x < - 1 1 + x 2 x + 1, — 1 < x < 0 V x — l 1 0 < x < 2 A x 1 (■* - I ) 2 ' 6 - 2x , 2 < x < 4 Analizando la gráfica de la función (Fig. 6.5), se concluye que: / ( 4 ) = —2 es valor mínimo absoluto. / ( —1) = 0 y / ( 1 ) = 2 son valores mínimos relativos. / ( 2 ) = 2 es valor máximo relativo. No existe valor máximo absoluto. 6.3 T E O R EM A DE R O LLE Antes de enunciar y demostrar el Teorema de Rolle, se demostrará la siguiente proposición: Proposición 1 Sea / : R -» IR una función tal que a) f í e ) es un valor extremo relativo de / b) / derivable en c Entonces, f i e ) = 0. D em ostración Supongamos que f ( c ) es un valor máximo local. Entonces, existe una vecindad B ( c ; 8) c Df tal que f í x ) < f í e ) , V x £ B(c; <5). Luego, f í x ) ~ f í c ) Si x < c A x £ B(c; 8) =* f í x ) < f í e ) y — —— -----> 0 (1)
s f í x ) – f í e )
Si x > c A x £ B(c; 8) => / ( x ) < / ( c ) y ---- ^ _ -----< 0 (2) f í x ) - f í c ) De (1) se tiene que f í e ) - lim -----------------> 0
x->c~ x — c
f í x ) – f í e )
De (2) se tiene que f í e ) – lim —————–< 0 x-c-r x - c Por ser f derivable en c, estos límites existen y son iguales. Entonces, debe cumplirse f ' í c ~ ) = 0 = / ' ( c +) y, por tanto, f í e ) - 0. De modo similar se demuestra en el caso que f í e ) sea un mínimo local. 246 I LOREMAS SOBRE FtJNC’tí)NlíS DERIVABLES Observación 2. La proposición I afirma que si c es un puntoxléextrem o relativo de f y f es derivable en e, entonces necesariamente f (c) = 0. Esto significa que la tangente en Píe: f í e ) ) es horizontal. Sin embargo, la proposición no afirma que esta condición es suficiente, es decir, si f i e ) = 0, c no necesariamente es la abscisa de un punto de extremo. Por ejemplo, sea f í x ) = (x - 3 )3, x £ R. Como f '( x ) = 3(x - 3 )2 . entonces / '(3 ) = 0. Sin embargo, x = 3 no es un punto de extremo relativo (Fig. 6.6). Definición 5 (Punto crítico). Sea / : R -» M una función derivable en c £ Df . El número c recibe el nombre de punto crítico o punto singular de / si f í e ) = 0 o f í e ) no existe. O bservación 3. De la observación 2, una función f puede tener extremos relativos en los puntos críticos. Para calcular estos puntos, es suficiente resolver la ecuación f (x) = 0 ó la que resulta de considerar que f (x) no existe. Ejemplo 6. Halle los puntos críticos de cada una de las siguientes fundones. 1 a) f í x ) = ~ í 2 x 3 -r 3 x 2 - 36x -i- 6) b) f í x ) = x 4/3 + 4 x ^ 6 2¡x\ x 7 C) f í x ) = d ) / ( x ) = - - f - Solución a) / (x) = x 2 + x - 6 = ( x - 2 )(x 4- 3) / í x) = (x — 2 )(x + 3) = 0 =* x = — 3 y x = 2 son los puntos críticos de la función f (estos dos puntos pertenecen al dominio de / ) . 247 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I v S H x + 1) b) f (X) ~ 3 V F / (x ) = 0 cuando x = — 1. / (x) no existe si x = 0. Como el dominio de f es R, sus puntos críticos son x = 0 y x = — 1. 2x (1 - x 2) c) / w = R ( T T W / (x) = 0 cuando x = ±1. No existe / (x) si x = 0. Los puntos críticos de / (D¡- = E ) son x = 0, x = —1 y x = 1. x 2 — 49 d) / W = ~ 7x ~ f (x) = 0 cuando x = ± 7. No existe / (x) si x = 0. Como Df = E — {0}, entonces los puntos críticos de / son x = — 7 y x (x <= 0 no es punto crítico, pues no pertenece al dominio de / ) . T eorem a de Rolle. Sea / : [a; fe] -> E una función tal que
a) / es continua en [a; fe]
b) / es derivable en (a; b)
c) / ( a ) = f ( b ) = 0
Entonces, existe c G (a; fe) tal que / (c) = 0.
D em ostración
Como / es continua en [a; ü], entonces / tiene un valor mínimo y un valor
máximo absoluto en [a; b], esto es, existen c1, c2 £ [a; b] tales que:
/ ( q ) = m = m ín / ( x ) , V x G [a; b] y / ( c 2) = M = m áx / ( x ) , V x G [a;
Si q G (a \b ), en virtud de la hipótesis (b) y de la proposición 1, se cumple que
fX c ‘i) — 0 y, por tanto, el teorema está probado con c = c1. Del mismo modo se
prueba para c2 G (a \ b ).
Solo falta probar para el caso en que cx y c2 son los extremos del intervalo [a; b],
es decir, c1 = a y c2 = b ó c2 = a y q = b.
Como f ( a ) = f ( b ) = 0, entonces m = M = 0 y / ( x ) = 0 , V x G [a; fe].
Luego, / (x) = 0, V x G {a ; fe), y nuevamente el teorema es verdadero.
Observación 4 El teorema de Rolle sigue siendo válido si la hipótesis ícj se
reemplaza por f (a ) = / (fe).
248
6.3.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL TEOREMA DE ROLLE
El Teorema de Rolle tiene un significado geométrico inmediato. La hipótesis
indica que si la gráfica de / es continua en el intervalo [a; fe] y tiene rectas
tangentes en todos sus puntos con abscisas en (a; fe), y si A ( a \ f ( a )) y B (fe;/(fe))
son dos puntos con / ( a ) = /(fe), entonces existe por lo menos un punto
P ( c ; / ( c ) ) , con P * A y P * B, en el cual la recta tangente es paralela al eje x
(Fig. 6.7).
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
Ejem plo 7 Dada la función / ( x ) = x 4/3 – 3 x 1/3, verifique si satisface el
Teorema de Rolle en el intervalo [0; 3],
Solución
i) / es continua en [0; 3].
>0 f ‘ ( x ) = ~ x ~ 2/3, esto es, / es derivable en (0; 3).
iü) / ( 0 ) = / ( 3 ) = 0.
Entonces, por el teorema de Rolle, 3 c G (0; 3) tal que
/ ‘( c ) = – Ve – j j == = 0, de donde c = –
x 2 – 9 x
Ejem plo 8. ¿Es posible aplicar el Teorema de Rolle a la función f ( x ) =——–:-
x – 3
en el [0; 9]?
Solución
Aunque / ( 0 ) = / ( 9 ) = 0, no es posible aplicar el Teorema de Rolle porque / no
es continua en x = 3. Es conveniente aclarar que si a una función no se le puede
aplicar el Teorema de Rolle en un intervalo, no significa que no existe un valor
dentro del intervalo para el cual su derivada sea igual a cero.
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN !
6.4 T E O R EM A DEL VALOR MEDIO (O DE LAGRANGE)
Teorem a del V alor Medio (T.V.M.) Sea f : [a; b] –
a) / es continua en [a; b\
b) / es derivable en (a; b)
f ( b ) – f (a )
una función tal que
Entonces, existe c G (a; b) tal que / ‘( c ) =
b – a
D em ostración
Sea m la pendiente de la recta que pasa por A(a; f ( a )) y 6 (¿ ; / ( ó ) ) , entonces
f i b ) – f { a )
m = —————- .
b — a
Luego, la ecuación de dicha recta es g i x ) = f i a ) + m { x — a).
Ahora, consideremos la función auxiliar
Fi x ) = f i x ) – g i x ) – f i x ) – f i a ) – m ( x – a ) , x G [a; b]
F satisface las condiciones del teorema de Rolle en [a;b], pues F es continua en
[a; b], es derivable en (a; b) y Fi a) — F(b) — 0. Luego, en virtud del teorema de
Rolle, existe c G (a; b) tal que F'(c) = 0.
Como F’ i x) = f i x ) – m => F ‘(c ) = f i e ) – m = 0. de donde m – f i e ) . Por
consiguiente, existe c G (a; b) tal que
f i b ) – f i a )
f ( c )
b – a
6.4.1 IN TE R PR E T A C IO N
VALOR M ED IO
G E O M E T R IC A DEL T E O R E M A DEL
Si la función f satisface las hipótesis del T.V.M., podemos asegurar que existe
por lo menos un punto Pie: f i e ) ) , con P =£ Aia-, f i a ) ) y P B ib \ f i b ) ) , donde
¡a recta tangente es paralela a ia cuerda AB (Fig. 6.8).
250
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
Corolario 1
Sea / : [a; b] -» R una función tal que
a) f es continua en [a; b]
b) f es derivable en (a; b) y f i x ) = 0, V x G (a; b)
Entonces, / es constante en [a; b], esto es, f i x ) = k, V x G [a; b].
Demostración
Sea x G (a; b) un elemento arbitrario. Las condiciones del T.V.M. son verificadas
por / en [a; x] c [a; b]. Luego, existe c G (a; x) tal que
f i x ) – f i a ) = f ‘ i c ) i x – a), con a < c < x < b De la parte b) corolario, se tiene f i e ) = 0. Luego, f i x ) - f i a ) = 0, es decir, f i x ) = f ( a ) = k. Puesto que x fue tomado arbitrariamente, entonces f i x ) = k, V x G [a ; b). Como / es continua en [a; ¿], se concluye que f i x ) = k , V x G [a; b] ik constante) Corolario 2 Si / es derivable en (a;b) y f i x ) = 0, V x G (a-,b), entonces f i x ) = k , V x G (a; b) (k constante). Corolario 3 Sean / y g dos funciones definidas en [a; b] tales que a) f y 9 son continuas en [a; b]. b) / y 9 son derivables en (a; b) y f i x ) = g 'i x ) , V x G (a; b). Entonces, / y g difieren en una constante, esto es, f i x ) = g i x ) + k , V x e [ a , b ] (k constante) Demostración Consideremos la función /i(x) = f i x ) - g ix ) , V x G [a; bJ. 'n es continua en [a; b ], es derivable en (a, b) y h 'ix ) = f i x ) - g 'i x ) = 0, V x G (a; b). Por el corolario 1, h ix ) = k, V x G [a; b] (k constante). Por tanto, f i x ) = g i x ) + k , V x G [a; b]. Observación 5 Si el intervalo no es abierto, el corolario 2 no necesariamente es verdadero. Por ejemplo, si f i x ) = [xj, entonces f i x ) = 0, V x G {K — Zj. Este ejemplo nos muestra que si la derivada es cero en un determinado conjunto, entonces la función no necesariamente es constante en dicho conjunto. Sin embargo, si el conjunto es un intervalo abierto, entonces el corolario 2 afirma que la función es constante en dicho intervalo. 251 El corolario 3 nos indica que si f y g son dos funciones derivables en un intervalo abierto I y tienen ¡a misma derivada en I, entonces sus gráficas son "curvas paralelas ” (Fig. (>. 9).
TÓPICOS DE CALCULO – VOLUMEN I
Observación 6 •
Ejem plo 9 Si f ( x ) — _2A ‘ * > j ’ ¿es aplicable el T.V.M. a esta función
en [0; 2]? Si es así, determine el valor o los valores que lo verifican.
Solución
a) Solo es necesario verificar la continuidad de / en x — 1.
Puesto que lim / ( x ) = 4 = / ( 1 ) , entonces / es continua en x = 1.
x-*l
Luego, / es continua en [0; 2].
b) Como f ‘ ( x ) = [ _ g ^ – 3 si x > 1 y = f ‘ í 1^ = ~ 8 – entonces
/ es derivable en (0; 2). Dado que / satisface las condiciones del T.V.M. en
[0; 2], existe c G (0; 2) tal que
/ ( 2 ) – / ( 0 ) 1 – 8 7
f ‘ ( c) = — — — = ——–= —
1 K J 2 – 0 2 2
Como / ‘( 1 ) = —8, entonces c 1.
Si c < 1 =* / '( c ) = - 8 c = - 7 / 2 => c = 7 /1 6 G (0; 2).
A nálogam ente, si c > 1 => / ‘( c ) = – 8 c -3 = – 7 / 2 => c = V 1 6 /7 G <0; 2). Por lo tanto, los valores que verifican el T.V.M. son cy — 7 /1 6 y c2 = \J 1 6 /7 . La gráfica de / se muestra en la Fig. 6.10. 2 5 2 TEOREM AS SOBRE FUNCIONES DERIVADLES Ejemplo 10 Sea / ( x ) = x 3 - x 2 , x G [ - 1 ; 3]. Determine el valor que satisface el T.V.M. Solución f es continua en [ - 1 ; 3J y / es derivable en ( - 1 ; 3). En virtud al T.V.M.. existe c G (—1; 3) tai que rf , , / ( 3 ) — / ( —1) 1 8 - ( - 2 ) r 3 - ( —D = — — ! Como f ' ( x ) = 3 x 2 — 2x, entonces / '( c ) = 3c2 — 2c = 5. Las soluciones de esta ecuación son = —1 y c2 = 5 /3 . Por consiguiente, el valor que satisface el T.V.M. es c = 5 /3 . E JE R C IC IO S En los ejercicios del 1 al 5, compruebe si se cumple el Teorema de Rolle para las funciones dadas en el intervalo que se indica. Si así fuera, halle los valores que lo satisfacen. \ ) f { x ) = x 2 - A x en [0; 4] R. 2 2) f { x ) = x 2 - 4 x + 3 en [1; 3] R. 2 3) / ( x ) = 4 x 3 + x 2 - 4x - 1 en [ - 1 / 4 ; 1] R. 1 /2 4) / ( x ) = 1 - V F en [ - 1 ; 1] R. No 5) / ( x ) = x 4 - 5 x 2 + 4 en [ - 2 ; 2] R. 0; ± V ^ 5 En los ejercicios del 6 al 9, ¿es posible aplicar el Teorema de Rolle a las funciones dadas? x 2 - 4x , x 2 - 4x = — 7 > ‘ w = —
3 x 2 – 2x + 4
8) f ( x ) – x 3 – 3x 9) / ( x ) =
x – 2
En los siguientes ejercicios, del 10 al 24, determine si el T.V.M. es aplicable a la
función dada en el intervalo que se indica. En caso afirmativo, encuentre los
valores que lo verifican; en caso contrario, dar una razón que justifique su
respuesta. Además, construya la gráfica de cada función.
10) f ( x ) = x 2 + 2 x , en [—2; 0] R .- 1
11) / ( x ) = V x2 + 9 , e n [0 ;4 ] R. V3
12) / ( x ) = 2 x 3 – x 2 – 3x + 5 , en [ – 2 ; 2] R. – 1 ; 4 /3
2 53
13) / O ) = ■ en t2 ; 4 ]
14) / ( x ) = |4 – x 2\ , en [ – 2 ; 2]
3 3
TOPICOS DE CALCULO – VOLUMEN I
15) f ( x ) = |9 – 4 x 2| , en
2 2
(2x + 3 , si x < 3 i 6) / o ) = L15 - 2x , si x > 3 en [—i ; s]
– x 2
— — , si X < 1 17) f ( x ) = 18) / ( x ) = , en [0; 2] , en [ - 2 ; 2] 1 ' 1 < x < 2 x < - 1 R. 1 + V3 R. 0 R. 0 R. no es aplicable R -2 M 1 9 ) / 0 ) = x 2 ' , en [—2; 0] V8 — 4 x 2 , x > – 1
n * 2 – 9 | , x < 2 20) / ( x ) = j 5 + 2 V x = 2 , 2 < x < 11 . en [ - 4 ; 12] l l l + ( x - l l ) 3 , x > 11
í – \ x 2 – 9 \ , x < 2 21) / ( x ) = j —5 + 2Vx"—~2 , 2 < x < 11 , en [ - 4 ; 12] U + ( x - l l ) 3 , x > 11
1^13
22) / ( x ) =
1 + x 6
23) / ( x ) =
, en [ – 2 ; 2]
, en [ – 9 ; – 4 ]
R. —1; 0; 1
24) / ( x ) =
4 + |x |
, en [ – 1 :2 ]
25) En las funciones dadas en los ejercicios del 10 al 24, halle los puntos críticos.
26) Sea / : R -» R una función. Se dice que c es un punto fijo de / si / ( c ) = c.
a) Determine los puntos fijos de / ( x ) = x 3 — 8x.
b) ¿ /( x ) = x 2 + x + 1, x E R, tiene puntos fijos?
c) Suponiendo que / : R -» R tiene derivada / ‘( x ) 1, V x G R, pruebe
que / admite a lo más un punto fijo.
254
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
6.5 FÓ RM U LA S DE TA Y LO R Y M ACLAURIN
En esta sección, se demostrará que las funciones derivables hasta el orden n
pueden ser aproximadas por polinomios de grado n.
6.5.1 PO L IN O M IO DE A PRO X IM A CIO N
Sea y = f ( x ) una función definida en una vecindad del punto a y que es
derivable hasta el orden n en este punto. Se desea encontrar un polinomio Pn (x)
de grado n en las potencias de (x — a), es decir.
P„(x) = bn + /jt (x – a) + b2(x – a ) 2+ . . . + bn (x — a )71 (a )
con las siguientes condiciones:
Pn (a) = f ( a ) , Pnk)(a) = f (k)(a), k = l , 2 , . . . , n (/?)
Esto es, los valores Pn (x) y f ( x ) en x = a son iguales y los valores de sus
derivadas de orden n en este punto son iguales.
Es de suponer que este polinomio, de alguna manera, estará próximo a la función
f ( x ) en una vecindad de a.
Calculando el valor de Pn (x ) y de sus derivadas de orden superior en el punto
x = a, se tiene:
Pn (a) = b0l P¿k\ a ) = bkk [. , k = 1,2…… n (y)
Observando (a), (/?) y (y) se concluye que
/ (kJ(a )
b„ = f ( a ) , bk = — – — , k = 1,2……… n
KI
Por lo tanto, el polinomio buscado es:
f ‘ ( a ) f ” ( a ) , f n (a)
Pn (x ) = f ( a ) + — – a^> + – 0y— (x – a ) 2 + . . . + ■ (x – a ) n (I)
Este polinomio se llama polinomio de aproxim ación de f ( x ) en torno a x = a.
6.5.2 P O L IN O M IO DE A PRO X IM A CIÓ N DE UN PO L IN O M IO
Cuando la función f { x ) es a su vez un polinomio de grado n y Pn {x) es su
polinomio de aproximación J/’do por (I), la diferencia R( x ) = / ( x ) — Pn (x) es un
polinomio para el cual se cumple:
R( a) = R ‘(a ) = … = R yn) (a) = 0 (*)
Esto significa que a es una raiz de multiplicidad de por lo menos de grado
(n + 1) de R (x). Sin embargo, como R( x) es a lo más de grado n, (*) sera
posible solo si R( x ) = 0, de donde / ( x ) = Pn (x), V x 6 R; es decir, el
polinomio de aproximación de un polinomio es el mismo polinomio. En otras
palabras, es el mismo polinomio con diferente escritura.
255
Ejem plo 11. S¡ f ( x ) = x 3 — 3 x ¿ + 7x – 2, halle el polinomio de aproximación
de / (x) de grado 3, en torno de a = 1.
Solución
/ ( 1) = 3, / ‘ ( 1) = 4, / ” ( 1 ) = 0. / ‘” ( I ) = 6 y / ” ( l ) = 0, V n > 4
Aplicando (1), se obtiene P3(x) = 3 + 4(x – 1) + (x – l ) 3.
Se observa que P3(x) es el mismo polinomio f ( x ) (con diferente escritura).
Ejem plo 12
Sea f ( x ) = – . Determine el polinomio de aproximación de grado 5 en torno
de a = 0.
Solución
( – l ) n n!
Considerando que / (n)(x) = ——- :— r , V n > l , se obtiene
(1 + x )’11’1
m = 1, /'(O ) = — 1. /”(O ) = 2!, /'”(O ) = —3!, / ‘4>(0) = 4! y / ‘s>(0) = -5 !
Luego, P5(x) = 1 — x + x z — x 3 + x 4 – x 5.
TÓPICOS DO CÁLCULO-VOLUM EN I
6.5.3 FÓRMULAS DE TAYLOR Y DE MACLAURIN CON RESTO DE
LAGRANGE
Si f ( x ) no es un polinomio, consideremos la diferencia entre la función y su
polinomio de aproximación
Rn(x) = f W – P„(x)
A esta diferencia Rn (x) se denomina resto de orden n de f i x ) . Nuestro objetivo
es calcular este resto, que puede ser interpretado como el error que se comete
cuando se sustituye / ( x ) por Pn (x ) en una vecindad de a.
Teorema 1 (Resto De Lagrange)
Sea / una función derivable hasta el orden n + 1 en una vecindad B ( a , 8 ) del
punto a y sea Pn (x ) su polinomio de aproximación.
Si x £ B (a\ 8 ), existe c comprendido entre x y a, esto es, c = a + 0 (x — a )
(con 0 < 8 < 1) tal que Rn(x) = f i x ) - Pn (x ) = (* - a ) n+1 ó / (n+1J[a + 0 (x - a)] Rn(x) = --------- ^ ^ t ----------- (x - a) , con 0 < 8 < 1 Este resto se denomina Resto de Lagrange. 2 5 6 TEOREM AS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES D em ostración Sea Rn {x) = fix ') - Pn (x). De ello, se deduce que f i a ) f W( a } f ( x ) = f i a ) + —— ( x - a ) + ... + — —— (x - a ) n + fín ( x) (x - a ) n+1 Escribiendo Rn (x ) = ^n + -Q| Q W , donde Qi x ) es la función que debem os hallar, tenemos / f c = / ( a ) + q ^ (, _ a ) + . . . + q w ( i _ a ) , + ( ^ c w M Para valores de a y x fijos, Qi x ) tiene un valor constante que denotaremos con Q. Para t (t entre a y x) definimos f ' i t ) f "( Ú F ( t ) = / ( x ) - / ( t ) - ^ ( x - t ) - L ^ ( x - t ) 2 - . . . f (n\ t ) (x - t ) n+l - í-------- ( x - _ i ------------¿--------Q n! 1 ; ( n + 1)! V donde Q es la constante determinada por (**) cuando a y x son fijos. Como f es derivable hasta el orden (n + 1), existe F '(t) y f ' ( 0 = - n o + f i t ) _ £ z £ / " ( o + ^ p - i x - 1) - ^ r - f " i t ) - - , ( x - t ) n_1 n / (n)( t ) , / ( n+1>(t)
– – /( n ) ( t) i ^ o r + – ^ r 2 – t)n_1 “ – t)n +
, ( n + l ) ( x – £)”
( n + 1)! V
Simplificando, se obtiene
F ‘ ( t ) = – ( X ~ tt r f n+ 1\ t ) + ^ — n! ni
En consecuencia, F es derivable en todo t entre a y x. Como F (x ) = F ia ) = 0,
F satisface las condiciones del Teorema de Rolle. Entonces, existe c entre a y x
para el cual F ‘(c ) = 0, es decir,
i x – c ) n . ( x – c ) n
– -— r L – f { K c) + -— r ~ Q = 0
n! n!
Luego, Q = / (n+1)(c). Reemplazando este valor en Rn (x), se obtiene
(x — CL)n^
fi” w = S m ) T / 0 tal que | / (n+1)(x )| < M, V x E B (a; 5), entonces se tiene |x — a |n+1 |R» w l £ M l í T « r Esta fórmula nos permite calcular, para n fijo, una cota superior del e.-or que se comete cuando se aproxima / ( x ) por Pn (x), la cual es |x — a |n+1 M ' (n + 1)! X E jem plo 13. Aplique la Fórmula de Taylor para /( x ) = -------- cuando a — 1. Lx 4* 1 Solución (■-ly* 2n_1 n 1 1 Tenemos / (n)(x) = — - - - i)n+1 . V n > 1 y x *
f – l ‘) n 2n_1 n 1
/ w d ) = L – v ; 1
, ( – l ) n+12n(n + 1)!
Luego, / [1 + 0(1 – x)] = V
( – 1 ) ” * ‘2 ” (* – 1)”*1
[3 + 2 8 ( 1 – * ) ] • « ■
258
TEOREM AS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
Por consiguiente,
’ _ 1 x — 1 2 (x — 1) ( —l ) n2 n_1
/ O ) = 3 + _ §Í———— ^3—– + – – – + • “~5n+1—–(* “ +
( – l ) n+1( x – l ) n+1
donde = [3T T a T T -x )]” ^ 1 con 0 < 0 < 1 i Ejem plo 14. Desarrolle /( x ) = por la Fórmula de Maclaurin. Solución (—l ) nn! Como /C»)(x) = (1+X)B+1 . V x * - 1 / (n)(0) = (—l ) nn ! , V n > 1
= { (1 + fa)B+2 0 < 0 < 1 Luego, por la Fórmula de Maclaurin, tenemos 1 x ”+1 ------- = l - x + x 2 - x 3 + x 4 - . . . + ( - l ) nx n + ( - l ) 1 + X v y v yn +1 --(--l-+---B---x--)--n-+2 Ejemplo 15 Aplique la Fórmula de Maclaurin a / ( x ) = V1 + x cuando n = 2. Solución Se tiene: / ( 0) = 1, / ' ( 0 ) = i . / " ( 0 ) = - Í y / " '( 0 x ) = g ( l + 0 x ) - s/ 2 Por la Fórmula de Maclaurin, se tiene V/-I- --+-- -x- = 1 + -1 x - -1x 2? 4- ——----*-„3 , 0 < d < l 2 8 16(1 + 0 x )5/z Ejemplo 16. Halle una cota superior para el error que se comete al considerar _____ 1 1 , V i 4- x = 1 4- - x — - x , cuando x = 0,2 2 8 Solución De lo obtenido en ejemplo 15, tenemos x 3 16(1 + 0 x )5/ 2 Para x = 0,2 y 0 < 9 < 1, el error P 3(0,2) se acota como sigue: , ^ (0 ,2 )3 (0,2)3 ° 16(1 + „ (0 .2 ))» » < — = 0 .0 0 0 5 Luego, el error que se comete no es superior a 0,0005. 259 1) Desarrolle / ( x ) = (1 + x ) a por la Fórmula de Maclaurin cuando a no es entero y x > —1.
2) Escriba los siguientes polinomios en potencias de x – 1,
a) / ( x ) = x 4 – 3 x 2 + x — 4
b) / ( x ) = x 3 + x 2 – 5x + 2
3) Escriba el polinomio / ( x ) = (1 + x )n en potencias de x.
4) Aplique la