TEOREMA DE PAPPUS Y GULDING – ROTACIONES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF

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Primer Teorema :
El área que genera una línea cuando gira alrededor de un eje es igual a la longitud de la circunferencia que recorre su centro de gravedad multiplicado por la longitud de la línea.
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Segundo Teorema :
El volumen que genera una superficie , cuando gira alrededor de un eje coplanar es igual a la longitud de la circunferencia que recorre su centro de gravedad multiplicado por el área de la figura.
Toroide
Superficie generada por una curva cerrada cualquiera al girar alrededor de un eje contenido en su plano y que no la corta. Sólido limitado por esta superficie.
centro de gravedad
punto de aplicación de la fuerza peso en un cuerpo, y que es siempre el mismo, sea cual sea la posición del cuerpo.
Para determinar el centro de gravedad hay que tener en cuenta que toda partícula de un cuerpo situada cerca de la superficie terrestre está sometida a la acción de una fuerza, dirigida verticalmente hacia el centro de la Tierra, llamada fuerza gravitatoria .
Cuando se trata de cuerpos de dimensiones muy pequeñas frente a la Tierra, se puede admitir que las fuerzas gravitatorias que actúan sobre las distintas partículas del cuerpo son paralelas y de módulo constante. Por tanto, se puede calcular la posición del centro de gravedad hallando la recta de acción de la resultante de esas fuerzas. Si el cuerpo es homogéneo, el centro de gravedad coincide con su centro geométrico.
Si un cuerpo es tan pequeño que la aceleración de la gravedad es la misma para todas las partículas, entonces el centro de masas y el de gravedad coinciden.


TEOREMA DE PAPUS-GULDIN
Superficie de Revolución
El área de la superficie generada por una línea plana al girar 360º en torno a una recta coplanar y no secante a dicha línea es igual a producto de las longitudes de la línea y de la circunsferencia que describe su centroide.

: Área de la superficie generada.
L : Longitud de la línea AB.
C : Centroide de la línea AB.
: Radio de la circunferencia descrita por el centroide.
Sólido de Revolución
El volumen del sólido generado por una región plana al girar 360º en torno a una recta coplanar y no secante a dicha región es igual al área de la región multiplicada por la longitud de la circunferencia que describe su centroide.

: Volumen del sólido generado.
A : Área de la región generadora.
C : Centroide de la región generadora.
: Radio de la circunferencia descrita por el centroide.
TONEL

TORO O ANILLO CIRCULAR

APLICACION ::
Calcular el volumen generado por la región triangular al girar 360º alrededor de la recta L, si su área es 10.

Resolución:
Calculamos el centroide de la región plana:

Además: A=10, luego el volumen es:

En cada una de las siguientes figuras, calcular el volumen generado por las regiones sombreadas al girar 360º alrededor de la recta L. (C.G.=centro de gravedad)
1.
Rpta.: ……………………..
2.

Rpta.: ……………………..
3.
Rpta.: ……………………..

4.
Rpta.: ……………………..
5.
Rpta.: ……………………..
6.
Rpta.: ……………………..

7.
Rpta.: ……………………..
8.
Rpta.: ……………………..
9.

10.
Rpta.: ……………………..

11.

Rpta.: ……………………..

12. En la figura, calcular x, si C.G = centro de gravedad.

Rpta.: ……………………..

13. Calcular x, si C.G. es centro de gravedad.

Rpta.: ……………………..
14.
Rpta.: ……………………..
15.
Rpta.: ……………………..
16.
Rpta.: ……………………..
17.
Rpta.: ……………………..
En cada problema una de las siguientes figuras. Calcular el volumen generado por las regiones sombreadas al girar 360º alrededor de la recta L.
18.
A) B) C)
D) E)
19.
A) B) C) D) E)
20.
A) B) C)
D) E)
21.
A) B) C)
D) E)
22.
A) B) C)
D) E)