TEOREMA DE CONVOLUCION Y LA DELTA DE DIRAC EJERCICIOS RESUELTOS

Share Button

 

 

 

 

 

 

 

 


En el análisis de sistemas lineales, como en los sistemas vibratorios (mecánicos y eléctricos), uno de los
objetivos es conocer la respuesta (o salida) del sistema provocada por una función de excitación (o entrada).
En secciones anteriores modelamos sistemas vibratorios mediante ecuaciones diferenciales de la forma
˛x 00.t / C ˇx 0.y/ C
x.t / D f .t /;
donde f .t / es una función de excitación (o entrada) del sistema,mientras que x.t / es la respuesta (o salida)
a esta excitación. De estamanera, el propósito de resolver un PVI es determinar cómo la ED (una caja negra)
transforma una función de entrada f .t / en una salida x.t / cuando se conocen las condiciones iniciales x.0/
& x 0.0/. La siguiente figura es una representación de estos elementos ha sido resuelto, aplicando TL a la ED anterior. No obstante, existen problemas que llevan a PVI similares a
(??), los cuales no siempre permiten encontrar la solución de manera directa. La razón es que no se conoce,
con precisión, cómo afecta la caja negra a la función de entrada. Para resolver este tipo de incógnitas, se introducen
al sistema funciones de entrada que se conocen como impulsos y, una vez conocida la respuesta a
estos impulsos, se obtiene la salida x.t /mediante una operación llamada convolución que es una extensión,
básicamente, de la propiedad de superposición.
La delta de Dirac
Consideremos una fuerza f .t / que actúa sólo durante un intervalo de tiempo muy pequeño a  t  b, con
f .t / D 0 para todo valor de t fuera del intervalo. Ejemplos típicos de este tipo de fuerzas serían la fuerza
impulsiva de un bate que golpea una pelota (el impacto es casi instantáneo) o bien un rápido aumento de
voltaje (resultante de la descarga de un rayo), por ejemplo. En tales situaciones, el principal efecto de la
fuerza depende sólo del valor de la integral
A cada término en elmiembro derecho del resultado anterior se le llama momento lineal, así que el impulso
de la fuerza es igual a la variación del momento lineal de la partícula. En la práctica, el cambio en el
momento lineal es el único efecto que interesa, por lo tanto sólo necesitamos conocer el impulso de la
fuerza; no necesitamos conocer ni la función precisa f .t / ni el lapso exacto durante el cual actúa la fuerza.
Si ahora seleccionamos un número fijo ” > 0 que se aproxime a la duración de ese lapso y reemplazamos a
f .t /

Ejemplo :
Una masa unida a un resorte se libera desde el reposo a 2 m por debajo de la posición de equilibrio
y comienza a vibrar. Después de 5 s, la masa recibe un golpe que suministra un impulso (momento lineal) sobre la masa de 8 Ns dirigido hacia abajo. Hallar la posición de la masa en cualquier instante. (Éste es el ejemplo ?? de la introducción.)

Convolución
Como hemos indicado, es posible determinar la respuesta que sobre un sistema eléctrico tiene un impulso,
llamado también pulso, de corta duración. Así, si se excita al sistema con un pulso ı.t /, podemos obtener
su respuesta h.t /, llamada respuesta al impulso. Si el impulso se aplica en el tiempo t D s, lo único que
ocurre es un retraso en la salida y ésta será h.t