TABLAS Y GRÁFICOS EJERCICIOS DE MATEMATICA 8–OCTAVO AÑO PDF

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CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS DE Tablas de datos y gráficas cartesianas , Tablas de datos , Coordenadas cartesianas , Gráficas cartesianas , Estudios estadísticos , Variables estadísticas , Frecuencias , Frecuencia absoluta y relativa , Tablas y gráficos estadísticos , Tablas estadísticas , Gráficos estadísticos , Descripción de experimentos aleatorios
Objetivo del módulo
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• Analizar, comprender, representar y expresar informaciones estadísticas utilizando diversos diagramas
mediante el cálculo de frecuencias absolutas y acumuladas para fomentar el trabajo grupal.

Destrezas con criterios de desempeño
• Reconocer pares ordenados con enteros y ubicarlos en el plano cartesiano.
• Interpretar y construir tablas de datos y gráficas relativos a diferentes ámbitos de la vida cotidiana.
• Recoger, analizar, organizar y representar datos estadísticos relativos a diferentes ámbitos de la vida cotidiana.
• Extraer información representativa de un colectivo a partir de los parámetros estadísticos.
• Calcular y contrastar frecuencias absolutas y acumuladas de una serie de datos gráficos.
• Reconocer la importancia del trabajo colectivo en la realización de tareas y estudios.

Para la activación de conocimientos previos
• Recuerde lo que representa el plano cartesiano: un sistema de referencias conformado por dos rectas
numéricas, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un determinado punto, llamado origen de coordenadas
(O). El eje perpendicular se denomina eje de abscisas o eje de las x, mientras que el eje vertical
se denomina eje de ordenadas o eje de las y.
• Los alumnos ya han trabajado con tablas de datos en los primeros años de EGB. Ahora debe hacerse
especial hincapié en dos aspectos importantes:
1. La colocación de datos en tablas facilita la extracción de información. Además, el trabajo con los datos
así ordenados es más sencillo.
2. Las tablas deben diseñarse para facilitar esta comprensión y acceso a la información.
• Para comprender la necesidad de un sistema de referencia, es conveniente proponer a los alumnos que
describan sistemas de referencia para localizar, por ejemplo: una calle en una guía urbana, una pieza en
un tablero de ajedrez, una nave en el juego de hundir barcos… Y, a continuación, insistir en la utilidad
de las coordenadas cartesianas como sistema de referencia.
• Además es posible trabajar la enseñanza transversal Educación vial, proponiendo actividades del siguiente
tipo: localizar calles en guías urbanas, describir itinerarios en un mapa utilizando coordenadas
cartesianas…

Para la construcción del conocimiento
• Comparen dos maneras de presentar un conjunto de datos, mediante un texto y mediante una tabla y
reparar en cuál de ellas resulta más sencilla para localizar la información.
• Visualicen un sistema de coordenadas cartesianas e identificar sus elementos, con el fin de utilizarlo
después para determinar las coordenadas de un punto del plano y para representar puntos en el plano
a partir de sus coordenadas.
• Examinen la utilización de una gráfica cartesiana que se representa mediante puntos aislados y otra que
se representa mediante una línea para extraer información relativa al entorno.
Para la evaluación

• Observe cómo los estudiantes se desempeñan durante el desarrollo del juego de la batalla naval, donde
participan dos personas. Se necesita lápiz y papel y no interviene el azar. Este juego se encuentra referido
un interesante portal
para los docentes de todo el mundo, donde también se encontrará otro tipo de recursos y actividades.
Antes de comenzar el juego, cada participante dibuja en un papel cuadriculado dos tableros cuadrados
de 10 × 10 casillas. Las filas horizontales se numeran de la A hasta la J, y las columnas verticales del 1
al 10. Basta con indicar las coordenadas de un disparo con un par letra/número (por ejemplo, A6 o J9).
FLOTA PROPIA DISPAROS
Para la aplicación del conocimiento
• Solicite a los estudiantes que construyan gráficas cartesianas
a partir de información recolectada en revistas económicas, o
realizar pequeñas encuestas dentro del aula de clase, con temas
tales como calificaciones generales o por asignatura, preferencias
en comidas, programas de televisión, libros, deportes
practicados…
• Pídales que observen una gráfica cartesiana y expliquen cómo
están ubicado los pares ordenados.
• Proponga a los estudiantes que identifiquen pares ordenados
en gráficos como el que se propone a mano derecha y que usted
podrá encontrarlo en la siguiente dirección:
Para la activación de conocimientos previos
• Además de los gráficos estadísticos que aparecen en la unidad, el profesor/a puede pedir a sus alumnos el
estudio de otros gráficos que pueden proceder de otras áreas (Estudios Sociales, Ciencias Naturales…) o de
noticias que son transmitidas por los medios de comunicación. De esta manera se cumple un doble objetivo:
− Favorecer la interdisciplinariedad.
− Practicar la interpretación de gráficos en un contexto cotidiano.

Para la construcción del conocimiento
• La recogida y la organización de datos estadísticos en tablas y gráficos, así como su interpretación, es,
en muchas ocasiones, un trabajo de grupo. De esta manera el profesor/a puede trabajar la enseñanza
transversal educación cívica, haciendo hincapié en el diálogo como medio para superar los conflictos
que surgen en el grupo e incentivando la responsabilidad personal en las tareas dentro del grupo.
• Pida a los estudiantes que observen cómo se organiza una serie de datos en una tabla estadística e interpretar
la información contenida en dicha tabla mediante los conceptos de frecuencia absoluta y frecuencia
relativa. También deben reconocer las principales clases de gráficos estadísticos: diagramas de
sectores y diagramas de barras, cómo construirlos y obtener información de ellos.
• Explique a sus estudiantes que un estudio estadístico consta de las siguientes fases:
Seleccionar un tema de estudio estadístico. Recolección de datos.
Selección de la muestra. Organización y representación de datos.
Elaboración de una encuesta. Análisis de datos y obtención de conclusiones
Para la aplicación del conocimiento
• Proponga a sus estudiantes que busquen en la sección económica de un periódico, en una revista especializada
o en el Internet gráficos diferentes. Analizarlos y obtener información a partir de ellos.
• Desarrollen las actividades planteadas en el texto del alumno.
• Visiten la página web del INEC que tiene información sobre el último censo de población y vivienda.
Con los datos allí presentados, escojan los correspondientes a su cantón de procedencia y elaboren
un gráfico comparativo de habitantes con el de las principales ciudades del país. ¿Qué relación tienen?
¿Qué significado se le puede dar?
Para la aplicación del conocimiento
• Proponga a sus estudiantes que busquen en la sección económica de un periódico, en una revista especializada
o en el Internet gráficos diferentes. Analizarlos y obtener información a partir de ellos.
• Desarrollen las actividades planteadas en el texto del alumno.
• Visiten la página web del INEC que tiene información sobre el último censo de población y vivienda.
Con los datos allí presentados, escojan los correspondientes a su cantón de procedencia y elaboren
un gráfico comparativo de habitantes con el de las principales ciudades del país. ¿Qué relación tienen?
¿Qué significado se le puede dar?
Recuerde que en octavo año de EGB se trabajan con datos no agrupados. Considere estos conceptos estadísticos básicos:
Una distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos,
asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.
Clase: subdivisión de la escala de datos.
Los intervalos son los límites a los que llega una función. Son utilizados a modo de resumen cuando la cantidad de datos
es muy grande. Los límites extremos de cada clase se les llaman límite inferior y superior de clase respectivamente.
Las representaciones gráficas son importantes porque a través de ellas se puede visualizar con mayor facilidad el comportamiento
de una variable estadística. Existen varios tipos de gráficos; aquí se trabajará con los y .
Los son gráficos de barras utilizados para representar variables cuantitativas continuas que están agrupadas
en intervalos. Están formados por rectángulos contiguos.
Sobre el eje de las abscisas se señalan los límites reales y se elaboran rectángulos cuyas alturas son proporcionales a
la frecuencia de cada clase.
Prerrequisitos
Tablas y gráficos
Recuerda
• Las tablas sirven para visualizar varios datos
correspondientes a unos pocos elementos.
• Un sector circular es la región
del círculo limitada por
dos radios y su arco correspondiente.
Evaluación diagnóstica
• Representa sobre la recta
los siguientes números enteros: 0, 2, −3, 4, −5, 7, −8.
• Averigua el número de hermanos y hermanas de cada
uno de tus compañeros y compañeras de clase y, con
los datos obtenidos, construye una tabla como la
siguiente.
• Dibuja estos ángulos con ayuda del transportador
de ángulos: 32°, 50°, 74°, 110° y 136°.
• Dibuja un ángulo de 45° con el transportador de
ángulos, divídelo en dos ángulos iguales y calcula
cuánto mide cada uno.
• Expresa las siguientes fracciones como un número
decimal y como un porcentaje.
• Calcula el 16 % de 6 475. ¿Qué porcentaje representa
5 respecto de 125?
5
7
2
3
13
15
, ,
Magnitud Unidad Símbolo
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de
corriente eléctrica
amperio A
Temperatura kelvin K
Cantidad de sustancia mol mol
Intensidad luminosa candela cd
Arco
Radio
Radio
Sector
circular
Número de hermanos Frecuencia
0 …………………….
1 …………………….
2 …………………….
……………………. …………………….
Destrezas con criterios de desempeño
En Estadística ampliarás tus conocimientos sobre tablas y gráficos y aprenderás a organizar datos en tablas, presentarlos
en forma de gráfico, analizarlos e interpretarlos.

1 Tablas de datos y gráficas cartesianas
Muchas veces nos encontramos con la necesidad de analizar una gran cantidad
de datos. En esos casos, conviene organizarlos en tablas de datos y
representarlos mediante gráficas, que generalmente dibujamos en un sistema
de coordenadas cartesianas, por lo que las llamaremos gráficas cartesianas.
1.1. Tablas de datos
Las tablas permiten ordenar y clasificar conjuntos de datos para que sea más
sencilla su interpretación.
A continuación, presentamos la misma información de dos maneras diferentes.
Analiza ambas maneras de disponer los datos y piensa cuál te parece
más sencilla, por ejemplo, para buscar un dato determinado.
Primera manera: mediante texto
Segunda manera: mediante una tabla
Contesta estas preguntas. Busca cada dato necesario tanto en el texto como
en la tabla.
— ¿En qué presentación te ha resultado más fácil encontrar la información?
— ¿Cuál te parece más adecuada para comprender y estudiar los datos?
En 8.° de EGB, 10 chicas y 8 chicos juegan baloncesto; 11 chicas y 12 chicos
practican natación; 8 chicas y 11 chicos juegan fútbol y 6 chicas y 2 chicos,
tenis. En 9.° de EGB, al baloncesto se dedican 8 chicas y 6 chicos; a la natación,
9 chicas y 5 chicos; al fútbol, 8 chicas y 15 chicos y al tenis, 7 chicas y 4 chicos.
En 10.° de EGB, 10 chicas y 10 chicos juegan baloncesto; 11 chicas y 10
chicos practican natación; 4 chicas y 12 chicos se dedican al fútbol y 2 chicas
y 3 chicos al tenis. En 1.° de Bachillerato, practican baloncesto 8 chicas y 10 chicos;
natación, 12 chicas y 11 chicos; fútbol, 5 chicas y 10 chicos y tenis, 4
chicas y 3 chicos.
8.º EGB 9.º EGB 10.º EGB 1.º Bachillerato
Chicas Chicos Chicas Chicos Chicas Chicos Chicas
Baloncesto 10 8 8 6 10 10 8
Natación 11 12 9 5 11 10 12
Fútbol 8 11 8 15 4 12 5
Tenis 6 2 7 4 2 3 4
Chicos
10
11
10
3
— ¿Cuántas chicas de 9.° de EGB
practican la natación?
— ¿Cuántos chicos de 8.° de EGB
juegan al fútbol?
— ¿Cuántas chicas de 10.° de EGB
practican algún deporte?
— ¿Cuántos alumnos o alumnas de
cualquier curso juegan tenis?
En una olimpiada de invierno durante una competición de saltos de esquí, el
saltador sueco, con el número 47, de 23 años y 1,80 m de estatura, consiguió una
marca de 101,30 m. El esquiador finlandés, con el dorsal 14, de 21 años y 1,79
m de estatura, saltó 106,24 m.
El saltador suizo, que llevaba el número 19, con 25 años y 1,78 m de estatura, saltó
109,03 m. El representante de Alemania, que participó con el dorsal 21,
de 24 años y 1,70 m de estatura, saltó 110,50 m. Finalmente, el participante
ruso, con dorsal 23, de 29 años y 1,76 m de estatura, consiguió una marca de
104,48 m. Organiza los datos del enunciado en forma de tabla y contesta a estas
preguntas:
a) ¿Qué esquiador ganó la prueba?
b) ¿Cuántos saltadores superaron los 105 m?
c) ¿Cuántos saltadores menores de 25 años medían más de 1,75 m?
ejemplo 1
Si se observa la tabla, podemos contestar fácilmente las preguntas del enunciado.
a) Ganó la prueba el esquiador alemán, con una marca de 110,50 m.
b) Hubo tres saltadores que superaron los 105 m: el finlandés, el suizo y el alemán.
c) Participaron dos saltadores menores de 25 años que medían más de 1,75 m: el sueco y el finlandés.
La siguiente tabla ofrece información
del idioma, el nivel y la edad de los
alumnos de un instituto de idiomas.
Teniendo en cuenta que cada alumno
solamente estudia un idioma,
contesta a estas preguntas:
a) ¿Cuántos alumnos menores de
20 años están en el nivel 4 de italiano?
¿Y en el nivel 3 de francés?
b) ¿Cuántos alumnos menores de
20 años están matriculados en
el instituto? ¿Y de 20 años o más?
c) ¿Cuántos alumnos están matriculados?
d) ¿Cuántos estudian francés? ¿Qué
porcentaje representa sobre el total
de alumnos?
1
Actividades §
Número de alumnos
Inglés Francés Alemán Italiano
Nivel 1
Menos de 20 años 35 24 18 15
20 años o más 23 31 15 10
Nivel 2
Menos de 20 años 24 18 13 10
20 años o más 32 25 14 9
Nivel 3
Menos de 20 años 20 22 12 5
20 años o más 24 25 16 11
Nivel 4
Menos de 20 años 22 23 15 6
20 años o más 27 20 13 10
http://www.nosolodeportes.com
Nacionalidad Sueco Finlandés Suizo Alemán Ruso
Número 47 14 19 21 23
Edad 23 21 25 24 29
Estatura 1,80 1,79 1,78 1,70 1,76
Marca 101,30 106,24 109,03 110,50 104,48
1.2. Coordenadas cartesianas
El jugador de golf necesita conocer la posición del hoyo para golpear la
pelota con la fuerza y la dirección adecuadas. Así, tendrá en cuenta que
está situado 5 m al Este y 10 m al Norte.
En general, para determinar la posición de un punto en el plano, debemos
conocer un par de números.
Estos dos números pueden determinarse a partir de dos rectas perpendiculares,
graduadas, que denominamos ejes de coordenadas. Los dos ejes de
coordenadas constituyen un sistema de coordenadas cartesianas en el plano.
y
–6 –5 –4 –3 –2 –1 x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7
Eje de ordenadas
Eje de abscisas
Origen de
coordenadas
–6
–8
–7
–9
6
7
8
9
–11 –10 –9 –8 –7 8 9 10 11 12 13
• El eje horizontal se llama eje de
abscisas y se representa por x.
• El eje vertical se llama eje de ordenadas
y se representa por y.
Los ejes de coordenadas dividen el
plano en cuatro regiones.
Cada una de ellas se denomina cuadrante
y se numera como se indica
en la figura.
• El punto en que se cortan ambos
ejes es el origen de coordenadas
y se representa por O.
El origen de coordenadas es el punto
cero de ambos ejes.
Este punto divide a cada eje en dos
semiejes, uno positivo y otro negativo.
y
x
Segundo
cuadrante
Primer
cuadrante
Tercer
cuadrante
Cuarto
cuadrante
y
x
Semieje positivo
de ordenadas
Semieje negativo
de abscisas
Semieje positivo
de abscisas
Semieje negativo
de ordenadas
3
10
1
2
4
5
6
7
8
9
1 2 3 4 5 Este
Norte
El eje de abscisas tiene varias
divisiones, todas del mis –
mo valor. Lo mismo ocurre
con el eje de ordenadas.
En la gráfica de arriba, cada
división, tanto en el eje de
abscisas como en el de ordenadas,
equivale a 1 m.
Ú FÍJATE
Determinación de las coordenadas de un punto del plano
En un sistema de coordenadas cartesianas, a cada punto del plano le corresponde
un par de números. Observa cómo determinamos el que corresponde
al punto A de la figura.
—Trazamos una recta vertical por el punto A. Esta
recta corta al eje de abscisas en −4.
—Trazamos una recta horizontal por el punto A.
Esta recta corta al eje de ordenadas en 2.
Al punto A le corresponde el par (−4, 2).
Diremos que −4 y 2 son las coordenadas del punto
A: −4 es la abscisa y 2 es la ordenada.
Representación de puntos en el plano a partir de sus coordenadas
De la misma manera, a cada par de números le corresponde un punto del
plano. Observa cómo situamos el punto de coordenadas (3, −2).
— Localizamos el 3 en el eje de abscisas y trazamos
una recta vertical por este punto del eje.
— Localizamos el −2 en el eje de ordenadas y trazamos
una recta horizontal por este punto del eje.
El punto donde se cortan ambas rectas es justamente
la representación gráfica del par (3, −2).
–6 –4 –2 2 4 6
–2
–4
4
y
0 x
A 2
–6 –4 –2 2 4 6
–2
2
4
y
–4
x
(3, –2)
0
A (−4, 2)
Abscisa de A Ordenada de A


Dibuja un sistema de coordenadas cartesianas.
—Señala el eje de abscisas, el eje de ordenadas
y el origen de coordenadas.
—Identifica con un número el primero, el segundo,
el tercero y el cuarto cuadrantes.
Representa en un sistema de coordenadas estos
puntos e indica en qué cuadrante están situados.
(−2, 5), (1, −3), (2, 4), (−2, −1),
(0, 5), (−2, 0), (−2, 1), (4, −3)
Completa en tu cuaderno los signos que faltan:
Indica las coordenadas de los siguientes puntos.
Las coordenadas de tres de los vértices de un cuadrado
son (−2, 2), (4, 2) y (4, −4). ¿Cuáles son las
coordenadas del cuarto vértice?
6
5
4
3
2
Actividades §
Cuadrante
Coordenada
Primero Segundo Tercero Cuarto
Abscisa +
Ordenada −
D
A
C
E
B
x
y
–6 –5 –4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
–7 0 1 2 3 4 5 6 7
Indicamos las coordenadas
cartesianas (o simplemente
coordenadas) del punto P de
esta manera:
P (x, y)
Donde x es la abscisa e y la
ordenada.
Notación
1.3. Gráficas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas podemos representar información
relativa a muchas situaciones de la vida cotidiana. Para ello, utilizamos
las gráficas cartesianas.
Gráficas que se representan mediante puntos aislados
Observa la gráfica de la figura 1. Ofrece información sobre el partido
disputado por las jugadoras de un equipo de baloncesto.
Cada punto corresponde a la jugadora cuyo dorsal se indica. Las abscisas
nos informan de los minutos jugados y las ordenadas de los
puntos que obtuvo.
Cada división del eje de abscisas equivale a 5 minutos, y cada división
del eje de ordenadas equivale a 2 puntos.
Con la información representada en la gráfica es fácil responder a
preguntas como las que plantea el siguiente ejemplo.
Una gráfica cartesiana es un conjunto de puntos representados en
un sistema de coordenadas cartesianas.
Ë
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 x
y
8
9
13
6
15
11
4
14 12
Minutos jugados
Puntos obtenidos
■ Fig. 1
A partir de la gráfica de la figura 1, contesta:
a) ¿Cuántas jugadoras participaron en el encuentro?
b) ¿Qué jugadora obtuvo mayor puntuación?
c) ¿Cuántos puntos obtuvo el equipo?
d) ¿Qué jugadora estuvo menos tiempo en la pista?
ejemplo 2
a) Participaron 9 jugadoras, puesto que
hay 9 puntos representados.
b) La puntuación de cada jugadora nos
viene dada por la ordenada del punto
que la representa. El punto de mayor
ordenada corresponde a la jugadora
con el dorsal 8 y su valor
es de 14 puntos.
c) Debemos sumar las ordenadas de
todos los puntos.
2 +2 +8 +4 +12 +6 +8 +10 +14 = 66
El equipo anotó 66 puntos.
d) El punto de menor abscisa corresponde
a la jugadora con el dorsal 14
y su valor es de 10 minutos.
Una agencia inmobiliaria tiene 10 departamentos en
arriendo. La gráfica nos informa sobre el precio y la
superficie de cada uno.
a) ¿Cuál es el más económico? ¿Cuál el más amplio?
b) ¿Entre qué departamentos puede optar una familia
que necesita un espacio mínimo de 70 m2 y cuyo presupuesto
no supera los 200 dólares?
c) ¿Cuál tiene una mejor relación superficie/precio?
d) ¿Qué importe recaudará la agencia por el arriendo de
todos los departamentos?
7
Actividades §
150
200
y
0 60 65 70 75 80 85 x
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Superficie (m ) 2
Precio (Miles de dólares)
Gráficas que se representan mediante una línea
En el ejemplo de la página anterior, la gráfica estaba formada por puntos aislados,
pues ofrecía información relativa a unas pocas jugadoras. En otras
ocasiones, las gráficas están formadas por líneas de diversas formas, pues
ofrecen información sobre infinitos puntos. Veamos un ejemplo.
La gráfica de la figura 2 nos muestra la temperatura en una estación
meteorológica, que ha sido registrada por un termógrafo,
de forma continua, durante un día.
En el eje de abscisas se ha representado la hora del día y cada
una de sus divisiones corresponde a una hora.
En el eje de ordenadas se han representado las temperaturas y
cada una de sus divisiones corresponde a 1 grado Celsius.
A partir de la gráfica, podemos averiguar la temperatura que
hizo a las horas en punto y también podemos deducir la temperatura
que hizo, por ejemplo, a las 10h30.
También podemos saber a qué hora se registró una temperatura
determinada.
Veamos cómo podemos responder a algunas preguntas a partir
de la información representada en la gráfica de la figura 2.
A partir de la gráfica de la figura 2, contesta las preguntas:
a) ¿Qué temperatura se registró a las 11 de la mañana? ¿Y a las 6 de la tarde?
b) ¿A qué hora del día se registró la temperatura máxima?
c) ¿Cuál fue la temperatura más baja que se registró?
d) ¿Durante qué horas la temperatura fue en aumento?
ejemplo 3
a) A las 11 de la mañana se registraron
9 °C y a las 6 de la tarde unos
16,7 °C.
b) La temperatura máxima se registró
a las 17 h y fue de 17 °C.
c) La temperatura más baja registrada
fue de 4 °C.
d) La temperatura fue en aumento desde
las 6 hasta las 17 h.
La gráfica representa la variación de la velocidad
de un automóvil en función del tiempo para un trayecto
entre dos semáforos.
a) ¿Qué velocidad máxima alcanza el automóvil?
b) ¿Qué velocidad tiene a los 15 s? ¿En qué instante
la velocidad es 15 m/s?
c) ¿Durante qué intervalo de tiempo la velocidad
aumenta? ¿Durante qué intervalo disminuye?
d) ¿Durante cuánto tiempo el automóvil está circulando?
8
Actividades §
10
20
30
40
v (m/s)
10 20 30 40 50 60 70 80 t (s)
0
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Hora
Temperatura ( C) o
■ Fig. 2
2 Estudios estadísticos
Conocer cuántos estudiantes toman transporte escolar para organizar otras rutas de
recorrido o cuál es el promedio de notas del curso de matemática para tomar decisiones
requiere de un proceso organizado que permita analizar datos, esto lo podemos
realizar mediante un estudio estadístico siguiendo algunos pasos como:
• Elaborar encuestas.
• Recoger datos
• Organizar, clasificar las respuestas.
• Elaborar tablas con los resultados
• Construir gráficos
2.1. Variables estadísticas. Frecuencias
Analicemos la siguiente situación:
En 8.° año de EGB de un colegio se realizó la siguiente encuesta a 40 estudiantes:
Pregunta N.°1: ¿Cuántos hermanos o hermanas tienes?
Pregunta N.°2: ¿Por qué medio de transporte llegas al colegio?
Los resultados que se obtuvieron fueron.
N.° de Frecuencia Medio de Frecuencia
hermanos Transporte
0 3 Escolar 18
1 8 Bus de línea 11
2 15 Particular 5
3 11 Ninguno 6
4 2
5 1
El número de hermanos es una variable estadística cuantitativa, porque los valores que
se emplean en la encuesta son numéricos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
El medio de transporte que utilizan los estudiantes es una variable estadística cualitativa,
pues los valores que se emplean en la encuesta no son numéricos: transporte
escolar, de línea, particular o ninguno.
El número de veces que se repite el número de hermanos o el medio de transporte se
le llama frecuencia.
Variable estadística: cualquier característica que pueda observarse en un colectivo.
Variable estadística cuantitativa: aquella que toma valores numéricos.
Variable estadística cualitativa: no toma valores numéricos.
Ë
2.2. Frecuencia absoluta y relativa
La siguiente información corresponde a una encuesta realizada a 20 madres
de familia que utilizan las instalaciones deportivas de un colegio para
hacer deportes.
Encuesta:
¿Cuántos hijos tiene en el colegio?
¿Cuál es su deporte favorito?
N.° de hijos Frecuencia Deporte Frecuencia
absoluta favorito absoluta
1 5 Fútbol 11
2 3 Básquet 3
3 8 Natación 1
4 4 Ajedrez 5
El número de veces que se repite el mismo número de hijos o el mismo deporte
es la frecuencia absoluta.
Ejemplo:
La frecuencia con la que se dan 3 hijos es 8, se expresa f(3) = 8
La frecuencia de uso de del deporte ajedrez es 5, se expresa f(ajedrez) = 5
Si en este estudio interesa saber cuántas madres de familia tienen 2 o menos
de 2 hijos en el colegio, debemos sumar las frecuencias absolutas correspondientes
a los valores 1 y 2:
5 + 3 = 8
Así, 8 madres de familia tienen menos de 3 hijos en el colegio. El número 8
se denomina la frecuencia absoluta acumulada del valor 2.
Si se requiere conocer qué parte del total de madres de familia practican básquet,
dividimos la frecuencia absoluta para el total de datos:
= 0,15 este valor lo llamaremos frecuencia relativa.
La frecuencia relativa nos ayuda a determinar el porcentaje de madres de
familia que practican básquet.
0,15 x 100 = 15%
Así, el 15% del total de madres de familia practican el básquet en el colegio.
Frecuencia absoluta: es el número de veces que se repite el valor de la variable.
Frecuencia absoluta acumulada: de un valor de la variable estadística
es el resultado de sumar a su frecuencia absoluta las frecuencias
absolutas de los valores anteriores.
Frecuencia relativa: de un valor de la variable estadística es el resultado
de dividir la frecuencia absoluta de dicho valor entre el número
total de datos.
Ë
3
20
3 Tablas y gráficos estadísticos
Las tablas y los gráficos son especialmente útiles en los estudios estadísticos.
3.1. Tablas estadísticas
En este tipo de estudios se tiene gran cantidad de datos referidos a un colectivo. Dichos datos se interpretan
con mayor facilidad cuando se organizan en tablas estadísticas.
Interpretación de tablas
Se ha llevado a cabo un estudio estadístico sobre la edad de los atletas participantes en una carrera organizada
por la Universidad Técnica de Babahoyo y se han obtenido los siguientes resultados:
25 22 23 22 24 25 25 23 22 21 26 25 22 23 25 24
Estos datos se han organizado en una tabla estadística.
Observa qué características aparecen en la tabla:
— Variable estadística: la edad.
— Frecuencia absoluta: el valor 25 tiene una frecuencia absoluta
igual a 5.
La suma de todas las frecuencias absolutas es igual
al número total de datos. En el ejemplo anterior, 16.
— Frecuencia relativa: La frecuencia relativa del valor 25
es o, también, del 31,25 %, si la expresamos
en porcentaje.
La suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1.
A partir de la tabla estadística, podemos deducir un importante
parámetro que representa a todo el colectivo. Se trata
de la media aritmética.
La media aritmética de las edades de los atletas es:
25 + 22 + 23 + 22 + 24 + 25 + 25 + 23 + 22 + 21+ 26 + 25 + 22 + 23 + 25 24
16
23,6 + =
La estadística es la parte de la Matemática dedicada al estudio y el
análisis de ciertas características de un conjunto de individuos llamado
población.
Ë
Variable estadística (edad) 21 22 23 24 25
Frecuencia absoluta (n.° alumnos) 1 4 3 2 5 Total: 16
Frecuencia relativa
1
16
4
16
3
16
2
16
5
16
Total: 1
26
1
1
16
El 31,25 % de los
atletas tiene 25 años.
En total participan 16 atletas.
Hay 5 atletas de 25 años.
La media aritmética es el valor que resulta de sumar todos los datos
y dividir por el número total de ellos.
Ë El valor de la variable estadística
que se repite más veces
recibe el nombre de
moda.
En el ejemplo anterior, la
moda es 25 años.
Ú FÍJATE
5
16
= 0,3125
Construcción de tablas
En la clase de Yolanda se ha realizado un examen de Matemática. Observa
en el ejemplo 4 cómo se organizan los resultados en una tabla y cómo
puede obtenerse información relativa al colectivo.
Las notas sobre 10 puntos de un examen de Matemática de una clase de 8.° de
EGB han sido:
8 6 5 4 6 6 8 5 7 5 3 5 6 9 6 6 4 7 10 5
a) Construye una tabla estadística indicando las frecuencias absolutas y relativas
de cada valor.
b) Calcula la media aritmética de las notas de la clase.
ejemplo 4
a)
b) Para hallar la media aritmética, debemos sumar todas las notas obtenidas y dividir
por el número de notas. Pero sumar todas las notas es equivalente a
multiplicar cada valor por su frecuencia absoluta y sumar los productos. Así:
La media aritmética es 6,05.
3 1 4 2 5 5 6 6 7 2 8 2 9 1 10 1
20
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = 6,05
Nota 3 4 5 6 7 8
Recuento
F. relativa 0,05 0,10 0,25 0,30 0,10 0,10
F. absoluta 1 2 5 6 2 2
9 10
0,05 0,05 Total: 1
1 1 Total: 20
Para averiguar los conocimientos de sus alumnos acerca de los Derechos Humanos, un profesor efectúa
una prueba de 10 preguntas y obtiene los resultados que muestra la tabla.
a) Completa la tabla con las frecuencias relativas de cada resultado.
b) Añade una fila en la que aparezcan las frecuencias relativas expresadas en porcentaje.
c) ¿Cuál ha sido el resultado más repetido? ¿Qué porcentaje sobre el total le corresponde?
d) Determina cuántas preguntas responde correctamente un alumno por término medio.
Los datos siguientes se refieren al número de veces que los alumnos de una clase de 8.° de EGB han visitado
al dentista en los últimos tres meses.
1 1 6 0 2 6 1 6 1 6 7 6 1 2 1 2
2 3 1 7 1 6 8 1 2 1 1 6 2 1 0 6
a) Construye una tabla estadística con las frecuencias absoluta y relativa de cada valor.
b) ¿Cuántas veces, por término medio, los alumnos de 8.° de EGB visitan al dentista?
c) ¿Cuál es el número de visitas que más se repite? ¿Qué tanto por ciento sobre el total representa?
10
9
Actividades §
N.° respuestas correctas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
F. absoluta (n.° alumnos) 0 0 1 2 4 8 11 9 7 5 1
Frecuencia relativa
Total: 48
Total: 1
Las variables estadísticas que
tienen valores numéricos se
denominan variables cuantitativas.
Ejemplos: nota, altura,
peso…
En cambio, aquellas que tienen
valores no numéricos se
denominan variables cualitativas.
Ejemplos: color de
pelo, deporte favorito, materia
preferida…
La media aritmética es un
parámetro que sólo puede
calcularse para variables
cuantitativas, en cambio, la
moda puede calcularse para
ambos tipos de variables.
Tipos de variables
estadísticas
3.2. Gráficos estadísticos
La información relativa a un estudio estadístico suele representarse en gráficos
estadísticos, pues de este modo se visualiza con mayor claridad.
Los dos gráficos más utilizados en estadística son el diagrama de sectores
y el diagrama de barras.
Diagrama de sectores Diagrama de barras
Al buscar los componentes de una dieta equilibrada,
hemos encontrado el siguiente gráfico.
Este gráfico consiste en un círculo dividido en sectores
de amplitud proporcional a las frecuencias de cada valor
de la variable estadística.
— Para construirlo:
• Calculamos la amplitud de cada sector multiplicando
por 360° las frecuencias relativas.
• Dibujamos un círculo y, utilizando un graduador de
ángulos, lo dividimos en sectores de la amplitud
calculada.
— Al observarlo, concluimos que:
• Más de la mitad de una dieta equilibrada debe estar
formada por hidratos de carbono. Una cuarta
parte debe estar constituida por grasas.
• La proporción de proteínas debe ser cinco veces
mayor que la de fibra.
El gráfico muestra el parque de vehículos en una ciudad
de la Costa.
En este gráfico cada barra representa un valor de la
variable estadística y su altura es proporcional a la frecuencia
de dicho valor.
— Para construirlo:
• Trazamos unos ejes de coordenadas. Sobre el eje
de abscisas representamos los valores de la variable
estadística y sobre el eje de ordenadas las correspondientes
frecuencias.
• Para cada valor de la variable trazamos una barra
vertical cuya altura coincida con su frecuencia.
— A partir del análisis de la gráfica concluimos que:
• El parque de vehículos de la ciudad está formado
fundamentalmente por turismos. Los camiones y
las furgonetas ocupan el segundo lugar.
• Los tractores industriales constituyen una parte
ínfima.
3%
57%
25%
15%
Hidratos de carbono
Grasas
Proteínas
Fibra
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0 Camiones y
furgonetas
Transporte
turístico
Motocicletas Tractores
industriales
Otros
vehículos
Tipos de vehículos
Número de vehículos (miles)
Parque de vehículos
En el siguiente diagrama de sectores está representada
la composición de una bebida.
a) ¿Qué extractos de frutas contiene? ¿En qué porcentajes?
b) ¿Qué cantidad de extracto de cada una de las frutas
se necesita para preparar 3 litros de bebida?
11
Actividades §
25% 25%
50%
Composición de una bebida
Extracto de naranja
Extracto de manzana
Extracto de uva
3.3. Descripción de experimentos aleatorios
Si conocemos el volumen de agua contenida en un recipiente y su densidad podemos
determinar su peso. En cambio, habrás observado que al lanzar una moneda
al aire, el resultado (cara o cruz) es completamente impredecible.
Imagina ahora que lanzamos la moneda muchas veces. ¿Serías capaz de
predecir el número de caras y cruces?
Construyamos la tabla de frecuencias correspondiente al suceso “salir cara”.
Esta tabla indica la frecuencia absoluta, o número de veces que ocurre el
suceso, y la frecuencia relativa, que es el cociente entre la frecuencia absoluta
y el número de veces que se repite el experimento.
Supongamos que los valores obtenidos son:
Observa atentamente el comportamiento de la frecuencia relativa. A medida
que crece el número de repeticiones su valor se aproxima paulatinamente
al valor 0,5.
De acuerdo con estos resultados podemos afirmar que el suceso “salir cara”
ocurrirá en el 50% de los casos, o que su probabilidad es de 0,5.
N.º de lanzamientos 100 200 300 400 500 600 700 800
Frecuencia absoluta 56 107 142 195 245 296 347 398
Frecuencia relativa 0,560 0,535 0,473 0,488 0,490 0,493 0,496 0,498
Llamamos experimento determinista a todo aquel cuyo resultado
puede predecirse antes de que se realice.
Llamamos experimento aleatorio a todo aquel cuyo resultado no puede
predecirse antes de que se realice.
Ë
Definimos probabilidad de un suceso en un experimento aleatorio
como el valor al que se aproximan las frecuencias relativas del suceso
al aumentar el número de repeticiones del experimento.
Ë
Se ha lanzado un dado 500 veces y se han obtenido estos resultados:
a) Antes de realizar el experimento, ¿cuál crees que será la probabilidad de cada resultado?
b) Completa la tabla con las frecuencias relativas de cada resultado. ¿Confirman estos datos tu hipótesis?
c) Considera los sucesos:
A = Obtener un número par B = Obtener un número mayor que 2
C = Obtener un número menor o igual que 6.
Calcula las frecuencias absoluta y relativa de cada suceso y ordénalos de más a menos probable.
12
Actividades §
Suceso 1 2 3 4 5 6
Frecuencia absoluta 84 88 87 75 86 80
La probabilidad indica el grado
de certeza que tenemos de
que ocurra un suceso. Su valor
está comprendido entre 0
(suceso imposible) y
1 (suceso seguro).
Ú FÍJATE
Estrategia: Método general de resolución de problemas
A continuación, te presentamos un método de resolución de problemas que te servirá de pauta
en este curso.
En las páginas dedicadas a la resolución de problemas encontrarás una serie de técnicas y estrategias
que te ayudarán en esa tarea, a veces ardua, pero siempre gratificante.
Estrategia: Organización de la información
Antes de iniciar la resolución de cualquier problema es necesario que tengas organizados los
datos de los que dispones.
Esto es especialmente importante en los estudios con muchos cálculos. En esos casos es conveniente
organizar los datos en una tabla que facilite las operaciones y simplifique los procesos.
La energía consumida por una persona es múltiplo de su tasa de metabolismo basal (TMB). En reposo (durmiendo,
tendida…) consume su TMB · 1; en actividad muy ligera (sentada o de pie), su TMB · 1,5; en actividad
ligera (caminar, trabajar en un taller…), TMB · 2,5; en actividad moderada (marchar a 6 km/h, jardinería,
bicicleta a 18 km/h, baile…), TMB · 5; en actividad intensa (correr a 12 km/h, jugar al fútbol…), TMB · 7; en
actividad muy pesada (subir escaleras a toda velocidad, atletismo de competición…), TMB · 15.
Una persona corriente tiene una TMB de
66 kcal/h. Calcula la energía consumida
por una persona que efectúa las siguientes
actividades a lo largo de 24 h: trabajar
en un taller (8 h); estar sentado (2,5 h);
caminar (2 h); leer (1,5 h); comer (2 h); dormir
(8 h).
Comprensión del enunciado
— Leemos de nuevo el enunciado. Localizamos
los datos y los disponemos
en la tabla de la derecha.
— Escribimos qué es lo que debemos
buscar: la energía consumida por una
persona a lo largo de 24 h.
Planificación de la resolución
— Multiplicaremos la tasa de energía requerida para cada actividad por el número de horas y, a continuación,
sumaremos los productos para hallar la energía consumida total.
Actividad Tasa de energía
requerida (kcal/h) Ejemplos de actividades
Reposo TMB  1 = 66 Durmiendo, tendida…
Muy ligera TMB  1,5 = 99 Sentada o de pie.
Ligera TMB  2,5 = 165 Caminar, trabajar en un taller…
Moderada TMB  5 = 330
Marchar a 6 km/h, jardinería, bicicleta
a 18 km/h, baile…
Intensa TMB  7 = 462 Correr a 12 km/h, jugar al fútbol…
Muy
pesada
TMB  15 = 990
Subir escaleras a toda velocidad,
atletismo de competición…
Organiza los datos en una tabla.
La producción mundial de petróleo en el año 2002
está encabezada por Próximo Oriente con 20,973
millones de barriles diarios. Le siguen América del
Norte (14,163 millones), ex repúblicas soviéticas
(9,348 millones), Asia y Pacífico (7,987 millones), África
(7,937 millones), Europa (6,874 millones) y América
del Sur y Central (6,654 millones).
La lista de consumidores está encabezada por América
del Norte con 23,487 millones de barriles diarios.
Le siguen Asia y Pacífico (21,399 millones), Europa
(16,025 millones), América del Sur y Central (4,590
millones), Próximo Oriente (4,388 millones), ex repúblicas
soviéticas (3,381 millones) y África (2,527
millones).
Resuelve:
a) Di en qué zonas el consumo está por encima de
la producción y en cuáles por debajo.
b) Calcula el total de barriles de petróleo producidos
diariamente en el mundo y el total de barriles consumidos
diariamente. ¿Coinciden? ¿Qué significado
tiene?
13
14
Actividades §
Ejecución del plan de resolución
8  165 + 2,5  99 + 2  165 + 1,5  99 + 2  99 +
+ 8  66 = 2 772 kcal
Revisión del resultado y del proceso seguido
Repasamos los cálculos efectuados y pensamos
si el resultado obtenido es razonable.
Cómo resolver problemas
En resumen
° Las tablas permiten ordenar y clasificar conjuntos
de datos de manera que su interpretación
sea más sencilla.
° Un sistema de coordenadas cartesianas consta
de estos elementos:
El eje horizontal se llama eje de abscisas y se representa
por X.
El eje vertical se llama eje de ordenadas y se
representa por Y.
El punto en que se cortan ambos ejes es el origen
de coordenadas y se representa por O.
° La estadística es la parte de las Matemáticas dedicada
al estudio y el análisis de datos referidos
a fenómenos colectivos.
° Los datos estadísticos se interpretan con mayor facilidad
cuando se organizan en tablas estadísticas.
° La información relativa a un estudio estadístico
suele representarse en gráficos estadísticos
para visualizarla con mayor claridad.
° Una población es un conjunto de elementos
que se quiere estudiar. Cada uno de sus elementos
es un individuo. Una muestra es una
parte de la población objeto de estudio.
° La característica de la población que se quiere
estudiar es una variable estadística. Cada observación
sobre ella es un dato.
Las variables estadísticas pueden ser:
— Cualitativas. No toman valores numéricos.
— Cuantitativas. Se dan en forma numérica.
Pueden ser continuas o discretas.
° Una encuesta es un conjunto de preguntas dirigidas
a una muestra para la obtención de datos.
° La frecuencia absoluta de un valor de la variable
estadística es el número de veces que se repite
dicho valor.
° La frecuencia relativa de un valor de la variable
estadística es el resultado de dividir la frecuencia
absoluta de dicho valor entre el número total
de individuos de la población.
° La frecuencia absoluta acumulada de un valor
de la variable estadística es el resultado de
sumar a su frecuencia absoluta las frecuencias
absolutas de los valores anteriores.
° La frecuencia relativa acumulada de un valor
de la variable estadística es el resultado de
sumar a su frecuencia relativa las frecuencias relativas
de los valores anteriores.
se organizan en se representan
mediante
se dibujan sobre de ellas se obtienen los principales son
Información
Datos
Tablas
de datos
………………………………
……………………………..
Media
aritmética
Coordenadas
…………………………………….
……………………………….
…………………………….
………………………………
……………………………..
se organizan en se representan
mediante
Estudio estadístico
Datos estadísticos
……………………………..
……………………………..
.
Gráficos
estadísticos
Repasa los contenidos de este tema y completa mentalmente lo que hace falta:
Moda
se ordenan
mediante
Tabla de
distribución
de frecuencias
si pertenecen
a fenómenos
colectivos son
Frecuencia …………………..
Frecuencia …………………..
Frecuencia …………………..
Frecuencia …………………..
Síntesis
Ejercicios y problemas integradores
Samia tiene 15 años y mide 1,65 m, Rita tiene 12 años y mide 1,30 m, Nely
tiene 14 años y mide 1,50 m y Luis tiene 16 años y mide 1,70 m. Representa a
cada uno, en el plano cartesiano.
• Para representar esta información debemos identificar las variables dependiente
e independiente.
En este caso, la estatura depende de la edad.
Variable independiente x: Edad
Variable dependiente y: Estatura
• Graficamos un plano cartesiano utilizando una escala adecuada que nos
permita ubicar los valores entre 12 y 16 para el eje x, y entre 1 y 2 metros
para el eje y.
• Formamos los pares ordenados correspondientes y los ubicamos en el plano.
(15; 1,65);(12; 1,30);(14; 1,50);(16; 1,70)
Se va a organizar un paseo y el precio por persona va a depender del número
de personas que vayan al paseo. El número máximo de reservaciones para el
hotel es de 60, y el mínimo 10, admitiendo solamente grupos de 10 personas.
Analiza la gráfica y contesta las preguntas:
2
4
6
8
10
Precio por persona (en $) Número de reservaciones
10
y
0
x
20 30 40 50 60
a) ¿Qué significado tienen los pares ordenados (10, 10),
(30, 6), (20, 8)?
Si hacen 10 reservaciones, cada persona pagará $ 10.
Si hacen 30 reservaciones, cada persona pagará $ 6.
Si hacen 20 reservaciones, cada persona pagará $ 8.
Conclusión: Cuando el grupo de personas aumenta el
costo de la reservación individual disminuye.
b) ¿Es necesario que en el eje x consten números mayores
a 60?
No, ya que hay un mínimo de reservaciones que es 10
y un máximo de 60 personas.
c) ¿Por qué la gráfica no muestra los valores 15 y 55?
Porque solo se admiten grupos de 10 personas. Los valores
intermedios no tienen sentido.
1
1,30
1,50
1,65
1,70
Rita
Nely
Samia
Luis
14 15 16 x
y
12 0


Edad (años)
Altura (m)
Analiza el gráfico y responde a las preguntas:
a) ¿Qué representa el gráfico?
Las inasistencias de un grupo de estudiantes de octavo de básica.
b) ¿En qué grupo se produjo el mayor número de ausencias en cada trimestre?
Primer trimestre 8.º C
Segundo trimestre 8.º B
Tercer trimestre 8.º C
c) ¿Cuántas faltas se produjeron en el grupo 8.º B en el segundo trimestre?
Cuarenta y cinco faltas.
d) Elabora una tabla de frecuencias del primer trimestre.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1er trimestre 2o trimestre 3er trimestre
8.o A
8.o
8.o
8.o
B
C
D
26 25
32
23
32
45
29
24
18
22
32
11
Inasistencia de los estudiantes
de 8.º Año de Educación Básica
N0. de alumnos
Paralelos Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada
A 26 26
B 25 26 + 25 = 51
C 32 25 + 32 = 57
D 23 32 + 23 = 55
Practica
Elabora una tabla de frecuencias de todo el año escolar.

Ejercicios y problemas
Tablas de datos y gráficas cartesianas
Explica por qué es habitual presentar los datos
de numerosas disciplinas (economía, sociología…)
en forma de tablas y de gráficas. Ilustra tu explicación
mediante ejemplos.
A partir de los datos que aparecen en la tabla,
contesta a las siguientes preguntas.
— ¿Quién dedica más horas a estudiar? ¿Quién dedica
más tiempo al deporte? ¿Quién duerme más
horas?
— Si sumamos las horas de estudio y deporte, ¿quién
dedica más tiempo a ambas actividades?
Representa en un sistema de coordenadas cartesianas
los puntos (−5, −1), (−2, 2), (0, −4) y (7, 3).
Indica, sin efectuar su representación, el cuadrante
al que pertenecen los siguientes puntos.
(3, 5), (3, 4), (3, 11), (2,5, 1)
Determina, a partir de la siguiente gráfica, el valor
correspondiente a x = 5 y el correspondiente a
y = 4.
— Justifica si puedes transformar la gráfica anterior
en un diagrama de barras.
Tablas y gráficos estadísticos
Di qué conceptos aparecen en una tabla estadística
y explica qué significa cada uno de ellos.
La siguiente tabla estadística corresponde a la suma
de puntos obtenidos al lanzar dos dados.
— ¿Cuántas veces hemos lanzado los dos dados?
— Completa la tabla con las frecuencias relativas
expresadas en tanto por uno y en tanto
por ciento.
— ¿Cuál ha sido el resultado más repetido? ¿Qué
porcentaje de veces se ha obtenido?
El número de visitas que Juan ha hecho a sus abuelos
en los últimos 12 meses es:
3 4 3 4 3 5 6 4 3 4 3 5
— Organiza estos datos en una tabla estadística
con la frecuencia relativa expresada en tanto por
uno y en tanto por ciento.
— Calcula la media aritmética.
El siguiente diagrama de sectores muestra el número
de libros leídos durante el último mes por
los alumnos de una clase de 8.° de EGB.
Si en la clase hay
25 alumnos, calcula
cuántos alumnos no
han leído ningún libro,
cuántos han
leído 1 libro, cuántos
han leído 2 libros y
cuántos han leído
3 libros.
Ningún libro:
1 libro:
2 libros:
3 libros:
23
22
21
20
19
18
17
16
15
Número de horas semanales
Estudio Deporte Dormir
Juan 18 14 61
Pedro 29 4 56
Toa 25 9 58
– 4 – 2 2 4 6 8 10
2
4
6
8
10
y
x
Puntuación 3 4 5 6 7 8 9 10
N.° veces 2 3 4 5 6 5 4 3
Libros leídos
Ningún libro
1 libro
2 libros
3 libros
24%
4%
60%
12%
9 Comprensión de conceptos y conocimiento de procesos
Construye un diagrama de barras con estos datos:
A, 100; B, 150; C, 125; D, 50; E, 50 y F, 50.
Los siguientes datos corresponden al número de
alumnos (en miles) matriculados en el periodo escolar
Costa. Inicial: 1419; EGB: 2495; Bachillerato:
632; Educación técnica: 517; Educación universitaria:
1463; Educación especial: 29.
—Construye un diagrama de barras con ellos.
Al llegar a la oficina de turismo de una determinada
población, los visitantes deben responder si han
estado con anterioridad en dicha población.
— Completa, en tu cuaderno, la siguiente tabla sabiendo
que el número de visitantes ha sido de
140 y que la frecuencia absoluta de la respuesta
Sí es de la frecuencia absoluta de la respuesta
No.
Hemos preguntado a 10 personas el número de
películas que han visto durante la última semana y
hemos obtenido los siguientes datos:
1 2 2 1 4 3 2 1 0 1
a) Construye la tabla de distribución de frecuencias.
b) Representa estos datos en un diagrama de
barras acumuladas.
Aplicación en la práctica
Organiza en una tabla los datos siguientes, correspondientes
a las características de varios
modelos de automóvil expuestos en un concesionario.
El modelo FFW 1.6i tiene una potencia de 100 CV,
una cilindrada de 1596 cm3, alcanza una velocidad
máxima de 185 km/h, pasa de 0 a 100 km/h|
en 11,3 s, consume 6,9 l a los 100 km y cuesta
$ 17 780.
El modelo OZ 1.8 16v tiene una potencia de 125 CV,
una cilindrada de 1796 cm3, su velocidad máxima
es 188 km/h, pasa de 0 a 100 km/h en 11,5 s, consume
7,6 l a los 100 km y cuesta $ 20180.
El modelo RS 2.0 tiene una potencia de 140 CV, una
cilindrada de 1998 cm3, una velocidad máxima de
196 km/h, pasa de 0 a 100 km/h en 10,2 s, consume
8,0 l a los 100 km y cuesta $ 19 950.
El modelo HS 2.0 ES tiene una potencia de 156 CV,
una cilindrada de 1998 cm3, una velocidad máxima
de 205 km/h, pasa de 0 a 100 km/h en 9,3 s, consume
8,6 l a los 100 km y cuesta $ 23 500.
A partir de los datos de la actividad anterior, responde:
a) ¿Qué modelo ofrece mejores prestaciones en velocidad
máxima y tiempo de aceleración?
b) ¿Están relacionados la potencia y el consumo?
—Di si has analizado los datos a partir del texto
de la actividad anterior o bien a partir de la tabla
que has elaborado. Justifica tu elección.
Más a fondo
Esta gráfica muestra el número de computadoras
que se han vendido en un centro comercial durante
una semana.
a) ¿Cuál fue el día en que se vendieron más computadoras?
¿Cuántos se vendieron?
b) ¿Qué día se vendieron 10?
c) ¿Cuántas computadoras se han vendido durante
la semana?
a) El sábado. 12. b) El martes.
c) 8 + 10 + 6 + 4 + 7 + 12 = 47
Analiza la siguiente gráfica.
— ¿En qué meses los ingresos superan a los gastos?
¿En cuáles son inferiores?
— Calcula los beneficios o las pérdidas obtenidos
cada mes del año.
31
30
29
28
25
24
26
27
14
12
10
8
6
4
2
0
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
Venta de ordenadores
Día de la semana
Número de ordenadores
0
1
2
3
4
5
6
7
8
E F M A M J J A S O N D
(· 10 000)
Ingresos
Gastos
Venta de computadoras
Número de computadoras
.
:
2
5
Pregunta a cada uno de tus compañeros y compañeras
de clase el deporte que prefiere. Calcula
las frecuencias absolutas y las relativas, y expresa
los resultados obtenidos en una tabla de frecuencias.
— Construye el diagrama de barras correspondiente.
¿Crees que sería adecuada en este caso
la confección de un cartograma?
La siguiente tabla muestra la evolución del porcentaje
de trabajadores dependientes de los ingresos
agrícolas en cuatro regiones del Ecuador.
Exprésalo mediante diagramas de barras.
Región 1: Amazonía; 2: Sierra; 3: Costa; 4: Galápagos.
Observa los pasos que puedes seguir para elaborar
una encuesta.
1. Definición del problema.
2. Formación de los grupos de trabajo y distribución
de las tareas.
3. Formulación del cuestionario.
4. Elección de la muestra si es necesario.
5. Realización de las entrevistas.
6. Organización de los datos en tablas y elaboración
de los gráficos más adecuados.
7. Análisis de los resultados y extracción de conclusiones.
A la hora de formular las preguntas es importante
que tengas en cuenta las siguientes normas:
1. El número de preguntas debe ser reducido.
2. Formula las preguntas de forma concreta y
precisa de modo que puedan contestarse rápidamente.
3. Las preguntas deben ser preferentemente cerradas
y numéricas.
Formen grupos de trabajo y elaboren un formulario
para estudiar los hábitos de ahorro de recursos
en los alumnos de su colegio.
Busca información sobre los planetas del Sistema
Solar. Anota en una tabla el radio ecuatorial, la
distancia media al Sol, el período de rotación, el período
de revolución, el número de satélites y otros
datos significativos que consideres interesantes.
Puedes obtener ayuda en la página http://webs.demasiado.
com/juan_1698/ASTRONO1.htm
Conéctate a la página web del Instituto Nacional de
Estadística y Censos (http://www.inec.gob.ec) y
busca información sobre la distribución de la población
por provincias. Busca resultados preliminares
por provincia.
—Representa los datos en un diagrama de barras.
Vamos a efectuar un análisis de los productos alimentarios
a partir de sus etiquetas.
a) Formen grupos y recojan las etiquetas de los envases
de productos alimentarios que consumen
habitualmente.
Intenten conseguir de algún producto varias
etiquetas correspondientes a distintas marcas.
b) Analicen la presentación de la información.
• ¿Qué información recoge la etiqueta?
• ¿Se presenta de forma clara?
• ¿Aparecen los ingredientes?
c) Escojan varios productos similares. Construyan
una tabla detallando los ingredientes y su
cantidad o proporción.
d) Dibujen un diagrama de sectores que refleje la
composición de cada producto.
e) Pongan en común sus resultados con los de otros
grupos.
Busca información sobre las ventas anuales de automóviles
en el Ecuador durante los últimos 10 años.
Puedes consultar anuarios de periódicos, Internet…
o seguir las orientaciones de tu profesor o profesora.
— Utiliza una hoja de cálculo para organizar los datos
en una tabla. Representa los resultados
gráficamente mediante ese mismo programa informático.
Escoge el tipo de gráfico que creas
más adecuado.
Sigue las orientaciones de tu profesor o profesora
en el trabajo con aplicaciones informáticas.
38
37
36
35
34
33
32
1950 1960 1970 1980 1990 2000
1 76 71 64 56 51 41
2 76 71 69 66 60 55
3 87 84 81 74 69 64
4 55 50 43 35 26 21
_
_
_
@
@
Región
En tu cuaderno
Demuestra tu ingenio
La familia
La familia Cañas está formada por siete miembros. Los abuelos son Alonso y Lupe, los padres son Francisco
y Margarita, y los tres hijos son Javier, que estudia en la universidad; Armando, que estudia
8.° de EGB, y Luis, que va a la guardería.
¿Sabrías decir a quién representa cada uno de los puntos del diagrama de la derecha?
2,00
1,50
1,00
Estatura (m)
10 20 30 40 50 60 70
Edad
A
B
C D
E
F
G
Buen Vivir
Quiero contarles mi experiencia para hacer
muchos amigos: Desde hace algunos años
he conocido a más de cien personas a través
de las redes sociales y de los chats. He podido
saber cómo piensan personas de otras
partes del mundo sin necesidad de salir del
país para conocer el mundo, pues ahora
todo está al alcance de un clic y de que me
acepten como amigo al otro lado de la red.
En el colegio, todos mis compañeros cuentan
historias asombrosas de sus amigos virtuales,
unas son chistosas y otras me
parecen inventadas. De todas formas, eso
nos entretiene.
Pero ahora me doy cuenta que dejé morir el
pequeño cactus que cuidaba con esmero
todos los días y que me regaló mi hermana;
también mi perro está lleno de motas, estoy
descuidando mis obligaciones familiares y
los deberes del colegio quedan para útlima
hora. Incluso, apenas hablo con mis padres
y mis amigos de antes, con los que tengo
algo en común. ¿Qué ha pasado conmigo?
Pablo, estudiante de décimo año de Educación Básica.
Actividades
¿Qué cosas en común tienen con el
joven que cuenta esta experiencia?
¿Cuánto tiempo invierten en juegos y en
navegar en Internet? ¿Cuáles son los
contenidos que buscan en la red? ¿Qué
utilidad tienen en su vida?
¿Cómo deberían manejar su relación con
la tecnología y el entorno que los rodea?
¿Existe antagonismo o puntos de convergencia
entre la tecnología y las culturas
ancestrales? Argumenten su respuesta.
¿Sabían que el desarrollo tecnológico y
científico tiene aspectos positivos y negativos.
Uno positivo en la rapidez con la
que accedemos a la información; y el negativo
es el sedentarismo y la poca actividad
física? ¿Qué opinas al respecto?
Propongan una campaña para el uso saludable
del tiempo libre. Divúlguenla a
través de las redes sociales.
1
2
3
4
5
6
Buen
Ciencia, tecnología e innovación Vivir
_
Historia
Coevaluación
Sección de historia
Autoevaluación
Las primeras civilizaciones ya construían
tablas de censos, tributos,
operaciones aritméticas, datos astronómicos…
Las primeras gráficas de barras y
los primeros diagramas de sectores
no aparecieron hasta el siglo
XVIII, aplicados a la economía.
La expansión de las ciencias
sociales y de la estadística en el
siglo XIX favoreció la aparición de
todo tipo de tablas y gráficas.
Las computadoras permiten trabajar
con grandes cantidades de datos.
Para interpretarlos se ordenan
en tablas y gráficas.
Las primeras gráficas representan series
temporales de datos. Ya en el siglo
X o en el XI apareció una para ilustrar
un comentario del Sueño de Escipión,
de Cicerón.
La introducción de las coordenadas
cartesianas en el siglo XVII permitió la
generalización de gráficas para representar
datos.
1. Si representamos en un sistema de coordenadas
cartesianas todos los puntos que tienen abscisa
igual a –3, ¿qué figura se obtiene?
— ¿Qué figura se obtiene al representar todos los
puntos que tienen ordenada igual a 5?
2. Para cubrir un puesto de trabajo se han presentado
dos aspirantes. Cada uno realiza un total de
10 pruebas, con estos resultados:
Aspirante A: 10 10 9 9 8 7 6 7 6 6
Aspirante B: 10 9 9 8 8 8 7 8 7 6
a) Construye una tabla estadística para cada aspirante,
indicando las frecuencias absolutas y relativas
de los resultados.
b) ¿Qué resultado ha obtenido con mayor frecuencia
cada uno de los aspirantes? ¿En qué porcentaje
de las pruebas lo obtiene?
c) ¿A qué aspirante contratarías? Justifícalo hallando
la media aritmética de los resultados.
3. Clasifica estas variables estadísticas en cualitativas
y cuantitativas: año de nacimiento, color de ojos, nacionalidad
y número de páginas de un libro.
1. Este diagrama de sectores
representa la distribución
de los internautas en el
mundo. Si hay 843 millones
de internautas en el mundo,
¿cuántos hay en cada
región?
2. La siguiente tabla muestra
las edades de los
participantes en un campeonato
de ajedrez.
Sabiendo que la media
de edad es 12,4 años,
calculen:
a) El valor de a.
b) La moda y la mediana.
3. En un país , el 8 % de las empresas pertenece al
sector de la industria, el 14 % a la construcción,
el 26 % al comercio y el 52 % al resto de servicios.
Dibujen el diagrama de sectores correspondiente.
América C. y S.
5,4%
Resto
2,7% América N.
Europa 31,3%
28,9%
Asia
31,6%
Edad
11
12
13
a
3
2
3
2
Frecuencia
absoluta
Si logras resolver el 70 % de estas actividades individuales y grupales, puedes avanzar.
Tablas y gráficas por computador
Actualmente los computadores permiten manejar grandes
cantidades de datos. Éstos se almacenan en
bases de datos y pueden ser recuperados para operar
con ellos mediante hojas de cálculo. También existen
programas específicos que permiten efectuar cálculos
estadísticos y representar gráficamente los resultados.
Contraejemplo:
Las coordenadas polares no son coordenadas cartesianas.
Crónica matemática
Los babilonios ya expresaban los datos matemáticos y astronómicos en forma de tablas, hacia el 2000 a. C.
Sin embargo, las primeras gráficas no aparecieron hasta los siglos X o XI, y no se aplicaron a la estadística hasta
el siglo XVIII.
Coordenadas polares
Muchas veces para determinar la posición de un
punto en el plano utilizamos una alternativa a
las coordenadas cartesianas.
Las coordenadas polares vienen dadas por dos
números: el radio r o distancia a un punto fijo llamado
origen de coordenadas y el ángulo ,
que forma el radio con un eje fijo llamado eje
polar.
= 30o
Eje polar
r = 1000 m
Tablas babilónicas
Uno de los aspectos más asombrosos
de la cultura babilónica
(2000 a. C.) es la existencia de tablas
matemáticas que utilizaban
para calcular. Tenían tablas de multiplicaciones
elementales, de recíprocos,
de cuadrados, de cubos…
■ Tablilla de Plimpton 322. Se conserva en
la Universidad de Columbia. Demuestra el conocimiento
que tenían los babilonios del
teorema de Pitágoras, al encontrar en ella varias
ternas pitagóricas.
Aunque el escocés William
Playfair (1759-1823) no era
matemático, a él se deben
algunas de las representacio
nes estadísticas más
importantes.
Así, en su obra The Commercial
and Political Atlas,
publicada en Londres en
1786, presentó 44 gráficos
estadísticos de gran calidad.
De ellos, 43 reflejaban
series temporales y el 44.o
fue el primer diagrama de
barras conocido.
A W. Playfair se deben también
otras representaciones
gráficas, como histogramas,
gráficos de sectores y
gráficos de líneas.
Los primeros gráficos estadísticos
http://4.bp.blogspot.com
■ El barco está a 1 000 m del periscopio y su orientación es
de 30 °.
Las TIC y la Matemática
95. a)
La escala del plano es 1 : 300.
b) Llamamos x a la longitud, en el plano, del lado menor de la habitación.
La longitud, en el plano, del lado menor de la habitación es 0,8 cm.
99. La misma, 60º.
101. Dado que:
297 : 1 030 000 000 = 1 : 3 468 013
210 : 890 000 000 = 1 : 4 238 095
Hemos de utilizar como mínimo una escala 1 : 4 238 095, o cualquier
otra que reduzca todavía más.
15. Porque resultan más sencillas la interpretación, la visualización y
la comparación de los datos.
Como ejemplo puede utilizarse cualquier conjunto de datos
expresado mediante un texto, una tabla y una gráfica. Podría
ser similar al texto y la tabla de la página 186 del libro del
alumno, donde se aprecia perfectamente que los datos se observan
mucho más claramente en la tabla que en el texto.
17.
19. La gráfica pasa por los puntos (5, 3) y (2,5, 4). Por tanto, el valor
correspondiente a x = 5 es y = 3, y el valor correspondiente a y =
4 es x = 2,5.
— No puede transformarse en un diagrama de barras porque los
valores que toma la variable son continuos, y no unos cuantos
determinados.
21. — 32 veces. — El 7; 18,750%
25.
450
1 5
300
,
=
27. a)
b)
29. a) El modelo HS2.0ES.
b) Sí, los modelos más potentes consumen más.
— Analizamos los datos a partir de la tabla, pues resulta más fácil
visualizar la información.
31. — Los ingresos superan a los gastos en enero, febrero, marzo,
mayo, junio, agosto, septiembre, octubre y diciembre. Los ingresos
son inferiores a los gastos en abril y julio. En el mes de
noviembre, ambos se igualan.
— Para calcular los beneficios restamos los gastos a los ingresos.
Los valores obtenidos son ($ 10 000):
enero 2 julio –1
febrero 1 agosto 1
marzo 2 septiembre 3
abril –1 octubre 1
mayo 1 noviembre 0
junio 1 diciembre 1
Un valor negativo indica pérdidas.