SUMA , RESTA Y MULTIPLICACION DE POLINOMIOS EJERCICIOS DE ALGEBRA DE SEXTO DE PRIMARIA

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ÁLGEBRA
Operaciones con expresiones algebraicas
* Adición y Sustracción
* Multiplicación de binomio por polinomios
OPERACIONES CON POLINOMIOS

1) ADICIÓN DE POLINOMIOS

* La suma suele indicarse incluyendo los sumandos dentro del paréntesis; así:

Ejemplo: Dado los polinomios:

Ahora colocamos todos los términos de estos polinomios unos a continuación de otros con sus propios signos y tendremos:

A+B = 4×2 + xy + 3y2

* En la práctica, suelen colocarse los polinomios unos debajo de otros de modo que los términos semejantes queden en columna, luego se efectúa la reducción de dichos términos.

OBSERVACIÓN: Un signo de agrupación prededido del signo (+) se elimina, sin cambiar de signo a todos los términos escritos dentro del signo de agrupación
2) SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Ejemplo: Dados polinomios

P = 6×4 + 4×2 + 4
Q=– 4×4 + 2×2 + 3 Hallar P – Q

* La sustracción se indica incluyendo el sustraendo en un paréntesis precedido del signo – así:

P – Q= 6×4 + 4×2 + 4 – (– 4×4 + 2×2 + 3)

Ahora dejamos el minuendo con su propio signo y a continuación escribimos el sustraendo cambiándole el signo a todos sus términos.

P – Q = 10×4 + 2×2 + 1

* En la práctica, suele escribirse el sustraendo con sus signos cambiados debajo del minuendo, de modo que los términos semejantes queden en columna, luego se efctúa la reducción de dichos términos.

OBSERVACIÓN: “Un signo de agrupación precedido del signo (–) se elimina, cambiando de signo a todos los términos escritos dentro del signo de agrupación”.

IMPORTANTE

Ejemplo :
Efectuar : 8×2 + 7x + 6 –(–2×2 + 5x – 9)
Solución :

1. Dados los polinomios :
A = 5×3 + 6×2 + 6x + 9
B = –2×3 – 2×2 – 4x + 6
C = x3 – 3×2 + 3x – 8
Hallar A + B + C

2. Dados los polinomios :
A = 3×4 + 8×2 + 2×3 + x + 6
B = 6×2 – x3 + 8 + 5×4
C = 9×4 – 7×2 + 13x – 4
Calcular A + B + C

3. Hallar A – B sabiendo que :
A = 4×3 + 5×2 + x + 8
B = –3×2 + 6

4. Hallar A – B sabiendo que :
A = 10×2 – 7×4 + 6x + 9
B = 4×2 – 5 + 3x

5. Dados los polinomios :
A = 3×5 + 2×4 + 6x + 16
B = 10×4 + 2×3 – 5x + 4
C = 2×5 – 8×4 + x3 + 12
Calcular : (A + B – C)

6. Elimina los signos de agrupación y halla el resultado :

a) 6×4 – (3×4 – 2x + 1) =

b) 2×3 – (– 4x – 2×3) =

c) 7×4 – ( 6x – 5 – 2×4) =

d) 8×3 – 3×4 + 1 + (2×2 + 3×2 + 5) =

e) 5×3 – (2×3 – 4) + (3×2 + 6) =

f) 3×4 – [– 3×4 + 6×2 + x – (2×4 + 3)] =

g) 8×4 + [– 5×4 – (2×4 – 3x + 4)] =

1. Dados los polinomios :
A = 3×5 + 2×4 + 7×2 + 8x + 9
B = 5×4 + 8×3 – 5×2 – 3x + 4
C = 2×5 – 2×2 – 6
Hallar :
a) A + B b) A + C c) A + B + C d) A – C

2. Dados los polinomios :
A = 3×4 + 2×2 + 6×3 + 8
B = 7×2 + 9x + 11
C = –7x + 5×3
D = x2 – 4×4 + 1
Hallar :
a) A + B b) B + C c) B + D
d) B – D e) A + B + C f) A – C

3. Elimina los signos de agrupación y halla el resultado :

a) (a + b) + (b + c) + (c + d) + (a – c) =

b) (5x + 7y + 8) – (2x + 3y – 4) =

c) (a + b + c) + (2a + 2b – c) =

d) (m2 + 2mn) – (mn + n2) =

e) (x3 + 8xy2 + y3) – (5xy2 + x3 – y3) =

f) (5ab – 3bc + 4cd) + (2ab – 3cd) =

MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para multiplicar expresiones algebraicas, estudiaremos los siguientes casos :

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS
Se multiplican los coeficientes y las partes literales de cada monomio.

Ejem. : Multiplicar : (2a2) (3a3)
(2a2) (3a3) = 2.3.a2.a3 = 6a2+3 = 6a5

MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta, en cada caso, la regla de los signos y se separan los productos parciales con sus propios signos.

Ejem. : Multiplica :
(3×2 – 6x + 7) (4ax2)
(3×2 – 6x + 7) (4ax2) = 3×2 (4ax2) – 6x (4ax2) + 7 (4ax2)
= 12ax4 – 24ax3 + 28ax2

MULTIPLICACIÓN DE UN BINOMIO POR UN POLINOMIO
Se multiplican todos los términos del 1er. factor por cada uno de los términos del 2do. factor; y SE REDUCEN LOS TÉRMINOS SEMEJANTES.

Ejem. : Multiplica :
(a2 – 2a + a3) (a3 + 1)
Existen 2 formas de desarrollar que son :

Primera Forma:
(a2 – 2a + a3) (a3 + 1) =
a2 (a3) + a2 (1) – 2a (a3) – 2a (1) + a3 (a3) + a3 (1) =
a5 + a3 – 2a4 – 2a + a3 + a3
Ordenando :
a5 + a2 – 2a4 – 2a + a6 + a3

Segunda Forma:
(a2 – 2a + a3) (a3 + 1) =
Ordenando :
a3 + a2 – 2a
a3 + 1
__________
+ a3 + a2 – 2a
a6 + a5 – 2a4
________________________
a6 + a5 – 2a4 + a3 + a2 – 2a

Multiplicar:
1. (x2+xy + y2) (x – y) 2. (a2+b2 – 2ab) (a – b)

3. (a2 + b2 + 2ab) (a + b) 4. (x3 – 3×2 + 1) (x + 3)

5. (a3 – a + a2) (a – 1) 6. (m4 + m2n2 + n4) (m2 – n2)

7. (x3 – 2×2 + 3x – 1) (2x + 3) 8. (3y3 + 5 – 6y) (y2 + 2)

1. (m3 – m2 + m) (am + a)

2. (3a2 – 5ab + 2b2) (4a – 5b)

3. (5m4 – 3m2n2 + n4) (3m – n)

4. (a2 + a + 1) (a + 1)

5. (x3 + 2×2 – x) (x2 – 2x)

6. (x2 + 1 + x) (x2 + x)

7. (m3 – 4m + m2) (m3 + 1)

8. (n2 – 2n + 1) (n2 – 1)

9. (2y3 + y – 3y2) (2y + 5)

10. (3×3 – a3 + 2ax2) (2a2 – x2)

ÁLGEBRA

LAGRANGE, JOSEPH LOUIS DE

El físico francés Joseph Louis, conde de Lagrange, nacido en Ene. 25, 1736, muerto en Abr. 10, 1813, fue uno de los científicos matemáticos y físicos más importantes de finales del siglo XVIII. Inventó y maduró el cálculo de variaciones y más tarde lo aplicó a una nueva disciplina la Mecánica Celestial, sobre todo al hallazgo de mejores soluciones al problema de tres cuerpos. También contribuyó significativamente con la solución numérica y algebraica de ecuaciones y con la teoría numérica y algebraica de ecuaciones y con la teoría numérica. En su clásica Mecanique analytique (Mecánicas Analíticas, 1788), transformó las mecánicas en una rama del análisis matemático. El tratado resumió los principales resultados sobre mecánicas que se saben del siglo XVIII y es notable por su uso de la teoría de ecuaciones diferenciales. Otra preocupación central de Lagrange fueron los fundamentos de cálculo. En un libro de 1797 él enfatizó la importancia de la serie de Taylor y el concepto de función. Su busqueda por rigurosas fundaciones y generalizaciones le pone la base a Augustin Cauchy, Niels Henrik Abel, y Karl Weierstrass en el siguiente siglo.

Lagrange sirvió como profesor de geometría en la Escuela Real de Artillería en Turín (1755 – 66) y ayudó allí a fundar la Academia Real de Ciencias en 1757. A causa del exceso de trabajo y pobre paga, su salud desmojoró, dejándolo con una debilidad de por vida. Cuando Leonhard Euler dejó la Academia de Ciencias de Berlin, Lagrange tuvo éxito como director de la sección matemática en 1766. En 1787 salió de Berlín para llegar a ser miembro de la Academia de Ciencias de Paris, donde se mantuvo por el resto de su carrera.

Un hombre dócil y diplomático, Lagrange sobrevivió la revolución francesa. Durante los 1790s trabajo en el sistema métrico y defendió la base decimal. También enseñó en el Ecole Polytechnique, que ayudó a fundar. Napoleón lo nombró miembro de la legión de Honor y del Imperio en 1808.