SUCESIONES NUMERICAS EN RAZONAMIENTO MATEMÁTICO EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Al finalizar el presente capítulo. el lector estará en la capacidad de:
* Identificar las sucesiones que se presentan en el desarrollo de la matemática.
* Establecer la correspondencia de los números enteros positivos con cada término de la sucesión.
* Representar convenientemente una sucesión.
* Clasificar las sucesiones de acuerdo a características propias.
* Deducir la expresión general del término n-ésimo de una sucesión.

SUCESIÓN
Es un conjunto ordenado de números de acuerdo a una ley de formación. Dichos números son los términos de la sucesión.
En efecto, si aumentamos en dos unidades a cada uno de los números, obtendremos el siguiente.
Por lo tanto: (1; 3; 5; 7; 9; . . . ) es una SUCESIÓN, donde los términos mantienen un orden y se les nombra del modo siguiente:
1: primer término
3: segundo término
5: tercer término
7: cuarto término, etc.
ARREGLOS LITERALES
Es un conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio. Para encontrar el criterio de ordenamiento de las letras en un problema dado, es necesario conocer bien el abecedario, tener en cuenta la posición de cada letra y no se debe considerar las letras compuestas “CH” y LL”.

Este arreglo tiene cierto criterio de ordenamiento. En efecto, observemos lo siguiente:

Entre “A” y “C” hay una letra intermedia;
entre “C” y “F” hay dos letras intermedias;
entre “F” y “J” hay tres letras intermedias.

Por lo tanto entre “J” y la letra que sigue deben haber cuatro letras intermedias.

Entonces la letra que sigue es: ______

Nota: Se puede resolver el problema anterior de otra manera, lo único que necesitamos saber es, la posición que ocupa cada letra del arreglo dado, en el abecedario.
Ahora observa como se resuelve el problema anterior pasando del arreglo literal a una “SUCESIÓN”

Como verás, el número que sigue en la “sucesión” es 15, ahora sólo tenemos que buscar la letra que ocupa la posición número 15 en el abecedario y ésta es la letra “Ñ”.

1) 7; 10; 15; 22; . . .

2) 3; 9; 5; 15; 11; . . .

3) 2; 2; 4; 12; . . .
4) 64; 32; 16; . . .

5) 2; 4; 8; 14; . . .

6) 2; 3; 4; 7; 8; 11; . . .

7) 5; 3; 6; 4; 8; 6; 16; . . .

8) 1; 1; 2; 6; . . .

9) 2; 3; 4; 5; 8; 7; 16; . . .

10) 18; 16; 12; 6; . . .

11) 10; 12; 6; 8; 4; . . .

12) 3; 4; 8; 5; 9; 45; . . .
II. Encontrar la letra que sigue en cada uno de los siguientes arreglos literales:
1) A; D; G; J; . . .

2) B; D; G; I; L; . . .

3) A; D; I; O; . . .

4) B; C; F; G; N; . . .

5) A; B; D; D; G; F; J; . . .

6) B; C; E; H; L; . . .
TAREA DOMICILIARIA

I. Hallar el número que sigue en cada una de las siguientes sucesiones.

1) 2; 5; 10; 13; 18; . . .

2) 2; 3; 6; 13; 18; 23; . . .

3) 26; 18; 11; 5; . . .

4) 4; 8; 5; 10; 7; 14; . . .

5) 5; 6; 12; 9; 10; 20; . . .

II. Hallar la letra que sigue en cada uno de los siguientes arreglos literales.

1) A; C; B; D; C; E; . . .

2) W; L; F; . . .

3) C; D; G; L; . . .

4) A; A; B; D; G; K; . . .

5) A; B; D; H; . . .
EJERCICIOS PARA LA CLASE

I. Encontrar el número que sigue en cada una de las siguientes sucesiones:

1) 3; 4; 8; 11; 12; 24; 27; . . .

2) 2; 3; 6; 6; 18; 9; 54; . . .

3) 1; 1; 1; 2; 12; . . .

4) 1; 3; 8; 17; 31; . . .

5) 3; 3; 5; 9; 15; . . .

II. Encontrar el valor de “x + y” en cada una de las siguientes sucesiones:

1) 3; 1; 4; 2; 8; 6; x; y; . . .

2) 2; 5; 4; 6; 8; 7; x; y; . . .

3) 1; 3; 4; 7; 11; x; y; . . .

4) 3; 4; 6; 10; 18; 16; x; y; . . .

5) 1; 1; 2; 3; 4; 5; 8; 7; x; y; . . .

TAREA DOMICILIARIA

1. ¿Qué número sigue?
4; 5; 7; 10; 14; 19; . . .

2. ¿Qué número sigue en la siguiente sucesión?
2; 6; 3; 9; 6; 18; . . .

3. ¿Qué número sigue?
1; 17; 32; 44; 51; . . .

4. Hallar “x + y” en:
4; 9; 12; 17; 20; x; y; . . .

5. Hallar “y – x” en:
1; 3; 2; 6; 4; 9; 8; x; y; . . .
I. CONCEPTO
Una sucesión es todo conjunto numérico, literal o gráfico cuyos términos obedecen a una ley de formación, que nos permita determinar el término que continúa. Denominándose a los elementos de este conjunto “términos de la sucesión”.
Ejemplos :
a) 1, 4, 7, 10, …..
b) 4, 8, 16, 32, …..
c) A, B, C, D, …..
d) , , , , …..
e) , , , …..

II. CLASIFICACIÓN
A. Sucesiones Numéricas.
B. Sucesiones Literales.
C. Sucesiones Alfanuméricas.
D. Sucesiones Gráficas.

A. SUCESIONES NUMÉRICAS
Definición:
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos y cuyo rango es un conjunto arbitrario.
Trataremos solamente de sucesiones de números reales, es decir:
Consideremos una función F: Z+®R, tal que, es un elemento de la sucesión.
En vez de escribir F(n) escribiremos Fn y la llamaremos n-ésimo término de la sucesión.
Notación:
A una sucesión infinita F1, F2, F3, ……, Fn,…… la representaremos por
Gráficamente se tiene:

Ejemplos:
1. La sucesión 1, 4, 9, 16, …, n2, … se escribe así: {n2}
2. Los cuatro primeros términos de la sucesión:

SUCESIONES NUMÉRICAS NOTABLES
a. Sucesión Aritmética o Polinomial
Es aquella sucesión ordenada de cantidades en la que cada término a partir del segundo es igual al anterior aumentado en cierta cantidad variable o constante denominada razón. Si dicha razón es constante la sucesión toma el nombre de “progresión”.
Toda sucesión aritmética o polinomial tiene por Ley de Formación un polinomio de grado “n” pudiendo ser lineal; cuadrática; cúbica; etc.
a.1. Sucesión Lineal: (o de primer orden)
* Progresión Aritmética (P.A.)
Notación:

Fórmula recurrente:
(Polinomio Lineal)
Donde:
t1 : primer término.
tn : término n-ésimo, general o último
término.
n : número de términos.
r : razón de la P.A.

(to : término anterior al primero)

¡Prueba tu habilidad!
Calcula los elementos de la siguiente P.A.
5; 10; 15; ……; 80
t1 : ………………………
tn : ………………………
r : ………………………
n : ………………………
Además: t5 y t7
a.2. Sucesión Aritmética de Orden Superior:
* Sucesión Cuadrática de segundo orden.
Fórmula general:
Donde: a, b, c ® Constantes y nÎN
• Regla práctica para encontrar la ley de formación:

tn: término enésimo:

Halle tn en:
0; 3; 8; 15; 24; ………….
* Sucesión Polinomial en general:

b. Sucesión Geométrica
Es una sucesión de números tal que cualquier término posterior al primero se obtiene multiplicando el término anterior por un número no nulo. Llamado razón de la progresión.

Fórmula recurrente:
Donde:
t1 : primer término (t1 ¹ 0)
q : razón de la P.G. (q ¹ 0)
tn : término n-ésimo o general

SUCESIONES NUMÉRICAS ESPECIALES
a. Armónica
Sucesión cuyos recíprocos (inversos) de sus términos forman una P.A. Ejemplo:

b. Fibonacci
Sucesión en la cual cada término a partir del tercero es la suma de los dos anteriores.

c. Lucas
d. Feimberg (Tribonacci)

e. Oscilante 1, –1, 1, -1, 1, …..

f. Morgan
1; 2; 3; 4; 245; 1206; …..

g. Números Primos
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …..
h. Triangulares 1, 3, 6, 10, …..

B. SUCESIONES LITERALES:
Son aquellas sucesiones cuyos términos son letras (no se consideran la “Ch” ni la “Ll”).
• Teorema de la correspondencia
ordinal
“Toda sucesión literal se puede transformar en una sucesión numérica por correspondencia unívoca”.

¿Qué letra continúa?
A, C, E, G, ………….

• Determinados problemas se enmarcan a ciertas palabras o frases. Ejemplo:
L, M, M, J, V, S, …..
O, I, M, R, O, M, …..

C. SUCESIONES ALFANUMÉRICAS
Sucesiones alternadas conformada por una sucesión numérica y otra literal. Ejemplo:
1, A, 3, D, 6, G, 10, J, …..

D. SUCESIONES GRÁFICAS
Sucesión cuyos términos son figuras o gráficos. Ejemplo:
¿Qué figura continúa?
, , , , …..

Rpta.:

1. Halle el término del lugar 20 en la siguiente sucesión 4; 10; 16; 22; …

Rpta.: ……………………………………………………

2. Si los 30 términos centrales de una P.A. suman 240, el primer y último término multiplican 15. Halle el último término de dicha sucesión.

Rpta.: ……………………………………………………

3. En la siguiente sucesión:
(4 + x2); (7 + x2); (11 + x5); (16 + x2)
Hallar a + n, si a – n = 20

Rpta.: ……………………………………………………

4. Una hoja de papel se parte por la mitad, después se superponen las partes y se vuelve a partir por la mitad; y así sucesivamente. Después de 8 cortes, ¿cuántos trocitos de papel habrá?

Rpta.: ……………………………………………………

5. Halle el término 10 de la siguiente sucesión geométrica: 3; 9; 27; 81 …

Rpta.: ……………………………………………………

6. ¿Cuántos términos de la siguiente sucesión son cuadrados perfectos?
28; 31; 36; 43; 52; 63 …

Rpta.: ……………………………………………………

7. En el campo un investigador observa que existen dos tipos de hormigas separadas. Las del tipo a el primer día son 3, el segundo día aumenta a 6; el tercer día son 11; el cuarto día son 18 y así sucesivamente. Las del tipo b, el primer día son 10; el segundo día son 11; el tercer día son 13, el cuarto día son 16 y así sucesivamente. ¿En qué día las hormigas del tipo a son el doble de las del tipo b?

Rpta.: ……………………………………………………

8. Calcule el término 16 de la siguiente sucesión:
5; 15; 31; 53; …

Rpta.: ……………………………………………………

9. En el siguiente arreglo

Halle el 15º término de la fila sombreada.

Rpta.: ……………………………………………………

10. Halle el término que continúa en la siguiente sucesión: 5; 7; 13; 24; 43; 75; …

Rpta.: ……………………………………………………

1. Halle qué término continúa en la siguiente sucesión:

A) 2/7 B) 4/256 C) 13/128
D) 13/64 E) 11/256

2. ¿Qué término sigue en la siguiente sucesión?
2; 3/2; 2/3; 5/24
A) 2/15 B) 5/48 C) 1/20
D) 7/40 E) 11/60

3. ¿Cuántos términos comunes a ambas sucesiones existen?
S1: 16; 18; 20; 22; …; 124
S2: 13; 16; 19; 22; …; 250
A) 24 B) 42 C) 40
D) 32 E) 19

4. Halle el número de términos de 3 cifras existentes en 4; 10; 18; 28; 40; …
en el siguiente esquema:

A) 20 B) 22 C) 25
D) 27 E) 23

5. Halle la suma de los números que van a los extremos de la fila 20.
A) 824 B) 800 C) 808
D) 890 E) 832
6. ¿Cuántos de los siguientes términos son de 4 cifras?
– 3; 0; 7; 18; 33; …
A) 50 B) 42 C) 48
D) 40 E) 12

7. En la siguiente sucesión, ¿Cuántos de sus términos terminan en cifra 3?
5; 8; 11; 14; …; 242
A) 9 B) 8 C) 7
D) 10 E) 12

8. Si la suma de los n primeros términos de una P.A., están definidas por:

Hallar la suma de los términos comprendidos entre el lugar 10 y el lugar 20.
A) 396 B) 390 C) 423
D) 382 E) 406

9. Si la suma de 6 términos consecutivos de la sucesión 2; 5; 8; 11; …; es 399. Calcule el valor del tercer término de los 6 términos mencionados.
A) 62 B) 67 C) 64 D) 59 E) 65

10. En la siguiente progresión geométrica, hallar el valor de k.
A) 7 B) 3 C) 2
D) – 7 E) 5

11. De 21 términos de una P.G., se sabe que el término central es 1/2. Halle el producto de los 21 términos.
A) 2–21 B) 2–20 C) 2–17
D) 2–18 E) 2–22
EL DÍA PI: CELEBRACIÓN DE LA
CONSTANTE MATEMÁTICA
Ha sido celebrado el día de la famosa constante matemática PI. Para celebrar tal evento se ha escogido el día 14 del mes de marzo a la 1.59. Claro, tiene su lógica, si PI es 3,14159, han hecho que la fecha coincida con estos dígitos.
La celebración de este día es muy peculiar, ya que matemáticos de todo el mundo se reúnen para recitar todos los decimales de memoria, los que recuerden, ya que el número de decimales es bastante largo (infinito). Este número, el más estudiado por los escolares de todo el mundo, ha sido motivo de varias celebraciones y varios records, como el que protagonizó Akira Haraguchi: recitó de memoria nada menos que 83431 dígitos de este número, sin duda una prodigiosa memoria.
Este número, tiene un significado transcendental, ya que no es el resultado de una fracción, tampoco es el resultado de una operación de radicación y no es el resultado de ninguna expresión algebraica con coeficientes enteros. Su valor es infinito y esto hará que las celebraciones también lo sean, ¿no?
EL ALFABETO SECRETO DE LEONARDO DA VINCI
Sin duda fue un genio que pudo haber revolucionado las artes, la anatomía, la ingeniería o la mecánica. Siempre intentaba resolver cualquier dificultad, verdaderamente tenía un gran talento. Dominaba las artes y las ciencias sin haber apenas estudiado, sin duda tenía el don de la avidez de conocimiento. A través de sus obras todos hemos podido conocer un poco más a este gran genio, sea en la pintura con el retrato de Cinevra Benci, La Gioconda; en el diseño con su Iglesia Circular o en la ciencia con sus dibujos de los fetos en el seno materno, etc.
El llamado alfabeto secreto de Leonardo era una peculiaridad de este genio, consistía en escribir al igual que los orientales de derecha a izquierda, pero además incluía distintos signos creados por él.
Frente a esta escritura varios expertos afirmaban que la manera tan peculiar de escribir era debido a que era zurdo y que tenía algún problema de parálisis en su mano derecha. Otros expertos aseguran, que escribía de ese modo para esquivar a los inquisidores de la época. Finalmente, la tercera teoría explica que la causa podía ser el temor de que los planos o explicaciones de sus inventos y máquinas fueran robados.

1. ¿Qué letras continúan en cada sucesión?
a. A, C, F, J, ……….
b. A, B, E, F, I, J, ……….
c. D, C, S, O, D, ……….
d. E, V, D, I, N, O, ……….

Rpta.:

2. Hallar el tn en cada sucesión:
a. –19, –16, –13, –10, ……….
b. 5, 12, 23, 38, 57, ……….
c. 2, 7, 14, 23, 34, ……….
d. ……….

Rpta.:

3. ¿Cuántos términos son de 4 cifras?
2, 9, 28, 65, 126, ……….

Rpta.:

4. Un número de 6 cifras que están en P.A. creciente es múltiplo de 9. Hallar el producto de las 2 últimas cifras.

Rpta.:

5. Hallar n.

Rpta.:

6. En la sucesión de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …..
se cumple que la suma de los cuadrados de 2 términos consecutivos es igual a…

Rpta.:

7. Con esferas se forma una pirámide tetraédrica de 20 niveles. ¿Cuántas esferas se colocaron en el último nivel? (Obs.: los niveles se cuentan de arriba hacia abajo).

Rpta.:

8. En la sucesión mostrada halle el primer término negativo de 3 cifras: 120, 113, 106, 99, …..

Rpta.:

9. Se escriben de corrido los primeros números naturales: 1234567890111213…585960. De ellos se debe anular 100 cifras tal que al juntar las restantes, sin alterar el orden se forme el mayor número posible. ¿Cuál es dicho número?

Rpta.:

10. ¿Cuántos términos de la sucesión:
13, 16, 19, 22, …, 613 resultan tener raíz cuadrada exacta al sumarle 2 unidades?

Rpta.:

1. Se escribe una sucesión notable cuya razón aritmética es 1. Si nos detenemos cuando hayamos escrito 1412 veces 7 en las unidades, indique el último término de la sucesión notable.

Rpta.:

2. Hallar la cantidad de páginas que tiene un libro sabiendo que para enumerar sus últimas 36 páginas se empleó la misma cantidad de tipos que se empleó en las 63 primera páginas.

Rpta.:

3. El número de cifras utilizadas en la numeración de un libro excede al número de páginas en 160. ¿Cuántas hojas tiene el libro?

Rpta.:

4. Se arrancan las últimas páginas de un libro, siendo algunas de 3 y otras de 4 cifras. En ellas se empleó 87 cifras. Hallar la mayor cantidad de páginas arrancadas.

Rpta.:

5. Se escriben linealmente todos aquellos números cuya cifra en las unidades es 2. ¿Qué cifra ocupa el lugar 880?

Rpta.:

6. Hallar 2 números a y b comprendidos engtre 0 y 2, tales que 9, a y b estén en P.G. decreciente en el orden nombrado, donde además el mayor es 27 veces el menor.

Rpta.:

7. Se tiene la siguiente fórmula de recurrendia:

donde: a1= 2, a23=156, hallar: a35

Rpta.:

8. Hallar la relación existente entre x e y.

Rpta.:

9. ¿Cuántos términos son comunes a ambas sucesiones?
S1 = 4, 32, 22, …….
S2 = 14, 18, 22, ….., 854

Rpta.:

10. Según la fórmula de recurrencia:

halle la última cifra de:
A = a2003 + a2004

Rpta.:

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