SUBESPACIOS VECTORIALES PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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Aunque hemos visto varios ejemplos de espacios vectoriales,estos han sido muy generales y, por lo
mismo, demasiado “grandes” para ser utiles. En realidad, estaremos interesados en subconjuntos particulares de estos espacios que, junto con las mismas operaciones, sean tambien espacios vectoriales, a
los cuales llamaremos subespacios vectoriales y a su estudio esta dedicado este apartado.

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Definicion
Sean E un espacio vectorial y S un subconjunto no vacıo de E. S es un subespacio
vectorial de E, o simplemente un subespacio de E, si S, con las mismas operaciones suma y producto
por un escalar restringidas a los elementos de S, es tambien un espacio vectorial. Usaremos la
notaci´on S < E para indicar que S es un subespacio de E. Para probar que S < E, se debe mostrar que los elementos de S con la suma y el producto por un escalar definidos en E satisfacen los diez axiomas de la definici´on 3.6 de espacio vectorial; sin embargo, si reflexionamos un poco, vemos que las propiedades de asociatividad para la suma y el producto por un escalar, las de distributividad, conmutatividad y preservaci´on de la escala son propiedades que se heredan de E; esto es, puesto que se cumplen para todos los elementos de E y S ⊂ E, tambi´en son v´alidas para todos los vectores de S. Luego, resta s´olo probar que la suma y el producto por un escalar son operaciones cerradas en S, 0E ∈ S y que para cada u ∈ S, −u tambi´en pertenece a S. Pero si la multiplicacio´n por escalares es cerrada en S, u ∈ S ⇒ −u = (−1)u ∈ S; tambie´n, dado que S = 0/ , y 0u =0E, se tiene que0E ∈ S. Con esto hemos demostrado el siguiente teorema. Teorema 3.5 Sea S un subconjunto de un espacio vectorial E. Para que S sea un subespacio vectorial de E es necesario y suficiente que se cumplan las siguientes tres condiciones: