SOLUCIONARIO DEL EXAMEN DE INGRESO UNIVERSIDAD CATOLICA 2016 PDF

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La Primera Opción ® de ingreso es una evaluación de preadmisión dirigida a todos los escolares que actualmente cursan 5° de Secundaria. A través de esta modalidad se puede postular a las carreras de Letras, Ciencias, Arte, Educación y Arquitectura.
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NÚMEROS Y OPERACIONES
Pregunta 45
Se tienen los números primos a y b; “a” está
comprendido entre 4 y 9 y “b” está comprendido
entre 10 y 14; siendo “c” un número entero entre
0 y 4. Si “n” es el máximo par de la forma abc.
Halla el valor de a+b+c.
A) 18
B) 20
C) 22
D) 24
Resolución 45
Números primos
4 3600 segundos
90
3600 = 40 intervalos
total de veces: 40+1=41
Piden: cuántas veces más
41 – 1=40
Rpta: 40
Pregunta 47
En la siguiente sucesión:
27; 64; 125; …
halla la diferencia de los términos de posición 16
y 14.
A) 1367
B) 1637
C) 1736
D) 1376
Resolución 47
Sucesiones
Dada la sucesión
27; 64; 125; …
33 ; 43 ; 53 ; …
su término general es de la forma
tn (n 2) , para n 1
= + 3 $
Nos piden:
= 5832 – 4096
= 1736
t16 t14 18 16
− = 3 − 3
Rpta: 1736
P hibid
Pregunta 48
Un comerciante tiene 2000 huevos, de los cuales
el 20% están podridos. Luego vende el 60% de
los que no están podridos. ¿Cuántos huevos de
los no podridos se vendió?
A) 1040
B) 960
C) 720
D) 1200
Resolución 48
Tanto por ciento
Del enunciado, se tiene que
n. ° de huevos:
Piden:
n. de huevos
que se vendi 960
°
ó c m 
Podridos
Se vendió
20% (2000)=400
60% (1600)=960
1600
640
No podridos
No se vendió
2000
Rpta: 960
Pregunta 49
Se tiene un piso rectangular de 96 m de largo y
120 m de ancho. Si se desea cubrir el piso con
baldosas cuadradas de superficie mayor a 60 m2,
¿cuántas baldosas como máximo se necesitarán
para cubrir el piso?
a) 180
b) 240
c) 360
d) 120
Resolución 49
MDC – MCM
Del enunciado del problema, tenemos que
d2>60 d
d d2
96 m
120 m
Sea “d” el lado de cada baldosa
Divisor de 96
d Divisor de 120
d2>60
Entonces, “d” es un divisor del MCD(96;120) y el
menor posible tal que d2>60.
MDC(96;120)=24
d=8
pues d2=64>60
Nos piden:
n. de
baldosas rea de la baldosa
° rea de piso
Á
e  Á
^
^
o
h
h
8
96 120
2
 #
=180
Rpta: 180
Pregunta 50
Halla el cociente que se obtiene al dividir el MCM
de los números 6x27x32;43x92x7 y 100 entre
28x33x52 .
a) 35
b) 21
c) 28
d) 30
Resolución 50
MCD – MCM
Primero hallamos
28×33 26x34x7 22×52
MCM^6x27x32;43x92x7;100h  28x34x52x7
Nos piden:
=
3
1 2 3 5
2 3 5 7
x x
x x x
8 3 2
8 4 2 3 x7
33
4
  3×7  21
MCM^6x27x32;43x92x7;100h
28x33x52
Rpta: 21
Pregunta 51
Un padre decide repartir de su rebaño todas sus
vacas entre sus cuatro hijos. El primero recibió la
mitad del rebaño, el segundo la cuarta parte, el
tercero la quinta parte y el último las siete últimas
vacas. ¿Cuántas vacas había en el rebaño?
a) 100
b) 70
c) 140
d) 150
Resolución 51
Fracciones
Los tres primeros hijos recibieron
2
1
4
1
5
1
20
10 5 4
20
+ + = + + = 19
El último hijo recibió 1 20
19
20
− = 1 del total.
Sea el total de vacas = V
20 V
1  7 V = 140
Rpta: 140
Pregunta 52
El producto de los términos de una fracción es
120. Si se le suma uno al numerador y se le quita
uno al denominador, ambos términos serían
iguales. Da como respuesta la suma de dichos
términos.
a) 11
b) 10
c) 12
d) 22
Resolución 52
Fracciones
Sea la fracción b
a
Dato: a.b=120 …. 1
b
a
1
1

+
 a+1=b–1
b=a+2 …. 2
Reemplazando 2 en 1 :
a(a+2)=120=10×12
Piden: a+b = 10+12 = 22
Rpta: 22
Pregunta 53
S es el 1/2% de T. ¿Qué porcentaje de S es T?
A) 20 %
B) 200 %
C) 2000 %
D) 20 000 %
Resolución 53
Porcentaje
S =
2
1 %T
S=
200
1 .T
T
S =
200
1
P hibid
Nos piden:
1
200 100 %= 20 000 %
Rpta: 20 000 %
ÁLGEBRA
Pregunta 54
Halle el residuo de la siguiente división:
x
x x x
2
2 3 10 11
2
3 2
+
− + −
A) 6x+5
B) 6x–5
C) 5x–6
D) 2x–3
Resolución 54
División algebraica
Mediante el esquema de Horner se tiene:
1 2 –3 10 –11
0 0 -4
–2 –3 0 6
2 –3 6 -5
 
x Ti
R(x) = 6x–5
Rpta: 6x–5
Pregunta 55
Simplifique la siguiente expresión:
2s 3 s s s
5
2 3
6
2 3
2
2
1


+
+
+

; E
A)
s s
s s
4 9
14 3 18
3
2

− +
B)
s s
s s
14 18 3
4 9
2
3
− +

C)
s s
s s
14 3 18
4 9
2
3
− +

D)
s s
s s
4 9
14 3 18
3
2
+
− +
Resolución 55
Fracción algebraica
Al simplificar se obtiene:
s s s
s s
2 3 2 3
14 2 3 18 1
+ −
− + −
^ ^h h
; E
Invirtiendo y multiplicando el denominador se
tiene:
s s
s s
14 3 18
4 9
2
3
− +

Rpta:
s s
s s
14 3 18
4 9
2
3
− +

Pregunta 56
Luego de resolver el siguiente sistema:
x x
x x x
5
1 8
3 2 3
1
#
$
− −
− +
*
Halle el número de valores enteros del conjunto
solución
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
Resolución 56
Inecuaciones
Del sistema:
……….
………
x x
x x x
5
1 8
3 2 3
1
1
2
,
,
#
$
− −
− +
*
Resolviendo ,1 se tiene: x 9,75
Resolviendo ,2 

Intersectando se tiene: 2 x 9,75
Luego el número de valores enteros para x es 8
Rpta: 8
Pregunta 57
Halle el rango de la función F: RR, cuya
regla de correspondencia es:
F(x)=-x2+4x
A)

B) 
C)

D)


Resolución 57
Funciones
Hallando el vértice (h; k)
h
2 1
= 4 2

− = ^ h
k=f(2)=4


Rpta: 
Pregunta 58
Dada la siguiente gráfica de la función “F”
y
3
3
-3
x
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
I. El rango de f es [-3;3[
II. La pendiente de f es -3 en el intervalo
]0;3[
III. f(8)-f(-8)=0
A) Solo I B) Solo II
C) Solo III D) Ninguna
Resolución 58
Funciones
I. (F), el rango es [-3;3]
II. (F), la recta está inclinada hacia la
derecha en el intervalo ]0;3[ debe ser
positiva
III. (F), f(8)=3 f(-8)=-3 f(8)-f(-8)=6
Rpta: Ninguna
Pregunta 59
Halle la ecuación de la recta cuya gráfica se da a
continuación.
y
2
3 x
A) 2x+3y-2=0
B) 2x+3y-6=0
C) 2x-3y-6=0
D) 6x+2y-3=0
P hibid
Resolución 59
Funciones
Sea la ecuación: y=mx+b, donde b=2.
Entonces, y=mx+2, luego reemplazando el
punto (3;0) en la función, se tiene que
x=-
3
2 , luego y=-
3
2 x+2, que despejando
es equivalente a 2x+3y-6=0.
Rpta: 2x+3y-6=0
Pregunta 60
Reducir la siguiente expresión:
E
3
2 4 3 2 3
2 922
3 3
2 1
1 2
n
n n n
n n
n
n
$
$
=
+ + +
+ + +
+ −
− +
Luego de como respuesta los dos tercios de E.
A) 13
19
B) 2
3
C) 19
13
D) 3
2
Resolución 60
Fracción algebraica
Factorizando la expresión del numerador y
denominador:
E 2 3 2 9
2 3 3 1 4
1
n n
n n
=
+ +
+ +


^ ^
^ ^
h h
h h
Simplificando y efectuando:
E=13 E
19
2
3
3
2
13
19 $ ` 
Rpta: 19
13
Pregunta 61
Sea f x a x h k 2
^ h = ^ − h + , cuya gráfica se da a
continuación:
y
2
-1
1
x
Hallar el valor de “a”.
A) 2
B) -2
C) -3
D) 3
Resolución 61
Funciones
Del gráfico; el vértice de la parábola es (1;2),
entonces:
f x a x 1 2 2
^ h = ^ − h +
Luego, ^0;
1h d f , entonces:
1 a 0 1 2 a 3 2 − = ^ − h + & =−
Rpta: –3
Pregunta 62
Dada la siguiente gráfica:
y
3
(3;2)
(0;0) 1
x
Indicar cuál de las siguientes alternativas
representa mejor la región sombreada:
A) 3 9 0
1 0
;
x y
x y
x 0 y 0
$
#
$ $


+
+
B)
;
x y
x y
x y
3 9 0
1 0
0 0
#
#
$ $

C)
1 0
;
x y
x y
x y
9 0
0 0
$
#
$ $

+ +
+
D)
;
x y
x y
x y
3 9 0
1 0
0 0
#
#
$ $


+

Resolución 62
Funciones
La gráfica es equivalente a:
y
(3;2)
(0;3)
(0;0) (1;0)
x
L1
L2
Calculando L
1 y L
2 , se tiene:
* : y 2 x
3 1
L 2 0 3 1
$ $

^
h
L : x y 1 0 1

#
* : y 2 x
0 3
L 3 2 3 2
# $

^
h
L : x 3y 9 0 2 + − #
Luego, el sistema que mejor representa la región
sombreada es:
9 0
1 0
x y
x y
x
y
3
0
0
#
#
$
$

− −
Z +
[
\
]]
]]
Rpta:










Pregunta 63
Si “S” es el conjunto solución de la siguiente
inecuación:
x
x x
x
7 2
2 20
$ −
+ + −
entonces se puede afirmar:
A) 


B) 2 S
3 69!

C) S [0;1]=

D) 2 S
5 69!

Resolución 63
Inecuaciones
      

x0, con
lo cual todos los radicandos son positivos. Luego
elevando al cuadrado y despejando la inecuación
tenemos x2-8x-200
Resolviendo x[-2;10]
pero como x0; S=[-2;0]
 2 , S
5 69
1 6 !
− =−
Rpta: 2 S
5 69!

P hibid
GEOMETRÍA
Pregunta 64
Cinco ángulos consecutivos en progresión
aritmética forman un ángulo llano. Si el mayor
es el cuadrado del menor, calcular la medida del
menor ángulo.
A) 4
B) 8
C) 6
D) 10
Resolución 64
Ángulos
a
a+r
a-r
a-2r a+2r
5a=180°
a=36°
(a+2r)=(a-2r)2
2r2-73r+18.35=0
2r -45
r -14
9.2 7.5
r=14 
r=
2
45 
Menor: 36-2(14)
: 8
Rpta: 8
Pregunta 65
En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se
inscribe el cuadrado PQRS (PS en AC), si AP=50
y SC=72. Calcula el lado del cuadrado.
A) 40
B) 50
C) 60
D) 70
Resolución 65
Semejanza
A
B
C
x x




Q R
50 72
P S
El AQP  SRC
x
72 x
 50
x = 60º
Rpta: 60
Pregunta 66
En la figura BR es bisectriz y SR AC. Calcular
Sen(+).
A
B
S
R
30º C


A) 3
1
B) 4
1
C) 5
1
1
Resolución 66
Ángulos notables
Del gráfico: + = 150º
Sen150º = Sen30º
= 2
1
A
B
S
R
30º C
30º
30º


Rpta: 2
1
Pregunta 67
En un triángulo dos de sus lados miden 3cm y
4cm y el ángulo comprendido entre ellos mide
. si: Cos 24
11 i =− , calcular el perímetro del
triángulo.
A) 9
B) 11
C) 13
D) 15
Resolución 67
R.M. en triángulos oblicuángulos
Por ley de cosenos:
Cos ( ) ( )x
2 3 4
32 42 2
i = + −
x
24
11
24
25 2
− = −
x = 6
Perímetro= 13
3 x
4

Rpta: 13
Pregunta 68
Un trapecio isósceles se encuentra inscrito en
una circunferencia. Si la diferencia de los arcos
de las bases es 160°, calcular uno de los ángulos
agudos.
A) 30°
B) 50°
C) 70°
D) 80°
Resolución 68
Ángulos en la circunferencia

100-
160+
100-
x= 2
a + 100 − a
x=50°
Rpta: 50°
P hibid
Pregunta 69
Una esfera de 100m2 de área está inscrita en un
cilindro. Calcular el volumen del cilindro.
A) 200m3
B) 220m3
C) 250m3
D) 260m3
Resolución 69
Sólidos geométricos
R
R
R
R
4 100
5
5 .10
R
R
V
V 250 m
2
2
3
&
r r
r
r




Y Y
Rpta: 250m3
Pregunta 70
 ! “#$  & ’’ “
@WW
B(-5,4) y C(2,4). Calcular el área del triángulo.
A) 10,5 u2
B) 12,5 u2
C) 14,5 u2
D) 16 u2
Resolución 70
Áreas
4
x
B C
A
y
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2
B 7
3
A
C
A . 2
7 3
2
  21
Rpta: 10,5 u2
Pregunta 71
En un triángulo rectángulo ABC se traza la
altura BH y la mediana BM, si mBC= 20°.
Calcula mBHBM.
A) 40°
B) 60°
C) 50°
D) 70°
Resolución 71
Congruencia de triángulos II
M
20°
20°
x
A H
B
C
x+20= 70°
x= 50°
Rpta: 50°
Pregunta 72
Si ABCD es un rectángulo inscrito en la
semicircunferencia de radio igual a 2 cm, calcula
el área de la región sombreada. (“” está en
radianes).
B C
A O D

A) 2–sen 2
B) 4–5sen 
C) 5–2sen 
D) 3–4sen 
Resolución 72
Áreas circulares
B C
2
A D
2sen 
2cos 
O

A = A – A
= . sen . cos
2
2
2
– 4
i 2 i i
=2–2sen cos 
=2–sen 2
Rpta: 2–sen 2
Pregunta 73
Colocando cinco cubos verticalmente, se
determina un prisma de diagonal 18; calcula el
área total del prisma.
A) 216 2
B) 172 2
C) 241 2
D) 264 2
Resolución 73
Sólidos geométricos
a
a
a 2
a
a
a
a
a
5a
18
Teorema de Pitágoras
(5a)2+(a 2 )2= (18)2
27a2= 182
a2= 27
182
Área total = área lateral + 2 área base
Área total = 20a2+2a2
Área total = 22a2
P hibid
Área total = 22 27
182
c m
Área total = 264 2
Rpta: 264 μ2
Pregunta 74
En el cuadrado, ABCD la suma de las áreas de
los triángulos rectángulos isósceles sombreados
es la cuarta parte del área del cuadrado; calcula
“x”.
x
x 3 x
x
B C
x
x
x
A x D
A) 0,5