NUMERACIÓN EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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1. A un número de dos cifras se le agregan dos ceros a la derecha, aumentándose el número en 4 752 unidades. Calcular el número original. 2. A un número de tres cifras se le agregan tres ceros a la derecha aumentando el número en 11 988 unidades. Calcular el número original y dar como respuesta la suma de las cifras del número original. 3. Hallar un número de dos cifras, cuya suma de cifras es 10 y tal que al invertir el orden de sus cifras el número disminuye en 36 unidades. Dar como respuesta el producto de las cifras del número pedido. 4. Un número está compuesto por tres cifras, la cifra de las centenas es cuatro veces la cifra de las unidades y la cifra de las decenas es igual a la mitad de la suma de las otras cifras. Dar como respuesta el producto de las cifras de dicho número. 5. Lo que le falta a N1 = para llegar a 1 000 es N2 = . ¿Cuál es la suma de cifras de N1? Tarea domiciliaria 1. Indicar según corresponda: a) V.A. de la cifra de 4to orden en: 123 456 b) V.A.(a) + V.R.(b) en: = 679 c) V.R.(m) × V.A.(n) en: = 9 327 d) V.A.(x) + V.A.(y) – V.A.(z) en: = 1 823 2. ¿Cuál debe ser el valor de “a” en: ? 3. Hallar “m + n + p”, en: = 1 446 4. Hallar un número de dos cifras ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismo número pero con las cifras invertidas dé como resultado 72. Dar como respuesta la suma de sus cifras. 5. Se tiene un número de tres cifras al cual se le agrega un 7 al final; luego al mismo número original se le agrega un 7 al comienzo. Si se suman los dos números de cuatro cifras se obtiene 9 768. Hallar la suma de las cifras del número original. Sistemas de numeración no decimal 1. Base de un Sistema de Numeración: Es el número de unidades de un orden cualquiera que forma una unidad de un orden inmediato superior. También se define como aquella que nos indica el número de cifras disponibles de un sistema de numeración para escribir o representar cualquier número. Así, por ejemplo, si deseo representar un grupo de unidades en base 7, necesito siete unidades para poder ser agrupados y formar otro orden. Al agruparlo de 7 en 7, se han formado cuatro grupos y han quedado sin agrupar seis unidades, luego se puede decir que dicha agrupación tiene la forma siguiente: 46(7) Segundo ejemplo: Agrupar , 26 unidades en base 3 La agrupación es: 2 grupos de 3 × 3 = 2 × 32 2 grupos de 1 × 3 = 2 × 31 2 unidades sueltas = 2 o también: 222(3). Condiciones de la base: a) Es un número natural, es decir, la base es positiva y diferente de cero. b) La menor agrupación que se puede hacer es dos unidades, por lo que la menor base es 2 (Sistema Binario) 2. Principios fundamentales de los Sistemas de Numeración: 2.1 Toda cifra de un numeral es necesariamente menor que su base y además es significativa, es decir, es diferente de cero, pero para formar otros números se pueden ayudar de la cifra no significativa o auxiliar que es el cero. Ejemplo: – 1023(5) ® Todas las cifras son menores que la base 5, entonces, el número 10 está correctamente escrito. – 222222(3) ® Todas las cifras son menores que la base 3. – 86577(8) ® Todas las cifras no son menores que la base 8, la cifra que ocupa el primer lugar (el 8) no es menor que 8, entonces el número no está correctamente representado. Entonces de los ejemplos, afirmamos lo siguiente: En la base “b”: – Se usan “b” cifras para formar un orden inmediatamente superior cualquiera. – Las cifras pueden ser: Significativas = {1; 2; 3; 4; …; (b – 1)) No significativa o auxiliar: 0 (cero) Conclusión: Cifra < Base Aplicaciones a. Hallar el mayor numeral de tres cifras del Sistema Decimal (base 10) b. Hallar el menor numeral de cuatro cifras diferentes del Sistema Decimal (base 10) c. Hallar el mayor numeral de cinco cifras diferentes del Sistema Nonario (base 9) d. Hallar el menor numeral de cuatro cifras significativas del Sistema Ternario (base 3) e. Hallar el menor número de cuatro cifras diferentes que suman 10 en el Sistema Quinario (base 5) De lo anteriormente dicho podemos afirmar lo siguiente: Para representar numerales con cifras mayores que 9, se toma en cuenta: a = 10; b = 11; g = 12; etc. Existen infinitos sistemas de numeración, como consecuencia del cuadro anterior. 3. Descomposición polinómica de un número en cualquier Sistema de Numeración (n) = a × n3 + b × n2 + c × n + d Ejemplos: 1234(5) = 1 × 53 + 2 × 52 + 3 × 5 + 4 = 125 + 50 + 15 + 4 = 194 (9) = a × 92 + a × 9 + a = 81a + 9a + a = 91a (4) = m × 42 + n × 4 + m = 16m + 4n + m = 17m + 4n Transformación de Sistemas de Numeración Consiste en transformar un número de cierto sistema de numeración a otro sistema de numeración, pero sin dejar de poseer estos números la misma cantidad de unidades. También se le conoce a este tema como cambio de bases. Caso I: De una base diferente de 10 a la base 10 “Para este caso se utiliza el procedimiento de descomposición polinómica, efectuando para ello las operaciones indicadas” Descomposición polinómica: = a × n2 + b × n + c Ejemplos: También se puede utilizar el “método de Ruffini”, así: Caso II: De base 10 a una base diferente de 10 Se utiliza el método de divisiones sucesivas, que consiste en dividir el número dado del sistema decimal (base 10) entre la base “n” a la cual se desea convertir, si el cociente es mayor que “n” se dividirá nuevamente y así en forma sucesiva hasta que se llegue a una división donde el cociente sea menor que “n”. Luego, se toma el último cociente y los residuos de todas las divisiones, desde el último residuo hacia el primero y este será el número tomado en base “n”. Ejemplo: Convertir 25 a base 8: Convertir 100 a base 3: Convertir 216 a base 6: Caso III: De una base diferente de 10 a otra diferente de 10 Se utilizan en este caso, los dos métodos vistos anteriormente, es decir, primero llevamos al número de base diferente de 10 por descomposición polinómica al sistema decimal y luego este número por divisiones sucesivas lo llevamos al otro sistema de base diferente a 10. Ejemplos: 1. Convertir: 543(6) a base 4 a. b. Luego: 543(6) = 207 = 3033(4) 2. Convertir: 2134(5) a base nueve a. b. Luego: 2134(5) = 294 = 356(9) PROPIEDAD: “Si un numeral que representa la misma cantidad de unidades simples en dos sistemas de numeración diferentes, deberá cumplirse que donde tenga mayor representación aparente le corresponde una menor base y viceversa, a menor representación mayor base”. Ejemplo: PROBLEMAS Bloque I 1. Convertir: a. 123 al sistema binario b. 871 al sistema ternario c. 3 476 al sistema quinario d. 10 087 al sistema de base 7 e. 1 007 al sistema de base 5 2. Convertir al decimal: a. 1101(2) b. 32012(4) c. 5431(6) d. 2211(3) e. 11101(2) 3. Convertir: a. 1002(3) al cuaternario b. 432(7) al ternario c. al quinario d. 2134(5) al nonario e. 1364(7) a base 12 4. Del lugar en que se emplea el sistema binario nos remiten 1001 bultos postales. ¿Cómo representamos ese número en el sistema decimal? 5. Pedimos 18 automóviles a una distribuidora que emplea el sistema de base 4 (por la cantidad de ruedas de sus autos). ¿Cómo escribe la distribuidora el número de automóviles que nos enviará? 6. Un comerciante que emplea el sistema quinario pide 4 230 sombreros a otro que emplea el sistema de base 13. ¿Cómo escribirá este comerciante el número de sombreros que envía el primero? 7. Desde XXXXLANDIA le enviamos a un comerciante que emplea el sistema duodecimal 5 678 botellas de gaseosa. ¿Cómo representará dicho número el comerciante? 8. Hallar: a + b + c, en cada uno de los siguientes casos: = 246(8) (7) = 1230(5) (8) = 1236(n) 9. Si el numeral: está expresado en base 4, expresarlo en base seis. 10. Si se cumple: 201(3) = . Hallar “a + b + c + d + e + n”