SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES PROBLEMAS RESUELTOS DE TRIGONOMETRIA NIVEL UNI PDF

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Los instrumentos de medición que fue creando el científico para ayudarse en la investigación permitieron recoger los datos sobre los que se basarían los posteriores cálculos que procesarían la información tomada de los hechos .
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Expresar la medida de los ángulos en términos del ángulo de una vuelta no es muy común y poco práctica , para ello utilizamos los sistemas de medidas angulares.
Los sistemas de medición angular fueron inventados con la finalidad de medir con exactitud y precisión al ángulo , siendo tres los sistemas más conocidos , los cuales son : sexagesimal , centesimal y radial, siendo el primero muy utilizado en aplicaciones de ingeniería , topografía y navegación .
sistema sexagesimal
o inglés (S)
Es el sistema más utilizado en las aplicaciones de ingeniería , navegación ,etc
Es aquel sistema cuya unidad de medida es el grado sexagesimal (1°) , el cual resulta de dividir el ángulo

de una vuelta en 360 partes iguales.

* Unidad : 1°…….(grado sexagesimal)

* Sub unidades :
1°=60’ ……… (1’ : minuto sexagesimal)
1’=60’’………. (1” : segundo sexagesimal)

* En consecuencia : 1°=3600’’
* Además debemos tomar en cuenta que :

Ejemplo :

nota:
El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional que emplea la base sesenta. Tuvo su origen en la antigua Babilonia. También fue empleado, en una forma más moderna, por los árabes durante el califato omeya. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos). En dicho sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad de orden superior.
El número 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (1, 2;3;4;5;6;10;12;15;20;30 y 60), con lo que se facilita el cálculo con fracciones. Nótese que 60 es el número más pequeño que es divisible por 1; 2;3; 4;5 y 6.
Al contrario que la mayoría de los demás sistemas de numeración, el sexagesimal no se usa mucho en la computación general ni en la lógica, pero sí en la medición de ángulos y coordenadas geométricas. La unidad estándar en sexagesimal es el grado. Una circunferencia se divide en 360 grados. Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (1/60 de grado) y segundos de arco (1/60 de minuto).
El uso del número sesenta como base para la medición de ángulos, coordenadas y medidas de tiempo se vincula a la vieja astronomía y a la trigonometría. Era común medir el ángulo de elevación de un astro y la trigonometría utiliza

triángulos rectángulos.

El primer sistema sexagesimal conocido en la historia fue el creado en la antigua Mesopotamia entre los años 2000 y 3000 a. C. Este sistema usaba la cuña para representar unidades del 1 al 10 y la cuña horizontal para representar las decenas. A partir del número 59, usaba un criterio posicional.

La supervivencia actual del sistema sexagesimal en la medida de los ángulos y el tiempo se debe a su adopción por los griegos para los desarrollos aritméticos.
observación :
Los ángulos se miden en grados, minutos y segundos sexagesimales. El grado sexagesimal es el ángulo que se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes iguales.
• Un grado sexagesimal tiene 60 minutos: 1° = 60′
• Un minuto sexagesimal tiene 60 segundos: 1′ = 60″

ejercicios :

sistema centesimal
o francés (C)
Sistema cuya unidad de medida es el grado centesimal (1g) , el cual resulta de dividir el ángulo de una vuelta en 400 partes iguales .Este sistema es de poco o nula aplicación práctica.

* Unidad : 1g (grado centesimal)

* Sub unidades :
1g=100m……..(1m : minuto centesimal)

1m=100s………(1s : segundo centesimal)

* En consecuencia : 1g=10000s
nota:
El grado centesimal admite como submúltiplos el minuto y el segundo centesimales. El minuto centesimal es la centésima parte del grado centesimal y el segundo centesimal es la centésima parte del minuto centesimal.
Este sistema, que tiene la ventaja de que los múltiplos y submúltiplos están vinculados por potencias de 10, pretendió reemplazar al sexagesimal, pero no consiguió imponerse dado que la casi totalidad de los aparatos para medición de ángulos: sextantes, teodolitos, brújulas, etc., están graduados según el sistema sexagesimal

Grado centesimal : Cada una de las porciones que se consiguen al dividir el ángulo recto en 100 partes iguales .
En el sistema centesimal , la circunferencia se divide en 400g , cada grado se divide en 100 minutos y cada minuto en 100 segundos . Los segundos se dividen a su vez en décimas , centésimas , milésimas …
Los grados centesimales se designan añadiendo el superíndice « g » a los grados ,« m » a los minutos y ,, « s » a los segundos .
12g 35m 47,08s= 12 grados , 35 minutos , 47,08 segundos
* Además debemos considerar que :

sistema radial
o circular (R)
Llamado también internacional, el cual es un sistema cuya unidad de medida es el radián (1rad) el cual representa la amplitud de un arco , en donde su longitud mide igual al radio de la circunferencia que lo contiene .
La medida de un ángulo en radianes (número de radianes) viene expresado por :

* El ángulo de una vuelta mide :

Ejemplo :

* De la definición :

* El número 2 no tiene unidades , así un ángulo de 2 (radianes) significa un ángulo que subtiende de un arco cuya longitud es dos veces la longitud del radio .

factores de conversión
Son fracciones equivalente a la unidad y se obtienen dividiendo dos cantidades equivalentes , colocando en el numerador una medida en la unidad deseada y en el denominador se coloca su equivalente en la unidad a eliminar .
Magnitudes angulares
equivalentes

Nota :
“Para convertir un ángulo de un sistema otro , multiplicaremos por el factor de conversión”.
EJEMPLO 1 :
convertir a radianes la siguiente magnitud angular = 12°
RESOLUCIÓN :

EJEMPLO 2 :
Convertir a radianes la siguiente magnitud angular b=15 g
RESOLUCIÓN :
*Magnitud equivalente Factor de Conversión:

EJEMPLO 3 :
Convertir a sexagesimales la siguiente magnitud angular

EJEMPLO 4 :
Convertir 36° a radianes.
Resolución :
* Como :

* Ahora :

EJEMPLO 5 :
Convertir 90g a radianes.
Resolución :
* Como:

* Ahora :

EJEMPLO 5 :
Convertir a radianes y sexagesimales la magnitud 80g.
Resolución :

EJEMPLO 6:

Calcular :

RESOLUCIÓN:
* Recordemos : 1° = 60’ 1g = 100m 9° = 10g
* Reemplazando en :

EJEMPLO 7 :
Calcular «a + b»sabiendo que :
RESOLUCIÓN :
* equivalencia : rad = 180°

* Luego :

* Comprobando : a = 22 ; b = 30
*Entonces : a + b = 52
Notas :
*Cuando se escribe grados , se refiere a los grados sexagesimales .
“Para convertir de un ángulo de un sistema a otro ; multiplicaremos por el factor de conversión”.
EJEMPLO 8 :
Convertir a sexagesimal y radianes la siguiente magnitud angular a = 16 g
RESOLUCIÓN :
I) sexagesimales (°)
Factor de conversión
* Luego :

II) radianes
Factor de conversión
* Luego :

! Recuerda !
En un sistema de medición dado , para pasar de una unidad superior a una inferior se multiplica por la equivalencia respectiva . Para pasar de una inferior a una superior se divide entre la equivalencia respectiva.
Por ejemplo , para el sistema sexagesimal se tiene el cuadro siguiente :

ejemplo 1 :
Convierte 15°26’35″ a segundos sexagesimales.
resolución:
15°=15×3600″=54000″
26′ = 26×60″ = 1560″
*Luego :

15°26’35″ = 54 000″ + 1 560″ + 35″ =55 595″

ejemplo 2 :
Convierte 24,3075° a grados , mínutos y segundos sexagesimales.
resolución :
* 24,3075° (se queda con la parte entera) ………….24°
* 0,3075°=0,3075×60′ =18,45’…(parte entera)…18′
* 0,45′ = 0,45×60′ = 27″
*Luego : 24,3075° = 24°18′ 27″
ejemplo 3 :
Convierte 39 864″ a grados y minutos sexagesimales.
resolución :
jemplo 4 :
Hallar el número de mínutos sexagesimales de un ángulo positivo , si se sabe que el producto de su número de grados y segundos sexagesimales es 32400.
resolución:
* Sea: m………(mínutos sexagesimales)
s : número de grados sexagesimales
p : número de segundos sexagesimales.
* Luego : S×p = 32 400……………….(I)
* Reemplazando equivalencias: S = 3 600p

* Reemplazando en (I): (3 600p)p = 32 400
* resolviendo : p=3
* entonces : m =60’(3)=180’

problema 1 :
I) Convertir 36° a grados centesimales.
II) Convertir 15°a (rad) .
III) Convertir 80g a (rad) .
Resolución :
I) Utilizamos : , entonces:

II) Utilizamos : , entonces:

III) Utilizamos: , entonces:

problema 2 :
Señale el valor de :

A) 1 B) 2 C) D) 3 E) 0,1
Resolución :
* Hay que convertir en un mismo sistema para poder operar :

* Reemplazando :

Rpta : ‘‘C’’
problema 3 :
Simplificar :
A) 61 B) 72 C)52 D) 41 E) 60
Resolución :
* De la expresión :

(tenemos que expresar en una misma unidad – minutos)
* Recordar :

* Luego :

Rpta : ‘‘A’’
problema 4 :
Del gráfico mostrado, calcular ‘‘x’’.