SISTEMAS DE LOGARITMOS VULGARES O DECIMALES , NATURALES O NEPERIANOS PROBLEMAS RESUELTOS

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sistema de logaritmos
Se llama ‘‘Sistema de logaritmo de base b’’ al conjunto de todos los logaritmos de los números reales positivos en una base b ; por ejemplo , el conjunto formado por todos los logaritmo de base 2 de los números reales positivos es el sistema de logaritmo en la base 2.

Entre la infinidad de valores que puede asumir la base y , por tanto , existen la infinidad de sistemas de logaritmos.

Sólo dos de los infinitos sistemas que existen, son los de mayor aplicación matemática en diferentes campos profesionales: los logaritmos decimales y los logaritmos naturales. Se aplican por ejemplo en Economía, Estadística, Administración, Ingeniería, etc.
I) sistema decimal o de briggs :
Es aquel sistema de logaritmos en la cual la base es 10 .
Notación :

Se lee : Logaritmo de ‘‘N’’

El sistema de los logaritmos decimales es el más utilizado, sobre todo en múltiples cálculos aritméticos, y tiene como base a 10. Para el cálculo de los logaritmos en éste sistema se ha elaborado, desde hace mucho tiempo atrás, diferentes TABLAS LOGARÍTMICAS; las primeras con cuatro cifras decimales de aproximación y las últimas hasta con ocho cifras.
En la actualidad, éstas tablas logarítmicas han sido desplazadas y ampliamente aventajadas por las calculadoras electrónicas y computadoras personales; donde es posible calcular el logaritmo decimal de cualquier número positivo y con una cantidad deseada de cifras decimales de aproximación.
Log2 = 0,301030………..
Log3 = 0,477125………..
Log5 = 1–Log2=0,698969………..
Log7 = 0,845098………..
ejemplo :

En general :

teorema :
Sea N > 1 ; el número de cifras en su parte entera viene dado por :

ejemplo :
Halle el número de cifras de N = 250 × 320 siendo :

Log 2 = 0,30103 ; Log 3 = 0,47712

resolución :

II)sistema hiperbólico o neperiano :
Este sistema es de mucha importancia en el análisis matemático, puesto que su base (el número e) se obtiene como resultado del cálculo del límite de una función:
donde el desarrollo de la función, aplicando el binomio de Newton en el caso general, es:

en el límite cuando , resulta :

Luego :

Para el cálculo de logaritmos naturales también se han elaborado tablas logarítmicas de este sistema; pero con ciertas limitaciones, dado que no es posible emplear criterios similares a aquellos de los logaritmos decimales.
Pero, conociendo el logaritmo decimal de un cierto número N, se puede calcular el logaritmo natural del mismo número.
Notación:

* Ln 1 =0 * eLne=x ; x>0
* Ln e =1 *

* Lnen =n *

* Ln42 = Ln(7×6)=Ln7 + Ln6

Dentro de éste sistema, hay que tener en cuenta dos valores «notables», que son:

SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOS
Se denomina sistema de logaritmos neperianos, naturales
o hiperbólicos, al sistema que tiene como base
el número trascendente “e” definido así:
n
e = lim (1 + –1– ) = 2,718281…
n → ∞ n
o:
1 ––
e = lim (1 + α) α = 2,718281…
α → 0
Este sistema viene definido por las expresiones
siguientes:
decreciente
: : … (1 + α)-n :… :(1 + α)-1
creciente
: 1 : (1 + α) : (1 +α)2 :… : (1 + α)n
: … . -nα … -2α . -α . 0 . α . 2α . 3α … nα…
decreciente creciente
donde al ser infinitamente pequeño, real y positivo;
la primera progresión contiene todos los
números y en la segunda están sus logaritmos.
CÁLCULO DE “e”.- Por definición:
1 ––
e = lim (1 + α) α
α → 0
desarrollando por Binomio de Newton:
1 1 –– 1 –– – 1
e = lim [(1)α + (––)(1) α (α) + …
α
1 1 (–α–)(–α– – 1) –1– – 2
+ ––––––––––– (1) α (α)2 + …
2
(–1–)(–1– -1)(–1– – 2) (–1– – k + 1) α α α … α
+ ––––––––––––––––––––––––––––––
k
1 –– – 2
(1) α (α)k + …]
estableciendo el límite:
e + (1) + (1) + –1– + –1– + –1– + …
2 3 4
e = 2 + –1– + –1– + –1– +…
2 3 4
e = 2,718281 …
El logaritmo de un número “N” en base “e” se
representa por:
SISTEMA DE LOGARITMOS DECIMALES,
VULGARES O DE BRIGGS
Son logaritmos de base 10 definidos por las progresiones:
: : … 10- n… : 10-3 : 10-2 : 10-1 : 1 : 10 :
: 102 : 103 : … 10n : …
:… -n :… -3 .- 2 . -1 . -0 . 1 . 2 . 3 … n …
Este sistema de logaritmos es el que generalmente
se emplea en el cálculo numérico por coincidir
su base con la del sistema de numeración
decimal.
PROPIEDADES DEL SISTEMA DE LOGARITMOS
VULGARES
1º Los logaritmos de los números mayores que 1 son
positivos y los logaritmos de los números
menores que 1 son negativos.
2º Los logaritmos de potencias de 10, son iguales al
exponente de dicha potencia.
3º El logaritmo de un número comprendido entre dos
potencias consecutivas de 10 son decimales; por
ejemplo el logaritmo de un número comprendido
entre 102 y 103 está comprendido entre 2 y 3, la
parte entera se llama CARACTERISTICA y la parte
decimal se llama MANTISA.
Ejemplos:
En las Tablas de Logaritmos:
log 545 = 2,736397
(este es un número comprendido entre 102 y
103), donde la característica es 2 y la mantisa es
igual a : 0,736397
4º La característica del logaritmo vulgar de un
número mayor o igual que uno, es positiva e igual
al número de cifras que hay en la parte entera,
menos una unidad.
Ejemplos:
i) 5 es un número de una cifra entera, luego:
log 5 tiene como característica 0.
ii) 27,95 es un número que tiene 2 cifras enteras,
luego:
log 27,95 tiene como característica 1.
iii) 457,383 es un número que tiene 3 cifras
enteras, luego:
log 457,383 tiene como característica 2.
5º La característica del logaritmo decimal de un
número menor que la unidad es negativa, o igual
al número de ceros que preceden a la primera
cifra significativa, considerando incluso el cero
de los enteros.
Ejemplos:
i) log 0,7 tiene como característica -1.
ii) log 0,0041 tiene como característica -3.
6º Si se multiplica o divide un número por la unidad
seguida de ceros, no altera la mantisa de su logaritmo;
pero la característica aumenta o disminuye
respectivamente de tantas unidades como ceros
acompañan a la unidad.
Ejemplo:
los logaritmos de los números:
0,000453 ; 0,00453 ; 0,0453 ; 0,453 ; 4,53
tienen diferentes características pero la misma
mantisa.
CÁLCULO DE LA MANTISA.- El cálculo de la mantisa
del logaritmo de un número se lleva a cabo mediante
el uso de la Tabla de Logaritmos.
TRANSFORMAR UN LOGARITMO
TOTALMENTE NEGATIVO EN OTRO
PARCIALMENTE NEGATIVO Y VICEVERSA
1) Para transformar un logaritmo totalmente negativo
en otro parcialmente negativo, se suma “-1” a la
característica, “+1” a la mantisa.
Ejemplo: Se procede así:
colog 75 = -log 75 = -2,875061
= -(2 + 0,8755061)
= -2- 0,875061 + 1 – 1
= (-2 – 1) + (1 – 0,875061)
ordenando: = -3 + 0,124939

colog 75 = 3,124939
2) Para transformar un logaritmo parcialmente negativo
en otro totalmente negativo, se suma y resta “1”.
Ejemplo: Se procede así:

log 0.071 = 2,851258
= -2 + 0,851258 + 1 – 1
= (-2 + 1) – (1- 0,851258)
= -1- 0,148742
= -1,148742
CÁLCULO LOGARITMICO
SUMA DE LOGARITMOS
Para sumar logaritmos de característica positiva, se
suma como si fueran números decimales cualquiera;
los logaritmos con característica negativa se suma
teniendo en cuenta el signo de la característica y las
mantisas se suma como cualquier número decimal.
Ejemplos:

i) 0,17096 + ii) 2,43128 +

1,23047 4,26081

3,73919 2,43128
––––––––– ––––––––––
5,14062 7,12337
RESTA DE LOGARITMOS
Para restar logaritmos se efectúa la mantisa como si
se tratara de decimales cualesquiera, pero teniendo
en cuenta el signo de la característica cuando se
restan éstas.
Ejemplos:
i) 4,17096 – ii) 2,56937 –

1,23047 3,33646
––––––––– –––––––––
2,94049 5,23291
PRODUCTO DE LOGARITMOS
Para hallar el producto de un logaritmo por un
número entero, se efectúa como el producto de un
número decimal por otro, pero teniendo en cuenta el
signo de la característica.
Ejemplos:
––
i) 2,45234 x ii) 16,34783 x
2 3
––––––––– –––––––––
4,90468 47,04349
Si el número es negativo todo el producto es negativo,
luego el resultado se transforma en característica
negativa y mantisa positiva.
Ejemplos:

i) 2,56937 x ii) 2,33646 . (-3)
-2
–––––––––
-5,13874
Por partes:
(-2)(-3) = 6 (1)
(0,33646)(-3) = -1,00938

(0,33646)(-3) = 2,99062 (2)
Sumando (1) con (2) se obtiene:

2,33646 . (-3) = 4,99062
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE
LOGARITMOS ENTRE SI
Si los logaritmos que han de multiplicarse o dividirse
son positivos, se procede lo mismo que en
Aritmética.
Si uno de los dos logaritmos es parcialmente negativo;
ésto es, si tienen característica negativa y
mantisa positiva, se transforma en su equivalente
totalmente negativo antes de efectuar la operación.
Ejemplos:
– –
i) Efectuar: ( 3,33646)( 2,56937)
Solución:
Transformando a negativo:
= (-2,66354)(-1,43063) = + 3,81054
ii) Dividir: –1–6–, –3–4–7–8–3–
2, 64048
Solución:
Transformando a negativo:
– 15,65217
–––––––––– = -5,92777
2,64048
CONVERSIÓN DE LOGARITMOS
DECIMALES A LOGARITMOS NEPERIANOS
Utilizando la fórmula del cambio de base:
log10 N
logeN = ––––––– = 2,3026 log10N
loge N
Luego:
logeN = 2,3026 log10N
Ejemplo:
Hallar el logaritmo neperiano de 1 000.
log 1 000 = 2,3026 log 1 000
= 2,3026 . 3
= 6,9078
CONVERSIÓN DE LOGARITMOS
NEPERIANOS A LOGARITMOS DECIMALES
Por fórmula:
logeN 1n M
log N = –––––– = ––––––– = 0,343 1n N
loge 10 2,3026
∴ log N = 0,4343 1n N
Ejemplo:
Hallar el logaritmo decimal de 16 si:
1n 4 = 1,36863
log 16 = 0,4343 1n 16 = 0,4343 1n 42
= 2(0,4343) 1n 4 = 2(0,4343)(1,36863)
log 16 = 1,20412
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Calcular:
_______
E = log
4 √
781,25 si log 2
=
0,301030
Solución:
Transformando la expresión E :
4 –––––––––––––
E = log √–7–8–1–,2–5– –.– 1–0–0–– 100
4
–––––––
E = log √–7–8–1–2–5– = –1– log (–7–8–1–2–5– ) 100 4 100
1 1
E = –– (log 78 125 – log 100) = –– (log 57 – 2)
4 4
E = –1– (7 log 5 – 2) = –1– (7 log –1–0– – 2) 4 4 2
E = –1– [7(log 10- log2) – 2] = –1– [7(1 – log 2) – 2]
4 4
E = –1– (7 – 7 log2 – 2) = –1– (5 – 7 log 2)
4 4
E = –1– [5 – 7(0,301030)] = –1– (5 – 2,10721)
2 2
E = 0,7231975
2.- Hallar el número de cifras que tiene el siguiente
producto:
E = 540 . 280
si log2 = 0,30103
Solución:
Tomando logaritmos vulgares a ambos miembros,
resulta:
log E = 40 log 5 + 80 log 2