SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 2 SECUNDARIA – MEDIA PDF

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PROPÓSITO DE LA UNIDAD
Los sistemas de ecuaciones lineales son un tema central dentro de los contenidos trabajados en la
Educación Media, debido a su gran aplicabilidad en variados contextos matemáticos y del mundo real.
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Por ello, la enseñanza de este tema se realiza a través de la resolución de problemas provenientes de
diferentes contextos cotidianos, dando, de esta forma, sentido a las ecuaciones y variables utilizadas.
La intencionalidad de esta unidad no es solo que los alumnos y alumnas se centren en la resolución
de sistemas de ecuaciones lineales, sino también que sean capaces de modelar distintas situaciones
problemáticas con estos sistemas y además puedan interpretar los resultados obtenidos, de acuerdo al
contexto del problema planteado. Por ello, los sistemas de ecuaciones lineales deben ser concebidos
como una herramienta para la resolución de problemas, y no solo como un contenido matemático
alejado de la realidad. Sin embargo, es importante la ejercitación de diversos sistemas de ecuaciones,
para que puedan analizar los distintos casos según el número de soluciones que tenga el sistema de
ecuaciones, a través de diferentes métodos de resolución, incluida su interpretación gráfica con la
ecuación de la recta.
En esta sección se le presentan al alumno o la alumna varios problemas que pueden
ser resueltos con la utilización de un sistema de ecuaciones. De este modo, se
ejemplifica en términos concretos el uso de sistemas de ecuaciones.
Puede motivar a los alumnos y alumnas interesados en ciencias o en economía
averiguando en Internet sobre posibles aplicaciones. Aunque debe advertirse que el
tratamiento de tales problemas requiere a menudo conocimientos específicos de los
campos de aplicación particulares.
Debe quedar claro que el método sugerido en la sección no es una receta universal
y siempre válida, sino más bien una lista de procedimientos a considerar a la hora de
plantear un problema en términos de ecuaciones.
También debe insistir en que una manera de advertir un error es fijarse en que las
soluciones sean adecuadas al problema planteado.

Ecuaciones lineales con dos incógnitas
ANALICEMOS…
Una tienda de música recaudó en una semana $ 360 000 por la venta de
discos compactos de reggaeton y de rock. El precio de los CD de reggaeton
es $ 6 000 y el de los CD de rock es $ 8 000.
Para resolver un problema como el presentado, es conveniente plantear o
modelar el problema a través de ecuaciones. Observa:
Sea x cantidad vendida de CD de reggaeton.
Sea y cantidad vendida de CD de rock.
Una ecuación que representa la situación anterior es:
6 000x + 8 000y = 360 000
Para esta ecuación, hay varias posibles soluciones. Una de ellas es:
x = 20 e y = 30 pues, 6 000x · 20 + 8 000x · 30 = 360 000
Sin embargo, no es la única solución; dando valores a x se pueden obtener
distintos valores de y. Observa la siguiente tabla.
Estas soluciones son correctas desde el punto de vista matemático; sin
embargo, para la situación planteada, solo son pertinentes: x = 0 e y = 45;
x = 40 e y = 15; x = 60 e y = 0, ya que no es posible haber vendido
26,25 CD, por ejemplo.
En general, si hay más incógnitas que ecuaciones, hay infinitas soluciones
matemáticas; sin embargo, hay que evaluar su pertinencia en el contexto
del problema.
Si a la situación anterior se agrega el hecho de que el total de discos
compactos que se vendieron entre ambos grupos fue 55, se puede agregar
una nueva ecuación al problema:
x + y = 55
Así pues, el problema se reduce ahora a resolver simultáneamente
las siguientes ecuaciones:
6 000x + 8 000y = 360 000
x + y = 55
• Si quisiéramos saber cuántos discos compactos de cada tipo de
música se vendieron, ¿cuáles son las variables del problema?
• ¿Podrías plantear una ecuación para resolver la situación?, ¿cuál?
• ¿Es correcto afirmar que se vendieron 20 CD de reggaeton y
30 de rock?, ¿por qué?
• ¿La situación anterior solo tiene una solución?, ¿por qué crees que
ocurre esto?
x 0 18,6 25 40 46,6 60
y 45 31,05 26,25 15 10,05 0
111
Unidad 3
1. Verifica si x = –1 e y = 8 son soluciones de las siguientes ecuaciones:
a. 2x + y = 6 b. 7x – y = 11 c. x – y = 7 d. x + y = 7
2. Plantea una ecuación para cada situación y encuentra, por tanteo, dos posibles soluciones en cada caso.
a. La suma de dos números es 25. ¿Cuáles son los números?
b. Un número más el doble de otro es 12. ¿Cuáles son los números?
c. Un número excede a otro en 10 unidades. ¿Cuáles son los números?
d. Una madre reparte entre sus dos hijos $ 5 000. ¿Cuánto le da a cada uno?
e. El perímetro de un rectángulo es 60 m. ¿Cuánto miden sus lados?
f. Dos ángulos son suplementarios. ¿Cuánto mide cada ángulo?
g. La razón entre las edades de dos hermanos es 2 : 3. ¿Cuáles son las edades?
h. 8 litros de aceite y 10 litros de vinagre cuestan $ 10 500. ¿Cuál es el precio de cada litro de aceite y
de vinagre?
i. En un teatro hay 46 personas, entre niños y niñas. ¿Cuántos niños y niñas hay?
j. Para hacer un queque, la razón entre la cantidad de tazas de harina y la cantidad de huevos es
de 1 : 2. ¿Cuántas tazas de harina y cuántos huevos se necesitan para hacer un queque?
3. Encuentra, por tanteo, cuatro soluciones para cada ecuación lineal de dos incógnitas.
a. x – y = 10 b. 2x – 3y = 8
4. Para cada enunciado, escribe en lenguaje algebraico cada situación, definiendo el significado de cada
variable.
a. Dos ángulos son complementarios. La medida de uno de ellos es el doble que el otro.
b. Dos números suman 34, y su diferencia es 8.
c. Un padre reparte entre sus dos hijos $ 56 000. Al hijo mayor le da la mitad que al hijo menor.
EN TU CUADERNO
Por ahora, al observar la tabla anterior de posibles soluciones, se tiene que el
par x = 40 e y = 15 es solución de ambas ecuaciones (40 CD de reggaeton y
15 CD de rock).
Una ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.
En cambio, una situación que se modela por una ecuación con dos incógnitas no tiene necesariamente
infinitas soluciones, pues se debe comprobar la pertinencia de las soluciones encontradas.
EN RESUMEN
Planteo de sistemas de ecuaciones lineales
con dos incógnitas
Catalina y Felipe preparan bombones de chocolate para vender. Para comprar
todos los ingredientes disponen de $ 45 000. La materia prima necesaria para
completar una caja grande les cuesta $ 500 y para una caja pequeña, $ 300.
Para representar algebraicamente esta situación, se asigna x a la cantidad
de cajas grandes e y a la cantidad de cajas pequeñas que Catalina y Felipe
podrían completar, entonces la condición que impone el dinero disponible
se expresa como:
500x + 300y = 45 000
Catalina propone preparar solo cajas grandes, entonces remplaza y = 0 en
la ecuación, y obtiene x = 90. Esta es una posibilidad. Por su parte, Felipe
propone preparar solo cajas pequeñas, es decir, x = 0, y por lo tanto y = 150.
Esta es otra posibilidad. Pero, también existen posibilidades intermedias. Por
ejemplo, si se remplaza x = 60, la ecuación queda: 30 000 + 300y = 45 000,
por lo que y = 50.
Como Catalina y Felipe quieren completar 100 cajas en total, se plantea una
segunda ecuación que representa esta condición:
x + y = 100.
Si Catalina y Felipe quieren completar 100 cajas, para saber cuántas cajas
grandes y cuántas pequeñas pueden completar con el dinero que disponen,
se debe cumplir simultáneamente:
500x + 300y = 45 000
x + y = 100
Este es un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Una solución del sistema anterior es x = 75 e y = 25, que se puede expresar
como el par ordenado (75, 25). Más adelante aprenderás diferentes métodos
de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, por ahora puedes verificar
que esta es la solución, remplazando los valores en ambas ecuaciones y
viendo que ambas se satisfacen.
Realmente, estos valores son la única solución posible de este sistema.
Catalina y Felipe no tienen más opciones que cumplan las dos condiciones
simultáneamente.
ANALICEMOS…
• ¿Cuántas cajas de cada tamaño podrían completar?
• ¿Se puede representar algebraicamente esta situación?, ¿cómo?
• Esta ecuación ¿tiene más de una solución?, ¿cuántas?
• Si en esta ocasión Catalina y Felipe quieren completar 100 cajas en total,
¿cómo afecta esto en la o las soluciones encontradas?
• Al agregar otra condición, ¿siempre es posible encontrar una solución?
GLOSARIO
Un es un par de
elementos tales que uno puede ser
distinguido como el primero y el otro,
como el segundo.
Generalmente se escriben (x, y) en
el plano, donde las coordenadas
cartesianas x e y se denominan
y , respectivamente.
De esta manera, (1, 2) y (2, 1) son
pares ordenados distintos.
GLOSARIO
igualdad en la que hay
una o más variables desconocidas
llamadas incógnitas.
corresponde a
resolver simultáneamente dos
ecuaciones de primer grado con dos
incógnitas.
valores de las incógnitas de
una ecuación que la satisfacen.
113
Unidad 3
• Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una
solución al sistema corresponde a un valor para cada incógnita, de modo que al remplazarlas en
las ecuaciones se satisface la igualdad.
• Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y, tiene las siguientes representaciones:
ax + by = e ax + by = e ax + by = e
cx + dy = f cx + dy = f cx + by = f
En este Texto usaremos la tercera.
• Generalmente, las soluciones de un sistema de ecuaciones se expresan como pares ordenados (x, y).
EN RESUMEN
1. Al hacer el recuento de boletas en una librería, se constató que en una de ellas se anotó un total de
40 lápices por un valor de $ 20 000. Si solo hay dos tipos de lápices a la venta:
a. ¿Se puede calcular cuántos lápices de cada tipo se vendieron?, ¿cómo?
b. ¿Qué ecuaciones plantearías? Comparte tu respuesta con tus compañeros y compañeras.
2. En un monedero hay un total de $ 8 500 distribuidos en 33 monedas, de las cuales 20 son de $ 100
y el resto son de $ 500. De acuerdo a estos datos, Pilar y Mario escribieron dos sistemas de ecuaciones
diferentes.
Pilar Mario
x + y = 33 x + y = 8 500
100x + 500y = 8 500 + = 33
a. ¿Qué representa x e y en cada caso, en el contexto de la situación inicial?
b. ¿Cuáles son valores posibles para x e y? Explica cómo lo calculaste.
3. Identifica la solución que satisface cada sistema de ecuaciones.
a. 4x + 2y = 14
–x + y = 1
b. 2x + 2y = –10
x – 5y = –11
y
100
x
500
EN TU CUADERNO
 
A. (2, 3) B. (3, 2) C. (3, 1) D. (1, 3)
A. (6, –1) B. (–1, 6) C. (–6, 1) D. (1, –6)
Método gráfico
ANALICEMOS…
Elisa es pastelera y quiere aprovechar una oferta de decoración para tortas.
El paquete de perlitas cuesta $ 150 y el de mostacillas $ 100. Si con $ 1 800
necesita comprar en total 14 paquetes, ¿cuántos paquetes puede comprar
de cada uno?
Elisa asigna las incógnitas y escribe el siguiente sistema:
x + y = 14
150x + 100y = 1 800
Elisa escribe cada ecuación en
términos de x, luego, observa que, de
la primera ecuación, los puntos que
satisfacen la expresión y = –x + 14
corresponden a la gráfica de la
función afín definida por
f(x) = –x + 14 con y = f(x), mientras
que, de la segunda ecuación, la
función correspondiente es
g(x) = –1,5x + 18. De este modo,
cada ecuación corresponde a una
recta. Observa sus gráficas.
Si el sistema de ecuaciones tiene solución en el plano cartesiano, el punto
correspondiente a la solución es un punto que pertenece a ambas rectas.
En este caso, en el plano se observa que el punto de intersección es (8, 6), es
decir, Elisa puede comprar 8 paquetes de perlitas y 6 paquetes de mostacillas.
Cuando el sistema tiene infinitas soluciones, las rectas tienen infinitos puntos
de intersección, es decir, son coincidentes. Y si el sistema no tiene solución
en el plano, las rectas correspondientes son paralelas. Considerando esto,
se pueden resolver gráficamente los sistemas de ecuaciones lineales con
dos incógnitas, haciendo uso del plano cartesiano.
• Escribe cada una de las ecuaciones, expresada en términos de x.
• De acuerdo a lo anterior, ¿cómo se relaciona una ecuación lineal con
dos incógnitas con una función lineal o afín?
• Dibuja en un mismo plano cartesiano las gráficas correspondientes
a estas ecuaciones. Entonces, ¿cuál es la interpretación gráfica de la
solución de un sistema de ecuaciones?, ¿cuál es la solución,
en este caso?
• La de una función es el
conjunto de puntos (x, y) donde
y = f(x).
• La gráfica de una función afín es
una línea recta.
• Por dos puntos en el plano pasa
una única recta.
RECUERDA QUE…
115
Unidad 3
Ejemplo 1
Analiza gráficamente y resuelve el sistema:
3x + y = 4
–y + 2x = 1
Primero, se despeja la incógnita y para escribirlo en la forma de una
función afín.
y = –3x + 4
y = 2x – 1
Para trazar las rectas, se asignan dos valores distintos a x y se calcula el
correspondiente valor de y, en cada caso. Se marcan estos dos puntos en el
plano cartesiano. Luego, se traza la recta que pasa por estos dos puntos, y
se repite el procedimiento para la otra ecuación.
En este caso, en la primera ecuación, si x = 0, entonces y = 4, esto corresponde
al punto (0, 4). Por otro lado, si x = 2, entonces y = –2, que corresponde al
punto (2, –2).
De la misma manera, en la segunda ecuación, si x = 0, entonces y = –1;
si x = 2, entonces y = 3, correspondiente a los puntos (0, –1) y (2, 3),
respectivamente.
Con esto se pueden graficar ambas rectas.
Las rectas se intersecan en el punto (1, 1). Entonces, x = 1, y = 1 es solución
del sistema.
Ejemplo 2
Considera el sistema:
2x + y = 3
x + 2y = 0
Reescribiendo el sistema:
y = 3 – 2x
y = –
Dando valores x = –2 y x = 4 en la primera ecuación se obtienen los puntos
(–2, 7) y (4, –5). Asimismo, en la segunda ecuación, se obtienen los puntos
(–2, 1) y (4, –2). Se ubican estos puntos en el plano cartesiano y se trazan
las rectas correspondientes a cada ecuación.
El punto de intersección de ambas rectas es (2, –1). Por lo tanto, la solución
del sistema es x = 2 e y = –1.
x
2
Aprenderás a usar el programa Graphmatica para construir y analizar gráficas que representan sistemas de
ecuaciones lineales. Para bajar este programa, ingresa a www.graphmatica.com/espanol
Sobre la cuadrícula, hay una barra en blanco que permite escribir ecuaciones, las que se escriben usando las
variables x e y. Una vez ingresada la ecuación, presiona el botón dibujar gráfica o simplemente presiona enter.
A continuación, aparecerá en la cuadrícula la gráfica de la función.
Se puede cambiar la escala de la gráfica de la función y el aspecto de la cuadrícula de la siguiente forma:
• Para cambiar la escala, haz clic en el menú Ver, y selecciona Rango de la cuadrícula. En el cuadro que
aparece se puede modificar el rango horizontal (opciones izquierda y derecha) y el rango vertical (opciones
arriba y abajo).
• Para cambiar los colores del plano cartesiano o de la gráfica de la función, entre otras cosas, en el menú
Opciones selecciona papel gráfico. Aquí se puede modificar el color de las gráficas, el color de fondo, así
como etiquetar los ejes, etcétera.
Para analizar gráficamente un sistema de ecuaciones, se debe escribir en la barra en blanco sobre la cuadrícula
cada una de las ecuaciones.
Por ejemplo, considera el sistema de ecuaciones:
7x + 4y = 9
5x – 2y = 2
Escribe la primera ecuación del sistema, presiona enter y observa la gráfica que aparece. A continuación, escribe
la segunda ecuación y presiona nuevamente enter. Obtendrás en pantalla ambas gráficas, tal como se muestra
en la siguiente imagen.
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
• Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se representa en el plano cartesiano como
dos rectas.
• Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa hallar los valores que satisfacen las
ecuaciones.
• La solución del sistema, si existe y es única, es el punto de intersección de ambas rectas.
EN RESUMEN
117
Unidad 3
Si en algún momento cometiste un error al ingresar los datos, puedes corregirlo de la siguiente manera:
Para ocultar la última gráfica realizada presiona el botón , y para ocultar todas las gráficas realizadas
utiliza el botón .
Además, para borrar las gráficas, selecciona la función o relación que deseas borrar y utiliza el botón .
Para determinar la solución del sistema (si tiene solución única), a partir de la gráfica, basta que ubiques
el cursor sobre el punto de intersección.
Ejercicios
1. Utiliza el programa Graphmatica para graficar las funciones:
a. y = 2x + 1
b. y = –3 – x
c. 2x + 3y – 5 = 0
d. x – y = 7
2. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas:
a. 6x – 4y = 11 b. 7x – y = –1 c. –x + 4y = –3 d. 3x – 3y = 11
15x – 10y = 13 4x – 6y = 3 3x – 12y = 9 2x – 4y = 7
3. Si dos sistemas son equivalentes, ¿cómo son las gráficas de sus ecuaciones?
4. ¿Te parece que el método gráfico es apropiado para resolver cualquier sistema? Por ejemplo, si la
solución de un sistema es , ¿crees que sería apropiado utilizar el método gráfico?, ¿por qué?
1
155
7
11
( ,− )
Análisis de las soluciones en el plano cartesiano
ANALICEMOS…
Como ya vimos, la solución de un sistema de ecuaciones se representa en
el plano cartesiano como el punto de intersección entre las rectas que
representan al sistema. Sin embargo, hay algunos casos en que no existe
este punto de intersección.
Las siguientes gráficas corresponden a tres sistemas de ecuaciones distintos:
Al representar en un plano cartesiano un sistema de ecuaciones, se pueden
observar tres situaciones, dependiendo de la posición relativa entre las rectas
en el plano cartesiano. En cada caso, esto se relaciona con la cantidad de
soluciones del sistema de ecuaciones correspondiente.
Si las rectas correspondientes son paralelas entre sí (ver gráfico 2), no existe
el punto de intersección, y el sistema de ecuaciones no tiene solución.
Ahora, si en el plano las dos ecuaciones del sistema se representan
por la misma recta (ver gráfico 3), las soluciones son todos los puntos que
pertenecen a ella, o sea, infinitos. Luego, el sistema tiene infinitas soluciones.
Solo si las rectas que representan un sistema son secantes (ver gráfico 1),
es decir, se intersecan en un solo punto, el sistema tiene solución única.
Por lo tanto, la representación gráfica de un sistema de ecuaciones en el
plano cartesiano ayuda a analizar el problema de la existencia y unicidad
de las soluciones de un sistema.
• ¿Cuál es la solución del sistema en cada caso? Explica.
• ¿Es correcto decir que el sistema que se representó en el segundo
gráfico no tiene solución?, ¿por qué?, ¿ocurrirá esto siempre?
• En el tercer gráfico, ¿el par (1, 3) es solución?, ¿y el (–1, –2)?, ¿tendrá
otras soluciones este sistema?, ¿cuántas?, ¿ocurrirá esto siempre?
Gráfico 1 Gráfico 2 Gráfico 3
• Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas gráficamente es encontrar el punto
(x, y) de intersección entre dichas rectas. Por esta razón, un sistema puede tener:
– una única solución, si y solo si su representación en el plano cartesiano es a través de
dos rectas secantes. En este caso, se dice que el sistema es compatible.
– infinitas soluciones, si y solo si se representa en el plano como una única recta. En este caso,
se dice que el sistema es compatible indeterminado.
– ninguna solución, si y solo si en el plano se representa como dos rectas paralelas. En este caso,
se dice que el sistema es incompatible.
• Al graficar un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, se pueden observar tres
situaciones, dependiendo de la posición relativa entre las rectas en el plano cartesiano:
EN RESUMEN
EN TU CUADERNO
119
Unidad 3
2y – x = 13
y + x = –1
3y + 3x = –9
y = –x – 3
2y –3x + 10 = 0
4y + 20 = 6x
y = x – 5
y – 2x = –6
3
2
y – 5x = –
–y + 3x = –13
5
3
5
3
1. Decide, en cada caso, si el sistema de ecuaciones tiene solución y si son infinitas soluciones. En el caso
de que la solución sea única, encuentra la solución aplicando el método gráfico.
a. c. e.
b. d. f.
2. Si un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas se representa en el plano cartesiano mediante
tres rectas no paralelas, ¿cuántos sistemas distintos se podrían formar utilizando dos de sus ecuaciones,
de modo que cada sistema tenga solución única?
3. Comenta con tus compañeros y compañeras sobre cómo creen que se puede representar
gráficamente un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Rectas secantes Rectas paralelas Rectas coincidentes
Hay una solución: No hay solución: Hay infinitas soluciones:
sistema compatible. sistema incompatible. sistema compatible
indeterminado.
2y + 2x = –2
y + x = 3
1. Determina cuál es la gráfica de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones. Determina
la solución en cada caso y comprueba tus soluciones remplazando los valores obtenidos.
a. b. c. d.
2. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta en cada caso.
a. Sistemas de ecuaciones con solución única y común se representan mediante las mismas rectas.
b. Sistemas de ecuaciones con soluciones distintas están representados mediante rectas distintas.
c. Si un sistema de ecuaciones no tiene solución, está representado en el plano cartesiano por dos
rectas paralelas.
d. Dos rectas perpendiculares forman un sistema con solución única.
3. Decide en cada caso si el sistema tiene solución. No resuelvas ningún sistema.
a. b. c.
MI PROGRESO
CRITERIO PREGUNTA EJERCICIOS CORRECTOS
• Revisa tus respuestas y, luego, escribe la cantidad de ejercicios correctos en tu cuaderno.
¿Cómo voy?
Resolver sistemas de ecuaciones gráficamente. 1 / 4
2 / 4
Relacionar las soluciones de un sistema de ecuaciones con su
representación gráfica.
Determinar existencia y unicidad de soluciones. 3 / 3
− + =
− =
3
2
3
1
x y
x y
4
3 6
2
4
2
6
x y
x y
+ =
+ =
6 6 20
2 2 5
x y
x y
+ =
+ =
200 101 20
4 3 3
x y
x y
+ =
− =
x y
x y
+ =
− =
1
5
x y
x y
2
13
2
0
− =
− =
− + =−
+ =−
x y
x y
3 7
3
Gráfico 1 Gráfico 2 Gráfico 3 Gráfico 4
121
Método de igualación Unidad 3
ANALICEMOS…
Sebastián lee el siguiente acertijo:
“Un zoológico tiene varias avestruces y jirafas. Si entre todas se cuentan
15 cabezas y 44 patas, ¿cuántas avestruces y cuántas jirafas hay?”.
Y lo intenta resolver mediante el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y = 15
2x + 4y = 44
Sebastián asignó x a la cantidad de avestruces e y a la cantidad de jirafas.
Luego, escribió el sistema como:
x = 15 – y
x = 22 – 2y
Como ambas expresiones son iguales a x, por transitividad, deben ser
iguales entre sí: 15 – y = 22 – 2y. Esta es una ecuación de primer grado con
una incógnita. Su solución es: y = 7.
Luego, se remplaza y en cualquiera de las ecuaciones originales, por ejemplo,
en la primera ecuación, se obtiene: x + 7 = 15, luego, x = 8.
Entonces, x = 8, e y = 7 es solución del sistema, ya que satisface ambas
ecuaciones. Y la respuesta al acertijo es: hay 8 avestruces y 7 jirafas.
Esta forma de resolver un sistema de ecuaciones se llama método de
igualación.
Ejemplo
Considera ahora el sistema
Este sistema es incompatible según lo discutido en la sección anterior,
es decir, el sistema no tiene solución.
• ¿El sistema de ecuaciones representa correctamente el problema?,
¿a qué corresponde x?, ¿a qué corresponde y?
• Escribe el sistema de modo que cada ecuación x esté escrita en
términos de y. Para resolverlo, ¿se puede resolver cada ecuación
por separado?, ¿por qué?
• Si dos expresiones son iguales a x, en este caso, ¿son también
iguales entre sí? Justifica.
• ¿Al igualar las expresiones, se puede resolver esta ecuación?,
¿y el sistema?, ¿por qué?
GLOSARIO
Una relación satisface la
cuando se cumple:
siempre que un elemento se
relaciona con otro y este último con
un tercero, entonces el primero se
relaciona con el tercero.
Por ejemplo, si a = b y b = c,
entonces a = c.
x y
x y
+ =−
+ =
2 5
2 4 14
Si se intenta resolver el sistema con este método, se obtiene:
x = –5 – 2y
x = 7 – 2y
Al igualar las ecuaciones: –5 – 2y = 7 – 2y
De lo que se obtiene que –5 = 7, lo que no es cierto.
Por lo tanto, no existe solución para este sistema de ecuaciones.
El método de igualación conviene usarlo cuando las incógnitas no tienen coeficientes iguales a 1
y consiste en:
• despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar estas expresiones.
• Resolver la ecuación y remplazar la solución obtenida en cualquiera de las ecuaciones del sistema
para determinar el valor de la incógnita restante;
• el par (x, y) obtenido es una solución del sistema.
Cuando el sistema no tiene solución, el método lleva a una conclusión absurda.
Cuando el sistema tiene infinitas soluciones, con este método se obtiene una igualdad siempre
verdadera.
EN RESUMEN
1. Resuelve los siguientes sistemas usando el método de igualación:
a. c. e. g.
b. d. f. h.
• ¿Cuál o cuáles de los sistemas de ecuaciones anteriores al representarlos gráficamente resultan
dos rectas secantes?, ¿cuál o cuáles corresponden a dos rectas paralelas?, ¿por qué?
• Comenta con tu compañero o compañera cuáles son las características de los sistemas de ecuaciones
que conviene resolver por este método. Justifiquen su decisión con un ejemplo.
2. Si al denominador y el numerador de una fracción se suma 2, el resultado es . En cambio, si se les
resta 4 el resultado es 2. Determina la fracción.
3. Considera dos ángulos suplementarios. Si un tercio de la medida del ángulo mayor excede al menor
en 20º, ¿cuáles son los ángulos?
4
5
EN TU CUADERNO
x y
x y
+ =
− = −
4 5
7 17
3 2 1
5 6 1
x y
x y
− =
+ =
3 0
5 1
x y
x y
− =
− + =
x y
x y
5
2
5 2 1
+ =
− = −
3
4
3 6
5 1
2
3
x y
x y
+ =
− =−
3
4
4
3
1
2
3
3
2
1
x y
x y
+ =−
+ =
0 1 0 5 2 3
0 2 1 2
, , ,
, ,
x y
x y
+ =
− + =
− − =
− =
2 9 251
8 5 21
x y
x y
,
,
123
Método de sustitución Unidad 3
Dos estantes contienen en total 400 libros. Al traspasar 50 libros de un
estante a otro, resulta que uno queda con el triple del otro.
Observa que la primera ecuación se puede escribir como x = 400 – y.
Al remplazar x = 400 – y en la segunda ecuación, se obtiene una ecuación
con una incógnita:
400 – y – 50 = 3 · (y + 50), luego, 350 – y = 3y + 150, y la solución es y = 50.
Tal como en el método de igualación, una vez obtenido el valor de y,
se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales. Así, x + 50 = 400,
luego, x = 350.
Esta forma de resolver un sistema de ecuaciones se llama método de
sustitución.
Ejemplo
Si Pedro tiene 3 veces la edad de Josefina y en 5 años más Pedro duplicará
la edad de Josefina, ¿cuál es la edad de cada uno?
Las incógnitas corresponden a la edad de Pedro, representada por x, y la
edad de Josefina representada por y. Entonces, la frase “Pedro tiene tres
veces la edad de Josefina“ se traduce en una ecuación como:
x = 3y
Y la frase “en 5 años más Pedro duplicará la edad de Josefina”:
x + 5 = 2(y + 5)
Al remplazar la primera ecuación en la segunda, se obtiene:
3y + 5 = 2(y + 5)
De donde y = 5, y luego, x = 15.
Es decir, Pedro tiene 15 años y Josefina tiene 5 años, lo que, claramente,
cumple con el enunciado del problema.
ANALICEMOS…
• ¿Cuántos libros había originalmente en cada estante?
• Paula representó estas condiciones mediante el siguiente sistema:
x + y = 400
x – 50 = 3 · (y + 50)
¿El sistema de ecuaciones representa correctamente el problema?,
¿a qué corresponde x?, ¿a qué corresponde y?
• Paula escribió x en términos de y, y luego lo remplazó en la segunda
ecuación. ¿Qué ecuación obtuvo Paula de esta forma?, ¿le sirve para
resolver el sistema?, ¿por qué?
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones mediante el método de sustitución:
a. c. e. g.
b. d. f. h.
• ¿Cuál o cuáles de los sistemas de ecuaciones anteriores al representarlos gráficamente resultan dos
rectas secantes?, ¿cuál o cuáles corresponden a dos rectas paralelas?, ¿por qué?
• Comenta con tu compañero o compañera cuáles son las características de los sistemas de ecuaciones
que conviene resolver por este método. Justifiquen su decisión con un ejemplo.
2. Un rectángulo tiene un perímetro de 100 m. Si la razón entre sus lados es 2 : 5, determina
las dimensiones del rectángulo.
3. Antonia tiene la mitad de la edad de Emilia. En 20 años, Emilia será 10 años mayor que Antonia.
¿Cuál es la edad de cada una?
4. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas
de cada clase se han utilizado?
5. En una librería, han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a $ 8 000 y otros a $ 12 000,
con los que han obtenido $ 192 000. ¿Cuántos libros han vendido de cada precio?
EN TU CUADERNO
• El método de sustitución conviene usarlo cuando alguna de las incógnitas tiene coeficiente 1 y
consiste en:
• despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones del sistema;
• luego, remplazar esta expresión en la ecuación restante, reduciendo el problema a una ecuación
con una incógnita;
• una vez resuelta esta ecuación, se remplaza su solución en cualquiera de las dos ecuaciones del
sistema original y se resuelve la ecuación obtenida para la incógnita restante.
EN RESUMEN
x y
x y
+ =
− =
2
5 4
x y
x y
+ =
− =−
3
2 3
3 5 15
4 10 20
x y
x y
+ =
+ =−
4 3 0
6 12 1
x y
x y
+ =
− + =
x y
x y
2
2
9
5
6 0
+ =−
− =
− + =
+ =−
3
5
4
5
1
2
2
11
2
1
5
x y
x y
2 2 8 1
3 8 2 2 1
x y
x y
+ =
− − =
27 2 9 3
9
4 9 9 3 1
3
x y
x y
+ =
− − =
125
Método de reducción Unidad 3
Juan pagó $ 4 830 por 3 cajas de clavos y 5 cajas de tornillos. Pedro compró
5 cajas de clavos y 7 de tornillos y tuvo que pagar $ 7 210.
Al multiplicar la primera ecuación por 5 y la segunda ecuación por –3, se
obtiene el sistema equivalente:
Si ahora se suman ambas ecuaciones, respetando lo que está a cada lado de
la igualdad, se obtiene:
Observa que se obtuvo una ecuación que no tiene la incógnita x. Ahora se
puede obtener fácilmente el valor de y. Esta es la esencia del método de
reducción: obtener sistemas equivalentes de modo que al sumar las
ecuaciones se elimina una de las incógnitas.
Luego, se obtiene el valor de la incógnita, y = 630 en este caso, y se remplaza
en alguna de las ecuaciones originales para calcular el valor de la incógnita
restante. En este caso, x = 560.
Entonces, el precio es: $ 560 cada caja de clavos y $ 630 cada caja de tornillos.
Ejemplo
Resuelve el sistema
Multiplicando la primera ecuación por 2 y la segunda por –1, al sumar las
ecuaciones se obtiene una ecuación donde no aparece y.
ANALICEMOS…
• ¿Cuál es el precio de cada caja de clavos y de cada caja de tornillos?
• Ximena representó esta situación con el sistema:
¿El sistema de ecuaciones representa correctamente el problema?, ¿a qué
corresponde x?, ¿a qué corresponde y?
• Multiplica la primera ecuación por 5 y la segunda ecuación por –3
y luego suma las dos ecuaciones. ¿Qué obtienes? Ahora, ¿puedes resolver
el sistema?
• ¿Esta solución es también solución del sistema original?, ¿por qué?
3x + 5y = 4 830
5x + 7y = 7 210
15x + 25y = 24 150
–15x – 21y = –21 630
15x + 25y = 24 150
(+) –15x – 21y = –21 630
4y = 2 520
GLOSARIO
: son sistemas
de ecuaciones construidos por
manipulación de las ecuaciones del
sistema original, de modo que
poseen la misma solución.
2 5
3 2 3
x y
x y
− =
− =
• El método de reducción consiste en:
• multiplicar cada ecuación por números, de modo que para una de las incógnitas se obtengan
coeficientes que sean inversos aditivos;
• sumar ambas ecuaciones, para obtener una ecuación en una sola incógnita.
• Una vez resuelta esta ecuación, se remplaza su solución en una de las ecuaciones del sistema
original y se resuelve la ecuación para la incógnita restante.
• Una ventaja de este método es que puede usarse para resolver un sistema mayor, por ejemplo,
con tres ecuaciones y tres incógnitas.
EN RESUMEN
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones usando el método de reducción.
a. c. e.
b. d. f.
• ¿Cuál o cuáles de los sistemas de ecuaciones anteriores al representarlos gráficamente resultan dos
rectas secantes?, ¿cuál o cuáles corresponden a dos rectas paralelas?, ¿por qué?
• Comenta con tu compañero o compañera cuáles son las características de los sistemas de ecuaciones
que conviene resolver por este método. Justifica con un ejemplo.
2. Si un sistema no tiene solución, aplicar el método de reducción nos lleva a expresiones sin sentido.
Comprueba esto para los siguientes sistemas:
a. b.
EN TU CUADERNO
4x – 2y = 10
(+) –3x + 2y = 3
x = 7
18 150
35 303
x y
x y
+ =
+ =
2 43
12
2 2 16
3
x y
x y
− =
+ =
− − =
− + =
5 21 4
10 42 1
x y
x y
21 6 15
35 10 33
x y
x y
+ =
+ =
5 3 9
15 9 14
x y
x y
+ =
+ =
2 4 0
11 2 1
x y
x y
− =
+ =
− + =
+ =
3
5 5
11
12
3
1
36
x y
x y
3
5
3
2
1
7
2
5
7
2
1
3
x y
x y
+ =−
+ =
Evidentemente, x = 7 si se remplaza en 2x – y = 5, se obtiene 14 – y = 5.
Luego, y = 9.
127
Unidad 3
Análisis algebraico sobre
la existencia de soluciones
ANALICEMOS…
Lucas y Emilia necesitan resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
5x + 10y = 15
x + 3y = –11
Lucas dividió la primera ecuación por 5 y conservó la segunda:
x + 2y = 3
x + 3y = –11
Emilia primero sumó las ecuaciones de Lucas y luego restó las originales:
2x + 5y = – 8
4x + 7y = 26
Lo que hicieron Lucas y Emilia fue determinar sistemas equivalentes al
original, que les permitieran determinar más fácilmente su solución.
Recuerda que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si poseen
idénticas soluciones. Observa que, además de sustituir una de las
ecuaciones por otra que sea equivalente, también se puede operar con
ambas simultáneamente, como lo hizo Emilia.
Las siguientes son algunas de las operaciones que permiten obtener
sistemas de ecuaciones equivalentes al original:
• Multiplicar o dividir una de las ecuaciones por un número (distinto de 0)
y conservar la otra.
• Sumar o restar las dos ecuaciones para obtener una nueva ecuación y
conservar una de las originales.
Ejemplo 1
Considera el sistema:
+ y = 6
x + 2y = 12
Si se multiplica la primera ecuación por 2 y se conserva la segunda, se obtiene
el sistema equivalente:
x + 2y = 12
x + 2y = 12
x
2
• ¿El sistema original tiene solución?, ¿y el de Lucas?, ¿y el de Emilia? Explica.
• Resuelve los tres sistemas de ecuaciones. ¿Cuál fue más fácil de resolver?,
¿por qué?
• ¿Qué tienen en común los tres sistemas?
• Escribe otro sistema de ecuaciones que tenga la misma solución. Justifica.
Observa que las dos ecuaciones del sistema son la misma ecuación. De
modo que la solución del sistema es la solución de la ecuación x + 2y = 12.
Pero esta ecuación tiene infinitas soluciones; luego, el sistema original tiene
infinitas soluciones.
En general, si una de las ecuaciones es múltiplo de la otra, el sistema tiene
infinitas ecuaciones.
Ejemplo 2
Considera el siguiente sistema: x + 2y = 10
x + 2y = 12
¿Es posible que dos números sumados den 12 y también 10? Como esto es
imposible, el sistema no tiene solución alguna. Como ya se sabe, este es un
sistema incompatible.
EN TU CUADERNO
• Un sistema de ecuaciones puede tener una única solución, infinitas soluciones (si una de las
ecuaciones es múltiplo de la otra) o no tener solución alguna (cuando el sistema es incompatible).
• Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
EN RESUMEN
1. Decide si los siguientes sistemas son equivalentes en cada caso. Justifica.
a. b.
2. Determina si los siguientes sistemas de ecuaciones tienen solución. Justifica.
a. x + y = 1 c. 2x + 13y = 1 e. x – 4y = 10
x + y = 2 10x + 65y = 6 4x + 16y = 0
b. 3x + y = 1 d. 7x + 3y = 0 f. 5x – y = 1
5x + y = 1 21x + 12y = 0 x – y =
• ¿Cuál o cuáles de los sistemas de ecuaciones anteriores al representarlos gráficamente resultan dos
rectas secantes?, ¿cuál o cuáles corresponden a dos rectas paralelas?, ¿por qué?
4
6
2
3
10
3
12 7 9
8 11
24 14 9
2 16 22
x y
x y
x y
x y
− =
− + =
− =
− + =
3 6 1
4 23
2 2 16
4 23
x y
x y
x y
x y
+ =
− =
− =
− =
129
Pertinencia de las soluciones Unidad 3
ANALICEMOS…
Un atleta se entrena nadando en un río. Primero nada contra la corriente y
demora 30 minutos en recorrer 2000 metros. Luego, nada a favor de la
corriente y demora 15 minutos en recorrer la misma distancia.
En este problema, se conoce la distancia recorrida y el tiempo que demora
el atleta en recorrerla en cada caso, y lo que se busca resolver es la velocidad
de la corriente del río y la del atleta respecto del río, suponiendo que
mantiene su esfuerzo en ambos casos.
Entonces, se asigna a para la velocidad del atleta respecto del río y c para
la velocidad de la corriente del río. Observa que estas velocidades se suman
cuando el atleta nada a favor de la corriente, y se restan si nada contra
la corriente.
En el primer tramo, el atleta nada contra la corriente y demora 30 minutos.
Luego, se tiene que 30(a – c) = 2000.
En el segundo tramo, nada a favor de la corriente y demora 15 minutos.
Luego, se tiene 15(a + c) = 2000.
El sistema correspondiente es:
30a – 30c = 2000
15a + 15c = 2000
Luego, 60a = 6000, a = 100, y c =
¿Qué significan estos valores en el contexto del problema? Observa que
la unidad de distancia utilizada es el metro, y la unidad de tiempo utilizada
es el minuto; luego, a, la velocidad del atleta respecto del río, corresponde a
100 m/min, que equivalen a 6000 m/h, que a su vez equivalen a 6 km/h.
De la misma manera, c, la velocidad de la corriente del río, corresponde a
100 m/min, equivalentes a 2 km/h.
3
100
3
• ¿Cuál es la velocidad del nadador respecto del río?, ¿y la velocidad
del río respecto a la orilla?
• ¿Cuántas cantidades desconocidas involucra el problema?, ¿cuáles son?
• ¿Cuáles son los datos conocidos del problema?
• ¿Qué condiciones impone el problema sobre estas cantidades?,
¿cómo se expresan matemáticamente estas condiciones?
Velocidad =
Luego, también se puede expresar:
tiempo · velocidad = distancia
RECUERDA QUE…
distancia
tiempo
Ejemplo
Un vaso de vidrio contiene agua y aceite. Como no se mezclan, se puede
Si la densidad del agua es 1 g/cm3, la del aceite es 3 g/cm3 y la masa total
de líquido dentro del vaso es 1000 g, determina el volumen ocupado por el
agua y el aceite.
Se asigna x e y al volumen de agua y de aceite que hay en el vaso,
respectivamente. La primera ecuación corresponde al volumen de cada
líquido. Como, en este caso, el volumen de aceite es el doble del volumen
de agua, se tiene que y = 2x.
La segunda ecuación corresponde a la masa (en gramos), que se calcula
usando los datos de la densidad del agua y del aceite. Como la masa total
es 1 000 g, se tiene que x + 3y = 1000.
La solución del sistema es x = e y = 2000 . Es decir, en el vaso hay
7
1000
7
observar que del volumen del vaso está ocupado por aceite y 1 por agua.
3
2
3
cm3 de agua y cm3 2000 de aceite.
7
1000
7
Densidad · volumen = masa.
NO OLVIDES QUE…
Resolver un problema involucra los siguientes pasos:
• Reconocer las incógnitas del problema y nombrarlas (x, y, z, etc.).
• Reconocer las relaciones entre incógnitas y escribirlas como ecuaciones.
• Resolver las ecuaciones para las incógnitas requeridas.
• Comprobar las soluciones para asegurarse de que los valores calculados son pertinentes
en el contexto del problema planteado.
EN RESUMEN
EN TU CUADERNO
1. En un estacionamiento, hay 45 vehículos entre automóviles y motos. Si el total de ruedas es 125,
¿cuántos automóviles y cuántas motos hay? ¿Qué ocurre con el resultado? Explica.
131
Unidad 3
Otros sistemas asociados
a sistemas de ecuaciones lineales
ANALICEMOS…
Observa el siguiente sistema de ecuaciones:
Observa que las expresiones y están en ambas ecuaciones, esto
sugiere que, considerando estas expresiones como incógnitas, se pueden
remplazar por las incógnitas auxiliares . Si se remplaza en
el sistema, se obtiene:
Este es un sistema de ecuaciones lineales con las incógnitas u y v, y se
puede resolver con cualquiera de los métodos ya aprendidos. Su solución
es u = 7, v = –3.
Pero las incógnitas del sistema pedido son x e y, luego, la solución se debe
calcular para x e y. Esto es, remplazar en las expresiones correspondientes
a las incógnitas auxiliares el valor calculado para u y v, y resolver las
ecuaciones.
En este caso, 7 = , –3 = , de donde se obtiene que: .
Ejemplo
Resuelve el siguiente sistema:
Utilizando las incógnitas auxiliares , el sistema queda:
• ¿Las ecuaciones de este sistema son lineales?, ¿por qué?
• ¿Se podrían aplicar los métodos aprendidos en este caso? Explica.
• ¿Se puede escribir un sistema de ecuaciones lineales que permita
resolver el sistema dado manipulando adecuadamente las ecuaciones?
• ¿Cuál es la solución del sistema?
Siempre se debe verificar que los
valores obtenidos mediante el uso
de incógnitas auxiliares sí resuelven
el sistema original. En algunos casos,
esto no ocurre.
NO OLVIDES QUE…
1 1
4
1 1 10
x y
x y
+ =
− =
u
x
v
y
= =
1 , 1
u v
u v
+ =
− =
4
10
5
8
7
2
11
6
9
8
20
2
7
x y
x y


+
= −


+
= −
u
x
v
y
=

=
+
1
8
1
2
,
5 7 11
6
9 20 7
u v
u v
− = −
− = −
1
x
1
x
x = y = −
1
7
1
3
,
1
y
1
y
Al resolver este sistema, se obtiene .
Remplazando en las expresiones para u y v, se tiene:
Al resolver cada ecuación, se obtiene que la solución del sistema es
x = 11, y = 0.
• Es posible resolver algunos sistemas de ecuaciones no lineales mediante el uso de incógnitas
auxiliares, las cuales se eligen de modo que el nuevo sistema sea lineal para las nuevas incógnitas.
• Los valores obtenidos como solución del sistema lineal se usan luego para obtener los valores
de las incógnitas originales x e y.
• Siempre se deben verificar las soluciones obtenidas en el sistema original.
EN RESUMEN
1. Resuelve los siguientes sistemas usando incógnitas auxiliares adecuadas en cada caso.
a. c. e.
b. d. f.
2. Tres veces el inverso multiplicativo de un número más dos veces el inverso multiplicativo de otro
dan . La resta de sus inversos multiplicativos me da – 1 . Determina los números.
15
19
15
EN TU CUADERNO
u = v =
1
3
1
2
,
1
8
1
3
1
2
1
2
x
y

=
+
=
5 4 5
8 6
1
x y
x y
− =
− + =−
5 1 21
51 8 1
x
y
x
y
+ =
− =
3 6 0
4
2 1
x
y
y
x
y
y
− =
+ =
13
1
1
6
50
49
1
1
49
6
14
13
x y
x y
+
+

=
+
+

=
1
2 3 1
2
2 3
1
3
2 3 1
1
2 3
18
⋅ +
+

=

⋅ +
+

=
( )
( )
x y
x y
6 5
4
4 10 4
x y
x y
+ =
− − = −
133
Unidad 3
1. Determina si los siguientes sistemas son equivalentes.
a. b.
2. Utilizando el método de igualación, resuelve.
a. b. c.
3. Utilizando el método de sustitución, resuelve:
a. b. c.
4. Utilizando el método de reducción, resuelve:
a. b. c.
5. Un estudiante rindió un examen consistente en 100 preguntas con alternativas. El profesor asigna
5 puntos por cada respuesta correcta y descuenta 1 punto por cada 4 respuestas incorrectas.
a. Si el estudiante contestó 59 preguntas y obtuvo 169 puntos, ¿cuántas preguntas correctas tuvo?
b. Con estas condiciones, ¿puede ser 56,5 y 43,5, respectivamente, una solución al problema?, ¿por qué?
MI PROGRESO
CRITERIO PREGUNTA EJERCICIOS CORRECTOS
• Revisa tus respuestas y, luego, escribe tu puntaje en el cuadro.
¿Cómo voy?
Determinar si dos sistemas son equivalentes. 1 / 2
2, 3 y 4 / 9
5 / 2
Resolver sistemas de ecuaciones utilizando métodos algebraicos.
Resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones.
8 3 10
4 13
12 3 39
20 9 1
x y
x y
x y
x y
+ =
+ =
+ =
+ =
6 16
5 21
x y
x y
+ =
− =
3 6 9
7 2 9
x y
x y
+ =
− =
4 5 11
2 3 1
x y
x y
+ =
− =
3 6
5 3 12
x y
x y
+ =
− + =
13 78
9 12
x y
x y
− =
− − =
20 40 340
7 20 119
x y
x y
+ =
− − = −
3
7
5 4
3 14 14
x y
x y
− =
+ =−
60 51 12
15 12 36
x y
x y
+ =−
+ =
− − =
+ =−
x y
x y
9
2
7
2
7 2 2
x y
x y
x y
x y
+ =
+ =
+ =
+ =
2 6
4 7 11
6 11 23
8 14 22
Cómo resolverlo
134 EN TU CUADERNO
1. Si ahora se tienen soluciones de ácido nítrico al 45% y al 70%, ¿cuántos litros de cada solución se deben
mezclar para obtener 10 litros de solución al 60%?
2. Si la gasolina y el etanol cuestan $ 700 y $ 400 el litro, respectivamente, ¿cuántos litros de etanol y
gasolina se deben usar para obtener 100 litros de una mezcla que cueste $ 600 el litro?
Problema resuelto 1
Si se tienen dos soluciones de ácido nítrico, una al 25% y la otra al
65%, ¿cuántos litros de cada solución se deben mezclar para obtener
5 litros de solución de ácido nítrico al 50%?
Solución:
Sea x los litros de solución al 25% que se utilizarán e y los litros de solución
al 65%. Como se desea preparar 5 litros, la ecuación es: x + y = 5.
La cantidad de ácido de la primera solución es igual al 25% de x, o sea
. Asimismo, la segunda solución es el 65% de y, es decir, .
La suma de ambas cantidades representa la cantidad total de ácido en la mezcla,
que debe ser igual al 50% del total. Esto es:
Al multiplicar por 20, se obtiene la ecuación equivalente 5x + 13y = 50,
que junto a la primera ecuación planteada forman el sistema:
8y = 25
De donde y = . Remplazando en la primera ecuación, se obtiene x = .
Comprobación:
Se tiene que x + y= + = = 5.
Es decir, las soluciones satisfacen también la segunda ecuación del sistema.
40
8
15
8
25
8
15
8
25
8
Por lo tanto, x = litros e y = 25 litros es la solución del problema.
8
15
8
El a% de una cantidad dada b es
a ·
RECUERDA QUE…
b
100
25
100

x 65
100

y
25
100
65
100
50 5
100
⋅ + ⋅ = ⋅
x y
x y
x y
+ =
+ =
5
5 13 50
–5 –5 –25
5 13 50
x y
x y
=
+ =
GLOSARIO
Que una solución esté al 25%
significa que en un litro de solución
el 25% corresponde al soluto (ácido)
y el otro 75%, al solvente (agua).
Resolviendo por reducción,
al multiplicar la primera
ecuación por –5, se obtiene:
Sumando la primera ecuación
y la segunda se obtiene:
Por otro lado, 5x + 13y = 5 · + 13 · = + = 400 = 50.
8
325
8
75
8
25
8
15
8
135
Unidad 3
Problema resuelto 2
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
Solución:
El sistema puede resolverse usando el método de reducción. Para esto, se debe
comenzar por eliminar una de las incógnitas y reducir este sistema a uno de
dos ecuaciones con dos incógnitas.
3x – z = 8
3x + z = 1
Entonces, se ha reducido el sistema original al sistema:
el cual es sencillo de resolver.
Ya que los coeficientes de z son 1 y –1 en ambas ecuaciones, basta con sumarlas
para eliminar z y obtener 6x = 9, luego .
Remplazando este valor, por ejemplo, en la primera ecuación del último
sistema de ecuaciones se obtiene , y por tanto .
, de donde
De modo que la solución del sistema es , , .
EN TU CUADERNO
1. Usando la idea presentada, resuelve el sistema
2. El siguiente sistema no tiene solución. Intenta justificar esto sin resolverlo:
x =
3
2
x =
3
2
z = −
7
2
z = −
7
2
2 3
2
7
2
⋅ − y − = −3 y =
5
2
y =
5
2
Se suman las primeras
dos ecuaciones para eliminar
la incógnita y.
Para obtener una segunda ecuación
sin la incógnita y, se multiplica la
segunda ecuación por 2, y se suma
a la tercera ecuación.
Se remplazan los valores de x y de z
en cualquiera de las ecuaciones
del sistema original, por ejemplo
en la segunda.
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =−
− + − =
2 11
2 3
2 7
3 8
3 1
x z
x z
− =
+ =
2 2 1
2 4
2 5
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =−
− − − =
3 5 4 1
4 3 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
+ − =
− − + =−
− + =
3 3
2
⋅ − z = 8
136 En terreno
1. Usando Graphmatica, grafica la función dada. Si es necesario, cambia la escala de los parámetros.
2. Según la gráfica, ¿qué sucede con la cantidad demandada si aumenta el precio?, ¿qué sucede con el
precio si la cantidad demandada aumenta?
3. Según el modelo, ¿cuántas toneladas de madera está dispuesto a comprar alguien si se dispone de
$ 1 500 000, $ 2 000 000 ó $ 3 000 000?
4. ¿Es posible determinar una cantidad máxima de madera a ser ofrecida, según el modelo?
5. El tipo de modelo presentado ¿sirve para todos los casos?
Oferta y demanda
Los bienes necesarios para la subsistencia cambian de precio constantemente. Con frecuencia
se oye hablar de cambios en el precio del pan, de la gasolina, de alimentos, del vestuario, entre
otros bienes, ya que en general estos precios son inestables en el tiempo. Para poder predecir
el comportamiento en el tiempo de los precios y disponibilidad de determinados bienes,
se establecieron las leyes económicas conocidas como ley de la demanda y ley de la oferta,
según las cuales el precio se establece en función de la solicitud de los consumidores y la
cantidad provista por los productores, generando un punto de equilibrio. Estas leyes afirman:
Ley de la demanda: el incremento en el precio causa una disminución en la cantidad
demandada, y la disminución del precio eleva la cantidad demandada.
Ley de la oferta: el incremento en el precio causa un incremento en la cantidad ofrecida y
una disminución en el precio reduce la cantidad ofrecida.
Con estas leyes se modelan situaciones elementales en economía, como la siguiente:
Debido a incendios forestales, hubo un año en que bajó la producción de madera, y por tanto,
los productores que disponían de suficiente stock pudieron vender y a altos precios, ya que
los clientes no tenían muchas opciones donde comprar. Al año siguiente, la cantidad de
incendios disminuyó y hubo una mayor producción de madera, por lo tanto, los precios
bajaron de manera importante respecto de la temporada pasada. El modelo de oferta
está dado por la función p(q) = 130 000q, donde q es la cantidad de toneladas de madera,
y p es el precio total por venta, con p y q positivos.
Es muy importante que evitemos la propagación de los incendios forestales pues estos dañan
irreversiblememte los bosques y la vida silvestre de nuestro país.
En el siguiente link: http://www.educacionmedia.cl/links/10M2136.html hallarás algunas
recomendaciones que te permitirán prevenir la formación de estos incendios.
EN TU CUADERNO
137
Unidad 3
INVESTIGUEMOS…
Ahora trabajen en grupos de cuatro personas:
1. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la solución correcta
en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.
2. Discutan si existe una manera de corregir el modelo, de manera que ahora:
• la cantidad requerida posible sea mayor que la que permite el modelo;
• la cantidad requerida sea la mitad de la cantidad permitida por el modelo.
3. Resuelvan el siguiente problema:
Para ese año, algunos compradores de madera estaban dispuestos a negociar la cantidad a pagar por tonelada,
y acordaron entre ellos la posibilidad de comprar aproximadamente a precios similares a fin de no verse
demasiado perjudicados con los precios de mercado. Decidieron comprar cada tonelada a $ 125 000, lo cual
comunicaron a los vendedores. Este modelo de demanda está dado por la función p(q) = 3 000 000 – 125 000q.
Al año siguiente, los vendedores decidieron invertir en mejoras en el proceso de producción, lo cual ocasionó
un aumento de la producción en el mercado, y por tanto, una corrección del modelo de oferta, el cual es ahora
p(q) = 130 000q – 390 000. A su vez, los compradores mayoritarios, que al principio no se interesaban en pagar
un precio adicional, al ver que la calidad había mejorado, decidieron pagar un poco más, con lo cual la función
de demanda es ahora p(q) = 3 375 000 – 135 000q.
Para determinar lo que están dispuestos a pagar en cada caso, sigan estos pasos.
• Construyan, en un programa como Graphmatica, la gráfica de la función de demanda dada en el primer
párrafo, junto con la de oferta ya construida antes.
• Dado que ahora tienen representado un sistema de ecuaciones, encuentren su solución, la que corresponde
al punto de intersección. El punto de equilibrio indica la cantidad de toneladas que comprará cada uno y el
precio por tonelada.
• De la misma forma, construyan gráficas para cada una de las funciones dadas en el segundo párrafo.
Encuentren el punto de intersección de ambas y, a partir de esto, determinen la cantidad de toneladas
que cada comprador llevará y cuál es el precio por cada una.
• Comparen los gráficos construidos para cada una de las siguientes situaciones y determinen qué factor
o factores hicieron cambiar el punto de equilibrio en cada situación.
EVALUEMOS NUESTRO TRABAJO
• Comparen los resultados obtenidos con los de sus compañeros y compañeras. ¿Se obtienen los mismos
resultados? De no ser así, ¿cuáles son las diferencias?
• ¿Cómo creen que se reflejan, gráficamente, cambios como la mejora en la producción o pago de
impuestos al comprar?
• ¿Creen que pueda crearse un único modelo de oferta y demanda en el cual se integran todos estos
cambios según condiciones externas?, ¿por qué?
• ¿A qué creen que se deba que todas las gráficas de oferta se representen mediante rectas paralelas?
138 Síntesis de la Unidad
A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la unidad. Construye
con ellos un mapa conceptual en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que
indican las relaciones que hay entre los conceptos.
1 Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.
a. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas siempre se representa como dos rectas
en el plano.
b. En general, una solución a un sistema es un par de números que satisface ambas ecuaciones.
c. El sistema formado por 2x + 7y = 9 y 5x + 2y = 7 tiene solución única.
d. Un sistema de ecuaciones tiene siempre al menos una solución.
e. Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
f. La solución de un sistema de ecuaciones (si existe) se representa mediante una recta en el plano.
g. El sistema formado por + = y + = puede reducirse a un
sistema de ecuaciones lineales.
2
7
2
(y + 2)
4
(x + 1)
7
9
7
(y + 2)
3
(x + 1)
Sistemas de ecuaciones lineales
Reducción
Sustitución
Igualación
Métodos
de resolución
Resolución de
problemas
Unicidad
de soluciones
Pertinencia
de solución
Métodos
algebraicos
Existencia
de soluciones
Método
gráfico
Incógnitas
auxiliares
139
Unidad 3
h. Los métodos de igualación y sustitución conviene usarlos cuando los coeficientes de las
incógnitas son 1 y distinto de 1, respectivamente.
i. Para resolver un sistema de más de dos ecuaciones y con dos incógnitas, el más adecuado sería
el método de reducción.
j. La solución de un sistema de ecuaciones se representa por el punto de intersección de dos rectas
en el plano.
k. Un sistema de ecuaciones se puede resolver o estimar su solución, mediante un dibujo.
l. La existencia y unicidad de las soluciones de un sistema depende de la posición relativa
de sus gráficas en el plano.
m. Existen sistemas de ecuaciones para los que es recomendable utilizar incógnitas auxiliares.
n. El sistema formado por 2x + 7y = 9 y 6x + 21y = 27 no puede resolverse por reducción, pero
sí puede resolverse por igualación.
ñ. Un sistema de ecuaciones sin solución se representa gráficamente mediante una única recta
en el plano.
o. El sistema formado por 3x + 5y = 1 y 9x + 15y = 7 posee una única solución.
p. Para hacer 6 litros de una solución al 40%, se necesitan 2,4 litros de solución al 70% y 3,6 litros
de solución al 20%.
q. El sistema formado por + = y + = no se reduce a un sistema de
ecuaciones lineales.
2 Aplica lo que aprendiste en la unidad para resolver los siguientes problemas:
a. Una prueba consta de 80 preguntas, las cuales dan 4 puntos por respuesta correcta, y se descuenta
un punto por cada incorrecta.
• Si un estudiante dejó 15 preguntas sin contestar y obtuvo 205 puntos, determina cuántas
preguntas correctas e incorrectas tuvo en la prueba.
• Si otro estudiante contestó 68 de las preguntas y obtuvo 187 puntos, determina la diferencia
entre la cantidad de preguntas correctas y las preguntas incorrectas.
b. Carlos tiene 2 cajas con nueces. De la primera caja, que tiene más nueces que la segunda, toma las
necesarias para dejar en la segunda el doble de las que había. Luego, toma de la segunda caja las
que necesita para dejar en la primera el doble que las que quedaron en el paso anterior. Si al final
quedaron 48 nueces en cada caja, ¿cuántas nueces había en cada una originalmente?
c. Determina tres cantidades tales que, sumadas dos a dos, se obtienen 45, 54 y 63. (Sugerencia: suma
las tres ecuaciones resultantes, y luego, a la ecuación hallada, resta una ecuación cualquiera del
sistema inicial).
2
7
2
(x + y)
3
x
1
9
1
x
1
(x + y)
140 Evaluación de la Unidad
B. x = –20, y = 1
C. x = 3, y = 1
D. x = 0, y = 0
E. x = 0, y = –
2. La solución del sistema es:
A. x = 5, y = 1 D. x = , y = 1
B. x = 5, y = –1 E. No es única.
C. x = –5, y = 1
3. El sistema tiene solución:
A. x = 2
B. y = –3
C. x = 2, y = –3
D. x = –3, y = 2
E. No tiene solución.
4. ¿Cuál es el punto de intersección entre las
rectas x + y = 0 y x – y = 1?
A. No se intersecan. D. (1, –1)
C. – , 
5. El sistema
A. Tiene una única solución.
B. Posee una solución con x = y.
C. Ambas ecuaciones son equivalentes.
D. Tanto C como B son ciertas.
E. Ninguna de las anteriores.
6. Considera el sistema de ecuaciones:
De su representación en el plano cartesiano
y solución, se puede decir que:
A. se representa como dos rectas paralelas y
no tiene solución.
B. se representa como dos rectas
perpendiculares y tiene solución.
C. se representa como una recta y tiene
infinitas soluciones.
D. se representa como dos rectas y tiene una
única solución.
E. Ninguna de las anteriores.
7. Sobre el sistema , ¿cuál de las
siguientes alternativas es falsa?
A. x = 0, y = 3 y x = –1, y = –1 son soluciones.
B. y = 0, x = es solución.
C. La solución anterior corresponde a la
intersección de dos rectas distintas.
D. Una de las ecuaciones corresponde a una
recta con pendiente positiva.
E. El sistema tiene infinitas soluciones.
1
5
3
4
1
2
1
2
1
3
1. La solución del sistema es:
A. x = 3, y = 1
2
B.  , – 1  E. (–1, 1)
2
1
2
x y
x y
2
3 0
4
5 0
− =
+ =
2 6 2
3 1
x y
x y
− =
+ =
3 2 5
6 4 4
x y
x y
− = −
+ =
4 3
8 2 6
x y
x y
− = −
− = –
3 2 13
6
x y
x y
+ =
− =
2 5 19
3 4 6
x y
x y
− =
+ =−
Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno y selecciona la alternativa correcta en cada caso.
141
Unidad 3
8. Considera el sistema
¿Cuántas soluciones tiene el sistema planteado?
A. Una.
B. Infinitas.
C. Dos.
D. Tres.
E. Ninguna de las anteriores.
9. Si ¿Cuánto es xy?
A. 44
B. 240
C. 0
D. –150
E. Ninguna de las anteriores.
10. Considera el sistema de ecuaciones:
No produce un sistema equivalente el
formado por:
A. la primera ecuación más la segunda junto
a la primera.
B. la segunda ecuación menos la primera
junto a la primera más la segunda.
C. dos veces la segunda menos la primera
junto a la primera menos dos veces
la segunda.
D. la primera dividida por 7 junto
a la segunda.
E. la segunda dividida por 5 junto
a la primera más la segunda.
11. Para el sistema
¿Cuál de las siguientes aseveraciones es
correcta?
A. Con las incógnitas auxiliares u = y v = y
se transforma el sistema en lineal.
B. Con las incógnitas auxiliares u = xy y
v = x + y se transforma el sistema en lineal.
C. Un poco de operatoria algebraica
transforma el sistema en un sistema lineal.
D. El sistema no es equivalente a uno lineal.
E. El sistema no tiene solución.
12. De la ecuación 5x + y = 35, no son solución:
A. x = 15, y = –40
B. x = 0, y = 7; x = 1, y = 30; x = 0, y = 30
C. Todos los (x, y) tales que – 7 = –x
D. x = 0, y = 35; x = 7, y = 0
E. A y D
13. Las rectas que representan a dos sistemas
de ecuaciones se intersecan de a pares:
A. siempre en un punto.
B. siempre en un punto, infinitos puntos o
no se intersecan.
C. siempre en uno o dos puntos.
D. siempre en cuatro o seis puntos.
E. Ninguna de las anteriores.
1
x
y
5
2
5
3
10
1
5
30 4 19
4 3 2
x y
x y
x y
= −
− =
+ =
x y
x y
+ =
− =
15
2
1 1 0
3
x y
x y
− =
+ =
3 7 1
5 1
x y
x y
+ =
+ =−
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.
1. Responde las siguientes preguntas.
a. ¿Qué es una ecuación?
b. ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación lineal con una incógnita?
c. ¿Qué significa que dos ecuaciones sean equivalentes?
d. ¿Cómo es la gráfica de la función afín f, definida por f(x) = mx + n?,
e. ¿Qué representan los parámetros m y n en la gráfica de esta función?
f. ¿Cuántos puntos son suficientes para determinar una recta?
2. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a. –7(x – 6) + + = 1 d. ay + b = c
c. – x + = f. 4a + 4b = xa + xb
3. Decide si son equivalentes los siguientes pares de ecuaciones.
Justifica tu respuesta.
a. 3x + 5 = , 9x + 15 = 1 c. – – x = 0, –5x = 6
4. Traza la gráfica de las siguientes funciones en el plano cartesiano.
a. f(x) = 2x + 8 c. f(x) = –2x – 4 e. f(x) = 3
b. f(x) = –x + 3 d. f(x) = 5x f. f(x) = 0
• ¿Qué tienen en común las gráficas obtenidas?
5. Evalúa cada expresión para los siguientes valores: a = 1; b = –1;
c = ; d = 0.
a. abc e. (d + a) – (d + b) – (d + c)
b. abd – abc f. –(ab + ac + ad) – (ba + bc + bd)
c. (a – b) + (c – d) g. + –
5
3
10
8
5
4
1
3
d
c
b
c
a
c
1
2
1
3
9
7
5
7
d. d(a + b + c) + (a + b + c) h. + –a(c + d)
b
b
c
c
a
b. –x – 8 = 0, x = 8 d. 7x + 3 = 5, 35x + 3 = 5
5
b. 0,1x + 1,9 = 13,74 e. 5cx= – 9c
b
11
• Una ecuación es una igualdad en la que hay una o más variables desconocidas llamadas incógnitas.
• Las incógnitas, en general, se representan por las letras minúsculas x, y, z, etc. La letra utilizada no
es importante; 3(s – 1) + 5 = 0 y 3(x – 1) + 5 = 0 representan la misma ecuación.
• El grado de una ecuación está determinado por el mayor grado del exponente de la incógnita.
• Una ecuación se dice lineal si todas sus incógnitas son de grado 1 y no están multiplicadas entre sí.
• Una solución de la ecuación es un número que, al ser remplazado por la incógnita, satisface
la igualdad.
• Dos ecuaciones son equivalentes si poseen idénticas soluciones.
• Al sumar o restar a una ecuación cualquier número, así como al multiplicar o dividir una ecuación
por un número distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la original.
• La gráfica de la función afín f(x) = mx + n es una recta en el plano que no pasa por el origen.
El valor m es la pendiente de la recta asociada y n se relaciona con su intersección con el eje Y.
• Para resolver un problema que involucra ecuaciones, es preciso leer y comprender su enunciado.
Esto facilitará identificar la incógnita y plantear la ecuación pedida transformando el problema
de un lenguaje verbal a un lenguaje matemático. Una vez resuelta la ecuación se debe verificar
si el valor obtenido es solución del problema.
¿QUÉ DEBES RECORDAR?
6. Determina si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.
Justifica tu respuesta.
a. La solución de la ecuación 3x + 5 = 0 es – .
b. Una ecuación lineal con una incógnita tiene dos soluciones.
c. La ecuación ax + b = c es equivalente a ax + b – c = 0.
d. En la función afín f definida por f(x) = ax + b, el número b
representa la pendiente de la recta asociada.
7. Para cada enunciado: define las variables, plantea y resuelve una
ecuación.
a. La mitad de un número impar menos el doble de este es igual a
– . Determina cuál es el número.
b. En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos están en proporción
de 2 : 7. ¿Cuánto mide el menor de los ángulos agudos?
c. Sergio tiene 35 años y su hijo Gabriel, 7 años. ¿Cuánto tiempo ha
de pasar para que el padre doble en edad al hijo?
Compara tus respuestas con las de tus compañeras y compañeros.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.
33
2
5
3
Páginas 108 y 109
2. a. x = d. y =
c. x = 0 f. x = 4
3. a. Sí b. No c. No d. No
4. a. b.
c. e.
d. f.
Tienen en común: que son todas rectas.
5. a. – c. e. g. 0
6. a. V b. F c. V d. F
7. a. , k = 5
c. 35 + x = 2(7 + x); x = 21
Página 111
1. a. Sí. b. No. c. No. d. Sí.
2. a. x + y = 25 f. x + y = 180
b. x + 2y = 12 g. =
c. x = y + 10 h. 8x + 10y = 10 500
d. x + y = 5 000 i. x + y = 46
e. 2x + 2y = 60 j. =
4. a. x: un ángulo; y: el otro ángulo; x + y = 90; x = 2y
b. x: un número; y: el otro número; x + y = 34;
x – y = 8
1
2
x
y
2
3
x
y
43
7
c – b
a
1
2
5
2
3
2
2 1
2
2 2 1
33
2
k
k
+
− ( + ) = −
Unidad 3 Sistemas de ecuaciones
b. x = 118,4 e. x = b –
55c
9
5
b. 1 d. f. 2 h. –1
2
1
2
b. x + x = x = 20
7
2
90
c. x: cantidad para hijo mayor; y: cantidad para hijo
menor; x + y = 56 000; x =
Página 113
1. a. No.
2. a. Para Pilar, la x representa la cantidad de monedas
de $ 100, e y representa la cantidad de monedas
de $ 500. Para Mario, x representa el dinero que
suman todas las monedas de $ 500 e y representa
el dinero que suman todas las monedas de $ 100.
b. x = 20, y = 13
3. a. A b. C.
Página 119
1. a. Solución única: (–5, 4).
b. No tiene solución.
c. Tiene infinitas soluciones.
d. Tiene infinitas soluciones.
e. Solución única: (2, –2).
f. No tiene solución.
2. Tres sistemas posibles.
Página 120 (Mi progreso)
1. a. Gráfico 3, con solución (–8, –9).
b. Gráfico 2, con solución (3, –2).
c. Gráfico 4, con solución (–13, –13).
d. Gráfico 1, con solución – , – .
2. a. Falso. c. Verdadero.
b. Verdadero. d. Verdadero.
3. a. Tiene solución, son infinitas soluciones.
b. No tiene solución.
c. Tiene solución única.
Página 122
1. a. (–3, 2) d.  ,  g.  , 
c. – , –  f. (–12, 6)
Todos son sistemas corresponden a rectas secantes,
ya que tienen solución única.
3. Los ángulos son 150 grados y 30 grados.
Página 124
1. a. (1, 1) d. – ,  g.
c. (25, –12) f. – , 
Todos corresponden a rectas secantes porque todos
tienen solución única.
2. Las dimensiones del rectángulo son m y m.
3. Antonia tiene 10 años y Emilia tiene 20 años.
4. Se han usado 100 botellas de dos litros y 20 botellas
de cinco litros.
5. 12 libros de $ 8 000 y 8 libros de $ 12 000.
Página 126
1. a. (9, –12) c. – , –  e.  , 
Todos corresponden a rectas secantes porque todos
tienen solución única.
Página 128
1. a. No son equivalentes, porque tienen distintas
soluciones; el primer sistema tiene solución
 , , mientras que el segundo tiene
b. No son equivalentes, porque tienen distintas
soluciones; el primer sistema tiene solución
 , – , mientras que el segundo tiene
solución (3, –5).
2. a. No tiene solución, ya que la suma de dos números
no puede ser a la vez 1 y 2.
1
24
1
12
1
12
9
20
250
7
100
7
5
2
1
2
y
2
1
2
3
2
5
9
17
9
17
2
29
10
291
370
13
370
1
22
2
33
149
89
141
89
71
9
34
9
b.  , –  e. –1,3, –  h. – ,  2
7
1
14
5
2
16
41
86
41
2. La fracción es 2
3
b.  ,  d. – ,  f. – ,  25
12
7
12
3
4
7
3
2
3
6
35
b. (1, 2) e. – 5 , –  h.
2
3
4


⎝ ⎜

⎠ ⎟
2
4
2
2
,
5
9
7 3
27
, −

⎝ ⎜

⎠ ⎟
solución  , 273 .
178
113
89
b. Sí tiene solución: (0, 1).
c. No tiene solución, ya que al multiplicar la primera
ecuación por 5 se obtiene que una misma suma es
5 y 6 a la vez.
d. Sí tiene solución: (0, 0).
e. Sí tiene solución: 5, – .
f. Sí tiene solución, tiene infinitas soluciones porque
las dos ecuaciones representan la misma recta.
Los sistemas b, d, y e corresponden a rectas
secantes. Los sistemas a y c corresponden a
rectas paralelas distintas, el sistema f corresponde
a rectas paralelas e iguales.
Página 130
La solución del sistema es x = 17,25, y = 27,5. Pero estos
valores no son consistentes con el problema porque, en
este caso, la solución está restringida a números enteros.
Página 132
1. a. – , –  c.  ,  e. (168, 2407)
Página 133 (Mi progreso)
1. a. Sí son equivalentes, ambos tienen la solución (–20, 13).
b. Sí son equivalentes, ambos tienen la solución
 , –16.
3. a.  ,  b. (3, –39) c. (17, 0)
5. a. En este caso, el estudiante tuvo 35 respuestas
correctas y 24 incorrectas.
b. No puede ser solución al problema, ya que en
un examen con alternativas, se considera correcta
o incorrecta, no parcialmente correcta; luego,
la solución no puede tener números decimales.
Páginas 138 y 139 (Síntesis de la Unidad)
1. a. V e. V i. V m.V p. V
b. V f. F j. V n. F q. V
c. V g. V k. V ñ. F
d. F h. V l. V o. F
2. a. x = 54, y = 11
x – y = 34
b. 48 y 96
c. 18, 27 y 36
Páginas 140 y 141
1. D 4. B 7. B 10. C 13. E
2. B 5. A 8. E 11. C
3. C 6. D 9. E 12. B