SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS Y SUS MÉTODOS DE SOLUCIÓN EJEMPLOS RESUELTOS EN PDF

OBJETIVOS :
* Determinarás y explicarás con interés un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
* Resolverás con curiosidad sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas.
* Utilizarás con interés el método gráfico para solucionar problemas de sistemas de ecuaciones
* Determinarás y explicarás el método gráfico y valorarás su importancia al resolver sistemas lineales con dos incógnitas.
* Resolverás con seguridad y precisión el trazo de un sistema de ecuaciones usando el método gráfico.
* Resolverás con seguridad un sistema de dos ecuaciones utilizando el método de sustitución.
* Utilizarás con orden el método de sustitución para solucionar problemas de sistemas de ecuaciones.
* Resolverás con seguridad un sistema de ecuaciones lineales aplicando el método de igualación.
* Utilizarás con interés el método de igualación para solucionar problemas de sistemas de ecuaciones.
* Resolverás con seguridad un sistema de ecuaciones lineales
* aplicando el método de reducción.
* Utilizarás con interés el método de reducción para solucionar problemas de sistemas de ecuaciones.
* Resolverás con seguridad un sistema de ecuaciones lineales, aplicando el método de determinantes.

Métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas, es necesario que obtengas de las dos
ecuaciones que te dan, una sola ecuación con una
incógnita. A esta operación se le conoce como
eliminación. Existen tres métodos de eliminación muy
utilizados, los cuales son:
Método de eliminación por igualación.
Método de eliminación por sustitución.
Método de eliminación por reducción.
Con estos métodos encontrarás el conjunto solución,
que en el método gráfico encontrabas con el punto de
intersección de las líneas rectas de cada ecuación.

Resolución gráfica de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Existen varios métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,
pero el método gráfico que te ayudará a comprender mejor los pares comunes o puntos que satisfacen el sistema.

Por lo tanto, para resolver gráficamente un sistema de
dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se trazan
las gráficas de las dos rectas y luego se “estiman” las
coordenadas del punto de intersección.
Si las dos rectas se cortan, y lo hacen en un único punto
el sistema es consistente.
Si las dos rectas son paralelas y distintas, entonces no
hay punto de intersección y en consecuencia, no hay
solución; el sistema es inconsistente.
Al final el método gráfico utiliza la estimación para saber
las coordenadas del punto de intersección, esto hace que
se pierda precisión; entonces este método solo da una
solución aproximada.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se
resume en las siguientes fases:
Se despeja la incógnita “y” en ambas ecuaciones.
Se encuentran, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, dos puntos.
Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
Sistema compatible o consistente (las rectas se intersecan).
Sistema incompatible o inconsistentes (las rectas son paralelas y distintas)

OPTIMIZACIÓN Y ECUACIONES LINEALES
Un buen día, una fábrica de coches decide
aumentar la fabricación del modelo A y bajar
la del modelo B aunque se pare una parte la
cadena de producción.
¿Por qué se toma esta desición?
Esta pregunta tiene mucho que ver con el
problema de optimización, que consiste en
encontrar puntos de máximo beneficio, costo
mínimo, pérdidas menores posibles. Y para este
tipo de problema cobra mucha importancia las
técnicas de programación lineal, que se dan
en abundancia en los sistemas de ecuaciones
lineales e inecuaciones.

Herramienta para resolver sistemas de 2 ecuaciones con dos variables , para ello debes colocar los coeficientes en los casilleros y luego clickea resolver para obtener los valores de las incognitas

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:

Primero se despeja una incógnita en una ecuación, y después se sustituye el resultado en la otra ecuación. Se puede despejar cualquier incógnita (o la x o la y) en cualquier ecuación (la primera o la segunda), pero siempre hay que sustituir en “la otra”, es decir, si despejamos en la primera ecuación, sustituimos en la segunda, y si despejamos en la segunda, sustituimos en la primera.

MÉTODO DE IGUALACIÓN:

Primero se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones (o las dos x o las dos y) y después se igualan los resultados, obteniendo una sola ecuación con una sola incógnita.

MÉTODO DE REDUCCIÓN:

Primero tenemos que conseguir que una incógnita tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, pero cambiado de signo. Una vez conseguido, se suman las dos ecuaciones y así obtenemos una ecuación con una incógnita.

REGLA DE CRAMER:

La Regla de Cramer (aplicable para sistemas de n ecuaciones con n incógnitas, haciendo uso de determinantes), puede simplificarse para el caso de n=2:
a x + b y = c
d x + e y = f

dando como resultado:

x = (c·e – b·f ) / (a·e – b·d)
y = (a·f – c·d) / (a·e – b·d)
Esto se conoce como la Regla de Cramer.


OBJETIVOS :
– Resaltar la importancia del determinante, como herramienta usual en la resolución del sistema de ecuaciones lineales o reducibles a él.
– Exponer los diversos criterios y métodos para resolver sistemas lineales, y presentar los artificios diversos para analizar los sistemas de grado superior, así como los fraccionarios e irracionales.
– Presentar el análisis gráfico de los sistemas lineales y de algunos sistemas cuadráticos, es de vital importancia para entender, a posteriori, los conceptos básicos del análisis funcional en el plano .
– En este nivel, expondremos por vez primera y de manera sucinta a los sistemas sobre determinados y a los sistemas lineales homogéneos con sus respectivas propiedades.
DEFINICIÓN:
Es aquel conjunto de dos o más ecuaciones que se verifican para los mismos valores de sus incógnitas.
Por ejemplo, las ecuaciones:

Se verifican para x=1 e y=2
Otro ejemplo, las ecuaciones:

Se verifican para:

En este último puede observarse que existen infinitas soluciones.

CONJUNTO SOLUCIÓN DE UN
SISTEMA DE ECUACIONES
Es el conjunto “S” de pares, ternas, cuaternas, etc. de valores que asumen las incógnitas de las ecuaciones, que tienen la propiedad de verificar simultáneamente a las mismas.
Tomando los ejemplos anteriores, se tiene:
• Del primer sistema:

El conjunto solución es:

• Del segundo sistema:

El conjunto solución admite infinitos pares ordenados en su extensión.
Veamos:

SISTEMA EQUIVALENTES
Son aquellos sistemas de ecuaciones polinomiales que tieniendo formas diferentes, aceptan el mismo conjunto solución.
Por ejemplo, los sistemas de ecuaciones:

Son equivalentes, ya que ambos se verifican para un mismo conjunto solución, el cual es:

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS
DE ECUACIONES
De acuerdo al número de elementos de su conjunto solución S. Estos pueden ser:
1. Sistemas compatibles
Son aquellos que aceptan por lo menos un elemento en su conjunto solución. Debido a esto, se subdividen en:
a. Determinados
Si admiten un número FINITO de elementos en su conjunto solución.
Ejemplo:
Dado el sistema:

Su conjunto solución admite dos elementos, el cual es:

b. Indeterminados
Si admiten un número INFINITO de elementos en su conjunto solución.
Ejemplo:
El sistema mostrado:
3x – 4y – 9z = 2
x+2y – 3z = 4
Admite un conjunto solución de infinitos elementos, el cual es:

2. Sistemas incompatibles
Son aquellos que NO aceptan elemento alguno en su conjunto solución; o en todo caso, su conjunto solución S, es el vacío f.
Ejemplo:
En el sistema racional:

2x – y = 6
El conjunto solución, es el vacio. Es decir:
S =
Para la segunda forma de clasificar a los sistemas, establezcamos primero la siguiente definición:

ECUACIONES INDEPENDIENTES:
Son aquellas ecuaciones polinomiales en las que los coeficientes de las mismas incógnitas, no son proporcionales entre sí.
Por ejemplo las ecuaciones polinómicas:

ya que verifican:
Otro ejemplo las ecuaciones mostradas:

ya que se cumple:
De acuerdo al número de ecuaciones independientes y de incógnitas. Estos pueden ser:
1. Sistemas consistentes
Son aquellas que admiten como conjunto solución, el conjunto NO vacío.

a) Determinados

Por ejemplo en el sistema:

(2) ecuaciones independientes = (2) incógnitas
b) Indeterminados

Por ejemplo en el sistema:

(2) ecuaciones independientes <(3) incógnitas
c) Sobredeterminados

Por ejemplo en el sistema:

(3) ecuaciones independientes > (2) incógnitas
2. Sistemas inconsistentes
Son aquellos cuyo conjunto solución es el vacío. En este caso, no se puede establecer una relación explícita entre el número de ecuaciones INDEPENDIENTES y el número de incógnitas.
Por ejemplo: el sistema mostrado:
x + 3y = 5
2x + 6y = 7
Es INCONSISTENTE, pero teóricamente no se ajusta a esta forma de clasificación. Debido a que se verifica la proporcionalidad: .
Es decir, las ecuaciones no son independientes.
Otro ejemplo: El sistema sobredeterminado:
3x + y = 7
2x – y = 3
x + 3y = 4

También es INCONSISTENTE. Obsérvese que las ecuaciones son dos a dos, independientes.

RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA
DE ECUACIONES
Es el proceso de transformaciones sucesivas de las ecuaciones del sistema, en otras equivalentes que permitan despejar los valores de las incognitas. Considerando que estas transformaciones son elementales y PERMISIBLES, expondremos a continuación tres propiedades de transformación.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES
DE TRANSFORMACIÓN
1. Si en un sistema de ecuaciones, se sustituye una de ellas por la que resulta de sumarle o restarle miembro a miembro, con otra u otras cualquiera de las restantes, se obtiene un nuevo sistema que será EQUIVALENTE a la inicial. Veamos, los sitemas mostrados:

Son equivalentes.

2. Si en un sistema de ecuaciones, se sustituye una de ellas por la que resulta de multiplicarla por un número real cualquiera (distinto de cero) y sumarla con otra u otras, previamente multiplicadas por números cualesquiera, se obtiene un nuevo sistema, el cual será EQUIVALENTE al inicial.
Veamos los sistemas expuestos:

Son equivalentes

3. Un sistema de ecuaciones se transforma en otro equivalente, cuando se reemplaza a una de las ecuaciones, por otra, obtenida multiplicando (o dividiendo) miembro a miembro por otra u otras del sistema, pero con la condición que ninguna de las soluciones del primero, anulan a los dos miembros de la(s) última(s) ecuacion(es).
Veamos, los sistemas dados:

Son equivalentes.

ANÁLISIS DE LOS SISTEMAS
DE ECUACIONES LINEALES
Denomínese sistema lineal a aquel cuyas ecuaciones conformantes son todas de primer grado.
Para resolver un sistema lineal, se utilizan varios procedimientos, tales como:
– El criterio de la sustitución
– El criterio de la igualación
– El criterio de la reducción
– El criterio de las gráficas
También procedimientos mucho más prácticos:
– Regla de Bezout, de los coeficientes indeterminados.
– Regla de Cramer, de los determinantes.
– Regla de multiplicación en cruz, para sistemas lineales especiales.
Y de los recursos de las matemáticas superiores:
– El criterio analítico de las matrices.
En esta oportunidad, utilizaremos sólo los procedimientos elementales que el nivel de este texto lo exige. Para una próxima edición, expondremos un estudio amplio y detallado de todos los criterios y reglas mencionadas.

ESTUDIO DEL SISTEMA LINEAL
DE 2 INCÓGNITAS: REGLA DE CRAMER
Los valores de las incognitas x e y del sistema lineal adjunto:

Se obtienen a partir de:

Donde los determinantes se definen así:

Ejemplo explicativo
Resolver el sistema lineal:
2x + 5y = 16
7x – 3y = 15
Calculemos por separado los determinantes:

Por Cramer se tiene:

Por lo tanto, el conjunto solución será:

PROPIEDADES DE PROPORCIONALIDAD
Y ANÁLISIS GRÁFICO DE LOS SISTEMAS
LINEALES DE 2 INCÓGNITAS
Se tiene el sistema lineal:
L1 : a1x+b1y=C1
L2 : a2x+b2y=C2
Donde L1 y L2 son las ecuaciones cartesianas de dos rectas ubicadas en el plano XOY. Si éstas se intersectan se tiene:

Donde las coordenadas del punto de intersección P, nos representa la solución del sistema mencionado: x=x0 e y=y0.
Del mismo modo, por Cramer, la solución de dicho sistema lineal es:

Por ello, se dirá que esta solución es ÚNICA, debido a que el conjunto solución:

Pero existen casos en los cuales los determinantes son nulos, y al aplicar la Regla de Cramer, los valores de x e y resultan valores “incomprensibles”. Para aclarar esto, estudiaremos tres casos importantes.
1º SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Si el sistema lineal admite SOLUCIÓN ÚNICA.
Condición:
Se deduce que:
Interpretación geométrica

2. SISTEMA COMPATIBLE
INDETERMINADO
Si el sistema lineal admite INFINITAS soluciones.
Condición:
Se deduce que:
Interpretación geométrica

3. SISTEMA INCOMPATIBLE
Si el sistema lineal NO admite solución alguna.
Condición:
Se deduce que:

Interpretación geométrica

ANÁLISIS DE SISTEMAS
SOBREDETERMINADOS DE 2 INCÓGNITAS
Dado el sistema lineal:
ax + by = c
mx + ny = p
rx + sy = t
y definamos el determinante del sistema ampliado , del siguiente modo:

Al discutir el sistema, se presentan dos casos:
1. Si el sistema lineal es COMPATIBLE
Condición:
2. Si el sistema lineal es INCOMPATIBLE
Condición:
El mismo criterio se aplicará al sistema lineal sobredeterminado de 3 incógnitas:
ax + by + cz = d
mx + ny + pz = q
rx + sy + tz = u
fx + gy + hz = k

SISTEMA LINEAL HOMOGÉNEO
DE 2 INCÓGNITAS
El sistema lineal: ax + by = 0
mx + ny = 0
Se denomina homogéneo, debido a que los términos independientes de las ecuaciones son iguales a cero.
Este sistema siempre es COMPATIBLE, ya que admite por lo menos la solución trivial o impropia.
x = 0 e y = 0.
De esto último, se deducen dos casos a estudiar:
1. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
El sistema homogéneo admite solución única, el cual, es la solución trivial: x = 0 e y = 0.
Condición:
Se deduce que:
Interpretación geométrica

2. SISTEMA COMPATIBLE
INDETERMINADO
El sistema homogéneo admite INFINITAS soluciones a parte de la trivial.
Condición: DS = 0
Se deduce que:
Interpretación geométrica

El mismo criterio se aplicará al sistema lineal homogéneo de 3 incógnitas:
ax + by + cz = 0
mx + ny + pz = 0
rx + sy + tz = 0
El cual siempre es compatible, ya que admite por lo menos la solución trivial:
x = 0 ; y = 0 ; z = 0

ESTUDIO DEL SISTEMA LINEAL
DE 3 INCÓGNITAS
Regla de Cramer
Los valores de las incógnitas x, y y z del sistema lineal adjunto:

Se obtienen a partir de:

Donde los determinantes , se definen así:

Ejemplo explicativo:
Resolver el sistema lineal:
3x + 2y + z = 14
4x – y + 2z = 12
x + 5y – 3z = 10
Mostrando por separado los determinantes y calculándolos por la regla de la estrella:

Por Cramer, se tiene:

Luego, el conjunto solución será:

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