SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de :
* Identificar si dos triángulos son semejantes y plantear la proporcionalidad de lados.

* Diferenciar entre congruencia y semejanza de triángulos.

* Ver la importancia de la semejanza en la geometría y conocer su significado geométrico.

* Conocer el significado geométrico de figuras semejantes y cuerpos en general.

* Aplicar la semejanza de triángulos para calcular las longitudes de sus lados y medidas angulares.

* Reconocer figuras geométricas de uso más frecuente en donde se note semejanza de triángulos y ver la relación adecuada de elementos homólogos.

* Resolver los problemas relacionados con semejanza de triángulos.

Semejanza de triángulos
Dos figuras son semejantes ; si tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, así tendremos que todos los cuadrados son semejantes, todas las circunferencias o todos los triángulos equiláteros son semejantes. Para que dos triángulos sean semejantes se requiere que sus tres ángulos sean respectivamente congruentes y su lados homológos sean proporcionales. Los lados homológos son aquellos que se oponen a los ángulos congruentes.

En la figura tienes el resultado de aplicarle al triángulo ABC las siguientes transformaciones:

Le aplicamos la homotecia y al resultado A’B’C’ lo sometemos a:
1. una traslación.
2. una simetría.
3. un giro.
Obtenemos, de manera respectiva, los triángulos: A1 B1 C1, A2 B2 C2 y A3 B3 C3.
Observamos que en cualqiera de los casos los lados correpondientes son proporcionales y los ángulos no han variado. La razón d eproporcionalidad es la de la homotecia.
¿En algún caso cambia la orientación de la figura?
Diremos que cualquiera de los triángulos resultantes es semejante al ABC.
La semejanza es la transformación del plano que resulta de componer un movimiento y una homotecia. llamaremos razón de semejanza a la razón de la homotecia correspondiente.
PROPIEDAD

La semejanza de triángulos equivale a cualquiera de las siguientes propiedades:
a) Tienen sus ángulos iguales.
b) Tienen los lados correpondientes proporcionales.
c) Tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman.
En particular, de a) se deduce que:
• Si dos triángulos tienen sus lados paralelos o perpendiculares, serán semejantes.
• Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo igual, serán semejantes.
FIGURAS SEMEJANTES
Podemos generalizaar el conceto de semejanza a una figura cualquiera: F y F’ son semejantes si una de ellas se aplica en la otra mediante una homotecia y un movimiento.
De manera intuitiva diremos que dos figuras son semejantes cuando tienen “igual forma”, aunque puedan tener distinto tamaño.

APLICACIONES
• Cálculo de distancias
El problema de la agrimensura está ligado a los conceptos de homotecia y semejanza. Sw atribuyen a Thales de Mileto (s. IV a.C.) las primeras hazañas en el oficio de agrimensor: se cuenta que calculó la altura de una pirámide comparando su sombra con la que determinaba una estaca y que calculó la distancia a que se encontraba un barco de la costa.
Fernado se coloca con una estaca para comparar su sombra con la del edificio del instituto. A continuación, su amiga Teresa comprueba que la distancia desde el final de la sombra hasta la base de la estaca es de 2’45m. y hasta la base del edificio de 13’1m. Como sabemos que la longitud de la estaca es de 3m. podremos calcular la altura del edificio:
Como los triángulos ABC y A’B’C tienen sus lados paralelos son semejantes y, por lo tanto, tendrán sus lados homólogos proporcionales:

Mide unos 16m.

• Semejanza y escalas
Los planos muestran dibujos que son representaciones semejantes de la realidad que se estudia. La razón de semejanza es lo que se conoce como escala del dibujo.
El plano de la figura es semejante a la distribución real de una vivienda. Sabiendo que la terraza tiene una anchura de 2m:
a) Calcula los m2 que tiene cada habitación.
b) Tenemos, para el salón, un mueble de 50cm. de fondo y 3m. de longitud, dos tresillos de 0,8m. de fondo por 2m. de largo, una mesa baja de 60 × 120, do sillones de orejas que ocupan 0,8m2, una mesa circular de 120cm. de diámetro y dos sillas de brazos que ocupan un poco menos que los sillones de orejas. Distribuye los muebles en el salón utilizando la misma escala y decide si hemos de buscar otro apartamento con un salón más amplio.

TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma, es decir, los ángulos de uno son congruentes con los ángulos del otro respectivamente y sus segmentos homólogos son proporcionales.
Son lados homólogos aquellos que se oponen en uno y otro triángulo a los ángulos que. son respectivamente congruentes. así como también. las líneas notables que parten de los vértices de estos ángulos. Son homólogos también los radios de las circunferencias inscritas, circunscritas, ex – inscritas, etc.

Si: DABC ~ DDEF

Donde k: razón de semejanza

TEOREMAS DE SEMEJANZA
Primer Teorema
Dos triángulos son semejantes si dos ángulos del primero son congruentes a dos ángulos del segundo.

Segundo Teorema
Dos triángulos son semejantes si dos lados del primero son proporcionales a los lados del segundo y los ángulos formados por dichos lados son congruentes.

Tercer Teorema
Dos triángulos son semejantes si los tres lados del primero son proporcionales a los lados del segundo.

1.

2.

TEOREMAS
1.

Corolario:

2.

3. Cálculo de la medida del lado de un cuadrado inscrito en un triángulo, si uno de los lados del cuadrado descansa en la base del triángulo.

4.

5.
6. En todo triángulo el producto de las medidas de dos lados es igual al producto de las medidas del diámetro de la circunferencia circunscrita y la altura relativa al tercer lado.

R: Circunradio

7.
Si: “T” es punto de tangencia, es secante.

Si: “T” es punto de tangencia

1. Si los lados de un triángulo miden 15, 18 y 24 y el lado menor de un tirángulo semejante al primero mide 6, calcule la medida del lado mayor del último triángulo.
A) 9,8 B) 9,6 C) 8,5
D) 8,8 E) 9,5

2. En la figura, calcule la longitud del lado del menor cuadrado.

3. En la figura, PQRS es un cuadrado. calcule QR si AC = 12 y BM = 8.

C) D) E)

5. En la figura, calcule x.

6. En la figura, HC = 2 (HA) = 4 y BD = 3 (DH). calcule EF.

A) 1 B) 2 C)
D) E)

7. En la figura, AD = DB = 5, AE = EC y BC = 4. Calcule AE.

A) 7,6 B) 3,2 C) 2
D) E)

8. En un trapecio isósceles ABCD, , se inscribe una circunferencia y BC = 6 y AD = 10. Calcule la longitud del segmento que une los puntos laterales de tangencia.
A) 9,5 B) 6,5 C) 7,5
D) 8,5 E) 10,5

9. En la figura, T es punto de tangencia, PM = 4 y MT = 1. Calcule OM.

A) 8 B) 2 C) 3
D) E)

10. En la figura, A y B son puntos de tangencia.
CH = 3 y BC = · (AP). Calcule PQ.

A) B) C) D) E)