SECTOR CIRCULAR PROBLEMAS RESUELTOS DE TRIGONOMETRIA NIVEL UNI

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oBJETIVOs :
* Usar correctamente las fórmulas para el cálculo de la superficie de un sector circular.
* Interpretar los ejercicios que contienen condiciones en forma literal sobre sector circular.
INTRODUCCIÓN :
El profano confunde a menudo circunferencia con círculo. Para no caer en dicho error, siempre hay que tener en cuenta que la circunferencia es una línea y no una superficie. Un ejemplo de aquella es una llanta de bicicleta vista de perfil.

sector circular
Se denomina sector circular al área de la porción de círculo comprendida entre un arco de circunferencia y sus respectivos radios delimitadores. Para tener un sector circular hacen falta dos parámetros, a saber: el radio y el ángulo central en grados.
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
A la porción sombreada de la figura, se denomina sector circular. Si es el ángulo central expresado en radianes, de una circunferencia de radio r y si “S” denota el área de un sector circular subtendido por .

Dado el sector circular AOB de ángulo central AOB , de medida q rad , radio r y arco AB de longitud L , se puede calcular su superficie de la siguiente manera:

Por regla de tres :

Entonces:
También por longitud de arco, se tiene: de donde se obtiene las siguientes relaciones:

observación :
En la primera fórmula si hacemos tenemos que el área del círculo es .
propiedad :

TRAPECIO CIRCULAR

* Bases del trapecio:

* Separación de bases:
* Para que el trapecio exista , se debe cumplir:

ÁREA DE TRAPECIO CIRCULAR (S )

ÁNGULO CENTRAL

OTRAS FORMAS DE CALCULAR EL ÁREA DEL TRAPECIO :
*En función de los radios y el ángulo central:

* En función de las bases y el ángulo central

PROBLEMA 1:
En un sector circular el radio mide 4 m y el arco correspondiente mide . ¿Cuál es el área del sector?

Resolución :
* Graficando, reconocemos los siguientes datos:

* Luego, usamos:
* Reemplazando:
rpta : ‘‘a’’
problema 2:
Calcular el área de un sector circular cuyo ángulo central mide 40g y su radio mide 10 m.

Resolución :
* Graficando, notamos que el ángulo no está expresado en radianes, por lo que el primer paso será :

* Reconociendo datos :
* Luego usamos :

rpta : ‘‘b’’
problema 3:
Calcular el área del sector circular mostrado.

Resolución :
* Convertimos 30° a radianes :
* El número de radianes es :

* La longitud del radio es :
* Aplicamos la fórmula :

el área del sector circular es:
rpta : ‘‘b’’
problema 4 :
En un sector circular el ángulo central mide 20° y el arco correspondiente mide . ¿Cuál es el área del sector circular?

Resolución :
* Graficando, notamos que el ángulo central no está expresado en radianes, así que :

* reconociendo datos:
usaremos entonces la fórmula :

* Reduciendo, queda :
rpta : ‘‘d’’
problema 5:
Un satélite describe una órbita circular alrededor de la tierra, a una altura de 572 kilómetros. En un cierto intervalo de tiempo, su radio vector (origen en el centro de la tierra), genera ángulo de 100°. ¿Cuál es el área de la región barrida por el radio vector? Considerar el radio de la tierra igual a 6 376 kilómetros.

Resolución :
* Graficando tenemos:

* : Es el ángulo central cuya medida en grados es 100, convirtiendo a radianes dicha medida se obtiene:

*Entonces de la relación : ; donde r=R+d
* Se tiene :
* Por consiguiente :
rpta : ‘‘d’’
problema 6:
De la figura , hallar el área de la región sombreada :

A)12m2
B) 6 m2
C) 8 m2
D) 10 m2
E) 12 m2

Resolución :
* Debemos recordar que en un Trapecio circular :

* Aplicando la fórmula :

rpta : ‘‘e’’

problema 7:
En un sector circular de área , se reduce el ángulo a su mitad y el radio se duplica, obteniéndose un nuevo sector circular cuya área es:

Resolución :
* Situación inicial:

* Aplicamos:

* Situación final :
* Aplicamos:

rpta : ‘‘b’’

problema 8 :
En un sector circular el ángulo central mide 40° y en otro sector circular del mismo radio, el ángulo central mide 36°. Siendo ‘‘S1’’ y ‘‘S2’’ las áreas de los sectores circulares mencionados respectivamente, calcular:

Resolución :
* Para el primer sector:

* Usamos la fórmula :

* Para el segundo sector :

* Usamos la fórmula :

* Luego piden :

RPTA : ‘‘c’’
Otro Método :
Como tienen el mismo radio, entonces se puede aplicar la propiedad :

problema 9 :
De la figura: Si AOB y COD son sectores circulares. Hallar el área de la región limitada por ABCD (en u2)

A) 4(x+1)
B) 4x+2
C) 4x+3
D 4x+4
E) 4x+5

Resolución :
* Considerándolo el ángulo central, se obtendrá :

* En el gráfico :

* Ahora en el trapecio sombreado :

rpta : ‘‘a’’
problema 10:
Dada la figura , determinar el perímetro del sector circular COD , sabiendo además que el área de la región limitada por el trapecio circular es .

Resolución :
* Del enunciado :

* Resolviendo :x=3
* Ahora consideramos que :

* Se pide el perímetro de COD, el cual será:

rpta : ‘‘E’’
problema 11:
Del gráfico DQC, CPA y AOB, son sectores circulares. Además
;

se pide determinar:

Resolución :
* Graficando :

* Del sector AOB :
* Del sector PCA :
* De , se obtendrá :
* Ahora :

* De lo último se obtendrá :

rpta : ‘‘B’’
PROBLEMA 12 :
En el gráfico mostreado , y el área de la región sombreada es igual el área de la región no sombreada . Halle :
* AOD y EOF son sectores circulares

Resolución :
* Graficando :

* Por dato :

* Operando :

rpta : ‘‘D’’
PROBLEMA 13 :
Del gráfico adjunto :

determine
A) 58 B) 59 C) 60 D) 61 E) 62
Resolución :
* Del gráfico :

rpta : ‘‘D’’
problema 14 :
Un molinete de riego tiene un alcance de 12 m y un ángulo de giro de 135°. Calcular el área (en m2) del sector circular mojado por el molinete . Usar
A)161,56 B)163,56 C)165,56 D)167,56 E)169.56
resolución:
*El área de la región sombreada representa el área mojada por el molinete.

rpta : ‘‘e’’

problema 15 :
En la figura se tiene un ángulo central de medida radianes y arcos de longitudes ‘‘b’’ y ‘‘c’’ respectivamente. Entonces el área de la región sombreada mide :

resolución:
* Por teoria:

* En el gráfico :
* De donde :

rpta : ‘‘A’’
problema 16 :
Hallar el radio del sector COD

resolución:
Primero:
* Ahora aplicamos :

rpta : ‘‘A’’
PROBLEMA 17 :
El área de un sector circular es de 4m2, su perímetro es de 8 m. Determinar el radio.
A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m
Resolución :
* Del perímetro se deduce que :

2R+L=8

* Ahora del área:

* Reemplazamos (I) en (II) :

rpta : ‘‘B’’

PROBLEMA 18:
Halle el área de la región sombreada , siendo AOB y POQ sectores circulares , además OM=O1Q

Resolución :
* Completando datos en el gráfico :

* De donde se deduce que :

rpta : ‘‘C’’

PROBLEMA 19 :
Calcular el área máxima del trapecio circular de perímetro “p”.

Resolución :
* Graficando :

* Por dato :

* Además :

* Reemplazando (I) en (II) :

* Tratando de completar cuadrados:

‘‘S’’ será máxima, si es mínimo, es decir:

rpta : ‘‘A’’
problema 20:
Hallar el perímetro mínimo de un sector circular de área constante igual a 16 m2.
A) 12 m B) 16 m C) 20 m D) 18 m E) 6 m
Resolución :
* Graficando : * Por dato:

Área =16m2

* Se pide el perímetro :

* Reemplazando (I) en (II):

* Pero por desigualdades tenemos :

* Luego :
rpta : ‘‘B’’
PROBLEMA 21:
De la figura, si:

Hallar (O es centro y 2BC=OC=OD)

Resolución :
* Graficando :

* Dato :

* Sabemos que el área para un sector circular se calcula : Área

* Reemplazando en I :

rpta : ‘‘B’’
PROBLEMA 22:
Del gráfico, dados los sectores circulares, calcular el área sombreada . Datos :

Resolución :
* Graficando :

* Dato:

* Entonces :

rpta : ‘‘D’’
PROBLEMA 23 :
De la figura mostrada, siL2=3L1;
además:, P y Q son puntos de tangencia, . Determine S1+S2

RESOLUCIÓN :

*Del gráfico:
Pero:
RPTA : ‘‘a’’
PROBLEMA 24 :
En la figura mostrada AOB, COD, EOF son sectores circulares,=a,determine el área de la región sombreada en función de , a y b.

RESOLUCIÓN :

Del gráfico:

Recordemos que: en (I)

RPTA : ‘‘c’’
PROBLEMA 25 :
La regadora que se muestran en el gráfico gira un ángulo de 60° . Si tiene un alcance máximo de 4m y un alcance mínimo de 1m ; ¿cuál es el área de la región regada?

A)
B)
C)
D)
E)

RESOLUCIÓN :
*Graficando :

*Sabemos :

y
*Reemplazando en (I):

RPTA : ‘‘B’’

PROBLEMA 26 :
De la figura mostrada S y 2S son las áreas del sector circular AOB y del trapecio circular ABDC, además unidades.

Entonces , el valor de ,es:

RESOLUCIÓN :

Conocemos que:

RPTA : ‘‘d’’
PROBLEMA 27 :
En el gráfico se muestra una plancha de madera . Si AB = OC = a y DOC es un sector circular , entonces el área de la región sombreada es :

A) B) C) D) E)
RESOLUCIÓN :

*
;

RPTA : ‘‘B’’

Determinar el área de un sector circular de radio 6m y un ángulo central 60°.

Determinar el área de un sector circular cuyo arco mide 8m y su ángulo central correspondiente 3 rad .

Determinar el área de un sector circular de ángulo central 20g y de radio 10m.

Determinar el área de un sector circular de una circunferencia de diámetro 10m y un ángulo central de 12°.

Determinar el área de un sector circular cuyo radio y arco son números enteros consecutivos y de perímetro 16m.
A) 11 m2 B) 12 C) 15 D) 16 E) 17
Determinar el área de la región sombreada.

Determinar el área de la región sombreada (“O” centro).

Determinar el área de la región sombreada.

A)4 m2
B)6
C)7
D)9
E)11
Determinar el área del sector AOB mostrado.

A)4m2
B)6
C)8
D)10
E)12

Si: , Determinar el área del sector

AOB.

Determinar el área de la región sombreada.

A)1 m2
B)2
C)3
D)4
E)5

Si el área del sector mostrado es igual a 20 m2, Determinar .

Determinar el área de la región sombreada.
A)8
B)10
C)12
D)16
E)20
Determinar el área del trapecio circular sombreado.

A)13 u2
B)15
C)17
D)19
E)21

Del gráfico mostrado , Determinar :

A)30 B)32 C)35 D)39 E)42

A un alumno se le pide calcular el área de un sector circular cuyo ángulo central es 2°, pero él describe 2 radianes obteniendo un área A, si el área correcta es B. Determinar : .

El ángulo central de un sector circular es igual a 16° y se desa disminuir en 7° . ¿En cuánto hay que aumentar el radio del sector para que su área no varíe, si su longitud inicial era igual a 27m?
A) 3 m B) 6 C) 9 D) 12 E) 15
Determinar el área de la región sombreada.

Determinar :

A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
Si: , Determinar :

Se tiene un sector circular de radio igual a 2 m. Si el ángulo central que subtiende el arco es 60° , Determinar el área del sector circular.

En la figura se pide determinar el área del círculo mostrado .

En un sector circular el ángulo central mide 30g y el radio 10 cm. ¿Cuál es su área?

En un sector circular, el arco mide y el radio 10 cm. ¿Cuál es su área?

En un sector circular, su área es y su ángulo central mide 40g. ¿Cuánto mide el radio?

El área de un sector circular es. Si duplicamos el radio, sin alterar el ángulo central, se genera un nuevo sector circular cuya área es :

Del gráfico mostrado , Determinar el área de la región sombreada .

Del gráfico , Determinar el área sombreada

Del gráfico , Determinar :

Determinar el área de la región sombreada.

Determine el área de la región sombreada en la figura:

En un sector circular el ángulo central mide 20° y el radio 6m. ¿Cuál es su área?

En un sector circular, el ángulo central mide 40g y el radio 20 cm. ¿Cuánto mide el arco?

En la figura Determinar el área de la región sombreada .

Se tiene un sector circular cuya longitud de arco es numéricamente igual a la mitad del área de un cuadrado cuyo lado es igual al radio del sector. Si el ángulo central expresado en radianes toma su mayor entero posible. ¿Cuánto mide el arco del sector ?
A)12 B) 24 C) 72 D) 48 E) 96
El ángulo central de un sector circular mide 16°, si se quiere disminuir en 7°, ¿en cuánto habrá que agregar el radio del nuevo sector, para que su área no varíe, si el radio inicial era 27 cm?
A) 9 cm B) 3 cm C) 1 cm D) 6 cm E) 7 cm
Determine el área de la región sombreada.
O : centro de los arcos .

A) 12 B) 36 C) 18 D) 24
Determinar el área sombreada :

Si: ; Determinar “x”.

Sabiendo ; calcular “x”. S : Área.

Determinar el área sombreada:

Del gráfico , determinar:

Determinar el área de un sector circular cuyo ángulo central mide 30° y su radio 6cm.
A) cm2 B) 2cm2 C) 3cm2
D) 4cm2 E) 5cm2

Calcular: S1 + S2. (S1 y S2 son áreas)

A) 70m2 B) 48m2 C) 28m2
D) 76m2 E) 38m2

Determinar el área del sector circular:

A) 20m2
B) 40m2
C) 60m2
D) 80m2
E) 100m2

En la figura: Calcular:

A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 5

Calcular el área de la región sombreada si el arco ABC tiene por longitud 8m.

A) 10m2
B) 14m2
C) 18m2
D) 24m2
E) 36m2

A partir de la figura. Determinar el perímetro de la región sombreada:

A)4a
B) 6a
C) 8a
D) 11a
E) 12a

Dado un sector circular si el radio disminuye a la mitad la longitud de arco se duplica. ¿Cómo debe variar el ángulo central para que se cumplan todas las condiciones?
A) Se duplica B) Se triplica
C)Se cuadriplica D) Se quintuplica
E) No se puede determinar
Del sector circular mostrado. Calcular

A) 2m
B) 4m
C) 16m
D) 64m
E) 128m

Calcular «S» (área)

A) 3ab
B) 5ab
C) 2ab
D) ab
E) ab/2

Determinar el área de la región sombreada.

A)35cm2
B)20cm2
C)30cm2
D)40cm2
E)50cm2

Se tiene un sector circular de radio y ángulo central 36°. ¿Cuánto hay que aumentar el ángulo central de dicho sector para que su área no varíe ,si su radio disminuye en un cuarto del anterior?

A) 64° B) 100° C) 36°
D) 20° E) 28°

De la figura, calcular el área de la región sombreada.