RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS PROBLEMAS RESUELTOS NIVEL UNI

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objetivos :
* Relacionar los lados de un triángulo rectángulo mediante las razones trigonométricas .
* Calcular el área de una región triangular por medios trigonométricos .

introducción :
En la antigüedad la arquitectura (pirámides, templos para los dioses,…) exigió un alto grado de precisión. Para medir alturas se basaban en la longitud de la sombra y el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte. En este procedimiento se utilizó una relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, que es lo que conocemos hoy como la relación pitagórica.

Resolver un triángulo cualquiera significa determinar la medida de los tres ángulos interiores y la longitud de sus tres lados. En el caso de un triángulo rectángulo, se resuelve obteniendo los dos ángulos agudos (ya que uno mide 90°) y las longitudes de los tres lados del triángulo rectángulo. Esto se puede hacer si se da como dato la longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo o si se conocen las longitudes de dos de sus lados. Una razón trigonométrica de un ángulo agudo comprende tres cantidades: las longitudes de dos lados y la medida de un ángulo, en consecuencia conociendo dos elementos de los tres podemos determinar el tercero. Por el teorema de Pitágoras, si se conocen dos lados se puede calcular el tercero. Luego se puede hallar cualquier razón trigonométrica de cualquiera de los ángulos desconocidos y consultando una tabla de valores o usando una calculadora, se hallara el valor de dicho ángulo. Luego, una vez conocido éste ángulo agudo se puede encontrar el otro, porque la suma de ellos es 90°.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Hay ciertas longitudes que pueden ser expresadas en términos de otras longitudes y de razones trigonométricas de ángulos agudos ; esto recibe el nombre de resolución de triángulos. A continuación veremos cómo se hallan ciertas longitudes en triángulos donde uno de sus ángulos interiores es un ángulo recto.

CÁLCULO DE LADOS DE
UN TRIÁNGULO RECTáNGULO
Para poder resolver problemas de estos tipos debemos conocer un lado del triángulo rectángulo y un ángulo agudo. Se van a presentar tres casos:
Regla General :

PRIMER CASO :
Conocida la hipotenusa (a) y un ángulo agudo (q) determine “x” e “y” del gráfico adjunto.

* De la figura, por definición:

Ejemplos :

SEGUNDO CASO :
Conocido un ángulo agudo (q) y su cateto adyacente (a), determine “x” e “y” del gráfico mostrado.

*Del gráfico, por definición :

Ejemplos :

TERCER CASO :
Conocido un ángulo agudo (q) y su cateto opuesto (a), determine “x” e “y” del gráfico adjunto.

* De la figura , por definición :

Ejemplos :

Los casos anteriores se reducen a la siguiente regla :

Ejercicios :
* Determinar “x” en cada caso:

ÁREA DE LA REGIÓN
TRIANGULAR (S)
El área de cualquier región triangular esta dado por el semi producto de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos lados .
Así tenemos :

Demostración :

* Por geometría S, se calcula así:
( h: altura relativa al lado b)
* En el triángulo rectángulo sombreado se tiene por resolución de triángulos que: h=asenq.
* Luego :

Ejemplo 1 :
Calcular el área de la región triangular ABC, sabiendo que AB=5cm ; AC=6cm y el ángulo comprendido entre dichos lados es igual a 37°.

Resolución :
* Graficando tenemos :

* Nos piden : S
* De la figura :

Ejemplo 2 :
Halle el área del triángulo isósceles ABC (AB = BC ) mostrado en la siguiente figura: