RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS , LEY DE SENOS , COSENOS Y TANGENTES PROBLEMAS RESUELTOS DE NIVEL UNI PDF

Share Button

OBJETIVOS
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de:
* Determinar las medidas de los elementos básicos de un triángulo, es decir sus tres lados y tres ángulos, a partir de ciertos datos conocido.
* Aplicar el teorema de senos y el teorema de cosenos en la resolución de triángulos oblicuángulos.
* Aplicar el teorema de las proyecciones en la resolución de triángulos oblicuángulos.
CLICK AQUI PARA VER PDF 1   ****
INTRODUCCIÓN :
A todo triángulo que sea diferente a un triángulo rectángulo se le denomina triángulo oblicuángulo.
La resolución de triángulos oblicuángulos es un medio que nos permite calcular en forma sencilla los lados y ángulos del triángulo.
Hay diferentes teoremas o leyes que permiten resolver un triángulo, las cuales se aplican dependiendo de los datos que se tenga del triángulo en estudio.
Para la resolución de triángulos oblicuángulos es importante tener presente los siguientes teoremas:
* Teorema de senos
* Teorema de cosenos
* Teorema de las proyecciones
TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
Un triángulo que no contiene el ángulo recto se denomina ablicuángulo.

* Los elementos básicos de todo triángulo son sus 3 lados y sus 3 ángulos, de los triángulos anteriores los ángulos son “A” ; “B” y “C” y sus lados son: “a” ; “b” y “c”.
* Un triángulo está determinados si se conocen 3 de sus elementos básicos (uno de ellos es necesariamente uno de sus lados).

* El triángulo está determinado, porque se conocen los lados “a”; “b” y “c”.

* El triángulo esta determinado porque se conoce los lados “a” ; “c” y el ángulo “A”.

* El triángulo está determinado, porque se conocen los ángulos “A” ; “B” y lado “a”.

* El triángulo NO está determinado a pesar que se conocen los tres ángulos “A” y; “B” y “C” porque necesariamente se debe conocer un lado.
Ley de senos
«En todo triángulo, las medidas de cada uno de sus lados son directamente proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos y , además , la constante de proporción es el diámetro de la circunferencia circunscrita».

* Del gráfico, se cumple:

Demostración:
Consideraremos un triángulo acutángulo y obtusángulo , y notaremos que las conclusiones son las mismas.

De la figura 1 y 2 en el triángulo rectángulo CDO , se tiene
entonces

Analogamente , obtendremos lo siguiente:

Por lo tanto :

* Además:

donde:
R: cinrcunradio del triángulo ABC
EJEMPLO 1:
En un triángulo ABC se conoce que:

Calcular la longitud del lado AC.
RESOLUCIÓN:
*Recordemos que :
En todo triángulo cada lado es directamente proporcional a los senos de los ángulos opuestos e igual a una constante que viene a ser el diámetro de la circunferencia circunscrita.
* Del triángulo observamos que AC=b , aplicamos la ley de senos, así:

EJEMPLO 2:
En un triángulo ABC , su lado es igual a 4 y la

Calcule la longitud del lado
RESOLUCIÓN:
* En todo triángulo se tiene:

* Por ley de senos:

NOTA :
Cuando en un triángulo se consideran 2 lados y 2 ángulos ( incluyendo la incógnita) se usa la ley de senos.
EJemplo 3 :

Cuando el ángulo de elevación del Sol es 64° un poste telefónico que está inclinado un ángulo de 9° directamente frente al sol forma un sombra de 5,25 m de longitud en terreno horizontal. Calcule la longitud aproximada del poste.
RESOLUCIÓN:

EJemplo 4 :

En terreno plano se encuentra dos puntos P y Q en los lados opuestos de una montaña. Para calcular la distancia entre ellos, un topógrafo escoge un punto R a 50m de P y a continuación determina que el ángulo PRQ 37°. Calcule la distancia de P a Q.
RESOLUCIÓN:
Del gráfico :

observacion :
El caso (LLA) que se aplica a triángulos donde dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos se conocen, se llama caso ambiguo porque la información disponible puede dar lugar a un triángulo, a dos triángulos o a ningún triángulo. Supongamos que nos dan los lados a y b y , con esto mostraremos, en las siguientes figuras, las cuatro posibilidades que hay.

LEY DE COSENOS
“En todo triángulo la medida de cualesquiera de sus lados al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble del producto de dichos lados por el coseno del ángulo que estos forman”.

Cálculos del Coseno en
Función de los Lados del Triángulo
Sabemos por ley de Cosenos:

* En General :
En todo triángulo ABC:

Demostración:
En la figura se ha trazado la altura AD sobre la prolongación de CB

En el triángulo rectángulo ADC, por resolución de triángulos rectángulos tenemos :

Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo ADB tenemos:

Del mismo modo se demuestra los otros dos teoremas
Consecuencia: El coseno de un ángulo se puede expresar en función de los lados, así:

EJEMPLO :
En un triángulo ABC se tiene que:
a=3 , b=4 y C=60°
Calcular la longitud del lado AB.
RESOLUCIÓN :
* Del triángulo observamos que AB = c, aplicamos la ley de cosenos, así:

PROBLEMA 20 :
Las longitudes de los lados de un triángulo miden sec645°u , 5cot2135°u y (sec260°+cot230°)u. Marque la alternativa que corresponde al valor del coseno del menor ángulo.

Resolución :
Piden ; del dato

* A menor lado se opone menor ángulo; luego, por teorema de los cosenos tenemos

RPTA : ‘‘D’’
Nota:
Cuando en un triángulo se considera 3 lados y un ángulo (incluyendo, la incógnita) se usa la ley de cosenos.
ejemplo:
* Según la Ley de Cosenos:

Corolario :
Conociendo los 3 lados de un triángulo podemos hallar sus ángulos internos.

TEOREMA DE LA PROYECCIONES
En cualquier triángulo un lado es igual a la suma de los otros dos multiplicado cada uno por el Coseno del ángulo adyacente al primer lado.

Demostración:
Sea el triángulo ABC :

a =ccosB-bcos(180°-C)
a = ccosB+bcosC
Ejemplo 1 :

En un triángulo ABC, halle ‘‘a’’ si:

resolución:
* Aplicando la proyección sobre el lado ‘‘a’’ tenemos:

* Reemplazando los valores teóricos tenemos:

* Finalmente , operando tenemos:
Ejemplo 2 :
En un triángulo ABC, halle el valor de ‘‘c’’ sabiendo que
Resolución:
* Aplicando la proyección sobre el lado ‘‘c’’ tenemos:

* Reemplazando los valores numéricos tenemos:

Ejemplo 3 :
En un triángulo ABC, simplifique:

Resolución:
Por el Teorema de Senos sabemos que:
b=2RSenB y c=2RSenC Reemplazando en la expresión M se tiene:

* Desarrollando la nueva expresión :

Transformando la suma de senos a producto se tiene:

* Simplificando tenemos: 2RSen(B + C)
Pero como entonces:
Sen(B+C) = SenA
Finalmente:
Teorema de tangentes
(Ley de Tangente)
* Dado un triángulo ABC se cumple:

* De igual forma para los otros lados

Demostración:
*De la ley de senos :

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE LOS SEMIÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO
En todo triángulo ABC, con respecto al ángulo “A” se cumple:

Donde: (semiperímetro)
Bisectriz Interior
Va : Bisectriz interior relativa al lado “a”

* Análogamente:

Bisectriz Exterior

* Análogamente:

MEDIANA
Ma: Mediana raltiva al lado “a”

* De igual forma:

ALTURA
* ha: altura relativa al lado “a”

INRADIO
* Se cumple:

* También:

EXRADIO

ra: ex – radio relativo al lado “a”
* De igual forma:

Expresiones del Perímetro ; Inradio y Exradio en Términos del Circunradio y los Tres Ángulos del Triángulo

ÁREA DE UNA REGIÓN
TRIANGULAR (S)
* Dado el triángulo ABC

* Se cumple:

* Análogamente:

* Otras relaciones :

ÁREAS DE REGIONES
CUADRANGULARES
I) En términos de sus diagonales y el ángulo comprendido entre estas

* Se cumple:

* Donde:
d1 y d2 : diagonales del cuadrilátero ABCD
a : medida del ángulo formado por las diagonales.
(S: área del cuadrilátero ABCD)
II)En términos de sus lados y de sus ángulos opuestos.

* Se cumple:

* Donde: p: semiperímetro

* Además: 0 es la semi-suma de dos ángulos opuestos:

Casos Particulares :
a) Para un cuadrilátero o inscriptible

b)Para un cuadrilátero circunscriptible (a+c =b+d)

c) Para un cuadrilátero bicéntrico (inscriptible y circunscriptible a la vez)
nota :