RELACIONES PROBLEMAS RESUELTOS PARA PROFESORES PDF

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Producto cartesiano, Relaciones,Propiedades de las relaciones binarias, Relación de equivalencia ,Conjunto cociente, Relaciones de orden , Propiedades de los conjuntos,EJERCICIOS RESUELTOS

RELACIONES
1. Producto cartesiano
Vamos a definir un conjunto cuyos elementos se caracterizan por estar
formados por pares de elementos pertenecientes a otros dos conjuntos dados.
Para ayudarnos partimos del siguiente ejemplo intuitivo : Si las butacas
de un local de espectáculos se numerasen correlativamente desde la primera
hasta la última, sería inc6modo y difícil para el espectador que adquiere una
localidad saber si ~sta responde a sus deseos así como encontrar posteriormente
su asiento en la sala; pOr eso las localidades numeradas designan el
asiento por un par de números, el de la fila y el de la butaca en dicha fila .
Así se evita la dificultad apuntada.
DEFINICION. Dados dos conjuntos A y B se lIomo producto cortesíono
O producto de ambos co njuntos A x B al conjunto fvrmudo por todos los
pares ordenados cuyo primero componente pertenece a A y lo segunda O B
A x B ~ I(x. vl lx E A. V E 61
Ejemplo 1_ En el ejemplo propuesto anleriormente si
A – Conjunto de filas en la sala
B – Conjunto de bulacas en una flJa
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Para designar en la fila 8 la butaca número 3 se escribe el par
(8,31
Para designar en la fila 3 la butaca número 8 se escribe el par
(3,81
Dados los coníuntos A = [1, 2, 3) Y B = [m, p) aplicando la definici6n
de producto cartesiano formamos todos los posibles pares ordenados
A x B – 111, mi, 11. pi, (2, mi, 12, pi (3, mI, 13, pll
Cada par es un elemento del producto cartesiano
11 , mi E A x B
11, pi E A x B
(2, mi E A x B
12, pi E A x B
13, mi E A x B
13, pi E A x B
Hay que tener muy en cuenta el orden de colocación de los elementos
ya que
(1, mi ‘” (m, 11
porque (1, m) E A x B y (m, 1) fiÉ- A x B
También se puede formar el producto cartesiano B x A
B x A ~ Ilm,11, (p, 11, 1m, 21, Ip, 21, 1m, 31, Ip, 311
Para representar gráficamente el producto cartesiano A x B sobre unos
ejes cartesianos llevamos el primer conjunto A al eje de las “,X” y el segundo
conjunto B al eje de las «Y” .
p
B
m
(1, p) (2, p)
(1, ro) (2,m)
2
A
AxB
(3,p)
(3, m)
3
3
(m, 3) (p,3)
A 2
(m, 2) (p,2)
1
(m, 1) (p, 1)
m p
B
BxA
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B
Cuando los conjuntos vienen definidos por comprensión su representaci6n
gráfica es:
~ .. “/
//; ” / //:
” “‘;///
A
A
B
B, A
Ejemplo 2. Sea A Ix e Ra.clonales 11 :$ x :$ 41
B “” Iy e RaCionales 11 :$ Y ::s: 31
El producto cartesiano A x B está formado por todos los pares de
números racionales con IlIS condiciones anteriores.
Su representación gráfica es·
3
B 2
1
A
AxB
Lo mismo que hemos definido el producto cartesiano de dos conjuntos.
se puede definir el producto cartesIano de tres conjuntos:
Dados los conjuntos A. B Y e se llama producto cartesiano A x B x e
al con}l.mto formado por todas las ternas ordenadas cuya primera campo”
nente pertenece a A, la segunda a B y la tercera a e
A x B x e = I(x, y , , lIx E A. y E B, , E CI
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Ejemplo 3 . Dados los conjuntos
A – 11. 2. 3. 41 . B – 11 . g . hl y e – le. I1
el producto Cllrtesiano A x B x e es
A x B x e – {(l, f, e), (2, f. e l. (3, f, e), (4 , f, e l. (1, f, i), (2 . f, 1) ,
(3. l. 11. (4. l. 1). (1. g. ej. (2. g. ej. (3. g. ej. (4. g. ej.
11 . g. IJ . 12. g. 11. (3. g. ¡J. 14. g. 1). 11 . h. ej . 12. h. ej .
(3. h. el. 14. h. el . (1 . h. iJ. (2. h. IJ. 13. h. ¡J. 14. h. 1)1
PROPIEDADES
1. No conmutativa. Dados dos conjuntos A y B
AxB:;t:B x A
ya que al definir el producto como pares ordenados
A x B – {Ix. yl lx E A. Y E BI
B x A ~ lIy. xJly E B. x E Al
y siendo (x, y) “* (y, x) .
Por tanto el producto cartesiano no cumple la propiedad conmutativa
Si consideramos los conjuntos A y B del ejemplo 1
A ~ {1. 2. 31 y B – {m , pI
los productos canesianos A x B y B x A son
A x B ~ ((l. m), (1. pJ. (2. mi. (2. pi , 13. mi. (3. pI
B x A = (1m. 11, Ip. 11. 1m. 21. Ip, 21 , 1m. 31. (p. 311
A x B*B x A
Sin embargo el número de elementos o cardinal de A x B y de B x A
es igual
n(A x BI – 6 y n(B x Al ~ 6 ~ n(A x BI – n(B x Al
Se cumple además
n(A) – C.rd (Al ~ 3
n(B) = C.rd (B) ~ 2
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n lA x B) – ea,d lA x B) – ea,d lA) x Ca,d lB) – 3 x 2 – 6
n (B x A) – ea,d (B x A) – ea,d (B) x ea,d lA) – 2 x 3 – 6
2 No es asociativa. Dados tres conjuntos A, B Y e
ya que
lA x BI x e ‘” A x lB x el
(A x B) x e – ([(x, y), ,]1 Ix, y] E A x B, , E C]
A x lB x C) – ([x, (y, ‘)]1 x E A, Iy, ,) E B x C]
Sin embargo hay autores que convienen en denominar que (A x B) x
x e – A x lB x C).
3, Propiedad distributiva del producto cartesiano respecto a la unión de
conjuntos Dados tres conjuntos A, B y e se verifica
A x lB U el – lA x BI U lA x CI
Para demostrarlo procedemos utilizando la propiedad antisímétrica
a) A x (B U C) e lA x B) U lA x e)
{
XEA {XEA
v(x, y) E A x (B U C) ~ ~ _
yEBUC yEBoyEC
{
X E A, Y E B { Ix, y) E A x B
=> o => o =>
x E A, y E e Ix, y) E A x e
~ (x, y) E (A x B) U (A x C)
Todo par perteneciente al primer miembro A x (B U C) también pertenece
al segundo miembro (A x B) U (A xC).
b) (A x B) U (A x C) e A x (B U C)
{
Ix, y) E A x B
v(x, y) E (A x B) U lA x e) ~ o ~
(x, y) E A x C
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{
X E A, Y E B {X E A
= o –
x E A, Y E e y E B o y E e –
{
X E A
– = Ix, y) E A x lB U C)
yEBUe
Todo par perteneciente al segundo miembro (A x Bl U (A x el también
pertenece al primer miembro A x (B U el.
Ejemplo 4 Dados los conjuntos
A – 1m, p . bl , B – fa, e, iJ . e – la , al
Vamos a comprobar que : A x (B U C) – (A x Bl U (A x Cl Hallamos
‘ B U e – la . e , i , 01
A x (8 U C) – fim o al. (p, a). (b, al. (m, eL (p. el , lb, el. {m, ¡¡,
(p, 1). lb. i), (m, ol. (p, o), (b. a l)
A x B -= ¡(m, al, (p. al. (b. al, {m, eJ, (p, ej. (b, el. (m, n, (p, 0,
(b, i) J
A x e “” !(m, al. {p , a}, (b . al , (m, o), (p, o), (b, ol}
(A x Bl U (A x e l – 11m, a), (p, al , (b, a). (m , el, (p, el , (b, eJ ,
(m, i), (p , ¡j. (b. íl . (m. o). (p , o), (b , 0)1
E(ectivamenle
A x lB U e) – lA x B) U lA x C)
4 ProPiedad distributiua del producto cartesiano respecto Q la intersec ción
de conjuntos. Dados tres conjuntos A, B y e se verifica.
A x (B n CI = (A x BI n (A x el
Para demostrarla procedemos utilizando la propiedad anlisimétrica
a) A x lB n C) e lA x B) n lA x C)
.Ix, y) E A x lB n e ) {
XEA { XEA
= yEBne= YEBeYEC~
{
X E A. y E B { Ix, y) E A x B
=> Y – Y =>
x E A, y E C Ix , y) E A x e
– Ix, y) E lA x B) n lA x e)
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Todo par perteneciente al prImer mIembro A x (B. n el también pertenece
al segundo miembro (A x 8l n (A xC).
bl lA x BI n lA x C) e A x lB n el
Vlx. yl E lA x BI n lA x e l ~ {
Ix. yl Ey A
Ix. yl E A
x B – x e
{
X E A. Y E B { X E A ~ { x E A ~
~ x E A: y E e – y E B e y E e y E B n e
~ Ix. yl E A x lB n C)
Todo par perteneciente al segundo miembro (A x Bl n (A x C) también
pertenece al primer miembro A x (B n C)
Ejemplo 5 Dados los conjuntos
A – 1m, p , b] , B ,., la , e, i} , e = la , 01
Vamos a comprobar que: A x (B n C) ‘” (A x BI n (A x el
Hallamos B n e ‘” lal
A x (B n C) – (1m, a) , (p, al. (b. al!
A x B = ({m, a), (p, a), lb, a). (m, e), (p, el, (b, e) , (m, ll, (p , 0,
lb. ;11
A x e – !1m, a), (P. al. lb, al, (m, ol, (p, o), (b , 0) 1
lA x 81 n lA x C) – 11m. al. Ip. al. lb, all
Efec tivamente
A x (B n CI .. lA x SI n lA x CI
5 PropIedad distributiua del producto cartesiano respecto a la dIferenCia
de conjuntos. Dados tres conjuntos A, B y e se verifica
A x lB – ei = lA x Bi – lA x C)
Para demostrarla procedemos utilizando la propiedad antlSimétrica.
al A x lB – el e lA x BI – lA x C)
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‘ti Ix, y} E A x
{
X E A
lB – el ~
y E B – e –
{
X E ” { x E A. Y E B
~ y E B. Y $ e ~ . x E A. Y $ e ~
_ { Ix . yl E A x B
– ~ Ix, yl E lA x BI – lA x C)
Ix, YI $ A x e
Todo par pertenecie_nle al primer miembro A x (B – e) también pertenece
al segundo miembro (A x B) – (A x e)
bl lA x BI – lA x el e A x lB – el
{
Ix, y) E A x B
v~ , 0 E ~ x ~ – ~ x el ~ ~
Ix, YI $ A x e
{
X E A, Y E B {X E A { x E A
~ x E A, Y $ e ~ y E B, Y $ e ~ y E B – e ~
– Ix . y) E A x lB – C)
Todo par perteneciente al se,gundo miembro (A x Bl – (A x el tamb¡
~ n pertenece al primer miembro A x (B – C)
Ejemplo 6 Dados los conjuntas
A – 1m. p, bl , B· l • . • , ji . e – l. , 01
Vamos a comprobar que, A x (B – C) – (A x BI – lA x Cl
Hallamos B – e – le. JI
A x (8 – C) – [{m, el. (P. e), (b. el. (m , 1) , (p. JI . lb. 1)J
A x B – !1m . ~l, (p. a) , lb. a), (m, el. (p. e l. (b, el . (m. il, (p, iJ,
lb, ’11
A x C – {(m . a). (P. al. (b, ,al, (m. o) . (p, o), (b. ol!
Efectivamente
A x (B – C) – fAx B) – (A x Cl
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2. Relaciones
Hasta ahora ha aparecido más de una vez la palabra relaci6n. La hemos
utilizado para hablar de relaciones de pertenencia, de inclusi6n, etc. También
aparece en otros campos de las matemáticas tales como relaci6n de para
e ismo’ de perpendicularidad, etc , incluso en el lenguaje ordinario nos
encontramos con nuevas relaciones de amistad, de parentesco , etc, ¿c6mo
podremos establecer una teoría general de la relaci6n?
Una relaci6n la podemos establecer entre elementos de dos conjuntos o
entre elementos de un mismo conjunto, en este caso relaCionamos los elementos
de un conjunto entre sí
Consideremos el conjunto {p, q, s, tI de rectas del plano y la relación de
perpendicularidad.
—-t———– p
q
Para expresar que la recta p está relacionada con la recta q escribimos
P 1- q
Análogamente
t.lq Y s.lq
Como p no está relacionada con s ponemos: p ./- s.
Podemos generalizar este caso llamando a “” a pues 3 1 E Nla – a x 1
lI’–L_I- – -+
‘/1 : 1 ,
– -¡1f •- – •j _ _ ,1.. _-+’ __ .L
/1 I I I I
. I I I I I
• • o
Ejemplo 2 Si consideramos el conjunto P de las reCias del plano y
la relocl6n CR – -ser perpendiculares_ cumplen la prop’ledad simétnca
ya que dadas dos recias r y s del plano, si r es perpendicular a s tambl~
n s será perpendicular a r
PROPIEDAD ANTISIMETRICA Una relación binaria A – B
PROPIEDAD TRANSITIVA Una relación binaria (R estableCIda entre los
elementos de un conjunto M tiene la propJedad transitiva cuando dados tres
elementos x . y, z si x est6 relacionado con y e y eSl6 relaCionado con z enton
ces x est6 relacionado con z
Si x b (R: a (por ser (R transitiva)
Hemos obtenido que si (a) y (b) tienen al menos un elemento común,
entonces a x E (b)
todo elemento que pertenece a (a) pertenece también a (b) y {a} e (b) .
– En segundo lugar: (b) e (a), para ello
v x E (b) .. x al b y como b
x ~ B, Y E e y E e y E e
;;o (x, y) E (A – Bj x e
4. Demostrar que
(A U B) x e =’ (A x c; u rB x e)
siendo A, B Y e tres subconjuntos
Solución
1) lA U Bi x C e (A x C) U (B x C)
{
XEAUB
‘;'(x, y) E lA U Bl x e =’> ;;o
y E e
{
X E A 6 x E B { X E A , Y E e
… – o “”
y E e x E B , Y E e
{
(x , yl E A x e
… o – {J( , yl E lA x Cl U (B
(x , y) E B x e
xC)
2) (A x el u (o x C) e (A U Bl x e
{
Ix , y) E A x e
\I(X, yl E (A x el u (B x el _ o _
(x , y) E B x e
{
X E A, Y E e { x E A 6 , E 8
– o – _
x E B, Y E e y E e
{
XEAU 8
– ~ (x, y) E (A U 8) x e
y E e
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5. Dado el conjunto F de figuras
Clasifícalo atendiendo a la forma Comprueba en el conjunto que resulta que se
ha efectuado una partición
Soluci6n
Se ha efectuado una partición porque los tres subconjuntos son disjuntos y no
hay ninguna figura que quede fuera de los subconjuntos que se han formado
6. Dado el conjunto F de las figuras del ejercicio anterior y la relación
En caso afirmativo escribir el conjunto ca
ciente y Jos clases de que consta
Solución
Del diagrama se deduce que cumple las propIedades reflexiva , simétrica y transitiva,
dando lugar a una relación de equivalencia siendo las clases de equivalencia
[a, e, dI y lb!
El conjunto cociente es
M/()l – {I’, e di, lb!}
16, En el conjunto de círculos de un plano se consideran diVersas relaciones
entre los círculos e y e’
1) e es exterior a C’
2) C y C’ tienen el mismo centro
3) e y C’ son secantes,
4) e y C’ son ortogonales
Precisar en cada caso, si se trata de una relaci6n de equiValencia o qué propiedades
de las tres cl6sicas se verifican
(Oposici6n E G B. 1977)
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Solución
1) Cumple la propiedad simátrica
2) Cumple la!; propiedades refleKlva. simétrica y tra.nsitiva. es una relación de
equivalencia
3 ) Cumple la propiedad Slmétnca
4) Cumple la propiedad Slmétnca
17. En el conjunto Z de los números enteros se define lo relación
o ~ b ~ a – b = 4
Se pide
J) Comprobar si es uno relación de equipolencia.
2) Hallar las clases de equlpalencio
3) Hallar el conjunto cocie nte
Solución
1) t.R es; una relación de eqUIva lencia por cumplir las propiedades
– R~ lIeK i va a cR a .. a – a – O = 4
– Simé1rica a lJl b -= b b – a “” – (a – b) … 4
– TransitIva Si a ffi b y b al c = a a ffi a # a + a “” 2a – n para
que se cumpla’ n – 1 pues 2a … 1
n=2pues2a-2
no hay más valores pues si: n “” 3 => 3a * 2 V aE N
n-4 … 4a*2 VaEN
La propiedad reflexiva s6lo se cumple cuando n – 1 6 n – 2
2) Propiedad simétrica, a ffi b … b ffi a
, + b
, + b
1
2
3) ProPiedad transitiva’ También se verifica para n – 1 Y n – 2 Para estos
valores es una relaci6n de equivalecia
19. En el conjunto de los múmeros naturales se define la relacI6n
a ffi b # a/b
¿Es ffi relación de orden?
Solución
1) Propiedad reflexiva ala => :1 1 E N I a – 1 x a
2) Propiedad antisimétrica. SI a/b y b/a => a = b
a/b … :1 P E Nlb ‘P}
b/a … :1 q E Nla = bq
“‘0 .. apq … pq – 1 … p – q – 1
luego a = b
3) PrOPiedad transitiva: Si a/b y b/c => ale
a/b … :lpENlb – ap
} ~ e – ‘pq ~ ,je
b/c => :1 q E N le,,”, bq
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4) Propiedad conexa no la cumple porque dados dos números naturales cualesquiera
a y b no tiene porqué cumplir a/b ó b/a.
20_ En Z x Z se establece la siguiente relación
Estudiar/a
(Oposición E G B , 1983)
Solución
Se cumplen las siguientes propiedades
1) Reflexiva” (a, b) ffi (a, b) pues a2 + b2 _ a2 + b2
2) Simétrica Si (a, b) ffi(c, d) … (e, d) ffi(a, b)
3) Transitiva Sí (a, b) ffi(e, d) y (e, d) ffi{e, f) entonces (a, b) ffi(e, f)
En efecto
e2 + f2 se deduce que
Se trata de una relaci6n de equivalencia dando lugar a un conjunto cociente,
estando formada cada clase por todos los pares de números enteros cuya suma de
cuadrados sea igual
Así en la clase (1, 2) están los pares
(-1,2), (1, -2), (-1, -2), (2, 1), (-2, 1), (2, -1) Y (-2, -1)
pues el primer elemento de cada par elevado al cuadrado más el segundo elemento
elevado al cuadrado, en todos los casos vale 5.
21. En el conjunto N de los númerqs natura/es se define /a re/ación de orden
a ffi b ~ a/b
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Dados los conjuntos A = 11. 2, 3, 4, S, 6, 7, 8, 9) Y B = {3, 6, 121.
Hollor.
1 J Cotas superiores de A y de B.
2) Extremos superior e inferior de A y B
3) Máximos y mrnlmos de A y B .
Solucl6n
1) – Cota superior de A: m. c. m (1,2,3,4,5,6,7,8, 9) – 2.520
Luego 2.520 son las cotas superiores de A
– Cota inferior de A – (l)
-Cotas superiores de B: m, c. m. (3, 6, 12) – 12
Luego 12 son las cotas superiores de B
– Cotas inferiores de B – (l, 31
2) Extremo superior de A = 2.520
Extremo inferior de A – 1
Extremo superior de B – 12
Extremo inferior de B “‘” 3
31 Máximo de A no llene
Mínimo de A – 1
Máximo de B – 12
Mínimo de B – 3