RELACIONES METRICAS EN UN TRIANGULO PROBLEMAS RESUELTOS PARA PROFESORES PDF

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Teorema de Thales ,Aplicaciones , Semejanza de triángulos , Teorema
de Pitagoras , Generalización y aplicación del teorema de pitagoras, EJERCICIOS RESUELTOS

1. Teorema de Thales. Aplicaciones
RAZON DE DOS SEGMENTOS. Dados dos segmentos AS y A ‘B’ se
define la razón de dichos segmentos como el número k por el que hay que
multiplicar la longitud del segundo segmento para que nos dé la del primero.
AB _ k
A’B’
Ejemplo 1 Dados los segmentos AS de longitud 2 cm y A’ B’ de
longitud 1 cm
Raz6n “” AB
A’E’
2
= 2
1
SEGMENTOS PROPORCIONALES. Se dice que los segmentos AB,
CD, EF, .. son proporcionales a los A’B’, C’D’, E’F’, si cada uno de
los primeros tiene su correspondiente en los segundos y las razones entre los
segmentos correspondientes son iguales
AB
A’B’
CD
C’D’
EF
E’F’ = k
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Ejemplo 2 Los segmentos AB. CD y EF llenen como longItud
A
c~:I ——~I ~I~——–~I D’ E’ F~
la mitad que los A’ B’, C ‘ D’ y E’ F’
AB
A ‘ B’
CD EF 1
C’D’ E’F’ 2
Los segmentos AB. CD y EF son proporcionales el los A ‘B’, C ‘ D’
y E’F’
SEGMENTOS CORTADOS POR PARALELAS. Supongamos un s;stema
de rectas paralelas que son cortadas por dos secantes.
m m
A A’
B’
Este sistema de paralelas corta a las dos rectas secantes en los puntos A.
B, e, o y A’, R’. e’, D’
Si AB = CD también A’ B’ = C ‘ D’
En efecto trazando por A y por e una paralela a la otra recta secante m’
obtenemos los puntos M y N Y señalando los ángulos 0:, {j, “t Y 0:’ , {j’, “t’ se
tiene :
– Por hipótesis:
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-Por ángulos correspondientes en rectas paralelas cortadas por una secante
Cl’ = a’
Por tanto los dos triángulos con un lado igual y dos ángulos iguales tendrán
también iguales los otros dos lados y el tercer ángulo
AM – CN
Como AA I B I M Y CC I O I N son paralelogramos
AM ~ A’B’ Y CN ~ CD’
y por tanto A’B’ = C’D’
Esto nos permite enunciar el siguiente
Teorema: «Si varias paralelas son cortadas por dos secantes, a segmentos
iguales entre sí de una de estas corresponden segmentos iguales entre sí
de la otra,,_
Acabamos de ver que’
AB ~ CD y A’B’ – C’D’
siendo AB =1= A’B’ Y CD =1= C’D ‘
Sin embargo
AB
A’B’
siempre son proporcionales
= k. ;;C:;;D:.. ,-
CD’ = k
AB CD
A’B’ – C’D’ – k
ya que si AB – CD y A’B’ .., C’D ‘ también
AB CD
A’B’ C’D’
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Ejemplo 3 Sea la figura
A A’
B B ‘
AS ,. se y A’S’ _ C’D’
e
AB
A’B’
3 AB
=~
4 A’B’
Be
B’C’
TEOREMA DE THAlES Si tres o más para/e/as son cortadas por dos
secantes m y m’ , los segmentos determinados por los puntos de intersección
sobre una de ellas m, son proporciona/es a los determinados por los puntos
correspondientes en /0 otra m’
Dicho con otras palabras: .. las paralelas dividen a las secantes en segmentos
proporcionales»,
Sea el punto M perteneciente al segmento AB
m
m
M
B
e
D D’
La paralela a la recta r que contiene a los puntos A y A’ trazada por el
punto M es MM’ siendo M’ un punto del segmento A’ B’
Si AM < AB ~ A'M' < A'B' Si AB - AM + MB ~ A'B' - A'M' + M'B' probando así la ordenación y la suma www.Matematica1.com De este modo AB CD A'B' C'D' Ejemplo 4. Sea la figura B e o B' e AB AC o A'B' .:.;.~~; etc A'C' AB ~ 2u BC - u CD - 3u Al trazar paralelas por los puntos de división de AB y CD el seg" mento A'B' queda dividido en dos partes iguales y el C'D' en tres partes iguales, siendo A'B' = 2u' C'D ' "" 3u ' y B'C' - u' De donde De igual forma ~AD - ~6u - .6?. } A'B' _ 2u' _ ~I A'D' 6u' 6 y así sucesivamente AB A'B' CD C'D' -AB- - A'B' --- AD A'D' DIVISION DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES Sea un segmento AB que queremos dividir en 5 partes iguales Para conseguirlo trazamos una semirrecta cualquiera de origen A y sobre ella se trazan 5 segmentos consecutivos iguales determinando así el extremo M Unimos M con B y www.Matematica1.com por cada punto de división del segmento AM trazamos paralelas a MB Estas paralelas dividen al segmento AB en cinco partes iguales. y/fM /; /1 1 I J S I { I J I I ~ / / I I I I { I I I I J I ¿ J J I 1 J A R' S' T' U' 8 Por el teorema de Thales AR RS ST TU UM ~ ~ AH' H'S' S'T' TU' U'B AR AB 5 ~ AM AH' 1 Ejemplo 5 Dividir un segmento de 7 cm en 10 partes iguales 2. Semejanza de triángulos PARALELA A UN LADO DE UN TRIANGULO. Toda paca/e/a a un la· do de un tri6ngulo determina sobre los otros dos o sus prolongaciones segmentos proporcionales a el/os. www.Matematica1.com Si en un triángulo ABe trazamos una paralela aliado, Be y suponemos trazada otra paralela por el vértice A, se podrá aplicar el Teorema de Thales. Se tendrá AB AO A E B~----------__ ~C AC AE AO OB AE EC AB OB AC EC Recíprocamente: «Si una recta corta a dos lados de un triángulo determinando segmentos proporcionales a ellos, es paralela al tercer lado» Los triángulos ABe y ADE se dice que son semejantes TRIANGULOS SEMEJANTES Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus 6ngu/os respectiuamente iguales y sus lados homólogos proporcionales. D. L. Los triángulos ABe y A' B' C' 8~--------------------~C son semejantes si tienen Á - k AB A'B' 13 - 13' AC A'C' e = e' ángulos iguales BC B'C' lados proporcionales www.Matematica1.com Se escribe 6 6 ABC - A'B'C' Llamamos raz6n de semejanza de dos triángulos semejantes al cociente de [os números que expresan la medida de los lados homólogos. En las figuras dadas AB A'B' BC B'C' AC A'C' 3 2 También: .. La razón de los perímetros de dos triángulos semejantes es igual a la razón de semejanza de los mismos» Llamando k a la razón de semejanza resulta AB A'B' BC B'C' AC A'C' - k AB ~ A'B' k BC ~ B'C' . k AC ~ A'C' k Sumando m a m, AB + BC + AC - k(A'B' + B'C' + A'C') de donde Por tanto AB A'B' c;.iA7B::"":+rC7B~C-,-+'-c'-A-"C""",,- ~ k A'B' + B'C' + A'C' BC B'C' AC A'C' AB + BC + AC ~ -A"'"''''Bc;'=-+-'-,Bco,';;C''-' -'-+~A::"''''C-'-' - = k (razón de semejanza) Cuando la razón de semejanza es 1 los dos triángulos son iguales Por tanto, la igualdad es un caso particular de la semejanza 6 ABC 6 = A'S'C' AC BC { AB ~ A'B' ~ 1 ~ AC ~ A'C' BC ~ B'C' A'C' B'C' www.Matematica1.com La semejanza de triángulos es una reladón de equivalencia por cumplir las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva 1) Reflexiva. Todo triángulo es semejante a sí mIsmo Es el caso particular de la igualdad A 6 ABC - ABC ~ { AB _ BC ~ AC ~ 1 AB BC AC Á - Á. B - B, C>e
6 6 6 6
2) Simétrica· S¡ABC – A’B/C’ también A’B’C’ – ABC
6. 6 L. L-.
3) Transitiva: SiABC – A’B’C’ yA’B’C’ – A”B”C” ~
6 L
~ABC – A”B”C”
Por la primera semejanza
¡ AB
2- 6 A’B’
ABC – A’B’C’ ~
Á ~ Á’
Por la segunda semejanza
A’B’
A’B’C’ – A”BlfC” o:;.
A”B”
AC
~ ~
A’C’
, B ~ B’
A’C’
A”C”
,
BC
B’C’
e ~ e’
B’C’
BlfC” { Á’ – Á” , 8’=8″ , “A , – t”
Por tanto:
Los ángulos: Á ~ Á” , B ~ B” y e ~ e”
y multiplicando m. a. m. cada igualdad
AB
A’B’
x A’B’ .~~
A”B”
AC
A’C’
AB
A”B”
A’C’ BC
x A “C” ~ ~B;;':;;C~’
AC
A”C”
BC
B”C”
B’C’
x~~
B”C”
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Esta relación de equivalencia origina una clasificación de los triángulos por
la relación de semejanza, estando en una misma clase todos los triángulos semejantes
entre sí
PROPIEDAD FUNDAMENTAL Toda paralela a un lado de un triángulo
forma con las rectas a que pertenecen los otros dos un triángulo semejante 01
primero_
Los tres casos que pueden presentar son
___ N-1-_~?’—___ _
” , A A
/
/ ‘lA
/
/
/
~——–~—-~c ~ ~–7 H¡–¿B————–~ H f ,1 I
que
—-‘————“—- M N
L
Como hipótesis en el triángulo ABC es MN I BC y se pretende demostrar
!.\ L
ABC AMN
Para que sean semejantes
1) Los ángulos homólogos han de ser iguales
A=A por común
S – M
C=N
por correspondientes o alternos internos
por correspondientes o alternos internos
2) Los lados homólogos proporcionales
En virtud de la paralela a un lado de un triángulo
~ [‘;
AM
AB
AN
AC
Por tanto ABC – AMN e q d
MN
BC
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Ejemplo 1 En el triángulo ABC la recta MN es paralela aliado BC
Sabiendo que
AB ., 6 cm, Be “” 12 cm, AC = 9 cm y que MN – 4 cm ¿Cuánto
valeAM, AN, MB Y NC?
Se tiene
AB AC BC 6 9 12
-A-M- A–N-M–N~A -M-A~ -N- – -4- – 3
se tiene
AM=~=2cm
3
AN”,,~ – 3cm
3
A
M¡I–“‘:”.N
MB – AB ~ AM = 6 – 2 = 4cm í
NC = AC – AN – 9 – 3 – 6cm Bó—–_-bc
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS. Dados dos triángulos
ABC y A’ B’ C’ construimos sobre el triángulo mayor ABC el triángulo
AB HC H llevando sobre el lado AB el segmento AB” _ A’ B! Y trazando por
B H la paralela B “C H a BC
A A
B ” ¡J ~—“”::’o.!c-
Cualquier criterio que permita afirmar que los triángulos A’ B’ C’ y
AB HC” son iguales nos llevará a la semejanza entre ABC y A’ B’ C’
Primer criterio: «Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y
proporcionales los lados que lo forman».
Si Á = Á’ y
AC A’C’
AB A’B’ 6,
~ ABC
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En efecto :
Los triángulos ASoVC· y A’S ‘ C ‘ son iguales por tener iguales los ángulos
A’ y Á A ‘ B ‘ – AB” por construcción y
por hipótesis. AB A’B’
AC ~ A’C’
Luego : A ‘C’ = AC·
y por Thales: AB”
AB
AC”
AC
Al ser iguales los triángulos AS “C” y A’ B ‘ C· los triángulos ABe y
A’ S ‘e’ son proporcionales
Corolario . «Dos triángulos rectángulos con catetos proporcionales son semejantes
»
Es inmediato porque tiene un ángulo igual que es el recto
Segundo criterio’ “Dos tr¡dngu/os son semejantes cuando tIenen dos
6ngulos respectivamente iguales».
s; Á – Á’ y 1\ ~ 1\’
L L
~ ABC – A ‘B’C’
Los triángulos A’ S’ C’ y AS “C” tienen
fi..= A’ . B” – e’ parser á – s’ y AS” – A’S’ por construcción
Luego los triángulos A’ B ‘e’ y AS”C” son iguales y los triángulos ABe
y A ‘ B’ e’ son semejantes.
Corolario: “Dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo Igual son
semejantes».
Es inmediato porque el otro ángulo es el recto.
Tercer criterio: .Dos tri6ngulos son semejantes cuando tienen s us tres lados
proporCionales»
s; AB – BC A’B’ B’C’
En efecto:
Por hipótesis : AB
A’B’
AC
A’C’
BC
B’C’
L L
~ ABC – A’B’C’
AC
A’C ‘
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Por Thales: AB BC
AB’ – ‘B;';;-Ci:.·
AC
AC
como por construcción A’ B’ – AS ” se tiene
yporlanlo A ‘C’ = AC” y B ‘C ‘ – S”C”
AB
A’B’
AB
AB”
Los triángulos AB “C ~ y A’ S ‘ e ‘ son iguales por tener sus tres lados
iguales y por consiguiente los triángulos ABC y A’ B’ e’ son semejantes
Ejemplo 2_ En el triángulo ABe los lados AB, AC y BC mide n respectivamente
4, 6 y 8 cm . Determinar otro triángulo A’S’C’ seme~nte
al primero cuyo lado A’S’ mide 2.5 cm
{:; {:; Como ABC – A’B’C ‘ AB AC BC ~— — — A’B’ A’ C’ B’C’
4 6 8
2,5 A’ C’ B’C’
de donde A ‘ C’ –
2,5 x 6 – 3,75 B’ C ‘ –
2,5 x 8
4 – 5
y
4
3. Teorema de Pitágoras
PROYECCIONES. Sea el triángulo rectángulo ABe con ángulo recto en
A y sea O el pie de la perpendicular trazada desde A
A
, ,,,b
…. ,-.
B
m
O , ” e
Vamos a considerar las proyecciones de sus catetos AS y AC sobre la hipotenusa
Se.
La proyección del extremo S del caleto AS sobre la hipotenusa es el
mismo punto B.
La proyección del extremo C del caleto AC sobre la hipotenusa es el
mIsmo punto e
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La proyección del punto A extremo común de los catetos AB y AC es el
punto O obtenido al trazar la perpendicular a la hipotenusa desde dicho
punto A.
Las proyecciones de los puntos A, B y C sobre la hipotenusa han determinado
dos segmentos, el BO y el OC
El segmento BD – m es la proyección del cateto AB sobre la hipotenusa
BC.
El segmento AC – n es la proyección del cateto AC sobre la hipotenusa
BC
TEOREMA DE LA ALTURA DE UN TRIANGULO RECTANGULO.
Repitiendo la figura obtenida anteriormente y llamando h a la altura correspondiente
a la hipotenusa
El triángulo rectángulo ABD es semejante al triángulo rectángulo ABC
por tener un áng¡.,110 común, el B
El triángulo rectángulo ACD es semejante al triángulo rectángulo ABC
por tener un ángulo común, el t
Por ser ABO y ADC semejantes al ABC por la propiedad transitiva, ABO
y ADC son semejantes entre sí
En los dos triángulos rectángulos semejantes sus dos hipotenusas son lados
homólogos, en decir AB y AC son homólogos,
Se tiene
AC
AB
DC
AD
AD
BD
despreciando la razón entre las hipotenusas, resulta
o también
DC
AD
n
h
~
AD
BD ~AD’~BD·DC
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Podemos decir : .En todo tri6ngulo rect6ngulo la altura correspondiente a
su hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que la di·
vide ..
Ejemplo 1 La altura de un triángulo rectángulo divide a la hipotenusa
en dos segmentos de longitudes 4 cm y 9 cm ¿Cuánto mide la al·
tura?
h – ~ – .Ji14 “” ,,:16 – 6 cm
TEOREMA DEL CATETO, Los triángulos rectángulos ABC y ABO son
semejantes por tener el ángulo B común.
A
Por tanto
AB BD AD
— ~– =- BC AB AC
resulta
AB _ BD _ AB’ = Be . BD
BC AB
o también
-e- -=m ¿Z=a · m
• e
De igual forma los triángulos rectángulos ABC y ACD son semejantes
por lener el ángulo t común.
Se tiene
AC DC AD
BC = AC = AB
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resulta
AC _ OC ~ AC’ = BC . DC
BC AC
o ta mbi~n
Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección
sobre e lla
Ejemplo 2. En un triángulo rectángulo ABC de hipotenusa
BC – 16 cm la proyección del cateto AB sobre la hipolenusa es 4 cm
¿Cuánto mide el cateto AS? ¿Y el cateto AC? ¿Y la proyecd6n del cateto
AC sobre la hipotenusa?
c -‘¡a-m”,,~ -8cm
n – a – m = 16 – 4 – 12 cm
b – ..Jan – -/12 16 = 8 J3 cm
TEOREMA DE PITAGORAS. En el triángulo rectángulo ABe
A
, b
h
B,”-____ ~—-~”-,~—-~ C
D
por el teorema del cateto se ha obtenido
AB’ -BC BO yAC’ = BC OC (1)
y (2)
sumando m. a m ¡as igualdades de (1)
AB’ + AC’ = BC ‘ BO + BC OC ~ BC (SO + OC) BC’
sumando m a. m las igualdades de (2)
bZ + el _ am + an = airo + n) = a2
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En todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa.
Ejemplo 3. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm y 8
cm ¿Cuánto vale la hipotenusa?
a2 _ b2 + el _ 62 + 82 ‘” 100 => a = 10 cm
La relación obtenida
nos permite calcular la longitud de un lado de un triángulo rectángulo conocidos
los otros dos
a – #’~
b .Ja2 c2
c “‘” .Ja2 b2
Ejemplo 4. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 5 cm y
un cateto 3 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?
32 = -.125 9 – .Jf6 “” 4cm
4. Generalización del Teorema de Pitágoras
CUADRADO DEL LADO OPUESTO A UN ANGULO AGUDO. En todo
triángulo el cuadrado de un lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de uno de
ellos por lo proyección del otro sobre él.
Sea el triángulo ABe en las dos posiciones siguientes
e
e
I—-m—‘
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!jtNtHALlLAUUI~ UtL I .t:U ~U”,”, l)J!. “11 ” U UI\,”, _’
En ambas figuras trazamos la altura CD – h. en la primera el pie de la
perpendicular se encuentra en el lado AS y en el segundo O se haya en la
prolongacl6n de AS.
En el primer caso se han formado dos triángulos rectángulos, el ADC y
CDa permitiéndonos escribir del COS
En el segundo caso se han form ado dos triángulos rectángulos ADC y
CSD, permitiendo escribir del CSO
En los dos casos se llega a que
pero en ambas figuras, del triángulo rectángulo ADC
que sustituido en la expresi6n anterior resulta
c. q . d.
CUADRO DEL LADO OPUESTO A UN ANGULa OBTUSO En todo
triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos más el doble producto de uno de ellos por
la proyección del otro sobre él.
e
1— -0—1
Sea el triángulo ABC en el que la altura es CD – h
En el triángulo rectángulo CSO podemos escribir
a2 ‘” h2 + n2 _ h2 + (m + C)2 = h2 + m2 + CZ + 2 cm
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Por el segundo triángulo rectángulo CDA
que sustituido en la expresión anterior resulta
0 2 = b2 + ¿. + 2 cm c . q . d .
FORMA DE UN TRIANGULO. En virtud de los teoremas anteriores podemos
conocer si un triángulo es rectángulo, acutángulo u obtusángulo.
En todo tri6ngulo el cuadrado del lado opuesto a un 6ngulo ser6 menor,
igualo mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados según
que dicho ángulo seo ogudo, recto u obtuso.
De los teoremas anteriores
-Si el ángulo es agudo
– Si el ángulo es recto : m = O
a2 _b2 +c2
-Si el ángulo es obtuso
Ejemplo 1 Un triángulo tiene de lados 3,6 y 8 cm . ¿Es rectángulo.
acutángulo u ob,tusángulo?
8~ > 32 + 62 luego es ob4usángulo
CALCULO DE LAS MEDIANAS. Sea el triángulo ABC y queremos determinar
la mediana correspondiente al lado a en función de los otros lados
byc
A
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Trazando la mediana m~ y la altura h~ correspondientes al lado a podemos
aplicar a los triángulos AMe y AMB los teoremas anteriores, resultando
sumando m_ a. m
de donde
b2 _ m~ + a’ + 2 -“- MD
4 2
c 2
– ma + a’ 2 -“- MD
4 2
a’ = 2 m! +
2
m~ 2b2 + 2c’ – a’ ~
4
-.f2Fi’ + 2c2 a’ m. – 2
Por análogo razonamiento se obtendría
2
Ejemplo 2. Determinar las tres medianas del triángulo de lados 3, 6
yScm.
../2 . 32 + 2 – 62 8′ .J26 m. ~ cm.
2 2
../2 32 + 2 ‘ 8′ 62 ..;no
m. – — cm.
2 2
..)2 . 61 + 2 . S2 m, 3′ .JI91 ~ cm.
2 2
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CALCULO DE LAS ALTURAS EN FUNCiÓN DE LAS MEDIANAS. S;
en las expresiones del caso anterior
el _ m~ + a’
4
restando m. 8. m. resulta
2 -“- MD
2
2 -“- MD
2
La diferencia de cuadrados de dos lados es igual al doble del tercer lado
por la distancia de su punto medio al píe de la perpendicular correspondiente_
Conocido MD Y la mediana, la altura h. vale
CALCULO DE LAS ALTURAS EN FUNCION DE LOS LADOS. Supongamos
los triángulos ABe en estas dos posiciones
A
,
B?—,o;—~-“\’C
O
En el triángulo ADB
A
, h.
b
B “”—–“‘—–e1 ‘——–1 o
h~ – e2 – BDl (1)
En el triángulo ABe, b es el opuesto a un ángulo agudo y
BD
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sustituyendo en (1)
+ e2 _ b2) 2 = 4a2 e2 _ {a2 + e2 _ b2)2 =
2a 4aZ
{2ae)2 _ {a2 + e2 _ b2)2
4a2 –
_ {2ae + (aZ + e2 – b2)] (2ae _ (aZ + el – b2)) _
4a’
= [(2ae + al + e2) – b2] [b2 _ (aZ + e2 -, 2ae)] =
4a’
!la + el’ – b’l [b’ – (a – el’]
4a’
~+e+~~+e-~~+a-~~-a+~
4a’
llamando p al semiperímetro del triángulo
a+b+e=2p
a + e – b – 2p – 2b ~ 2(p – bl
a + b – e – 2p – 2e ~ 2[p – el
b + e – a = 2p – 2a – 2{p – al
sustituyendo resulta
h~ ~ 2p 2(p – al . 2(p – bl . 2(p – el _ 4p(p – al (p – bl (p
4a2 a2
de donde
h. – ~ ‘;p(p – al (p bl (p el
a
De forma análoga se obtendría
h. ~ _2 ‘;p(p al (p bl (p el
b
h, ~ ~ ‘;p(p al (p bl (p – el
e
– el
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Ejemplo 3. Determinar las alturas del triángulo ABe de lados 10,6 y
Sem
2 h. – 10 .J12(12 lO) (12 6) (12 S) – 4,8 cm
h. 2 – – .J12(12 lO) (12 6) (12 S) – 8 cm
6
2 h, – -S- .J12(12 ID) (12 6) (12 8) – 6 cm
CALCULO DEL AREA EN FUNCION DE LOS LADOS Considerando
el mismo triángulo ABe de las figuras anteriores
1 1 2
A – 2a h. – 2 a a .jp(p a) (p b) (p e) – .jp(p al (p bl (p el
que es la f6rmula de Herón.
Ejemplo 4. Determinar el área de un triángulo de lados 5,7 Y 10 cm
A – .Jp(p a) (p b) (p e) – .J11(11 5) (11 7) (11 10) –
..)264 cm2
5. Aplicaciones del Teorema de Pitágoras
TEOREMA DE LA CUERDA. Una cuerda de una circunferencia es media
proporcional entre el diámetro que parte de uno de sus extremos y su
proyección sobre él.
Sea una cuerda AS sobre la circunferencia. Trazando el diámetro Be y
uniendo A con e se obtiene el triángulo ABe, siendo O el pie de la perpendicular
trazada desde A al diámetro Be, resultando la figura
A
B
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Por el teorema del cateto
e – _m y (~;- = am
• e
Ejemplo 1 En una circunferencia de 5 cm de radio se tlaza una
cuerda cuya proyección sobre la hipotenusa es de 3,6 cm. Calcular la
longitud de la cuerda.
El diámetro es
d-2×5-lOcm
el – .J3.6 x 10 = 6 cm
EN EL TRIANGULO EQUILATERO
a) Triángulo inscrito a una circunferencia: Sea el triángulo equilátero
ABe de lado l inscrito en una circunferencia de radio r
En el triángulo ABH
1,;3
2
Como el centro O es el baricentro
OH = _1 r
2
AH = r + 1
2 r
1,;3
= –~ 3r – 1,;3 ~ 1 = ,;3r
2
lado = .J3 . radio
En un triángulo equlldtero Inscrito en una circunferencia, el lodo es igual
al radio multiplicado por lo raÍl de tres.
– El área del triángulo en función del radio es
A – I x h
2
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– El área del triángulo en función del lado es
– 3
l · “2 v'”3 1
2
=
pJ3
4
Ejemplo 2. Un triángulo equilátero se inscribe en una circunferencia
de radio 5 cm , Calcular su lado y su área
J – J3 ‘ 5cm
A = 3..J3 5′ = 75..J3 cm’
4 4
b) Triángulo circunscrito a una circunferencia: Sea el triángulo equilátero
MMP de lado l’ circunscrito a la circunferencia de radio r.
Mq-____ ,-~A~—–. N
p
Por tanto el lado l’ = 21
El triángulo ABe y el triángulo MNP
son semejantes
AB BC AC 1
= … =
NP MN MP 2
ya que la razón de semejanza es ~
-El lado del triángulo circunscrito: /’ = 2/ = 2r.J3
I’ Xh’
-ATea del triángulo circunscrito: A ..,. :….:~- =
2
21 x 2h
2
Ejemplo 3. Un triángulo equilátero se circunscrIbe a una circunferen cia
de 5 cm de radIo . Calcular el lado y el área
1.” 2r..J3 – 2 x sJ3 – lMcm
A – 3r2.J3 ., 3 x 5z.J3 “‘” 7S../3 cm’
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EN EL CUADRADO
a) Cuadrado inscrito a una circunferencia. Sea el cuadrado ASCD de lado
I inscrito a una circunferencia de radio r .
A Aplicando el Teorema de Pitágoras
J2=r2+r2 _ 2r2
1 = , -/2
El diámetro es la diagonal y aplicando
el Teorema de Pitágoras
d2 _ 12+i2 _ 212
d = 1-/2
El área del cuadrado es: A = P = 2,,2
En un cuadrado inscrito a una circunferencia. el lado es igual al radio
multiplicado por la raíz de dos.
Ejemplo 4. En una circunferencia de radio 5 cm se insc.rlbe un cuadrado.
Cakular el lado y el,srea
1 – r.J2 – 5 V2 cm
A _ IJ _ 2r2 – 2 . 51 _ 50 cmz
b) Cuadrado circunscrito a una circunferencia. Sea el cuadrado MNPQ
de lado l’ circunscrito a la circunferencia de radio r
A
Ellado l’ = 2, – d
ATea = l’ x l’ – 2r X 2r – 4r2 _ d2
En un cuadrado circunscrito a una circunferencia
el lado es igual a su di6metro.
Ejemplo 5. En una circunferencia de radio 5 se circunscribe un cuadrado.
Calcular el lado y el Atea
1-2r-lOcm
A – l’ _ 1()2 – 100 cm!
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EN EL EXAGONO
a) Ex6gono inscrito Q una circunferencia: Sea el exágono de lado 1 inscrito
en la circunferencia de radio r
lado = radio 1 = r
Aplicando el Teorema de Pitágoras
apotema – J 12
– ( + r = + ‘-“3
–,–
A Perímetro x apotema _
rea – –
2
,,/3
2
Ejemplo 6. Determinar el área de un exágono regular inscrito en
una circunferencia de radio 5 cm
,V3 SV3
apotema – — – — cm
2 2
ATea _ _ 3_,’_V3_3 _ e3c.”-,2;S”V3″,3 ~ _7_S_V3_ cm’
2 2 2
b) Ex6gono circunscrito a una circunferencia: Sea el exágono de lado I
circunscrito a una circunferencia de radio r
Area
apotema = radio
Aplicando el Teorema de Pitágoras
]2 = 12
4
= cP,-e~,~¡m::.oe~tr~o’-,x~~a~p~o~te~m-“”a _ 61 x a
2 2
6″
, –
2,
,/3
2
x ,
=
y
6r’
,/3
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Ejemplo 7. Determinar el lado y el área del ex!gono regular circunscrito
a una circunferencIa de radio 5 cm
1 – 2!…. _ ~cm
~ .J3
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EJERCICIOS RESUEL TOS
1. En el triángulo ABC, el ángulo A es dos veces mayor que el B Por el vérti·
ce A se traza la bisectriz que corta alIado opuesto en el punto D. Hallar la distancia
AD en funci6n de los lados del triángulo.
Solución
Trazando la bisectriz del ángulo A corta alIado Be en el punto O
e
D
A~——–_, _______~ ~B
Los triángulos ACD y ABe son semejantes por tener el ángulo e común y el
ángulo CAD igual al B,
Por tanto
AC
AD
BC
AB
AD
b
AD
be
a
a
e
2. Sea el cuadrado ABeD. Uniendo el vértice A con el punto medio del lado
DC y prolongando la línea hasta encontrar la prolongaci6n del lado Be obtendre mos
el triángulo ABE. Calcular su perímetro sabiendo que el lado del cuadrado mi·
de 5 m
Solución
5 C 5
B E
,
5
M
A D
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-Los triángulos ADM y CME son iguales
x “‘” “;52 + 2’52 – 5,59
– Los lados del triángulo ABE son
AS – 5 BE – 10 Y AE – 5,59 x 2 “” 11,18
-El perímetro es: P – 5 + 10 + 11,18 _ 26,18 m
3. En un trapecio isósceles de bases 10 m y 4 m y de altura 4 m se prolongan
los lados no paralelos formando con la base menor un tri6ngulo. Calcular el 6rea de
este último.
Solución
e
Se forman los triángulos rectángulos semejantes CAD y CEM verificándose
CD
AD
CM
EM
4 + x
5
x
=
2
El triángulo tiene de base 10 m y de altura: 4 + x
Area “”
b x h
2
IOx
2
20
3
8
x – –
4 + ~
3
= _10_0 m,
3
3
20 –m
3
4. El perímetro de la base de un cono es 18,6496 cm y su altura 4 cm Corta”
mos dicho cono por un plano que pase por el vértice y uno de los di6metros de Ja
base Calcular los lados del tri6ngulo formado en dicho plano.
Solución
Para conocer un cateto que es el radio de la base, hacemos
L – 2n – 18,6496 … r – 3 “” b
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La altura del cono es el otro cateto h 4 ~ ,
La hipotenusa del triángulo vale
5. La altura correspondiente a la hipotenusa de un tri6ngulo rectángulo es de
4,8 m y su 6rea 24 m~. Hallar el valor de los caletas.
Solución
Area _ oh~¡p~o~t~e~n~u~,.~x~a~l~tu~,,,a
2
cateto x cateto
2
24 _ c4″”8~x,–,,a ~
2
a …. 10
bx, } Afea ‘” —
48 ~ be
} 96 2 – 2b, } ~
b2 + c2 _ 102 100 _ b2 +c2 => 100 _ b2 +C2
… b + e – 14
Luego’
b + ,
14}
bc ~ 48
b – 6yc – 8
=> 196-(b+c)2
6. Un tri6ngulo rectángulo cuyos catetos son 24 m y 10 m. se inscribe en una
circunferencia. Calcular el 6rea del círculo que queda fuera del tri6ngulo
Solución
La hipotenusa del triángulo es el doble del radio
26
2
Afea del círculo = 1ff2 = 11″‘ 132 – 169 11″ m2
Afea del triángulo _ b ~ a _ 24 x 10 _ 120 m2
2
– 13 m
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Area pedida – 16911″ – 120 m2
7. Las dos partes en que divide la altura de un triángulo a la hipotenusa mi·
den 9 y 4 cm. Calcular: 1) Los catetos y 2) El área del círculo círwnscrito al trián·
gula
Solución
1) Por el teorema del cateto
b2 =a m=(9+4)
c% a· n (9 + 4)
9 == 117 => b “”
4 52=>c=
2) El radio es la mitad de la hipotenusa 6,5 cm
10,82 cm
7,21 cm
42,2511″ cm2
8. Calcular 1) El área, 2) Los segmentos que la altura determinan en la hipotenusa
y 3) El radio de la circunjere’lcia circunscrita al triángulo de catetos 3 y
4cm.
Solución
1) Area _ -3 -x _4 _ 6 cm2
2
2) Hipotenusa “” -J32 + 42 = 5 cm
3) Por el teorema del cateto
=>n – -9= 18cm 5 .
m – 5 – 1,8 – 3,2 cm
El radio es la mitad de la hipotenusa – 2,5 cm
9. Sea un trapecio rectángulo de altura 12 cm cuyas diagonales miden 15 cm
y 20 cm
Se pide determinar el área del trapecio
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Solución
b
12
b ..)152 122
8 ,J2O’-‘-12′
A = B + b
2
x a :.
9cm
16 cm
16 + 9
2
x 12 – 150 cm2
10. En una circunferencia que tiene de radio 36 m se traza una cuerda de
48 m. Calcular la longitud que dicha cuerda proyecta sobre uno cualquiera de los
diámetros que pasan por sus extremos.
Soluci6n
A
Por el teorema del cateto
m –
48′
72
72 m “”
– 32 metros
11. Los lados de un triángulo ABC miden respectivamente a = 56 cm,
b = 75yc = 61 cm. Sepide.-
1) Determinar la clase de ángulo que se opone a cada uno de dichos lados.
2) Determinar la medida de la proyecci6n del lado e sobre el b.
3) El área del triángulo.
Solución
1) Se ti~me que
a2 ‘ – e’
4
… 1. (a’
4
13. Calcular el 6rea del tr/6ngulo curvilíneo comprendido entre 3 circunferen·
Clas iguales tangentes exteriores dos a dos y de radio 5 m. Expresar el resultado en
áreos
(Oposici6n E.G.B., 1982)
, ,
~
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Solución
Area triángulo curvilíneo ‘” Area triafigulo equilátero – 3 Area sector –
-1′->”3 -3 ‘ -“-“n =
4 360
-3~
360
– 25>”3 – ~ .- 2
= 25 (-/3 – O.5r)m2 – 0,25 (..J3 – 0,5r) áreas
14. A una circunferencia de radio 10 cm se le inscribe y circunscribe un ex6-
gano regular. Calcu/ar el 6rea comprendida entre los ex6gonos.
Soluci6n
1) Exágono Inscrito:
lado – radio
apotema ‘” J rZ
– ~ – ; .,fj
– -P -x -a 2
fu ” ~>”3
_~2,—_ = .::6:…”_1:;0′,->,”-3,,-3 _ 150 >”3 cm’
2 4
2) Exágono circunscrito
apotema D radio
lado : l’ – r2 +l-‘ –
4
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6 · 2r
Area –
P’xa’ 73 ·r 6 2 lO’ _ 600 cm2 ~
2 2 273 73
31 Area comprendKJa 600
150..J3 – J1 cm2 – 73 –
15. A un exágono de 10 cm de lado se le inscribe y cIrcunscribe una circunfereneJa
Calcular el área de la corona circular correspondiente .
Solución
– Circunferencia circunscrita
A .., ‘ll’Rl _ ’11’ 11 _ T H)Z – 100’11’ cml
– Circunferencia inscrita
31′
4
-Are~ comprE!ndidil – Arp.t’I r.orona circular
3 . 102
4
A – A’ – 10011′” – 7fn; 😮 2511′” cml
16. Hallar la longitud de la bisectriz correspondiente al ángulo recto de un
triángulo rectángulo ABe de calelos b y e
Solucl6n
Dibujan~o el triángulo
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:~ A E B
Se forma el triángulo rectángulo ADE que es isósceles pues
DÁE _ 45″
X2 _ DP + AE’ _ 2 DEl Y DE- x
T2
Los mángulos BDE y SeA son seme;anles, pudiendo escribir
operando .
DE
AC
_X _ c_bc~
.,f2
bx
.J2
EB
AB
x
.,f2
~ –bx
e – -::¡[
e
_ _ x_ lb
.,f2 + el – be: – x …
-be- v,,
b + e
17. En el sector de una circunferencia de radio R se ha inscrito una circunferenCIa
de radio r. La cuerda del sector es 20.
Demostrar que
Solución
lo
E
\
\
,\1”””
R\
\
\
\
\
A
I
I
I
Construyendo la figura y poniendo
letras se forman los ¡riAngulos
rectángulos ABe y AMO que
son semejantes. pudiendo establecerse
la siguiente proporci6n
AC
Be – AD
MD
R,- r – R .
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operando.
aR-ar -Rr -aR ar + Rr
dividiendo por arR resulta
_ 1 + 1
R a
18. Un rombo de forma articulada tiene de lado 7 m, al trazarle la d/Ogonal
menor queda dividido en dos triángulos equiláteros , SI se juntan los vé rtices de la
mayor hasta formar un cuadrado. averIguar
1) El aumento de la diagonal menor
2) La dismmución que ex “>€rimenta la diagonal mayor
3} Lo que ha aumentado el área
Solución
– Area del rombo
A –
– Area del cuadrado
( ~ ) 1 _ 6.06 _ D _ 12.12 m
D x d
Z
_ -I”Z””-I,Z,:;,-cx,–,-7 _ 42.42 m2
Z
DIagonal del cuadrado m _ …)72 + 71 – 9,9
Por tanto
1) Aumento de la diagonal menor ‘ m – d = 9.9 – 7 – 2,9 m
2) Disminución de la diagonal mayor: D – m = 12. 12 – 9,9 – 2,22 m
3) Aumento del área· 49 – 42,42 – 6.58 m2
19. La figura adjunta es un exágono regular de 8 m de lado en el que desde
105 vértices se han trazado circunferencias, Hallar el área de la figura Qsf formada .
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+
So1uclón
Cada uno de los seis círculos tiene de radio 4 m y sólo entra en el dibujo los
2/ 3. pues C