RELACIONES LINEALES Y ANGULARES EJERCICIOS Y DEMOSTRACIONES PDF

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Conjuntos, enunciados y razonamiento , Geometría informal y medición , Primeras defi niciones y postulados , Los ángulos y sus relaciones ,Introducción a la demostración geométrica , Relaciones: Rectas perpendiculares , La demostración formal de un teorema,PERSPECTIVA HISTÓRICA: El desarrollo de la
geometría, PERSPECTIVA DE APLICACIÓN: Patrones ,
RESUMEN , EJERCICIOS DE REPASO , EXAMEN ,
Relaciones lineales y angulares
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CONTENIDO
¡Mágico! En geometría las figuras se pueden trazar a modo de crear
una ilusión. M. C. Escher (1898-1971), un artista conocido por sus complejas
ilusiones ópticas, creó “Waterfall” en 1961. Al analizar con cuidado
la fi gura la atención se concentra en la percepción de que el agua puede fl uir
hacia arriba. Si bien la torre a la izquierda es un piso más alta que la torre a
la derecha, ambas parecen tener la misma altura. Con frecuencia las obras
de Escher hacen que el observador cuestione su razonamiento. Este capítulo
inicia con un análisis de los enunciados y los tipos de razonamiento
utilizados en la geometría. La sección 1.2 se enfoca en las herramientas de
la geometría, como la regla y el transportador. El resto del capítulo inicia el
desarrollo formal y lógico de la geometría considerando las relaciones entre
rectas y ángulos. Cualquier estudiante que necesite un repaso de álgebra
puede consultar algunos temas selectos en los apéndices de este libro. Se
repasan o desarrollan otras técnicas del álgebra junto con temas relacionados
de la geometría y en nuestro sitio web se encuentra una introducción a
la lógica.
1.1 Conjuntos, enunciados y razonamiento
1.2 Geometría informal y medición
1.3 Primeras defi niciones y postulados
1.4 Los ángulos y sus relaciones
1.5 Introducción a la demostración geométrica
1.6 Relaciones: Rectas perpendiculares
1.7 La demostración formal de un teorema
 PERSPECTIVA HISTÓRICA: El desarrollo de la
geometría
 PERSPECTIVA DE APLICACIÓN: Patrones
Un conjunto es cualquier colección de objetos, los cuales se conocen como elementos
del conjunto. El enunciado A = {1, 2, 3} se lee, “A es el conjunto de elementos 1, 2 y 3”.
En geometría las fi guras geométricas como rectas y ángulos en realidad son conjuntos de
puntos.
En A = {1, 2, 3} y B = {números cardinales}, A es un subconjunto de B ya que cada
elemento en A también está en B; en símbolos, A 8 B. En el capítulo 2 se descubrirá que
T = {todos los triángulos} es un subconjunto de P = {todos los polígonos}.
ENUNCIADOS
Un enunciado es un conjunto de palabras y símbolos que de manera conjunta
forman una afirmación que se puede clasificar como verdadera o falsa.
DEFINICIÓN
1.1 Conjuntos, enunciados y razonamiento
CONCEPTOS CLAVE Enunciado
Variable
Conjunción
Disyunción
Negación
Implicación (condicional)
Hipótesis
Conclusión
Intuición
Inducción
Deducción
Argumento (válido y no
válido)
Ley de separación
Conjunto
Subconjunto
Intersección
Unión
Diagrama de Venn
EJEMPLO 1
Clasifi que cada uno de los enunciados siguientes como verdadero, falso o ninguno de
ellos.
1. 4 + 3 = 7
2. Un ángulo tiene dos lados. (Consulte la fi gura 1.1.)
3. Robert E. Lee jugó como parador en corto para los Yankees.
4. 7 6 3 (esto se lee, “7 es menor que 3”).
5. ¡Cuidado!
Solución 1 y 2 son enunciados verdaderos; 3 y 4 son enunciados falsos; el 5 no es
un enunciado. 
Algunos enunciados contienen una o más variables; una variable es una letra que representa
un número. La afi rmación “x + 5 = 6” se denomina sentencia abierta o enunciado
abierto dado que se puede clasifi car como verdadero o falso, dependiendo del valor de
reemplazo de x. Por ejemplo, x + 5 = 6 es verdadero si x = 1; para x diferente de 1, x + 5 = 6
es falso. Algunos enunciados que contienen variables se clasifi can como verdaderos debido
a que son verdaderos para todos los reemplazos. Considere la propiedad conmutativa
de la adición, que suele enunciarse en la forma a + b = b + a. En palabras, esta propiedad
establece que se obtiene el mismo resultado cuando dos números se suman en cualquier
orden; por ejemplo, cuando a = 4 y b = 7, se deduce que 4 + 7 = 7 + 4.
La negación de un enunciado dado P hace una afi rmación opuesta a la del enunciado
original. Si el enunciado dado es verdadero, su negación es falsa y viceversa. Si P es un
enunciado se utiliza ~P (que se lee “no P”) para indicar su negación.
Lado 1
Lado 2
Figura 1.1
Un enunciado compuesto se forma combinando otros enunciados que se utilizan
como “componentes estructurales”. En esos casos se pueden emplear letras como P y
Q para representar enunciados simples. Por ejemplo, la letra P se puede referir al enunciado
“4 + 3 = 7”, y la letra Q al enunciado “Babe Ruth fue un presidente de los Estados
Unidos”. El enunciado “4 + 3 = 7 y Babe Ruth fue un presidente de los Estados Unidos”
tiene la forma P y Q y se conoce como la conjunción de P y Q. El enunciado “4 + 3 = 7
o Babe Ruth fue un presidente de los Estados Unidos” tiene la forma P o Q y se conoce
como la disyunción de P y Q. Una conjunción es verdadera sólo cuando P y Q son ambos
verdaderos. Una disyunción es falsa sólo cuando P y Q son ambos falsos. Consulte las
tablas 1.1 y 1.2.
EJEMPLO 2
De la negación de cada enunciado.
a) 4 + 3 = 7 b) Todos los peces pueden nadar.
Solución
a) 4 + 3 Z 7 (Z signifi ca “no es igual a”).
b) Algunos peces no pueden nadar. (Para negar “Todos los peces pueden nadar”, se
dice que al menos un pez no puede nadar.) 
EJEMPLO 3
Suponga que los enunciados P y Q son verdaderos.
P: 4 + 3 = 7
Q: Un ángulo tiene dos lados.
Clasifi que los enunciados siguientes como verdaderos o falsos.
1. 4 + 3 Z 7 y un ángulo tiene dos lados.
2. 4 + 3 Z 7 o un ángulo tiene dos lados.
Solución El enunciado 1 es falso debido a que la conjunción tiene la forma “F y V”.
El enunciado 2 es verdadero dado que la disyunción tiene la forma “F o V”. 
EJEMPLO 4
Clasifi que cada enunciado condicional como verdadero o falso.
1. Si un animal es un pez, entonces puede nadar. (Establece, “Todos los peces
pueden nadar”.)
2. Si dos lados de un triángulo tienen la misma longitud, entonces dos ángulos del
triángulo tienen la misma medida. (Consulte la fi gura 1.2 en la página 4.)
TABLA 1.1
La conjunción
P Q y Q
V
V
V
V F
F F
V
F
F F F
P
TABLA 1.2
La disyunción
P Q P o Q
V
V
V
V V
V
F V
F
F F F
El enunciado “Si P, entonces Q, conocido como enunciado condicional (o implicación),
se clasifi ca como verdadero o falso como un todo. Un enunciado de esta forma
se puede escribir en formas equivalentes; por ejemplo, el enunciado condicional “Si un
ángulo es un ángulo recto, entonces mide 90 grados” es equivalente al enunciado “Todos
los ángulos rectos miden 90 grados”.
En el enunciado condicional “Si P, entonces Q”, P es la hipótesis y Q es la conclusión.
En el enunciado 2 del ejemplo 4, se tiene:
Hipótesis: Dos lados de un triángulo son iguales en longitud.
Conclusión: Dos ángulos del triángulo son iguales en medida.
Para el enunciado verdadero, “Si P, entonces Q”, la situación hipotética descrita en P
implica la conclusión descrita en Q. Este tipo de enunciado con frecuencia sugiere alguna
forma de razonamiento, por lo que volvemos nuestra atención a este punto.
RAZONAMIENTO
El éxito en el estudio de la geometría requiere un desarrollo de vocabulario, atención a los
detalles y al orden, sustentar afi rmaciones y deducciones. El razonamiento es un proceso
basado en la experiencia y en los principios que permiten llegar a una conclusión. Los
tipos siguientes de razonamiento se utilizan para desarrollar principios matemáticos.
1. Intuición Inspiración que conduce al enunciado de una teoría
2. Inducción Esfuerzo organizado para probar y validar una teoría
3. Deducción Argumento formal que comprueba la teoría probada
 Intuición
Con frecuencia estamos inclinados a pensar y decir “Se me ocurre que…” Con intuición
una súbita iluminación nos permite formular un enunciado sin aplicar ningún razonamiento
formal. Cuando usamos la intuición en ocasiones erramos al sacar conclusiones
precipitadas. En una caricatura el personaje que tiene la “idea brillante” (valiéndose de la
intuición) se muestra con una bombilla iluminada sobre su cabeza.
5 pulg 5 pulg
8 pulg
5 pulg 5 pulg
8 pulg
37 37
106
Figura 1.2
3. Si Wendell estudia, entonces recibirá una A en su examen.
Solución Los enunciados 1 y 2 son verdaderos. El enunciado 3 es falso; Wendell puede
estudiar pero no obtener una A. 
GEE
Ejercicios 1-7
EJEMPLO 5
La fi gura 1.3 se denomina pentágono regular debido a que sus cinco lados tienen
longitudes iguales y sus ángulos tienen medidas iguales. ¿Qué supone que sea verdadero
respecto a las longitudes de las rectas discontinuas de B a E y de B a D?
Solución La intuición sugiere que las longitudes de las rectas discontinuas
(conocidas como diagonales del pentágono) son iguales.
NOTA 1: Se puede utilizar una regla para verifi car que esta afi rmación es verdadera.
Las mediciones con una regla se analizan con más detalle en la sección 1.2.
NOTA 2: Aplicando los métodos del capítulo 3, mediante deducción se puede
demostrar que las dos diagonales tienen, en efecto, la misma longitud. 
A
B
C
E D
Figura 1.3
La función que desempeña la intuición al formular pensamientos matemáticos es muy
signifi cativa. Sin embargo, ¡tener una idea no es sufi ciente! Probar una teoría puede conducir
a una revisión de la teoría o incluso a su rechazo total. Si una teoría pasa la prueba
se acerca más a convertirse en ley matemática.
 Inducción
A menudo se utilizan observaciones específi cas y experimentos para obtener una conclusión
general. Este tipo de razonamiento se llama inducción. Como podría esperarse el
proceso de observación/experimentación es común en entornos de laboratorio y clínicos.
Los químicos, físicos, doctores, psicólogos, pronosticadores del clima y muchos otros se
basan en la información recopilada para sacar conclusionesp ¡y nosotros también!
EJEMPLO 6
En una tienda de abarrotes, usted examina varios recipientes de yogur de 8 onzas.
Aunque los sabores y las marcas difi eren, cada recipiente cuesta 75 centavos. ¿Qué
concluiría?
Conclusión En la tienda cada recipiente de yogur de 8 oz cuesta 75 centavos. 
EJEMPLO 7
En una clase de geometría, se le pide medir los tres ángulos interiores de cada uno de
los triángulos en la fi gura 1.4. Usted descubre que los triángulos I, II y IV tienen dos
ángulos (marcados) con medidas iguales. ¿Qué puede concluir?
Conclusión Los triángulos que tienen dos lados de igual longitud también tienen
dos ángulos de igual medida.
II
3 cm 1 cm
3 cm
5 pulg
5 pulg
IV
7 pulg
III
3 pulg
5 pulg
4 pulg
V
6 pies
3 pies
7 pies
4 cm
4 cm
2 cm
I
Figura 1.4
NOTA: Se puede utilizar un transportador para apoyar la conclusión obtenida en el
ejemplo 7. El transportador se estudiará en la sección 1.2. 
Como ya debe saber (consulte la fi gura 1.2), una fi gura con tres rectas se denomina
triángulo.
 Deducción
Deducción es el tipo de razonamiento en el que el conocimiento y la aceptación de
suposiciones seleccionadas garantizan la veracidad de una conclusión particular.
En el ejemplo 8 se ilustrará la forma de un razonamiento deductivo que con mayor
frecuencia se emplea en el desarrollo de la geometría. En esta forma, conocida como
argumento válido, al menos dos enunciados se tratan como hechos; estas suposiciones
se denominan premisas del argumento. Con base en las premisas, debe deducirse una
conclusión particular. Esta forma de deducción se llama ley de separación.
DEFINICIÓN
EJEMPLO 8
Si acepta como verdaderos los siguientes enunciados 1 y 2, ¿qué debe concluir?
1. Si un estudiante juega en el equipo de basquetbol de la preparatoria Rockville,
entonces es un atleta talentoso.
2. Todd juega en el equipo de basquetbol de la preparatoria Rockville.
Conclusión Todd es un atleta talentoso. 
EJEMPLO 9
¿Es válido el siguiente argumento? Suponga que las premisas 1 y 2 son verdaderas.
1. Si está lloviendo, entonces Tim se quedará en casa.
2. Está lloviendo
C. ‹ Tim se quedará en casa.
Para reconocer con más facilidad este patrón para el razonamiento deductivo se utilizan
letras con el fi n de representar enunciados en la generalización siguiente.
LEY DE SEPARACIÓN
Si P y Q representan enunciados simples y suponiendo que los enunciados 1 y 2 son verdaderos.
Entonces un argumento válido que tiene la conclusión C tiene la forma
1. Si P, entonces Qf premisas
2. P
C. ‹ Q } conclusión
NOTA: El símbolo ‹ signifi ca “por lo tanto”.
En la forma anterior el enunciado “si P, entonces Q” con frecuencia se lee “P implica Q”.
Es decir, cuando se sabe que P es verdadero, Q debe serlo también.
ARGUMENTO VÁLIDO ARGUMENTO NO VÁLIDO
1. Si P, entonces Q
2. P
C. ‹ Q
1. Si P, entonces Q
2. Q
C. ‹ P
A lo largo del trabajo en geometría se utilizará el razonamiento deductivo. Por ejemplo,
suponga que se conocen estos dos hechos:
1. Si un ángulo es un ángulo recto, entonces mide 90°.
2. El ángulo A es un ángulo recto.
Entonces se puede concluir
C. El ángulo A mide 90°.
DIAGRAMAS DE VENN
Los conjuntos de objetos con frecuencia se representan mediante fi guras geométricas conocidas
como diagramas de Venn. Su creador, John Venn, fue un inglés que vivió de
1834 a 1923. En un diagrama de Venn cada conjunto se representa con una fi gura cerrada
(limitada), como un círculo o un rectángulo. Si los enunciados P y Q del enunciado
condicional “Si P, entonces Q” están representados por conjuntos de objetos P y Q, respectivamente,
entonces la ley de separación se puede justifi car mediante un argumento
EJEMPLO 10
¿Es válido el argumento siguiente? Suponga que las premisas 1 y 2 son verdaderas.
1. Si una persona vive en Londres, entonces vive en Inglaterra.
2. William vive en Inglaterra.
C. ‹ William vive en Londres.
Conclusión El argumento no es válido. Aquí, P = “Una persona vive en Londres”
y Q = “Una persona vive en Inglaterra”. Por tanto, la forma de este argumento es
1. Si P, entonces Q
2. Q
C. ‹ P
Pero la ley de separación no responde la pregunta “Si Q, ¿entonces qué?” Si bien el
enunciado Q es verdadero, no permite sacar una conclusión válida acerca de P. Por
supuesto, si William vive en Inglaterra, podría vivir en Londres; pero en cambio
podría vivir en Liverpool, Manchester, Coventry o en cualquiera de los innumerables
lugares en Inglaterra. Cada una de estas posibilidades es un contraejemplo que
desaprueba la validez del argumento. Recuerde que el razonamiento deductivo tiene
que ver con alcanzar conclusiones que deben ser verdaderas, dada la veracidad de las
premisas. 
Conclusión El argumento es válido ya que la forma del argumento es
1. Si P, entonces Q
2. P
C. ‹ Q
con P = “está lloviendo” y Q = “Tim se quedará en casa”. 
GEE
Ejercicios 8-12
Advertencia
En el recuadro, el argumento a la
izquierda es válido y basado en
el ejemplo 9. El argumento a la
derecha no es válido; esta forma
se dio en el ejemplo 10.
geométrico. Cuando un diagrama de Venn se utiliza para representar el enunciado “Si P,
entonces Q”, es absolutamente necesario que el círculo P esté dentro del círculo Q; es
decir, P es un subconjunto de Q. (Vea la fi gura 1.5.)
EJEMPLO 11
Utilice diagramas de Venn para comprobar el ejemplo 8.
Solución Sea B = los estudiantes en el equipo de basquetbol de la preparatoria
Rockville.
Sea A = las personas que son atletas talentosos.
Para representar el enunciado “Si es un jugador de basquetbol (B), entonces es un
atleta talentoso (A)”, se muestra B dentro de A. En la fi gura 1.6 se utiliza el punto T
para representar a Todd, una persona en el equipo de basquetbol (T en B). Con el
punto T también en el círculo A, se concluye que “Todd es un atleta talentoso”. 
El enunciado “Si P, entonces Q” en ocasiones se expresa en la forma “Todos los P son Q”.
Por ejemplo, el enunciado condicional de los ejemplos 8 y 11 se puede reescribir “Todos
los jugadores de la preparatoria Rockville son atletas talentosos”. Los diagramas de Venn
también se pueden utilizar para demostrar que el argumento del ejemplo 10 no es válido.
Para demostrar la invalidez del argumento en el ejemplo 10 se debe demostrar que un
objeto en Q puede no estar dentro del círculo P. (Vea la fi gura 1.5.)
Los enunciados compuestos conocidos como conjunción y disyunción también se
pueden relacionar con la intersección y la unión de conjuntos, relaciones que se pueden
ilustrar empleando diagramas de Venn. Para los diagramas de Venn, se supone que los
conjuntos P y Q pueden tener elementos en común. (Vea la fi gura 1.7.)
Los elementos comunes a P y Q forman la intersección de P y Q, que se escribe
P ¨ Q. Este conjunto, P ¨ Q, es el conjunto de todos los elementos en P y Q. Los elementos
que están en P, en Q, o en ambos forman la unión de P y Q, la cual se escribe P ´ Q.
Este conjunto, P ´ Q, es el conjunto de elementos en P o Q.
P
Si P, entonces Q.
Q
T
B
A
Figura 1.5
Figura 1.6
P P Q
(a) P  Q (b) P  Q
Q
Figura 1.7
Descubra
Una encuesta a 100 entusiastas
del deporte en el área de San Luis
muestra que 74 apoyan al equipo
de béisbol de los Cardenales y
58 al equipo de futbol de los
Carneros. Todos los encuestados
apoyan a un equipo, a otro equipo,
o a los dos. ¿Cuántos apoyan a
ambos equipos?
RESPUESTA
32; 74 + 58 – 100
En los ejercicios 1 y 2, ¿cuáles frases son enunciados? Si una
frase es un enunciado, clasifíquela como verdadera o falsa.
1. a) ¿Dónde vive?
b) 4 + 7 Z 5.
c) Washington fue el primer presidente de los Estados
Unidos.
d) x + 3 = 7 cuando x = 5.
2. a) Chicago se localiza en el estado de Illinois.
b) ¡Fuera de aquí!
c) x 6 6 (se lee “x es menor que 6”) cuando x = 10.
d) A Babe Ruth se le recuerda como un gran jugador de
futbol.
Ejercicios 1.1
GEE
Ejercicios 13-15
En los ejercicios 3 y 4 proporcione la negación de cada enunciado.
3. a) Cristóbal Colón cruzó el Océano Atlántico.
b) Todas las bromas son divertidas.
4. a) Nadie me quiere.
b) El ángulo 1 es un ángulo recto.
En los ejercicios 5 al 10 clasifi que cada enunciado como simple,
condicional, si es una conjunción o una disyunción.
5. Si Alicia juega, el equipo de voleibol ganará.
6. Alicia jugó y el equipo ganó.
7. El trofeo del primer lugar es hermoso.
8. Un entero es impar o par.
9. Matthew está jugando como parador en corto.
10. Estará en problemas si no cambia sus modales.
En los ejercicios 11 al 18, establezca las hipótesis y la conclusión
de cada enunciado.
11. Si va al juego, entonces pasará un buen rato.
12. Si dos cuerdas de un círculo tienen longitudes iguales,
entonces los arcos de las cuerdas son congruentes.
13. Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares,
entonces el paralelogramo es un rombo.
14. Si ab
cd
, donde b Z 0 y d Z 0, entonces a ∙ d = b ∙ c.
15. Los ángulos correspondientes son congruentes si dos rectas
paralelas son cortadas por una transversal.
16. Los ángulos verticales son congruentes cuando dos rectas
se intersecan.
17. Todos los cuadrados son rectángulos.
18. Los ángulos base de un triángulo isósceles son congruentes.
En los ejercicios 19 al 24, clasifi que cada enunciado como
verdadero o falso.
19. Si un número es divisible entre 6, entonces es divisible
entre 3.
20. La lluvia es húmeda y la nieve es fría.
21. La lluvia es húmeda o la nieve es fría.
22. Si Jim vive en Idaho, entonces vive en Boise.
23. Los triángulos son redondos o los círculos son cuadrados.
24. Los triángulos son cuadrados o los círculos son redondos.
En los ejercicios 25 al 32, mencione (si lo hay) el tipo de razonamiento
que se usa.
25. Al participar en una búsqueda de huevos de Pascua, Sarah
nota que cada uno de los siete huevos que encontró está
numerado. Sarah concluye que todos los huevos utilizados
para la búsqueda están numerados.
26. Usted entra a su clase de geometría, observa al maestro y
concluye que hoy tendrá un examen.
27. Albert conoce la regla “Si un número se suma a cada lado
de una ecuación, entonces la nueva ecuación tiene la misma
solución que la correspondiente a la ecuación dada”.
Dada la ecuación x – 5 = 7, Albert concluye que x = 12.
28. Usted cree que “Cualquiera que juegue en la liga mayor de
béisbol es un atleta talentoso”. Sabiendo que Duane Gibson
ha sido recién llamado a las ligas mayores, usted concluye
que Duane Gibson es un atleta talentoso.
29. Cuando un hombre esposado es llevado a la estación de
policía usted lo mira y le dice a su amigo: “Ese sujeto me
parece que es culpable”.
30. Al juzgar un proyecto en la Feria de Ciencias, el señor Cange
encuentra que cada uno de los primeros 5 proyectos es
extraordinario y concluye que los 10 serán extraordinarios.
31. Usted conoce la regla “Si una persona vive en el distrito
del Santa Rosa Junior College, entonces esa persona recibirá
una beca en Santa Rosa”. Candance le dice que ella
recibió una beca. Usted concluye que ella vive en el distrito
del Santa Rosa Junior College.
32. Cuando la señora Gibson entra a la sala de espera del doctor,
concluye que será una espera prolongada.
En los ejercicios 33 al 36 utilice la intuición para establecer
una conclusión.
33. Le dicen que los ángulos opuestos que se forman cuando
dos rectas se cruzan son ángulos verticales. En la fi gura, los
ángulos 1 y 2 son ángulos verticales. ¿Cuál es la conclusión?
A
B
M
1 2
Ejercicios 33, 34
34. En la fi gura, el punto M se denomina punto medio del
segmento de recta AB. ¿Cuál es su conclusión?
35. Los dos triángulos que se muestran son semejantes entre
sí. ¿Cuál es su conclusión?
36. Observe (pero no mida) los ángulos siguientes. ¿Cuál es su
conclusión?
3 4
En los ejercicios 37 al 40, utilice la inducción para establecer
una conclusión.
37. Varias películas dirigidas por Lawrence Garrison han
ganado premios de la Academia y muchas otras han recibido
nominaciones. Su última película, Un prisionero de
la sociedad, se estrenará la próxima semana. ¿Cuál es su
conclusión?
38. El lunes Matt le dice: “Andy golpeó a su hermanita hoy
en la escuela”. El martes, Matt le informa: “Andy tiró a la
basura su libro de matemáticas durante la clase”. El miércoles,
Matt le dice: “Como Andy estaba lanzando chícharos
en la cafetería de la escuela, lo enviaron a la ofi cina del
director”. ¿Cuál es su conclusión?
39. Al buscar un salón de clases Tom se detiene en la ofi cina
de un maestro para pedir información. En los libreros de la
ofi cina hay textos titulados Álgebra intermedia, Cálculo,
En geometría los términos punto, recta y plano se describen pero no se defi nen. Otros
conceptos que se aceptan intuitivamente, pero que nunca se defi nen, incluyen la rectitud
de una recta, la llanura de un plano, el concepto de que un punto se encuentra entre otros
dos puntos en una recta, y el concepto de que un punto se encuentra en el interior o en
el exterior de un ángulo. Algunos de los términos que se encuentran en esta sección se
defi nen de manera formal en secciones posteriores de este capítulo 1. Las siguientes son
descripciones de algunos de los términos indefi nidos.
Un punto, que se representa por un punto, tiene ubicación pero no tamaño; es decir,
un punto no tiene dimensiones. Se utiliza una letra cursiva mayúscula para nombrar un
punto. En la fi gura 1.8 se muestran los puntos A, B y C. (Por conveniencia “punto” se
puede abreviar “pto.”.)
El segundo término indefi nido es recta. Una recta es un conjunto infi nito de puntos.
Dados dos puntos cualesquiera en una recta, siempre existe un punto que se encuentra
Geometría moderna, Álgebra lineal y Ecuaciones diferenciales.
¿Cuál es su conclusión?
40. En la casa de un amigo, usted ve varios artículos alimenticios,
incluyendo manzanas, peras, uvas, naranjas y plátanos.
¿Cuál es su conclusión?
En los ejercicios 41 al 50, utilice la deducción para establecer
una conclusión, si es posible.
41. Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90°, entonces
estos ángulos se denominan “complementarios”. El ángulo 1
mide 27° y el ángulo 2 mide 63°. ¿Cuál es su conclusión?
42. Si una persona asiste a la universidad, entonces esa persona
tendrá éxito en la vida. Kathy Jones asiste al Dade County
Community College. ¿Cuál es su conclusión?
43. Todos los maestros de matemáticas tienen un extraño sentido
del humor. Alex es un maestro de matemáticas. ¿Cuál
es su conclusión?
44. Todos los maestros de matemáticas tienen un extraño sentido
del humor. Alex tiene un extraño sentido del humor.
¿Cuál es su conclusión?
45. Si Stewart Powers es electo presidente, entonces cada
familia tendrá un automóvil. Cada familia tiene un automóvil.
¿Cuál es su conclusión?
46. Si Tabby está maullando, entonces tiene hambre. Tabby
tiene hambre. ¿Cuál es su conclusión?
47. Si una persona se involucra en la política, entonces esa persona
estará en la mira del público. June Jesse ha sido electa
al senado del estado de Missouri. ¿Cuál es su conclusión?
48. Si un estudiante se inscribe en un curso de literatura, entonces
esa persona trabajará muy duro. Bram Spiegel cava zanjas
a mano seis días a la semana. ¿Cuál es su conclusión?
49. Si una persona es rica y famosa, entonces esa persona
es feliz. Marilyn es rica y bien conocida. ¿Cuál es su
conclusión?
50. Si usted estudia con ahínco y contrata un tutor, entonces
obtendrá una A en este curso. Usted obtiene una A en este
curso. ¿Cuál es su conclusión?
En los ejercicios 51 al 54, utilice diagramas de Venn para determinar
si el argumento es válido o no válido.
51. (1) Si un animal es un gato, entonces emite un sonido de
“miau”.
(2) Tipper es un gato.
(C) Entonces Tipper emite un sonido de “miau”.
52. (1) Si un animal es un gato, entonces emite un sonido de
“miau”.
(2) Tipper emite un sonido de “miau”.
(C) Entonces Tipper es un gato.
53. (1) Todos los boy scouts están al servicio de los Estados
Unidos de América.
(2) Sean está al servicio de los Estados Unidos de América.
(C) Sean es un boy scout.
54. (1) Todos los boy scouts están al servicio de los Estados
Unidos de América.
(2) Sean es un boy scout.
(C) Sean está al servicio de los Estados Unidos de América.
55. Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 4, 6, 8}, clasifi que cada uno de
los siguientes como verdadero o falso.
(a) A ¨ B = {2}
(b) A ´ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
(c) A 8 B
1.2 Geometría informal y medición
CONCEPTOS CLAVE Punto
Recta
Plano
Puntos colineales
Segmento de recta
Puntos intermedios
Punto medio
Congruencia
Transportador
Paralelo
Bisecar
Intersecar
Perpendicular
Compás
Construcciones
Círculo
Arco
Radio
A
B C
Figura 1.8
entre ellos en esa recta. Las rectas tienen una cualidad de “rectitud” que no se defi ne pero
que se supone. Dados varios puntos en una recta, estos puntos forman una trayectoria
recta. Mientras que un punto no tiene dimensiones, una recta es unidimensional; es decir,
la distancia entre cualesquiera dos puntos en una recta dada se puede medir. La recta AB,
representada de manera simbólica mediante AB
! ! , se extiende infi nitamente en direcciones
opuestas, como lo sugieren las fl echas sobre la recta. Una recta también puede ser representada
por una sola letra minúscula. En las fi guras 1.9(a) y (b) se muestran las rectas AB
y m. Cuando se utiliza una letra minúscula para designar una recta, se omite el símbolo de
recta; es decir, AB
! ! y m pueden designar a la misma recta.
Observe la posición del punto X en AB
! ! en la fi gura 1.9(c). Cuando tres puntos como
A, X y B están sobre la misma recta, se dice que son colineales. En el orden que se muestra,
el cual se simboliza A-X-B o B-X-A, el punto X se dice que está entre A y B.
Cuando no se proporciona un esquema la notación A-B-C signifi ca que estos puntos
son colineales, con B entre A y C. Cuando se proporciona un esquema se supone que todos
los puntos en el esquema que aparecen colineales son colineales, a menos que se indique
lo contrario. En la fi gura 1.9(d) se muestra que A, B y C son colineales, con B entre A y C.
En este momento se introducen de manera informal algunos términos que más adelante
se defi nirán formalmente. Es probable que haya encontrado ya muchas veces los términos
ángulo, triángulo y rectángulo. Un ejemplo de cada uno se muestra en la fi gura 1.10.
A B
(a)
m
(b)
A X B
(c)
A B C
(d)
Figura 1.10
Rectángulo WXYZ
Z Y
W X
(c)
Triángulo DEF
E
D
F
(b)
C
A
1
B
Ángulo ABC
(a)
Utilizando símbolos y abreviaciones nos referimos a las fi guras 1.10(a), (b) y (c)
como /ABC, nDEF y el rectángulo WXYZ, respectivamente. Se debe tener cuidado al
nombrar las fi guras; si bien el ángulo en la fi gura 1.10(a) se puede denominar /CBA, es
incorrecto describir el /ACB debido a que ese orden implica una trayectoria del punto A
al punto C al punto Bp ¡un ángulo distinto! En /ABC, el punto B en el cual convergen
los lados se denomina vértice del ángulo. Como no hay confusión respecto al ángulo
descrito, /ABC también se conoce como /B (utilizando sólo el vértice) o como /1. Los
puntos D, E y F en los cuales convergen los lados del nDEF (también llamados nDFE,
nEFD, etcétera) se denominan vértices (plural de vértice) del triángulo. De manera similar,
W, X, Y y Z son los vértices del rectángulo.
Un segmento de recta es una parte de una recta y consiste en dos puntos distintos
en la recta y todos los puntos entre ellos. (Consulte la fi gura 1.11.) Utilizando símbolos,
el segmento de recta se indica mediante BC; observe que BC es un conjunto de puntos
pero no es un número. Se utiliza BC (omitiendo el símbolo de segmento) para indicar la
longitud de este segmento de recta; así pues, BC es un número. Los lados de un triángulo o
rectángulo son segmentos de recta. Los vértices de un rectángulo se nombran en el orden
que trazan sus lados de segmentos de recta ordenados.
EJEMPLO 1
¿Puede nombrarse el rectángulo en la fi gura 1.10(c) como a) XYZW? b) WYXZ?
Solución
a) Sí, ya que los puntos tomados en este orden trazan la fi gura.
b) No; por ejemplo, WY no es un lado del rectángulo. 
B
C
Figura 1.9
Figura 1.11
MEDICIÓN DE SEGMENTOS DE RECTA
El instrumento que se emplea para medir un segmento de recta es un borde recto graduado
como una regla, una yarda o un metro. En general, el “punto 0” de la regla se coloca en
un extremo del segmento de recta y se localiza la longitud numérica igual al número en el
otro extremo. El segmento de recta RS (RS en símbolos) en la fi gura 1.12 mide 5 centímetros.
Puesto que la longitud de RS se expresa como RS (sin la barra), se escribe RS = 5 cm.
Debido a que los dispositivos de medición fabricados como la regla, la yarda o el
metro pueden no ser perfectos o se pueden leer de forma errónea, hay un margen de error
cada vez que se utilizan. En la fi gura 1.12, por ejemplo, RS en realidad puede medir
5.02 cm (que podría estar redondeado de 5.023 cm, etcétera). Las mediciones son aproximadas,
no perfectas.
Descubra
Al convertir unidades inglesas
al sistema métrico sabemos
que 1 pulg L 2.54 cm. ¿Cuál
es el equivalente en cm de
3.7 pulgadas?
RESPUESTA
9.4 cm
En el ejemplo 2, una regla (no dibujada a escala) se muestra en la fi gura 1.13. En el
dibujo, la distancia entre marcas consecutivas en la regla corresponde a 1 pulgada. La
medida de un segmento de recta se conoce como medida lineal.
0 1 2 3 4 5
R S
6
CENTÍMETROS
Figura 1.12
En la fi gura 1.14 el punto B se encuentra entre A y C en AC. Si AB = BC, entonces
B es el punto medio de AC. Cuando AB = BC, las fi guras geométricas AB y BC se dice
que son congruentes. Las longitudes numéricas pueden ser iguales, pero los segmentos
de recta reales (fi guras geométricas) son congruentes. El símbolo para la congruencia es ;
por tanto, AB BC si B es el punto medio de AC. En el ejemplo 3 se enfatiza la relación
entre AB, BC y AC cuando B se encuentra entre A y C.
A B C
Figura 1.14
EJEMPLO 2
En el rectángulo ABCD de la fi gura 1.13, los segmentos de recta AC y BD que se
muestran son las diagonales del rectángulo. ¿Cómo son las longitudes de las diagonales
comparadas entre sí?
A
B
D
C
Figura 1.13
Solución Como sugiere la intuición, las longitudes de las diagonales son las
mismas. Tal como se muestra, AC = 10– y BD = 10–.
NOTA: En medida lineal, 10– indica 10 pulgadas y 10¿ indica 10 pies. 
MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Si bien en la sección 1.4 se defi ne un ángulo de manera formal, ahora se considerará de
modo intuitivo.
La medida de un ángulo no depende de las longitudes de sus lados, sino de la cantidad
de apertura entre sus lados. En la fi gura 1.16, las fl echas en los lados de los ángulos
sugieren que los lados se extienden infi nitamente.
EJEMPLO 3
En la fi gura 1.15, las longitudes de AB y BC son AB = 4 y BC = 8. ¿Cuál es AC, la
longitud de AC?
A B C
Figura 1.15
Solución Como sugiere la intuición, la longitud de AC es igual a AB + BC. Por
tanto, AC = 4 + 8 = 12. 
GEE
Ejercicios 1-8
(a)
B C
A
(b)
N Q
M
1
Figura 1.16
El instrumento que se muestra en la fi gura 1.17
(y que se utiliza en la medición de ángulos) es un
transportador. Por ejemplo, la medida del /RST se
expresaría escribiendo /RST = 50°; este enunciado
se lee, “la medida del /RST es 50 grados”. Al medir
los ángulos en la fi gura 1.16 con un transportador, se
determina que m/B = 55° y m/1 = 90°. Si el símbolo
de grado se omite, se entiende que la medida
está en grados; así pues m/1 = 90.
En la práctica, con el transportador que se ilustra se medirá un ángulo que es mayor
que 0° pero menor o igual a 180°. Para medir un ángulo con transportador:
1. Se coloca la marca del transportador en el punto donde convergen los lados del ángulo
(el vértice del ángulo). Consulte el punto S en la fi gura 1.18.
2. Se coloca el borde del transportador a lo largo de un lado del ángulo de
manera que en la escala se lea “0”. Vea el punto T en la fi gura 1.18 donde se
utiliza “0” en la escala externa.
3. Utilizando la misma escala (externa), el tamaño del ángulo se lee mencionando
la medida en grados que corresponda al segundo lado del ángulo.
R
S T
130
90
20
50
Figura 1.17
En algunos transportadores se muestran todos los 360° y se utilizan para medir un ángulo
cuya medida es mayor que 180°; este tipo de ángulo se conoce como ángulo refl ejo.
Al igual que con una regla, la medición con un transportador no será perfecta.
Las rectas en la hoja de una libreta son paralelas. De manera informal, las rectas paralelas
se encuentran en la misma página y no se cruzan entre sí incluso si se extienden de
manera indefi nida. Se dice que las rectas O y m en la fi gura 1.19(a) son paralelas; observe
que aquí se utilizó una letra minúscula para nombrar una recta. Se dice que los segmentos
de recta son paralelos si son partes de rectas paralelas; si RS es paralela a MN, entonces
RS es paralela a MN en la fi gura 1.19(b).
EJEMPLO 4
Para la fi gura 1.18, encuentre la medida del /RST.
T
R
10
170
20
160
30
150
40
140
50
130
60
120
70
110
80
100 90 100
80
110
70
120
60
130
50
140
40
150
30
160
20
170
10
180
0
0
180
S
Figura 1.18
Solución Utilizando el transportador se encuentra que la medida del ángulo RST es
31°. (En símbolos, m/RST = 31° o m/RST = 31.) 
Advertencia
Muchos transportadores tienen
escalas dobles, como se muestra
en la fi gura 1.18.
Para A = {1, 2, 3} y B = {6, 8, 10} no hay elementos comunes; por esta razón, se
dice que la intersección de A y B es el conjunto vacío (su símbolo es ). Al igual que
A ¨ B = , las rectas paralelas en la fi gura 1.19(a) se describen por / ¨ m = .
m
(a) (b)
M N
R S
Figura 1.19
Se dice que dos ángulos con medidas iguales son congruentes. En la fi gura 1.20, se
observa que ABC DEF. En la fi gura 1.21, ABC CBD.
En la fi gura 1.21, el ángulo ABD se separó en dos ángulos menores ABC y CBD; si
los dos ángulos menores son congruentes (tienen medidas iguales), entonces el ángu lo ABD
se bisecó. En general, la palabra bisecar signifi ca separar en dos partes que miden lo
mismo.
Cualquier ángulo con una medida de 180° se denomina ángulo llano, un ángulo cu –
yos lados están en direcciones opuestas. Vea el ángulo RST en la fi gura 1.22(a). Cuando
un ángulo llano se biseca, como se muestra en la fi gura 1.22(b), los dos ángulos que se
forman son ángulos rectos (cada uno mide 90°).
Cuando dos rectas tienen un punto en común, como en la fi gura 1.23, se dice que se
intersecan. Cuando dos rectas se intersecan y forman ángulos adyacentes congruentes,
se dice que son perpendiculares.
EJEMPLO 5
En la fi gura 1.20, los lados de los ángulos ABC y DEF son paralelos (AB a DE y BC
a EF). Utilice un transportador para decidir si estos ángulos tienen medidas iguales.
F
E D
A B
C
Figura 1.20
Solución Los ángulos tienen medidas iguales. Ambos miden 44°. 
B
D
C
33
A
33
Figura 1.21
R S
V
T
(b)
90 90
R S T
(a)
180
Figura 1.22
1 2
4 3
t
r
Figura 1.23
EJEMPLO 6
En la fi gura 1.23 suponga que las rectas r y t son perpendiculares. ¿Cuál es la medida
de cada uno de los ángulos formados?
Solución Cada uno de los ángulos marcados (numerados 1, 2, 3 y 4) es el resultado
de bisecar un ángulo llano, por lo que cada ángulo es un ángulo rt y mide 90°. 
GEE
Ejercicios 9-13
CONSTRUCCIONES
Otra herramienta que se utiliza en la geometría es el compás. Este instrumento, que se
ilustra en la fi gura 1.24, se emplea para construir círculos y partes de círculos conocidas
como arcos. El compás y el círculo se estudian en los párrafos siguientes.
Los antiguos griegos insistían en que sólo se utilizaran dos herramientas (un compás
y una regla) en las construcciones geométricas, las cuales eran dibujos idealizados suponiendo
la perfección en el uso de dichas herramientas. El compás se utilizó para crear
círculos “perfectos” y para marcar segmentos de “igual” longitud. La regla se podría
emplear para pasar una recta por dos puntos designados.
Un círculo es el conjunto de todos los puntos en un plano que se encuentran a una
distancia dada desde un punto particular (conocido como “centro” del círculo). La parte
de un círculo entre cualesquiera dos de sus puntos se conoce como arco. Cualquier
segmento de recta que une el centro con un punto es un radio del círculo. Vea la fi gu –
ra 1.25.
La construcción 1 siguiente es muy básica y depende sólo del uso de arcos con la
misma longitud del radio para construir segmentos de rectas de la misma longitud. Los
arcos se crearon utilizando un compás. La construcción 2 es más difícil de realizar
y explicar, por lo cual su explicación se abordará en un capítulo posterior (vea la
sección 3.4).
Construcción 1 Construir un segmento congruente para un segmento dado.
DADO: AB en la fi gura 1.26(a).
CONSTRUYA: CD en la recta m de modo que CD AB (o CD = AB).
CONSTRUCCIÓN: Con su compás abierto a la longitud de AB, coloque el
punto estacionario del compás en C y marque una longitud igual a AB en
el punto D, como se muestra en la fi gura 1.26(b). Entonces CD = AB.
C D
m
(b)
A B
(a)
Figura 1.26
La construcción siguiente se muestra paso a paso en la fi gura 1.27. La intuición sugiere
que el punto M en la fi gura 1.27(c) es el punto medio de AB.
Construcción 2 Construir el punto medio M de un segmento de recta dado AB.
DADO: AB en la fi gura 1.27(a).
CONSTRUYA: M en AB de modo que AM = MB.
CONSTRUCCIÓN: Figura 1.27(a): abra su compás a una longitud mayor
que la mitad de AB.
Figura 1.27(b): utilizando A como el centro del arco, marque un arco
que se extienda arriba y abajo del segmento AB. Con B como el centro
y manteniendo la misma longitud del radio, marque un arco que se
extienda arriba y abajo de AB de manera que se determinen dos puntos
(C y D) donde se cruzan los arcos.
Figura 1.27(c): ahora trace CD. El punto donde CD cruza AB es el punto
medio M.
La técnica del álgebra que se utilizó en el ejemplo 8 y que también se necesita para
los ejercicios 47 y 48 de esta sección depende de las propiedades siguientes de la adición
y sustracción.
Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d.
En palabras: Iguales sumados a iguales da sumas iguales.
Ilustración: Puesto que 0.5 = 5
10 y 0.2 = 2
10, se deduce que
0.5 + 0.2 = 5
10 + 2
10; es decir, 0.7 = 7
10.
Si a = b y c = d, entonces a – c = b – d.
En palabras: Iguales restados de iguales da diferencias iguales.
Ilustración: Puesto que 0.5 = 5
10 y 0.2 = 2
10, se deduce que
0.5 – 0.2 = 5
10 – 2
10; es decir, 0.3 = 3
10.
EJEMPLO 7
En la fi gura 1.28, M es el punto medio de AB.
a) Encuentre AM si AB = 15.
b) Encuentre AB si AM = 4.3
c) Encuentre AB si AM = 2x + 1.
Solución
a) AM es la mitad de AB, por tanto AM = . 712
b) AB es el doble de AM, por tanto AB = 2(4.3) o AB = 8.6.
c) AB es el doble de AM, por tanto AB = 2(2x + 1) o AB = 4x + 2. 
EJEMPLO 8
En la fi gura 1.29, el punto B se encuentra en AC entre A y C. Si AC = 10 y AB es
2 unidades mayor que BC, encuentre la longitud x de AB y la longitud y de BC.
Solución
Puesto que AB + BC = AC, se tiene que x + y = 10.
Puesto que AB – BC = 2, se tiene que x – y = 2.
Sumando los lados izquierdo y derecho de estas ecuaciones se tiene
2x = 12 por tanto x = 6.
x – y = 2
x + y = 10
Si x = 6, entonces x + y = 10 se convierte en 6 + y = 10 y y = 4.
Así pues, AB = 6 y BC = 4. 
GEE
Ejercicios 18, 19
x y
A B C
Figura 1.29
A M B
Figura 1.28
1. Si el segmento de recta AB y el segmento de recta CD se
trazan a escala, ¿qué le dice su intuición acerca de las longitudes
de estos segmentos?
C D
A B
2. Si los ángulos ABC y DEF se midieron con un transportador,
¿qué le dice su intuición acerca de las medidas en
grados de estos ángulos?
A
B
C
D
E
F
3. ¿Cuántos puntos extremos tiene un segmento de recta?
¿Cuántos puntos medios tiene un segmento de recta?
4. ¿Parecen colineales los puntos A, B y C?
B
C
A
Ejercicios 4-6
5. ¿Cuántas rectas se pueden trazar que contengan los dos
puntos A y B? ¿Cuántas rectas se pueden trazar que contengan
los puntos A, B y C?
6. Considere los puntos no colineales A, B y C. Si cada recta
debe contener dos de los puntos, ¿cuál es el número de
rectas que se determinan por estos puntos?
7. Mencione todos los ángulos en la fi gura.
D
C
B
A
8. ¿Cuáles de las medidas siguientes puede tener un ángulo?
23°, 90°, 200°, 110.5°, -15°
9. ¿Deben ser colineales dos puntos diferentes? ¿Deben ser
colineales tres o más puntos? ¿Pueden ser colineales tres o
más puntos?
10. ¿Cuál(es) símbolo(s) expresa(n) el orden en el que los
puntos A, B y X se encuentran en la recta dada, A-X-B o
A-B-X?
A X B
11. ¿Cuáles símbolos nombran correctamente el ángulo que se
ilustra? /ABC, /ACB, /CBA
A
B
C
12. Un triángulo se llama nABC. ¿También se le puede nombrar
nACB? ¿Puede llamarse nBAC?
13. Considere el rectángulo MNPQ. ¿También se le puede
llamar rectángulo PQMN? ¿Se puede llamar rectángulo
MNQP?
14. Suponga que /ABC y /DEF tienen la misma medida.
¿Qué enunciados están expresados de manera correcta?
a) m ABC = m DEF b) ABC = DEF
c) m ABC m DEF d) ABC DEF
15. Suponga que AB y CD tienen la misma longitud. ¿Cuáles
enunciados están expresados de manera correcta?
a) AB = CD b) =
c) AB CD d) AB CD
AB CD
16. Cuando dos rectas se cruzan (intersecan), tienen exactamente
un punto en común. En el dibujo, ¿cuál es el punto
de intersección? ¿Cómo se comparan entre sí las medidas
de /1 y /2?
Q
N
M R
1 2
P
17. Juzgando con base en la regla que se muestra (no a escala),
estime la medida de cada segmento de recta.
a) AB b) CD
C D
E F
G H
A B
1 2 3 4 5 6 7 8
Ejercicios 17, 18
18. Juzgando con base en la regla estime la medida de cada
segmento de recta.
a) EF b) GH
Ejercicios 1.2
19. Juzgando con base en el transportador que se ilustra, estime
la medida de cada ángulo hasta el múltiplo más cercano
de 5° (por ejemplo, 20°, 25°, 30°, etcétera).
a) m/1 b) m/2
Ejercicios 19, 20
10
170
20
160
30
150
40
140
50
130
60
120
70
110
80
100 90 100
80
110
70
120
60
130
50
140
40
150
30
160
20
170
10
180
0
0
180
1 2
3
4
20. Juzgando con base en el transportador estime la medida de
cada ángulo hasta el múltiplo más cercano de 5° (por ejemplo,
20°, 25°, 30°, etcétera).
a) m3 b) m 4
21. Considere el cuadrado a la derecha,
RSTV. Tiene cuatro ángulos rectos y
cuatro lados con la misma longitud.
¿Cómo están relacionados los
lados RS y ST? ¿Cómo están relacionados
los lados RS y VT?
22. El cuadrado RSTV tiene diagonales
RT y SV (no se muestran). Si las
diagonales están trazadas, ¿cómo son sus longitudes comparadas
entre sí? ¿Resultan perpendiculares las diagonales
de un cuadrado?
23. Utilice un compás para trazar un círculo. Trace un radio,
un segmento de recta que conecte el centro con un punto en
el círculo. Mida la longitud del radio. Trace otros radios y
encuentre sus longitudes. ¿Cómo son las longitudes de los
radios comparadas entre sí?
24. Emplee un compás para trazar un círculo de 1 pulgada de
radio. Trace una cuerda, un segmento de recta que una dos
puntos en el círculo. Trace otras cuerdas y mida sus longitudes.
¿Cuál es la longitud máxima posible de una cuerda
en este círculo?
25. Los lados del par de ángulos son paralelos. ¿Son congruentes
/1 y /2?
2
1
26. Los lados del par de ángulos son paralelos. ¿Son congruentes
/3 y /4?
3
4
27. Los lados del par de ángulos son perpendiculares. ¿Son
congruentes /5 y /6?
6
5
28. Los lados del par de ángulos son perpendiculares. ¿Son
congruentes /7 y /8?
7
8
29. Sobre una hoja de papel utilice su compás para construir
un triángulo que tenga dos lados con la misma longitud.
Recorte el triángulo y dóblelo a la mitad de manera que
los lados congruentes coincidan (uno sobre el otro). ¿Qué
concluye acerca de los dos ángulos del triángulo?
30. Sobre una hoja de papel utilice su transportador para trazar
un triángulo que tenga dos ángulos con la misma medida.
Recorte el triángulo y dóblelo a la mitad, de manera que
coincidan los ángulos de igual medida (uno sobre el otro).
¿Qué concluye acerca de los dos lados del triángulo?
31. Un trapezoide es una fi gura de cuatro lados que
contiene un par de lados paralelos. ¿Cuáles lados del
trapezoide MNPQ resultan ser paralelos?
M N
Q P
Ejercicios 21, 22
V T
R S
32. En el rectángulo ilustrado, ¿qué concluye acerca de las
longitudes de cada par de lados opuestos?
R S
V T
33. Un segmento de recta está bisecado si sus dos partes tienen
la misma longitud. ¿Cuál segmento de recta, AB o CD,
está bisecado en el punto X?
A C
B
X
5 cm 3 cm
3 cm 3 cm
D
34. Un ángulo está bisecado si sus dos partes tienen la misma
medida. Utilice tres letras para nombrar el ángulo que está
bisecado.
15
10
10
B
E
D
C
A
En los ejercicios 35 al 38, donde A-B-C en AC, se deduce que
AB + BC = AC.
A B C
Ejercicios 35-38
35. Encuentre AC si AB = 9 y BC = 13.
36. Encuentre AB si AC = 25 y BC = 11.
37. Encuentre x si AB = x, BC = x + 3 y AC = 21.
38. Encuentre una expresión para AC (la longitud de AC) si
AB = x y BC = y.
39. El /ABC es un ángulo llano. Utilizando su transportador,
puede demostrar que m/1 + m/2 = 180°. Encuentre m/1
si m/2 = 56°.
A B
1 2
C
D
Ejercicios 39, 40
40. Encuentre m/1 si m/1 = 2x y m/2 = x.
(SUGERENCIA: Consulte el ejercicio 39.)
En los ejercicios 41 al 44, m/1 + m/2 = m/ABC.
1
B C
D
A
2
Ejercicios 41-44
41. Encuentre m/ABC si m/1 = 32° y m/2 = 39°.
42. Encuentre m/1 si m/ABC = 68° y m/1 = m/2.
43. Encuentre x si m/1 = x, m/2 = 2x + 3 y m/ABC = 72°.
44. Determine una expresión para m/ABC si m/1 = x
y m/2 = y.
45. Se utilizó un compás para marcar tres segmentos congruentes,
AB, BC y CD. Por tanto, AD se ha trisecado en los
puntos B y C. Si AD = 32.7, ¿cuánto mide AB?
A B C D E
46. Utilice su compás y su regla para bisecar EF.
E F
*47. En la fi gura, m/1 = x y m/2 = y. Si x – y = 24°, encuentre
x y y.
(SUGERENCIA: m/1 + m/2 = 180°.)
D
A B C
1 2
*48. En el dibujo, m/1 = x y m/2 = y. Si m/RSV = 67°
y x – y = 17°, encuentre x y y.
(SUGERENCIA: m/1 + m/2 = m/RSV.)
R
S
T
V
1
2
Para los ejercicios 49 y 50 utilice la información siguiente.
Respecto a su punto de salida o a algún otro punto de referencia,
el ángulo que se emplea para localizar la posición de un
barco o de un avión se denomina rumbo. El rumbo también se
puede utilizar para describir la dirección en la cual el avión
o el barco se mueven. Al emplear un ángulo entre 0 y 90°, un
rumbo se mide desde la línea Norte-Sur hacia el Este o el Oeste.
En el diagrama el avión A (que se encuentra a 250 millas de
la torre de control del aeropuerto O’Hare de Chicago) tiene un
rumbo S 53° W.
49. Encuentre el rumbo del avión B respecto a la torre de control.
50. Encuentre el rumbo del avión C respecto a la torre de control.
53
250 mi
325 mi
300 mi
24
22
Torre de
control
W E
S
N
B
C
A
Ejercicios 49, 50
1.3 Primeras defi niciones y postulados
CONCEPTOS CLAVE Sistema matemático
Axioma o postulado
Teorema
Postulado de la regla
Distancia
Postulado segmento-adición
Punto medio de un
segmento de recta
Rayo
Rayos opuestos
Intersección de dos fi guras
geométricas
Plano
Puntos coplanares
Espacio
UN SISTEMA MATEMÁTICO
Al igual que el álgebra, la rama de las matemáticas denominada geometría es un sistema
matemático. Cada sistema tiene sus propios vocabulario y propiedades. En el estudio
formal de un sistema matemático, iniciamos con los términos indefi nidos. Con base en
esta información se pueden defi nir términos adicionales. Una vez que la terminología está
sufi cientemente desarrollada, se vuelven aparentes ciertas propiedades (características)
del sistema. Estas propiedades se conocen como axiomas o postulados del sistema; de
manera más general, esos enunciados se denominan suposiciones. Al haber desarrollado
un vocabulario y aceptado ciertos postulados, muchos principios se deducen de forma
lógica cuando se aplican métodos deductivos. Estos enunciados se pueden demostrar y
se llaman teoremas. En el recuadro siguiente se resumen los componentes de un sistema
matemático (en ocasiones llamado sistema lógico o sistema deductivo).
CUATRO PARTES DE UN SISTEMA MATEMÁTICO
1. Términos indefinidos
2. Términos definidos
f vocabulario
3. Axiomas o postulados
4. Teoremas
f principios
CARACTERÍSTICAS DE UNA BUENA DEFINICIÓN
Términos como punto, recta y plano se clasifi can como indefi nidos ya que no se ajustan a
ningún conjunto o categoría que se haya determinado con anterioridad. Sin embargo, los
términos que están defi nidos se deben describir con precisión. Pero ¿qué es una buena
defi nición? Una buena defi nición es como una ecuación matemática escrita con palabras.
Una buena defi nición debe tener cuatro características. Esto se ilustrará con un término
que volverá a defi nirse más adelante.
Un triángulo isósceles es un triángulo que tiene dos lados congruentes.
En la defi nición observe que: (1) Se nombra el término que se está defi niendo: triángulo
isósceles. (2) El término que se está defi niendo se coloca en una categoría mayor (un tipo
de triángulo). (3) Se incluye la cualidad distinguible (que dos lados del triángulo son congruentes).
(4) La reversibilidad de la defi nición se ilustra con estos enunciados:
“Si un triángulo es isósceles, entonces tiene dos lados congruentes.”
“Si un triángulo tiene dos lados congruentes, entonces es un triángulo isósceles.”
EN RESUMEN, UNA BUENA DEFINICIÓN TENDRÁ ESTAS CUALIDADES
1.