RELACIONES GEOMETRICAS EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 7–SEPTIMO AÑO PDF

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• Construir rectas perpendiculares,
paralelas y bisectrices de ángulos.
• Construir ángulos y triángulos.
• Relacionar los elementos del
triángulo.
• Investigar y aplicar el teorema de
Pitágoras.
Relaciones
geométricas
, Transporte y construcción de segmentos y
ángulos.
, Construcción de la bisectriz de un ángulo.
, Construcción de triángulos.
, Alturas en un triángulo.
, Simetrales de un triángulo.
, Transversales de gravedad en un triángulo.
, Bisectrices en un triángulo.
,El teorema de Pitágoras.
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, Cómo aplicar el teorema de Pitágoras y su
recíproco.
Geometría
• Realizar diversas construcciones geométricas.
• Analizar las condiciones necesarias para construir un
triángulo a partir de las medidas de sus lados y de
sus ángulos.
• Determinar el punto de intersección de las alturas,
transversales de gravedad, bisectrices y simetrales en
un triángulo, mediante construcciones geométricas.
• Verificar, en casos particulares, el teorema de
Pitágoras, su recíproco y su aplicación en contextos
diversos.
En el arte del origami, una sola hoja de papel
se dobla múltiples veces para hacer un diseño
particular, como una grulla o un dragón. Los
artistas del origami necesitan comprender las
relaciones entre rectas, ángulos y polígonos para
crear sus obras de arte.
En el mundo real
regla
en sentido contrario a
las manecillas del reloj
transportador
triángulo
compás
en el sentido de las
manecillas del reloj
0 1
1
2
3
4
5
2 3 4 5
¿Estás listo?
Vocabulario
Elige el término de la lista que complete mejor cada
enunciado.
1. Una figura cerrada con tres lados es un .
2. Un se usa para medir y dibujar ángulos.
3. 4.
Resuelve los ejercicios para practicar las destrezas que usarás en este capítulo.
Representar ángulos y triángulos
Usa la imagen que aparece a continuación para
representar:
5. Un ángulo recto. 6. Un triángulo equilátero.
7. Un ángulo agudo. 8. Un triángulo isósceles.
Identificar tipo de ángulos
Clasifica los ángulos según su medida.
9. 10. 11.
Identificar tipo de triángulos
¿Qué triángulo es un obtusángulo isósceles?
12. 13. 14.
La flecha dentro
del círculo se
mueve .
Una __________ es
un instrumento que
se emplea para medir
segmentos de rectas.
De dónde vienes
En este capítulo
Antes
• Mediste ángulos.
• Identificaste tipos de ángulos.
• Clasificaste ángulos según sus
medidas.
• Clasificaste triángulos según sus
lados y según sus ángulos.
Estudiarás
• Cómo construir ángulos.
• Cómo construir un triángulo y sus
elementos secundarios.
• Relacionar las características de
estos elementos para encontrar
ángulos en un triángulo.
• Cómo usar el teorema de Pitágoras
para resolver problemas de la vida
real.
A dónde vas
Puedes usar las destrezas aprendidas
en este capítulo
• Para resolver problemas y crear
demostraciones geométricas
mediante la relación geométrica
entre ángulos, triángulos y rectas.
• Para reconocer ángulos
y posiciones de rectas en
arquitectura, construcción, diseño,
etc.
Vocabulario
Conexiones de vocabulario
Considera lo siguiente para familiarizarte con algunos
de los términos del vocabulario del capítulo. Puedes
consultar el capítulo, el glosario o un diccionario si lo
deseas.
1. La palabra simetría se relaciona con la
correspondencia exacta en la disposición regular
de las partes o puntos de un cuerpo o figura con
relación a un centro. ¿Qué podrás deducir respecto
a la palabra simetral?
2. El centro de una figura es el punto interior que
aproximadamente equidista de los límites de una
figura. ¿Cuál podrá, entonces, ser el incentro de un
triángulo?
3. En unidades anteriores hemos hablado de la
simetría. ¿Qué podría significar que un triángulo
tenga simetrales?
segmentos
ángulos
bisectriz
teorema de desigualdad
de un triángulo
vértices
alturas
ortocentro
simetrales
punto medio
circuncentro
simetral
transversal de gravedad
lados de un triángulo
baricentro
rayo/incentro
circunferencia inscrita
teorema de Pitágoras
triángulo rectángulo
cateto
hipotenusa
longitud diagonal
Guía de estudio: Vistazo previo C
A P Í T U L O 3 Vistazo previo
C A P Í T U L O 3
Inténtalo
Estrategia de lectura: Lee los problemas para comprenderlos
Lee el problema para comprenderlo. Usa los pasos indicados arriba para responder la
siguiente pregunta.
1. Un jardín tiene forma de cuadrado. La distancia alrededor del jardín es de 200 metros.
¿Cuál es la longitud de un lado del jardín?
Leer y escribir matemáticas
Paso 2. ¿Qué es lo que deberías
responder y qué destrezas
necesitas?
• Halla cuántas semillas de verduras se
plantaron en el jardín.
• Halla la parte del número.
Paso 3. Identifica la información clave. • Se plantó un total de 40 semillas. Las
semillas de verduras son la octava parte de
la cantidad total de semillas.
Paso 4. Haz un plan para resolver y
responder todas las partes del
problema.
• Escribe la octava parte como fracción.
• Divide.
Paso 5. Resuelve.
Paso 1. Lee el problema.
10. El señor González tiene un jardín. De las 40 semillas que plantó la octava parte eran
de verduras, ¿cuántas semillas de verduras plantó?
Es importante que leas los problemas en palabras con mucha atención para asegurarte de
que los entiendes y para identificar todas las partes que debes responder.
Seguir estos pasos puede ayudarte a entender y responder problemas:
1. Lee todo el problema una vez.
2. Identifica lo que deberías responder y las destrezas que necesitas para hacerlo.
3. Vuelve a leer el problema con atención e identifica la información clave.
4. Haz un plan para resolver y responder TODAS las partes del problema.
5. Resuelve.
Para la confección de cualquier objeto,
desde un edificio hasta un equipo para hacer
ejercicios, es necesario elaborar un plano a
partir del cual los operarios podrán construir
cada una de las piezas.
Saber dibujar segmentos y ángulos
con las medidas necesarias es un factor
imprescindible en muchas esferas de la vida.
Aprender
a construir segmentos y ángulos.
Vocabulario
segmentos
ángulos
2
3–1 Transporte y construcción
de segmentos y ángulos
C A P Í T U L O
F
E
G
a. Dibuja el ángulo agudo ∢ABC en un
papel. Dibuja DE.
b. Coloca la punta del compás en B y
dibuja un arco a través de ∢ABC. Con
la misma apertura del compás, coloca la
punta en D y dibuja un arco a través de
DE. Rotula la intersección como punto F.
c. Ajusta el compás al ancho del arco
que interseca a ∢ABC. Coloca la punta
del compás en F y dibuja un arco que
interseque el arco a través de DE en G.
Dibuja DG. Mide ∢ABC y ∢GDF.
C
B
A
E
D
C
B
A
F E
D
C
B
A
F E
D
G
1 Transportar un segmento usando regla y compás.
Usa una regla y un compás para transportar
el segmento AB.
a. Construye con una regla una semirecta AC.
b. Usando tu compás toma la amplitud del
segmento AB.
c. Coloca la punta del compás en el punto A
de la semirecta y traba un arco sobre ella.
d. Marca el punto donde se intersecan la
semirecta y el arco y nombralo B.
Leer matemáticas
m∢XYZ se lee como
“la medida del ángulo
XYZ”.
A B
A B
B
A C
A C
Sigue los pasos que se muestran a continuación para construir un ángulo
congruente con ∢ABC.
EJEMPLO
EJEMPLO
Leer matemáticas
Los ángulos rectos se
suelen señalar con el
símbolo ∟.
Razonar y comentar
1. Describe cómo podrías construir un par de rectas paralelas con una
transversal perpendicular.
2. Menciona tres formas de determinar si dos rectas son paralelas.
3
4 Sigue los pasos que se muestran a continuación para construir rectas
perpendiculares.
a. Dibuja MN en un papel. Dibuja el
punto P sobre o debajo de MN.
c. Desde los puntos Q y R, dibuja
arcos que se intersecten en
el punto S usando la misma
apertura del compás.
b. Coloca la punta del compás
en P y dibuja un arco que
interseque a MN en los puntos
Q y R.
d. Dibuja PS. ¿Qué podemos
decir de MN y PS?
Comprueba tu cálculo.
P
Q
P
R
Q
S
P
R
M N
N
M
M N
N
Q
S
P
R
M
Construye un segmento QR en tu cuaderno.
a. Dibuja un punto S fuera del segmento QR
(arriba o abajo de QR)
b. Dibuja una recta que pasando por el punto S,
corte a QR y marca la intersección como T.
c. Coloca tu compás en T y traza un arco de
cualquier amplitud que corte TR y TS.
d. Con la misma amplitud y con centro en S, traza
un segundo arco que corte TS.
e. Toma la amplitud del primer arco, como muestra
la figura, y con ella marca en el segundo arco
como muestra la figura. Nombra al punto que
se forma como W.
f. Traza una recta que pase por S y W. Los
segmentos QR y SW son paralelos.
Q T R
S
Q R
Q R
S
QT R
S
W
QT R
S
W
EJEMPLO
EJEMPLO
Ejercicios
1
1
2
2
Dibuja en tu cuaderno los segmentos que se solicitan y luego transpórtalos.
1. AB = 5 cm 2. EF = 3 cm 3. LM = 10 cm 4. XY = 7 cm
Ver
Ver
Ver
Ver
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
3–1
4
4
Ver
Ver
3
3
Construye en tu cuaderno una recta paralela a cada uno de los siguientes segmentos.
9. 10. 11. 12.
Construye en tu cuaderno una recta paralela a cada uno de los siguientes segmentos.
25. 26. 27. 28.
Construye en tu cuaderno una recta perpendicular a cada uno de los siguientes segmentos
13. 14. 15. 16.
Construye en tu cuaderno una recta perpendicular a cada uno de los siguientes segmentos.
29. 30. 31. 32.
Ver
Ver
Construye en tu cuaderno un ángulo congruente para cada uno de los siguientes casos.
5. 6. 7. 8.
A
B
70º 120º
25º
96º
A B
A
B A
B
Construye en tu cuaderno un ángulo congruente para cada uno de los siguientes casos.
21. 22. 23. 24.
Dibuja en tu cuaderno los segmentos que se solicitan y luego transpórtalos.
17. AB = 12 cm 18. EF = 6 cm 19. LM = 11 cm 20. XY = 4 cm
50º
Q P
R
70º
Q P
R
Q 85º P
R
Q100º P
R
A B
A
B A
B
A
B
A B
A
B A
B
A
B
A B
A
B A
B
A
B
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Dibuja en tu cuaderno ángulos que sean congruentes a cada uno de los ángulos que se muestran.
33.
36.
Usa un compás y una regla para construir cada figura.
39. Una paralela al lado MN 40. Una recta paralela a ST 41. Una recta
que pase por el punto L. perpendicular a GH
42. Un ángulo congruente 43. Una recta paralela a AB 44. Una recta perpendicular
con ∢DEF a CD
L
M
N
S
T
H
G
E F
D
B
A D
C
45. En la figura se muestra un plano de una sala de eventos. En este plano los lados AE y CD son:
A Perpendiculares B Paralelos
C Complementarios D Congruentes
46. Se llaman paralelas:
A A 2 ángulos que tienen igual medida. B A 2 rectas que se cortan formando un
ángulo de 45º.
C A 2 rectas que se cortan formando un ángulo D A 2 rectas que no tienen ningún
de 90º. punto en común, o son coincidentes.
Construye en tu cuaderno ángulos que sean congruentes a los señalados en los siguientes
triángulos.
47. 48. 49.
Repaso
A E
B
C D
Sala
34.
37.
35.
38.
45º
90º
30º
60º
100º 120º
EJEMPLO
EJEMPLO
1
Como ya conoces de cursos anteriores un ángulo es la
superficie existente entre dos rayos que tienen el mismo
origen. Cuando tenemos un ángulo y queremos tomar solo la
mitad de él, entonces trazamos su bisectriz.
La bisectriz de un ángulo lo divide en dos partes congruentes.
Construcción de la bisectriz de un ángulo utilizando regla y compás
Sigue los pasos a continuación para trazar la bisectriz de un ángulo.
Aprender
a construir bisectrices de
ángulos.
A
B
C
D
Dibuja el ángulo agudo ∢H en un papel.
Coloca la punta del compás en H y traza un arco a través
de ambos lados del ángulo.
Sin cambiar la apertura del compás, y ubicando
su punta en el punto E, traza un arco que pase
por el punto G. Ahora ubicando la punta del
compás en el punto G y manteniendo la apertura,
traza un arco que pase por el punto E. Nombra el
punto de intersección D.
Dibuja HD. Mide ∢GHD y ∢DHE. ¿Qué puedes observar?
3–2 Construcción de la bisectriz
de un ángulo
C A P Í T U L O
Vocabulario
bisectriz
45º
45º
2 Identificar la bisectriz de un ángulo.
Identifica si el segmento BD es bisectriz del ángulo ABC.
A BD no es bisectriz de ABC porque B
el ángulo ABD no tiene la misma
medida que el ángulo DBC.
BD sÍ es bisectriz de ABC
porque el ángulo ABD tiene la
misma medida que el ángulo
DBC.
Si medimos con un transportador los ángulos que se forman luego de
trazada BD podemos determinar:
B A
D
C
B A
D
C
E
D
H
G
E
D
H
G
H
E
H
G
A
B
C
Razonar y comentar
1. Utilizando regla y compás, traza la bisectriz de un ángulo de 60º.
¿Qué otros ángulos se construyen?
EJEMPLO 3 Encontrar la medida de un ángulo desconocido conociendo la
bisectriz
Encuentra la medida de ∢DBE si sabes que ∢ABD = 30° y que el
segmento BE es bisectriz de ∢DBC.
Para encontrar la medida del ángulo desconocido debes tener en
cuenta que ∢ABC = 180°.
Con esta información y conociendo que ∢ABD = 30° podemos
determinar la medida de ∢DBC:
180 – 30 = 150°
∢DBC = 150°
Sabiendo que BE es bisectriz de ∢DBC deducimos
que ∢DBE es la
mitad de ∢DBC.
150 : 2 = 75
∢DBE = 75°
A B C
D
E
3–2 Ejercicios
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
Dibuja la bisectriz de los ángulos.
18. 19. 20.
Ver ejemplo 1
30º
80º 90º B
B B
A
A A
C
C
3 Encuentra la medida de ∢LPM si sabes que LMNÑ es un rectángulo, OP es mediatriz de ∢MPN
y ∢NPÑ = 45°
17.
Ver ejemplo
O
P
M
L
N
Ñ
C
Ver ejemplo 1 Dibuja la bisectriz de los ángulos.
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
B
65° A
C
B
75° A
C
B
A
15°
C
B A
140°
C
B
80° A
C
B
190° A
C
B
25° A
C
B
72° A
C
2 Identifica si el segmento XZ es bisectriz del ángulo WXY en cada uno de los casos.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.
Ver ejemplo
W
X
Y
W
X
Y
X W
Y
W
X
Y
X
Y
W
Y X
W
X
Y
W
X
Y
W
Construye los ángulos que se solicitan y traza su bisectriz:
34. ∢ ADC = 78º 35. ∢ TUV = 150º 36. ∢ XYZ = 68º 37. ∢ FGH = 25º
Encuentra el valor de la incógnita:
38. 2x + 5 = 23 39. x + 18 = 104 40. 4x – 15 = 38 41. 3x – 40 = 100
42. x + 8 = 200 43. x – 100 = 340 44. 3x – 5 = 74 45. 6x + 8 = 78
Repaso
Identifica si el segmento QT es bisectriz del ángulo PQR en cada uno de los siguientes casos
24. 25. 26. 27.
32. Encuentra la medida de ∢NMÑ si sabes que OÑ es bisectriz de ∢LMN y ∢LMO = 30°.
33. Razonamiento crítico Si de un cuadrado quieres obtener dos triángulos rectángulos idénticos
deberás trazar la bisectriz de uno de sus ángulos. ¿Por qué? Argumenta tu respuesta haciendo el dibujo
correspondiente.
28. 29. 30. 31.
145º 94º
30º
68º
Q
Q Q
P
P P
QP
R
R
R
R
21. 22. 23.
25º
B A
C
100º
A
B
170º
A
B
C
C
Ver ejemplo 2
Ver ejemplo 3
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
O
Ñ
M
L
P
P P P
R
R R
R
Q Q
Q Q
N
T
T T
T
75° 130°
80°
35°
3–3 Construcción de triángulos
C A P Í T U L O
Los triángulos, como ya conoces, son figuras geométricas compuestas por tres
ángulos y tres lados. Pueden ser clasificados según la longitud de sus lados y según
las medidas de sus ángulos.
Según sus lados, los triángulos pueden ser:
Equiláteros tienen sus 3 lados de igual medida y sus ángulos interiores miden 60º
cada uno.
Isósceles tienen 2 de sus lados de igual medida. El lado de distinta medida se
denomina base.
Escalenos las medidas de sus lados y de sus ángulos son diferentes.
Según sus ángulos, los triángulos pueden ser:
Acutángulos, cuando tienen 3 ángulos agudos.
Rectángulos, cuando tienen 1 ángulo recto.
Obtusángulos, cuando tienen 1 ángulo obtuso.
Para construir triángulos es necesario conocer al
menos 3 de las medidas.
Podemos construir un triángulo si sabemos:
1. La medida de sus tres lados.
2. La medida de dos ángulos y el lado comprendido
entre ellos.
3. La medida de 2 lados y el ángulo comprendido entre
ellos.
El teorema de desigualdad de un triángulo establece que la suma de las longitudes
de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.
Aprender
a construir triángulos.
Vocabulario
teorema de desigualdad
de un triángulo
EJEMPLO 1 Usar el teorema de desigualdad de un triángulo
Indica si las 3 longitudes dadas forman un triángulo o no.
A
B
9 cm, 4 cm, 11 cm
Halla la suma de las longitudes de cada par de lados y compárala
con la longitud del tercer lado.
9 + 4
?>
11 4 + 11
?>
9 9 + 11
?>
4
13 > 11 ✔ 15 > 9 ✔ 20 > 4 ✔
Un triángulo puede tener lados con estas longitudes. La suma de las
longitudes de dos lados cualesquiera es mayor que la longitud del
tercer lado.
6 cm, 3 cm, 10 cm
6 + 3
?>
10
8 ≯ 10 ✘
EJEMPLO
EJEMPLO
3
4
Construcción de un triángulo teniendo 2 lados y el ángulo
comprendido entre ellos
Construye un triángulo si sabes que uno de sus lados mide 5 cm, otro
7 cm y el ángulo comprendido entre ellos mide 68º.
Construcción de un triángulo teniendo 1 lado y los dos ángulos
contiguos
Construye un triángulo si sabes que uno de sus lados mide 5 cm, y los
ángulos contiguos a él miden 30º y 45º respectivamente.
Para construir un triángulo conociendo un lado y los dos ángulos
contiguos, debes tener en cuenta que la suma de los ángulos
conocidos no puede alcanzar 180º.
EJEMPLO 2 Redactar paso a paso la construcción de un triángulo dados sus
lados
Indica paso a paso la construcción de un triángulo de 7 cm, 5 cm y 6 cm.
de lados.
Dibuja 3 segmentos con las longitudes dadas:
A B A C B C
Usando el compás, copia uno de los segmentos.
Copia la medida del segundo segmento apoyando el compás en uno de
los extremos del ya dibujado (hacer coincidir las letras) y traza un arco.
Repite la acción del primero con el último segmento, apoyando el
compás en el otro extremo del primer segmento dibujado. En la
intersección de los arcos se encuentra el tercer vértice del triángulo.
Si lees una redacción y sigues sus pasos puedes comprobar si un
triángulo fue bien construido.
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
Dibuja el segmento de 5 cm
usando tu regla.
Dibuja el segmento de 5 cm
usando tu regla
Con tu transportador
marca
un ángulo de
68º teniendo el
segmento trazado
como uno de sus
rayos.
Con tu transportador, marca
en cada uno de los extremos
del segmento los ángulos
señalados.
Toma con tu
compás una
medida de 7 cm
y marca con esa
longitud sobre el
rayo.
Con tu regla,
extiende los lados
hasta que se
corten formando
el tercer vértice.
Une los extremos de los lados
para construir el triángulo.
5cm
5cm
7cm
B A
C
5cm
7cm
B A
C
5cm
30º 45º
A 5cm B
C
30º 45º
A 5cm B
C
3–3 Ejercicios
1
3
3
4
4
2
1
2
Indica si las 3 longitudes dadas para cada caso forman un triángulo o no.
1. 4 cm, 7 cm, 14 cm 2. 9 m, 6 m, 10 m 3. 10 mm, 15 mm, 20 mm
Determina si es posible construir un triángulo ABC con las siguientes medidas:
5. AB = 5 cm, BC = 7 cm, ∢ ABC = 60º
6. AB =10 km, BC = 70 km, ∢ ABC = 90º
Determina si es posible construir un triángulo ABC con las siguientes medidas:
14. AB = 7 m, BC = 15 m, ∢ ABC = 55º
15. AB = 23,5 m, BC = 87,3 m, ∢ ABC = 45º
Selecciona las medidas que permiten construir un triángulo XYZ. Justifica porqué
hay medidas con las que no es posible construir un triángulo. Ocupa las medidas que
seleccionaste y constrúyelo en tu cuaderno.
7. XY = 10 cm, ∢ ZXY = 90º, ∢ XYZ = 90º
8. XY = 10 cm, ∢ ZXY = 30º, ∢ XYZ = 90º
9. XY = 10 cm, ∢ ZXY = 70º, ∢ XYZ = 110º
Selecciona las medidas que permiten construir un triángulo XYZ. Justifica porqué
hay medidas con las que no es posible construir un triángulo. Ocupa las medidas que
seleccionaste y constrúyelo en tu cuaderno.
16. XY = 7 cm, ∢ ZXY = 45º, ∢ XYZ = 45º
17. XY = 7 cm, ∢ ZXY = 77º, ∢ XYZ = 103º
18. XY = 7 cm, ∢ ZXY = 120º, ∢ XYZ = 60º
4. Redacta la construcción de un triángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm.
Indica si las 3 longitudes dadas forman un triángulo o no.
10. 3 m, 3 m, 3 m 11. 1 cm, 4 cm, 5 cm 12. 7 mm, 10 mm, 19 mm
13. Redacta la construcción de un triángulo de lados 5 cm, 4 cm y 6 cm.
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
19. Razonamiento crítico A continuación se muestran algunos elementos que son necesarios
para la construcción de un triángulo. Combínalos de manera que puedas construir la
mayor cantidad de triángulos:
20. Arte Una parte de una gran escultura de metal consistirá en un triángulo formado por tres
barras soldadas entre sí. El artista tiene 5 barras que miden, 10 m, 26 m, 30 m, 1m y
35 m. ¿Qué posibles combinaciones de barras podría usar el artista para su escultura?
21. Desafío Construye un triángulo equilátero usando solamente una regla y un compás.
Describe los pasos que seguiste.
Corta algunas bombillas en 5 trozos de 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm y 9 cm de longitud.
22. ¿Qué grupos de longitudes de bombilla pueden formar un triángulo?
23. Por cada grupo de longitudes de bombilla, compara la suma de las longitudes de dos de
los lados a + b con la tercera longitud de lado c. Haz una conjetura sobre la relación entre
los lados de un triángulo basándote en tus comparaciones.
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Construye las siguientes rectas:
24. Recta DE perpendicular a la recta TU.
25. Recta FG paralela a la recta TU.
Construye un triángulo con cada uno de los siguientes requerimientos:
26. Lado a: 6 cm, lado b: 9 cm, lado c: 5 cm.
27. Lado a: 10 cm, lado b: 7 cm, ángulo comprendido entre ellos: 60º.
28. Ángulo ABC = 30º, ángulo BCD = 90 º, lado BC = 12 cm.
Repaso
5 cm
8 cm
15 cm
45º
20º
90º
20 cm B
170º
120º
10 cm
R
R
P
P
P
Q
Q
Q
3-3 Construcción de triángulos
¿Es posible que los triángulos tengan las dimensiones que se muestran?
8. 9.
10. ¿Puede un triángulo tener lados 9 m, 18 m y 25 m? Explica.
60º
83º
3cm 4cm
74º
80º x
5. Ocupando tus instrumentos de geometría, dibuja un segmento AB de 3 cm de longitud y
un segmento FG de 5 cm de longitud y que sea perpendicular a AB.
3 ¿Listo para seguir?
Prueba de las lecciones 3-1 a 3-3
C A P Í T U L O
¿Listo para seguir?
3-2 Construcción de la bisectriz de un ángulo
Traza las bisectrices de cada uno de los ángulos que se muestran.
6. 7.
3-1 Transporte y construcciónde segmentos y ángulos
Construye en tu cuaderno ángulos que sean congruentes a los ángulos que se muestran.
1. 2. 3. 4.
Resuelve
• Elimina opciones de respuesta
A veces, cuando un problema tiene múltiples opciones de
respuesta, puedes eliminar algunas opciones para resolverlo.
Por ejemplo, un problema dice: “La figura que falta no es un
triángulo rojo”. Si una de las opciones de la respuesta es un
triángulo rojo, puedes eliminar esa opción.
Dora hizo un patrón con emoticones. ¿Qué carita es
probable que use después?
:- D :-) 😀 :-) 😀 :-) :- D :-) 😀
A 😀 B :-)
C :-) D 😀
Felipe hizo un patrón con emoticones. Identifica un
patrón. ¿Qué carita falta?
:-( 😉 😮 :-( 😉 😮 :-( 😮
A :-( B 😉
C 😮 D :-)
Rosario terminó un correo electrónico con cuatro
emoticones seguidos. El primero es un grito. El guiño
está entre la carita triste y la sonrisa. La sonrisa no
es el último de los emoticones. ¿En qué orden los
escribió Rosario?
A 😮 :-( 😉 :-) B :-) 😉 😮 :-(
C 😮 :-) 😉 :-( D 😮 😉 :-( :-)
1
2
3
Lee cada problema y observa las opciones de respuesta. Determina si puedes
eliminar alguna opción antes de resolver el problema. Luego, resuélvelo.
Los emoticones son letras y símbolos que parecen caritas si los damos
vuelta. Cuando le envías un correo electrónico a alguien, puedes usar
emoticones para mostrar tus sentimientos.
Usa la tabla para resolver los ejercicios del 1 al 3.
Resuelve
Enfoque en resolución de problemas
Emoticones
Símbolo Significado
:-( Triste
😀 Alegre
:-) Sonrisa
😮 Asombro
😉 Guiño
EJEMPLO 1
En un triángulo existen elementos primarios
que ya conoces, como los ángulos, los lados y
los vértices. Pero además existen elementos
secundarios que nos permitirán conocer
mejor esta figura que ha sido tan importante
en el desarrollo de la geometría. Estos
elementos secundarios son: alturas, simetrales,
transversales de gravedad, medianas y
bisectrices.
Las alturas son las rectas que se trazan
desde un vértice hasta su lado opuesto o a su
prolongación, en forma perpendicular a él. En
un triángulo, puedes trazar tres alturas, que se
designan con ha , hb y hc , según el vértice desde
el cual son trazadas. Estas rectas se intersectan
en un punto llamado ortocentro y se designa
con la letra H.
Trazar alturas de un triángulo
Traza las alturas de un triángulo ABC acutángulo.
Si quieres trazar ha , desde el vértice A al lado a del triángulo, ubica la escuadra
de modo que el ángulo recto quede sobre el lado a y el otro cateto de la
escuadra pase por el vértice A. Repite el proceso para las otras dos alturas del
triángulo.
El punto de intersección, el
ortocentro, queda ubicado
en el interior del triángulo.
Aprender a trazar
y reconocer las alturas de
un triángulo. Hallar ángulos
desconocidos en un
triángulo.
3–4 Alturas en un triángulo
C A P Í T U L O
Vocabulario
vértices
alturas
ortocentro
B
90º 90º
90º
a C
c b
A
ha
hb hc
B
b
C
A
a
c
EJEMPLO 2 Hallar medidas de ángulos
Encuentra el valor de ángulos en un triángulo relacionados con la
altura trazada.
Dado el △ABC con CD = hc y ∢α = 62º, calcular el ángulo x:
a. Si CD es la altura hc , debemos marcar el ángulo recto
en D a ambos lados de ella.
b. Ubicamos el ángulo α = 62º en el vértice A.
c. Observemos que conocemos dos ángulos del △ADC.
α = 62º
∢ en D = + 90º
152º
x
α
C
D B
hc
A
d. En todo triángulo los tres ángulos interiores suman
180º, por lo tanto, para calcular x bastará restar.
180º
– 152º
∢x = 28º
B
C
a
A
D
62º
C
A B
hc
28º
1. Dibuja en tu cuaderno un triángulo equilátero, uno isósceles y uno
escaleno.
2. Traza todas las alturas de los triángulos que dibujaste.
3. Comenta qué pasa con el ortocentro.
Razonar y comentar
EJEMPLO
EJEMPLO
3
4
Las alturas en un triángulo rectángulo
Traza las alturas de un triángulo rectángulo ABC.
Las alturas en un triángulo obtusángulo
Traza las alturas de un triángulo rectángulo ABC.
Teniendo en cuenta que las alturas se trazan desde un vértice hasta el
lado opuesto quedando perpendicular a él, en un triángulo rectángulo,
por tener un ángulo recto, dos de los lados coincide con las alturas
correspondientes.
El lado AC es la altura del lado AB.
El lado AB es altura del lado AC.
El segmento Aa es altura del lado BC.
El vértice A es el ortocentro.
Cuando estamos en presencia de un
triángulo obtusángulo, trazar las alturas
puede resultar un poco más complicado.
Debido al ángulo obtuso, para trazar las
alturas es necesario extender los lados
del triángulo como se muestra en la
figura de la derecha. Procedimiento que
ya conoces.
En los triángulos obtusángulos, el
ortocentro está fuera del triángulo.
A B
C
3–4 Ejercicios
2 4. Halla el valor de los ángulos del triángulo que se
encuentran relacionados con la altura trazada si
sabes que el triángulo es isósceles y ∢ ABC = 70º.
Ver ejemplo
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
x
C
D
B
A
3 Traza las alturas de los triángulos XYZ. Señala el ortocentro.
5. 6.
Traza las alturas de los triángulos EFG. Señala el ortocentro.
7. 8.
Ver ejemplo
Ver ejemplo 4
1 Copia en tu cuaderno los triángulos dados, traza las alturas correspondientes y marca
cada ortocentro. Compara la ubicación de las alturas en cada triángulo.
9. 10. 11.
Ver ejemplo
C C
C
B
B B
A A
A
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
1 Copia en tu cuaderno los triángulos dados, traza las alturas correspondientes y marca
cada ortocentro. Compara la ubicación de las alturas en cada triángulo.
1. 2. 3.
Ver ejemplo
B
A
A
A
C
C
C
B B
F E
G
F E
G
Y X
Z
Y X
Z
12. Encuentra el valor de los ángulos del triángulo que se encuentran relacionados con la
altura trazada.
△ABC
CD = hc BF = hb
∢a = 60º
∢DCB = 45º
¿∢x, ∢y, ∢z?
13. Traza las alturas de un triángulo rectángulo OPQ. Señala el ortocentro.
14. Traza las alturas de un triángulo rectángulo MNL. Señala el ortocentro.
15. Dibuja un triángulo rectángulo y traza las alturas.
16. Halla el valor de los ángulos x e y en el triángulo ABC isósceles, sabiendo que AC = BC y
CD es la altura hc.
17. Razonamiento crítico Dibuja en tu cuaderno un ejemplo de cada uno de los tipos de
triángulos que conoces. Traza las alturas. Marca el ortocentro. Elabora una hipótesis
sobre las alturas basada en las alturas y los ortocentros de cada uno de ellos.
C
x y
A B
D
Ver ejemplo 2
Ver ejemplo 3
Ver ejemplo 3
18. ¿Qué par de rectas forman un ángulo recto?
A rectas paralelas B rectas secantes C la simetral de un segmento D rectas cruzadas
19. Dos entradas al cine valen $ 7 000. ¿Cuánto valen nueve entradas?
Repaso
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
C
A B D
45º
α
z
x
y
F
60º
L M L
N N
P O
Q
P O
Q
M
Aprender a trazar
las simetrales de un
triángulo.
3–5 Simetrales de un triángulo
C A P Í T U L O
Vocabulario
simetrales
punto medio
circuncentro
EJEMPLO 2 Identificar la simetral de un segmento
Identifica si el segmento CD es simetral de AB
A
B
En este caso CD no es simetral de AB
porque no pasa por su punto medio,
es decir, CD no divide a AB en dos
segmentos iguales.
En este caso CD sí es simetral de AB
porque pasa por su punto medio, es decir,
CD divide a AB en dos segmentos iguales.
A B
C
D
A B
C
D
Las simetrales son las rectas que se trazan en
forma perpendicular a cada lado, y que pasan desde
el punto medio de ellos. En un triángulo puedes
trazar tres simetrales, y se designan con Sa , Sb , Sc ,
según el lado que intersecte en forma perpendicular.
Las simetrales se intersectan en un punto llamado
circuncentro, el que corresponde al centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo.
A
D
E
B C
c b
a
Sc
Sa
Sb
Circuncentro
Construcción de la simetral de un segmento de recta
Sigue los pasos que se muestran a continuación para trazar la simetral
de un segmento.
A
B
Dibuja JK en un papel. Coloca la punta
del compás en J y traza un arco. Sin
cambiar la apertura del compás, coloca
la punta del compás en K y traza un arco.
Dibuja una recta para conectar las
intersecciones de los arcos.
Mide JM y KM. ¿Qué puedes observar?
La simetral de JK es una simetral
perpendicular porque forma ángulos
rectos con JK.
M
J K
J K
EJEMPLO 1
Razonar y comentar
1. Dibuja en un triángulo equilátero las alturas.
2. Comenta qué sucede con estos elementos secundarios del
triángulo. ¿Resulta así en cualquier triángulo?
A
C
B
EJEMPLO 3 Trazar simetrales de un triángulo
Traza las simetrales de un triángulo ABC acutángulo.
Si quieres trazar la simetral del lado a´ de un triángulo, usa el compás.
Apóyalo en el vértice B y con una distancia mayor a la mitad del lado,
marca un arco sobre y bajo el lado. Repite el proceso apoyando el
compás, ahora en el vértice C y sin alterar la medida anterior del compás.
Si apoyas el compás en el punto de
intersección de las tres simetrales,
lo abres hasta llegar a un vértice del
triángulo y trazas la circunferencia,
esta debe pasar por los otros dos
vértices del triángulo.
B C
A
c’
b’
O
a’
EJEMPLO 4 Las alturas y las simetrales en un triángulo equilátero
Traza las alturas y las simetrales del triángulo equilátero ABC.
Siguiendo las metodologías ya conocidas, si trazamos en un triángulo
equilátero ABC, las simetrales y las alturas, podemos apreciar que en
este tipo de triángulos coinciden las simetrales y las alturas y por tanto,
coinciden también el ortocentro y el circuncentro. Esto ocurre debido a
que los lados de un triángulo equilátero tienen la misma longitud y los
ángulos miden 60°.
Ejercicios
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
3–5
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
Ver ejemplo 2 Identifica si el segmento AB es simetral en los casos que no sea simetral trazada.
4. 5. 6. 7.
3cm
B
C
D
7cm C D
A
B
6,8cm C D
A
8,6cm
B
C D
Ver ejemplo 1 Traza la simetral de los segmentos.
1. 2. 3.
A C C A
Traza las simetrales de un triángulo ABC acutángulo.
8. 9. 10.
Ver ejemplo 3
C
B B
B
A
Traza las alturas y las simetrales de los triángulos equiláteros
11. 12
Ver ejemplo 4
C H
B
5 cm
7 cm
G
A F
A
A
A
B
B
B
Ver ejemplo 2 Identifica si el segmento AB es simetral de VW. En los casos en que no sea, trázalo.
16. 17. 18. 19.
5cm 8cm 3cm 10cm
B B B B
A
A
A A
V
V
V
V
W
W
W
W
Ver ejemplo 1 Traza la simetral de los segmentos.
13. 14. 15.
C
A E
F
B
D
3 Copia en tu cuaderno los triángulos dados, traza las simetrales y marca el circuncentro para
cada triángulo.
20. 21. 22.
Ver ejemplo
B B B
A A
A
C C C
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
25. ¿Dónde está el error? Un estudiante escribió que la bisectriz de un ángulo lo divide
en dos partes iguales y que de la bisectriz a uno de los rayos que forman el ángulo no
hay la misma distancia que de la bisectriz al otro rayo del ángulo. ¿Dónde está el error
de este estudiante?
26. Razonamiento crítico Un triángulo equilátero tiene como características que sus
lados tienen la misma longitud y sus ángulos tienen la misma medida. Si a uno de
los ángulos de un triángulo equilátero le trazamos su bisectriz de manera que se
corte el lado del triángulo que está opuesto a él, ¿qué figuras obtienes y con qué
características? Represéntalo esquemáticamente.
Traza las simetrales de los siguientes triángulos.
27. 28. 29.
Dibuja cada figura y traza una bisectriz con un compás y una regla. Mide para verificar.
30. Un segmento de 20 cm. 31. Un segmento de 6 cm.
32. Un ángulo de 48º. 33. Un ángulo de 110º.
34. Dibuja dos rectas oblicuas y bisecta sus ángulos adyacentes utilizando regla y compás.
Determina el valor de x.
35. 5x + 3 = 10 36. x + 8 = 150 37. 100 – 2x = 38 38. 0 – x = 33
Calcula.
39. 3 + (-8) – 4 = 40. (-10) + 20 – (-1) = 41. 50 – (-32) + (-11) – 4 = 42. 80 + 23 – (-55) =
Repaso
4 Traza las alturas y las simetrales de los triángulos equiláteros.
23. 24.
Ver ejemplo
C H
B
6 cm
8 cm
G
A F
?
EJEMPLO 1
Las transversales de gravedad son los segmentos que unen el punto medio de un
lado del triángulo con su vértice opuesto.
Hallar relaciones en las transversales de gravedad
Dibuja un triángulo ABC y traza las transversales de gravedad. Rotula
los puntos medios como D, E y F respectivamente a los lados a, b y c y
al centro de gravedad con G.
Mide los segmentos que se forman.
Para dibujar las transversales de gravedad sigue los siguientes pasos:
Párate con el compás en el vértice A y con amplitud de AB traza una
circunferencia.
Repite la misma operación pero parándote con el compás en el
vértice B.
Usando tu regla, dibuja una recta que pase por los dos puntos en los
que se cruzan ambas circunferencias.
Repite el mismo procedimiento con el resto de los lados del
triángulo.
AG y GD
BG y GE
CG y GF
AG = 2 cm y GD = 1cm
BG = 2 cm y GE = 1 cm
CG = 1,6 cm y GF = 0,8 cm
Por lo tanto, AG = 2GD
Aprender
a construir y reconocer
una transversal de
gravedad.
3–6 Transversales de gravedad
en un triángulo
C A P Í T U L O
Vocabulario
transversal de gravedad
punto medio
lados de un triángulo
simetral
baricentro
Para trazar la transversal de gravedad
se busca el punto medio del lado,
mediante la simetral y se une con el
vértice opuesto. Este segmento es la
transversal de gravedad y se designa
con ta , tb , tc según el vértice al que
llega. Las tranversales de gravedad
se intersectan en un punto llamado
baricentro o centro de gravedad del
triángulo.
A F B
E D
G
tc
ta tb
C
A F B
E D
G
C
b a
c
A
B
C
D
EJEMPLO 2 Hallar otro elemento secundario de un triángulo usando la
transversal de gravedad
Dibuja un triángulo ABC cualquiera y traza las transversales de
gravedad. Designa los puntos medios D, E y F respectivamente a los
lados a, b y c. Une los puntos medios formando los segmentos DE, EF,
y FD. Mide cada uno y compáralos con la medida de los lados c, a y b
respectivamente.
AB = 5,2 cm ED = 2,6 cm
BC = 4,6 cm EF = 2,3 cm
CA = 3,4 cm DF = 1,7 cm
Los segmentos ED, EF y DF se llaman medianas y están en proporción 1 : 2 con
los lados del triángulo opuestos a ellos y a los cuales también son paralelas.
El centro de gravedad de un triángulo divide a cada transversal de
gravedad en la razón 2:1.
Así, en el ejemplo 1 puedes ver que:
AG = 2GD; BG = 2GE y CG = 2GF
Leer matemáticas
En todo triángulo
Mediana es ED,
donde E y D son los
puntos medios.
ED // AB
ED = 1
2 AB
1. Comprueba mediante la construcción de rectas paralelas si toda
mediana es paralela al lado del triángulo.
2. Dibuja las transversales de gravedad en un triángulo equilátero.
¿Qué observas? Compara con las simetrales y las alturas.
Razonar y comentar
C
E D
A B
A F B
E D
G
C
b a
c
Ejercicios
1
1
2
2
Copia en tu cuaderno los triángulos dados, traza las transversales de gravedad correspondientes
y marca cada baricentro. Para cada triángulo, forma la razón de los segmentos.
1. 2.
Copia en tu cuaderno los triángulos dados, traza las transversales de gravedad
correspondientes y marca cada baricentro. Para cada triángulo, forma la razón de los
segmentos.
5. 6. 7.
Copia en tu cuaderno los triángulos dados, traza las transversales de gravedad
correspondientes.
11. 12.
Copia en tu cuaderno los triángulos dados y traza las transversales de gravedad
correspondientes para encontrar las medianas.
3. 4.
Copia en tu cuaderno los triángulos dados y traza las transversales de gravedad
correspondientes para encontrar las medianas.
8. 9. 10.
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
3–6
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B A B
C
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
13. Razonamiento crítico. En un triángulo ABC isósceles con BC = AC, traza hc , Sc , Tc.
Comenta lo que observas. ¿Se puede establecer una regla?
14. ¿Dónde está el error? En el dibujo se trazaron dos transversales de gravedad y se
muestran las siguientes medidas. Explica.
15. Desafío. En el triángulo ABC, G es el centro de gravedad
EG = 4 cm y GD = 2EG . Calcula las medidas de CG y GA.
16. Las líneas que no son perpendiculares a un lado del triángulo y pasan por el punto medio de
él son:
A Simetrales B Alturas C Transversales de gravedad D Medianas
17. ¿En qué razón se encuentran los segmentos que se forman al trazar las 3 transversales de
gravedad?
Encuentra el valor de la incógnita:
18. 3 + x = 18 19. 3x – 1 = 5 20. 5x + 4 = 3x – 2
A 4 cm 4 cm B
3 cm
3 cm
3 cm
2 cm
C
A D
E
G
C
B
Repaso
?
EJEMPLO 1
La bisectriz es el rayo que divide
el ángulo en dos ángulos de igual
medida. En el triángulo puedes trazar
las bisectrices y se designan por ba , bb
y bc , según el ángulo. Las bisectrices
se intersectan en un punto llamado
incentro que se designa con la letra
O y es el centro de una circunferencia
tangente interiormente al triángulo,
también se conoce como circunferencia
inscrita.
En el capítulo 3-2 aprendiste a trazar la
bisectriz de un ángulo. Ahora repetirás
el proceso para cada ángulo interior del
triángulo.
Hallar ángulos en un triángulo en que se han trazado
bisectrices
Halla el ángulo x.
△ABC
AD = ba
∢CBE = 120º
∢ACB = 52º
Aprender a
trazar y reconocer las
bisectrices.
3–7 Bisectrices en un triángulo
C A P Í T U L O
Vocabulario
rayo
incentro
circunferencia inscrita
Primero, en el dibujo escribe los valores de los ángulos dados.
Luego puedes ver que el ángulo β es suplementario con ∢CBE. Por lo tanto
deben sumar 180º, por lo tanto:
180º – 120º = b
b = 60
Entonces α = 180º – 60º – 52º = 68º, y como AD es bisectriz de α, entonces:
∢x = 68º
2 = 34º
D
A B
C
ba
α
A B
O
C
ba
bb
bc
α α
α
D
A B
120º
52º
E
C
ba
α x
γ
β
EJEMPLO 2 Hallar ángulos en un triángulo en que se han trazado
bisectrices en los ángulos exteriores
Halla el ángulo x.
△ABC isósceles
AC = BC
AD Bisectriz ∢A exterior
BD Bisectriz ∢B interior
△ABC isósceles, entonces ∢A = ∢B interiores y, como la suma de los
ángulos interiores de un triángulo es 180º, entonces:
∢Ai + ∢Bi + 70º = 180º
Luego:
∢Ai + ∢Bi = 110º, pero ∢Ai = ∢Bi , entonces ∢A interior = 55º y es
suplementario con ∢A exterior, por lo tanto
∢Ai exterior = 180º – 55º = 125º.
Si consideras el △ABD y las propiedades de la bisectriz,
∢DAB = 125º
2 + 55º = 117,5º y ∢ABD = 55º
2 = 27,5º
∢x = 180º – 117,5º – 27,5º
Luego: ∢x = 180º – 145º
∢x = 35º
1. Explica en qué caso las bisectrices de un triángulo coinciden con las
alturas, simetrales y transversales de gravedad.
2. Comenta si es posible trazar con regla y compás la bisectriz de un
ángulo de 230º.
Razonar y comentar
A B
70º
D C
x
Ejercicios
1
1
2
2
Halla el ángulo x.
1. 2.
Halla el ángulo x.
4. 5.
Halla el ángulo x.
7. 8.
3. Halla el ángulo x.
6. Halla el ángulo x.
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
3–7
△ABC isósceles
AC = CB
AD bisectriz de ∢CAB
∢ECD = 100º
CD bisectriz de ∢ACB
△ABC equilátero
AD bisectriz de ∢CAB
AE bisectriz de ∢FAC
BF bisectriz de ∢CBD
BE bisectriz de ∢ABC
∢ABC isósceles, AB = BC
CB es altura
AE bisectriz de ∢CAD
△ABC escaleno
AD bisectriz
EB bisectriz
△ABC isósceles
AC = CB
BD bisectriz de ∢ABC
∢ECB = 130º
CD bisectriz de ∢ACB
A B
D
C
E
100º
x A B
C
D
x
β
F A B
C
E D
x β
A D B
C
x
65º β 130º
B C
D
A
x 110º
40º
A B
E
D
F
C
35º x
A
E D
B
C
A B
E
C
D
x
30º
50º
25º
30º
x
E
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
9. Construye la bisectriz de un ángulo de 57º.
10. ¿En qué triángulo podemos trazar una bisectriz que también sea altura?
11. ¿Dónde está el error? José le explica a su amigo que para construir una bisectriz debe
medir el ángulo con un transportador y dividir por 2. ¿Está José en lo correcto? ¿Qué
significa construir una bisectriz?
12. Escribe paso a paso el desarrollo del ejercicio 7.
13. ¿Cuánto mide x?
AC = BC
CD bisectriz de ∢ACE
CE bisectriz de ∢DCB
∢CAD = 55,5º
14. Halla el valor de x en:
∢ACB = 120º
Si AD es bisectriz de ∢A
15. Escribe paso a paso el desarrollo de cómo
encontraste el valor de x en:
CF bisecttriz de ∢ACE
AE bisectriz de ∢CAD
16. Desafío. Se quiere ubicar una pileta en el centro de una plaza
triangular. ¿Qué elemento secundario nos permite encontrar el punto
exacto donde ubicar la pileta para que esté a la misma distancia de
todos los lados del triángulo?
17. La bisectriz de un ángulo se define como un(a):
A segmento B rayo C recta D perpendicular
18. Si trazamos la bisectriz en los ángulos de un triángulo que miden
∢A = 30º, ∢B = 90º y ∢C = 60º, obtenemos respectivamente los ángulos de:
A 30º, 45º, 15º B 20º, 45º, 10º C 15º, 45º, 30º D 10º, 45º, 20º
Halla las siguientes adiciones y sustracciones de números enteros.
19. –3 + 5 + 7 – (–9) = 20. –7 – 8 – 15 + 21 = 21. –8 + (–5) – (–7) =
22. –3 – (–9) + 7 – (–4) = 23. –9 – (–5) + (–2) – (–7) = 24. 15 – 18 – 49 =
Ordena de menor a mayor los siguientes números enteros.
25. –10, 54, –2, –32, 0, 4 26. –101, 504, –87, –64, 0 27. –5, 0, –50, 8
60º
A B
C
4x
12x D
x
A D
C
E B
A D B
C
20º 20º
E
F
x
Repaso
x
?
Esta estatua de Pitágoras está ubicada
en el puerto Pythagorion de la isla de
Samos.
EJEMPLO 1
Pitágoras nació en la isla de Samos, situada
en el mar Egeo, entre 580 a.C. y 569 a.C. Se
la conoce principalmente por el teorema de
Pitágoras, el cual relaciona las longitudes de
los lados de un triángulo rectángulo.
Una tablilla babilónica conocida como
Plimpton 322 demuestra que la relación
entre las longitudes de los lados de los
triángulos rectángulos ya era conocida en
1900 a.C.
Hallar la longitud de la hipotenusa
Halla la longitud de la hipotenusa a la centésima más cercana.
Aprender a usar
el teorema de Pitágoras
para resolver problemas.
A a2 + b2 = c2 Teorema de Pitágoras
22 + 22 = c2 Sustituye a por 2 y b por 2.
4 + 4 = c2 Desarrolla las potencias.
8 = c2 Suma.
√8 = c Halla la raíz cuadrada.
2,83 ≈ c Redondea al centésimo más cercano.
3–8 El teorema
de Pitágoras
C A P Í T U L O
Vocabulario
teorema de Pitágoras
triángulo rectángulo
cateto
hipotenusa
Pista útil
Cuando apliques
el teorema de
Pitágoras para hallar
una longitud, usa
solamente la raíz
cuadrada positiva.
c
2
2
el teorema de pitágoras
En palabras Con números En álgebra
En todo triángulo rectángulo,
la suma de los cuadrados
de las longitudes de los
dos catetos es igual al
cuadrado de la longitud de la
hipotenusa.
62 + 82 = 102
36 + 64 = 100 a2 + b2 = c2
6
10
8
b
c
Hipotenusa
a
Catetos
2 Hallar la longitud de un cateto en un triángulo rectángulo
Halla el lado desconocido del triángulo rectángulo.
B
a2 + b2 = c2 Teorema de Pitágoras
42 + 32 = c2 Sustituye a y b.
16 + 9 = c2 Desarrolla las potencias.
25 = c2 Suma.
√25 = c Halla la raíz cuadrada.
5 = c
Triángulo con las coordenadas (3, 1), (0, 5) y (0, 1)
a2 + b2 = c2 Teorema de Pitágoras
92 + b2 = 152 Sustituye a y b.
81 + b2 = 225 Desarrolla las potencias.
–81 = –81 Resta 81 de cada lado.
b2 = 144
b = √144 = 12 Halla la raíz cuadrada.
Razonar y comentar
1. Indica qué lado de un triángulo rectángulo es siempre el más largo.
2. Explica si 2, 3 y 4 cm pueden ser las longitudes de los lados de un
triángulo rectángulo.
EJEMPLO
EJEMPLO
3 Usar el teorema de Pitágoras para mediciones
Joaquín y Sara comienzan a caminar en el mismo punto, pero Joaquín
camina 50 m hacia el Norte y Sara camina 75 m hacia el Este. ¿A qué
distancia se encuentran uno del otro cuando se detienen?
La distancia entre Joaquín y Sara cuando dejan de caminar es igual a la
hipotenusa de un triángulo rectángulo.
a2 + b2 = c2 Teorema de Pitágoras
502 + 752 = c2 Sustituye a y b.
2 500 + 5 625 = c2 Desarrolla las potencias.
8 125 = c2 Suma.
90,1 ≈ c Halla la raíz cuadrada.
La distancia que hay entre Joaquín y Sara es aproximadamente 90 metros.
x
y
(0, 1)
(0, 5)
(3, 1)
6
4
2
2 4 6
3
4
b
15
9
75 m
50 m c
Halla la longitud de la hipotenusa a la centésima más cercana.
3–8 Ejercicios
1
1
2
2
3
3
Halla la longitud de cada hipotenusa aproximada a la centésima más cercana.
1. 2. 3.
4. triángulo con las coordenadas (–4, 0), (–4, 5) y (0, 5)
Halla la longitud de cada hipotenusa aproximada a la centésima más cercana.
9. 10. 11.
12. Triángulo con las coordenadas (–5, 3), (5, –3) y (–5, –3).
Halla el lado desconocido de cada triángulo rectángulo aproximado a la décima más cercana.
5. 6. 7.
Halla el lado desconocido de cada triángulo rectángulo aproximado al décimo más cercano.
13. 14. 15.
8. Un helicóptero de control del tráfico vuela 10 kilómetros hacia el Norte y después 24
kilómetros hacia el Este. Luego, el helicóptero vuelve en línea recta hacia el punto de
partida. ¿Cuál es la distancia que recorre el helicóptero en el último tramo?
16. El sr. y la sra. Flores viajan a sus trabajos todas las mañanas. El sr. Flores conduce 8 km
hacia el Este para ir a su oficina. La sra. Flores conduce 15 km hacia el Sur para ir a su
oficina. ¿Cuántos kilómetros separan los lugares de trabajo del sr. y la sra. Flores?
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
Halla la longitud que falta de cada triángulo rectángulo aproximada a la décima más
cercana.
17. a = 4, b = 7, c = 18. a = , b = 40, c = 41
19. a = 30, b = 72, c = 20. a = 16, b = , c = 38
21. a = , b = 47, c = 60 22. a = 65, b = , c = 97
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
31. Un mástil tiene una altura de 139 metros. Se ata una cuerda a la punta del mástil y se
la sujeta al suelo a 5 metros desde la base del mástil. ¿Cuál es la longitud de la cuerda
aproximada a la unidad más cercana?
A 13 metros B 33 metros C 35 metros D 139 metros
32. Rafael apoya una escalera de 6 m contra la pared de su casa. La base de la escalera está
ubicada a 4 m de la base de la casa. ¿Qué altura de la casa puede alcanzar la escalera?
Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
Halla el número que sigue en cada patrón.
33. –3, 0, 3, 6, … 34. 0,55; 0,65; 0,75; 0,85; …
35. 9, 16, 23, 30, 37, 44, .. 36. 1; 1,5; 2; 2,5, …
37. –1, 1, 3, 5, … 38. 0,–2,–4,–6, …
Estima cada raíz cuadrada con dos lugares decimales.
39. √30 40. √42
41. √55 42. √67
23. Por razones de seguridad, la base de una escalera de 24 metros se debe colocar, por
lo menos, a 8 metros de la pared. Aproximado a la décima de metro más cercano, ¿qué
altura se puede alcanzar de manera segura con una escalera de 24 metros?
24. ¿A qué distancia está el velero del faro,
al kilómetro más cercano de la imagen de
la derecha?
25. Varios pasos Dos lados de un triángulo
rectángulo tienen 4 centímetros y
11 centímetros de largo. El tercer lado
puede ser un cateto o la hipotenusa.
¿Aproximadamente, cuánto más largo sería si fuera la hipotenusa que si fuera el cateto?
26. Razonamiento crítico Un triángulo rectángulo tiene catetos de 1 metro, 6 centímetros y
de 2 metros de largo. Halla la longitud de la hipotenusa y el perímetro en unidades mixtas
de metros y centímetros.
27. Varios pasos ¿Cuál era la altura del tronco de
árbol que aparece a la derecha aproximada a
la décima más cercana? Explica.
28. Escribe un problema Usa un mapa de calles
para escribir y resolver un problema que
requiera el uso del teorema de Pitágoras.
29. Escríbelo Explica cómo hallar la longitud de un lado de cualquier triángulo rectángulo
cuando conoces dos longitudes.
30. Desafío Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3x m y 4x m de largo y una hipotenusa
de 75 m de largo. Halla las longitudes de los catetos del triángulo.
Repaso
50 km
130 km
?
14 m
3 m
EJEMPLO 1
Las pantallas de los televisores se
describen según la longitud de sus
diagonales.
El teorema de Pitágoras se puede usar
para hallar distancias y longitudes, como
la longitud diagonal de la pantalla de un
televisor de alta definición.
Ya has comprobado que el teorema de Pitágoras se cumple para todos los
triángulos rectángulos. Ahora, es importante que sepas que, en el caso de este
teorema, se cumple también su recíproco. Veamos ambos enunciados:
Hallar la longitud diagonal
Ana está haciendo un folleto para el televisor de alta definición que se muestra
arriba. La pantalla mide 48 pulgadas de ancho y 20 pulgadas de alto. ¿Qué
longitud diagonal debería usar en el folleto?
Halla la longitud de la diagonal de la pantalla de TV.
202 + 482 = c2 Usa el teorema de Pitágoras.
400 + 2 304 = c2 Desarrolla.
2 704 = c2 Suma.
√2 704 = c
52 = c Halla la raíz cuadrada.
La longitud diagonal debería darse como 52 pulgadas.
Aprender a usar
la fórmula de distancia y
el teorema de Pitágoras y
su recíproco para resolver
problemas.
3–9 Cómo aplicar el teorema
de Pitágoras y su recíproco
C A P Í T U L O
Teorema de Pitágoras Recíproco del teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado
de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
Si un triángulo tiene longitudes de lado a, b y
c y a2 + b2 = c2, entonces el triángulo es un
triángulo rectángulo.
Vocabulario
longitud diagonal
EJEMPLO
EJEMPLO
Razonar y comentar
1. Al duplicar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo
se forma otro triángulo rectángulo. ¿Esta afirmación es verdadera o
falsa? Explica tu respuesta.
7, 24, 25 5, 8, 12
a2 + b2 ?=
c2 Compara a2 + b2 con c2. a2 + b2 ?=
c2
72 + 242 ?= 252 Sustituye 52 + 82 ?=
122
49 + 576 ?=
625 Desarrolla 25 + 64 ?=
144
625 = 625 ✔ Suma. 89 ∙ 144 ✘
Las longitudes de los Las longitudes de
los lados forman un lados no forman un
triángulo rectángulo. triángulo rectángulo.
2
3
Verificación del teorema de Pitágoras
Ya conoces el teorema de Pitágoras, así pues para verificar su
recíproco tomaremos el trío pitagórico 3, 4 y 5.
Identificar un triángulo rectángulo
Indica si las longitudes de los lados dados forman un triángulo rectángulo.
A
Toma una cuerda, y marca
con una regla las medidas
correspondientes al trío pitagórico,
es decir, 3 cm, 4 cm y 5 cm, de
manera consecutiva.
Une los extremos de las marcas, de manera que queden unidas la
primera y la última marca.
Estira la cuerda formando un
triángulo.
Mide los ángulos y comprueba
experimentalmente que uno de
ellos mide 90º.
4cm
5cm
3cm
4cm
5cm
3cm
3cm
4cm
5cm
3cm 4cm 5cm
3cm
4cm
5cm
3cm
4cm
5cm
3cm
4cm
5cm
3–9 Ejercicios
1
2
1. Una cancha de baby fútbol mide 20 x 40 metros de ancho
y largo respectivamente. Calcula la distancia que debe
recorrer la pelota desde una esquina de la cancha hasta su
esquina opuesta.
Indica si las longitudes de los lados dados forman un triángulo
rectángulo.
2. 3, 4, 5 3. 8, 10, 14
4. 0,5, 1,2, 1,3 5. 18, 80, 82
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
11. Razonamiento Una empresa constructora hace cimientos de concreto de forma
rectangular. Las dimensiones de los cimientos son de 6 m por 12 m. Describe un
procedimiento que confirme que los lados de los cimientos se unen en un ángulo recto.
Los tres números naturales que hacen que la ecuación a2 + b2 = c2 sea verdadera se
denominan tríos pitagóricos. Determina si cada conjunto es un trío pitagórico.
12. 3, 6, 9 13. 3, 4, 5 14. 5, 12, 13 15. 7, 24, 25
16. 10, 24, 26 17. 8, 14, 16 18. 10, 16, 19 19. 9, 40, 41
1
2
6. Una escalera debe colocarse a 5 metros de la base de una
pared y debe alcanzar una altura de 11 metros. ¿Qué longitud
debe tener la escalera? Redondea tu respuesta a la décima más
cercana.
Indica si las longitudes de los lados dados forman un
triángulo rectángulo.
7. 8, 15, 17 8. 5, 6, 9
9. 2,4, 2,5, 3,6 10. 60, 80, 100
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
25. Dos lados de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 15 cm. El tercer lado no es la
hipotenusa. ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
A 3 cm B 12 cm C 17 cm D 21 cm
26. ¿Qué propiedad establece que 1x y x son equivalentes?
27. Calcula y = 3x – 4 para x = 6.
20. Geometría La altura de un triángulo es un segmento perpendicular
que va desde un vértice hasta la línea que contiene el lado opuesto.
Halla h.
21. Usa una hoja estándar de 29,7 cm por 21 cm. Mide la diagonal
lo más exactamente posible. ¿Esta medición forma un triángulo
rectángulo? Explica tu respuesta.
22. Historia En el antiguo Egipto, los agrimensores hacían ángulos
rectos tensando una soga con nudos equidistantes, como se
muestra en la figura. Explica por qué la soga forma un ángulo recto.
23. Un cuadrado unitario tiene una longitud de lado de 1 unidad. Halla
la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario con una longitud
de lado de 1 centímetro. Escribe tu respuesta como raíz cuadrada.
24. ¿Dónde está el error? Un estudiante dijo que las longitudes de
lado 41, 40 y 9 no forman un triángulo rectángulo porque
92 + 412 = 1 762 y 402 = 1 600, y 1 762 ∙ 1 600.
¿Qué error cometió?
?
Repaso
3-4 Alturas en un triángulo
3-5 Simetrales de un triángulo
2. Si △ABC es isósceles, ¿la recta CD
corresponde a una simetral y a una altura?
Explica.
3-6 Transversales de gravedad en un triángulo
3. Las transversales de gravedad, ¿tienen siempre un punto de intersección?
4. ¿Qué razón forman las medidas de las medianas con el lado paralelo del triángulo?
3-7 Bisectrices en un triángulo
5. Dibuja un △ABC escaleno y dibuja las bisectrices de los ángulos
interiores y las bisectrices de los ángulos exteriores. ¿Qué
relación tienen?
6. En la figura, △EFG es un triángulo isósceles de base EF.
Si GJ es bisectriz, ¿cuál es la medida de cada ángulo de este
triángulo?
3 ¿Listo para seguir?
Prueba de las lecciones 3-4 a 3-9
C A P Í T U L O
¿Listo para seguir?
E
G
J
50º
F
1. Traza las alturas de un triángulo
ABC acutángulo. Marca el
ortocentro.
A
C
D B
3-8 El teorema de Pitágoras
Determina la hipotenusa de los triángulos rectángulos, si los catetos miden:
3-9 Cómo aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco
Indica si las longitudes de los lados dados forman un triángulo rectángulo.
12. 9, 12, 18
14. 7, 9, 11
16. 8, 14, 17
13. 3, 4, 10
15. 6, 8, 10
17. 9, 10, 15
7. 5 cm y 6 cm
9. 10 cm y 20 cm
11. 8 cm y 15 cm
8. 9 cm y 12 cm
10. 12 cm y 5 cm
3 C A P Í T U L O
Movistar Arena
Movistar Arena es un recinto multipropósito situado en el
interior del Parque O’Higgins y a pocos minutos del centro
de la ciudad. Fue construido a partir del inconcluso Estadio
Techado Parque O’Higgins y diseñado para albergar eventos
deportivos, comerciales, culturales y de ocio, teniendo una
capacidad para 16 419 espectadores. La superficie total
del recinto es de 44 000 m², de los cuales 31 000 m2
corresponden a la arena que tiene una cúpula situada a 45 m
de altura.
La cúpula está formada por triángulos. Existen muchas
estructuras que están formadas a base de triángulos unidos
entre sí. Este tipo de estructuras, que adquieren una gran
rigidez, tienen infinidad de aplicaciones.
El triángulo es el único polígono que no se deforma cuando
actúa sobre él una fuerza. Cualquier otra forma geométrica
que adopten los elementos de una estructura no será rígida o
estable hasta que no se triangule.
A continuación se muestran los accesos a este recinto.
Conexiones con el mundo real
Usa el mapa para resolver
las preguntas siguientes:
1. ¿Qué tipo de triángulo
se forma con el acceso a
Fantasilandia y el acceso
por Viel con el recinto
Movistar Arena?
2. Los accesos Tuper
y Viel con el recinto
Movistar Arena forman
un triángulo isósceles. El
camino desde el acceso
Viel a Fantasilandia es
la bisectriz del ángulo.
¿Cuánto mide x?
ACCESO TUPPER
ACCESO
VIEL
MOVISTAR
ARENA
FANTASILANDIA
70º
x
N
S
E
Redes
Una red es una figura que muestra cómo están
conectados varios objetos por medio de vértices y
segmentos. Puedes usar una red para mostrar distancias
entre ciudades. En la red de la derecha, los vértices
identifican cuatro ciudades de Chile central y los
segmentos muestran las distancias en km entre las
ciudades.
Puedes usar la red para hallar la ruta más corta de Linares
a las otras tres ciudades y de regreso a Linares. Primero,
halla todas las rutas posibles. Luego, halla la distancia en
km de cada ruta. Se ha identificado una ruta y se muestra
abajo.
Linare s – S a n t i a g o – S a n F e l i p e – Valparaíso
279 km + 80 km + 90 km + 292 km = 741 km
¿Cuál es la ruta más corta y cuál es la distancia?
El dado de las multiplicaciones
Para este juego deberás juntarte con tres compañeros y compañeras del curso.
Necesitarás un dado, un cronómetro y una hoja para anotar los puntajes.
Para comenzar, cada jugador deberá lanzar el dado una vez y el que obtenga el número
más alto será el primero en jugar. El resto de los jugadores lo hará siguiendo el sentido de
las manecillas del reloj.
El juego consiste en que cada jugador (en el orden asignado) lanzará dos veces el dado.
El número que resulte de la primera tirada indicará la cantidad de veces que deberás
multiplicar por sí mismo el número
que saldrá de la segunda tirada. Por
ejemplo, si un jugador en su primer
lanzamiento saca 5 y en el segundo
lanzamiento saca 3, entonces
deberá resolver la multiplicación:
3 • 3 • 3 • 3 • 3.
El jugador que responda
correctamente obtendrá un punto y
el que no lo haga obtendrá 0.
Santiago
Valparaíso San Felipe
292 km
90 km
80 km
102 km
354 km
279 km
Linares
¡Vamos a Jugar!
ACTIVIDAD
GRUPAL
PROYECTO Folleto de figuras geométricas
Crea un organizador para guardar folletos en los
que resumas cada lección del capítulo.
Instrucciones
Comienza con hojas de cartulina de 30 cm por 45 cm.
Dobla una de las hojas por la mitad de modo que mida
30 cm por 23 cm. Luego, vuelve a doblar la hoja de modo
que mida 15 cm por 23 cm. Figura A
Sujeta la hoja con los pliegues en la base del lado derecho.
Dobla el extremo superior izquierdo hacia adentro y hacia
abajo para formar un bolsillo. Figura B
Da vuelta a todo y pliega el extremo superior derecho hacia
adentro y hacia abajo para formar un bolsillo. Repite los
pasos del 1 al 3 con las demás hojas de cartulina.
Recorta dos trozos de papel de tarjetas que midan 15 cm
por 23 cm. Con la perforadora, haz cuatro agujeros ubicados
a la misma distancia entre sí a lo largo de la parte inferior de
cada trozo. De modo similar, haz cuatro agujeros ubicados a
la misma distancia entre sí en cada bolsillo, como se muestra.
Figura C
Apila los seis bolsillos y coloca las tapas de cartulina al
principio y al final de la pila. Pasa cierres de alambre por los
agujeros para unir todo.
1
2
3
4
5
Tomar notas de matemáticas
Dobla las hojas de papel blanco en tres, como un folleto. Usa
los folletos para tomar notas de las lecciones del capítulo.
Guarda los folletos en los bolsillos de tu organizador.
A
B
C
Materiales
• 6 hojas de cartulina
• papel de tarjetas
• tijeras
• perforadora
• 4 aros metálicos
• papel blanco
• marcadores
C A P Í T U L O 3
Vocabulario
Guía de estudio: Repaso
EJEMPLOS EJERCICIOS
2
Completa los siguientes enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Dos rayos que tienen un origen común forman un .
2. Las rectas en el mismo plano que no se intersecan son .
3. El punto donde se cortan las alturas de un triángulo es el ___________________.
3-1 Transporte y construcción de segmentos y ángulos.
Transporta el siguiente ángulo
Transporta los ángulos.
4. ∢EAF 5. ∢CAB
6. ∢FAB 7. ∢ACB
8. ∢ABD
Guía de estudio: Repaso
D
B
A C
F
E
C
B
A
E
D
F E
D
C
B
A
C
B
A
F E
D
G
segmentos……………………………..90
ángulos…………………………………..90
bisectriz………………………………….94
teorema de la desigualdad de un
triángulo…………………………………98
vértices…………………………………104
alturas…………………………………..104
ortocentro……………………………..104
simetrales……………………………..108
punto medio………………………….108
circucentro……………………………108
transversal de gravedad……….. 112
lados de un triángulo……………. 112
simetral………………………………… 112
baricentro…………………………….. 112
rayo……………………………………… 116
incentro……………………………….. 116
circunferencia inscrita………….. 116
teorema de Pitágoras…………….120
triángulo rectángulo………………120
cateto……………………………………120
hipotenusa……………………………120
longitud diagonal…………………..124
EJEMPLOS EJERCICIOS
3-2
3-3
Construcción de la bisectriz de un ángulo.
Construcción de triángulos.
Usando transportador y
regla dibuja la bisectriz
del ángulo dado
Según el teorema de desigualdad de un
triángulo si la suma de dos de los lados es
mayor que el tercer lado entonces es posible
construir el triángulo.
34 cm, 15 cm, 40 cm
34 + 15 = 49 > 40
34 + 40 = 74 > 15
15 + 40 = 55 > 34
Determina si con los siguientes lados es
posible construir un triángulo.
25 cm, 38 cm, 40 cm
Usando transportador y regla dibuja la bisectriz de
los ángulos.
9. 10.
Determina si con los siguientes criterios es posible
construir un triángulo.
11. 50 cm, 5 cm y 10 cm
12. 50 cm, 0,5 cm y 500 cm
13. 10 cm, 15 cm y ∢60º
14. 10 cm, ∢60º y ∢120º
3-4 3-5
3-6
y Alturas en un triángulo. Simetrales de un triángulo.
Transversales de gravedad en un triángulo.
Encuentra el valor de x.
Encuentra el valor de los segmentos.
Encuentra el valor de x.
15.
Encuentra el valor de los segmentos.
16.
56 + 90 + x = 180º
x = 180º – 90º – 56º
x = 34º
Si AG = 5 cm
AB = 10 cm
CD y AE son transversales
de gravedad
Si AB = 8 cm
GE = 1,5 cm
AE y CD son transversales
de gravedad
x = ?
y = ?
AG
GE = 2
1 = x
1,5 ⇒ x = 3 cm
AD = DB porque D es punto medio
AD = AB
2 = 8
2 = 4 cm
48º 56º
x
hc
A D B
C
25º
x
ha
A
D
B
C
x
A y
E
G
D B
C
x
A y
E
G
D B
C
Guía de estudio: Repaso
EJEMPLOS EJERCICIOS
3-7 Bisectriz en un triángulo.
Encuentra el valor de x. 17. Encuentra el valor de x:
AC = BC
∢B = 36º
CD bisectriz del ∢C
AC = BC

∢B = ∢A

∢A = 36º
AC = BC
∢C = 50º
AD bisectriz del ∢A
y 36 + 36 + x + x = 180º
2x = 180 – 72
x = 108
2
x = 54
x
A
D
B
C
x
B
D
A
C
x
23-8 El teorema de Pitágoras
Determinar el tercer valor de un trío pitagórico.
(3, 4)
a2 + b2 = c2
32 + 42 = c2
9 + 16 = c2
25 = c2
c = (raíz cuadrada) 25
c = 5
Determina el valor aproximado de la hipotenusa si
los catetos miden:
18. 5 cm y 6 cm
19. 12 cm y 15 cm
20. 8 cm y 12 cm
21. 9 cm y 15 cm
22. 11 cm y 12 cm
23. 3 cm y 5 cm
24. 8 cm y 15 cm
25. 2 cm y 7 cm
26. 1 cm y 4 cm
por Teorema de Pitágoras
Sustituyendo
23-9 Cómo aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco
Comprueba si las siguientes medidas
corresponden a un triángulo rectángulo.
9cm, 12cm, 15cm.
a2 + b2 = c2
92 + 122 = 152
81 + 144 = 225
225 = 225
Por lo tanto, las medidas corresponden a las de
un triángulo rectángulo.
Indica si las longitudes de los lados forman un
triángulo rectángulo.
27. 8, 9, 10 28. 12, 5, 13 29. 9, 12, 15
30. Se agrega una pieza diagonal a un marco de 7,5 cm
por 10 cm para determinar si los lados del marco se
juntan en un ángulo recto. La pieza mide 12,5 cm de
longitud. ¿Los lados se juntan en un ángulo recto?
Explica.
31. Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo si
uno de sus catetos mide 8 cm y la hipotenusa mide
10 cm.
por Teorema de Pitágoras
Prueba del capítulo
3 Prueba de capítulo C A P Í T U L O
Construye ángulos congruentes a los ángulos que se muestran.
1. 2. 3.
Determina si las condiciones dadas son adecuadas para la construcción de un triángulo.
4. 5 cm, 8 cm, 18 cm 5. 3 cm, 4 cm, 5 cm 6. 4 cm, 6 cm, 8 cm
Encuentra el valor de x.
7. ABC es un triángulo isósceles 8. AD, BE transversales de gravedad
CD Bisectriz de ∢C AD = 6 cm, BE = 9 cm
∢CBD = 40º x = ?, y = ?
A
C
40º
x
D B A
C
E x D
y
B
A
C
B
9. En tu cuaderno, dibuja las
simetrales del △ABC.
Determina la longitud del lado que falta en los siguientes triángulos rectángulos.
10. Encuentra el valor de x.
12. 13. 14.
B
A
62º
x
C
ha
11. En tu cuaderno, dibuja
las medianas en un
triángulo escalenos
con regla y compás.
6 cm
8 cm
5 cm
13 cm 13 cm
12 cm
3
1. ¿Cuándo la recta BD no es bisectriz del ángulo
ABC?
A C
B D
2. Halla el valor de: –3 + 5 – 15 – ( –12) + 42
A 17
B 24
C 59
D 41
3. Encuentra el valor de x.
A
C
38º
x
B
A 42º
B 52º
C 62º
D 108º
4. Nelson tardó 1
2 hora en viajar a la consulta de
su ortodoncista. Estuvo 3
5 de hora en la consulta
y el viaje de regreso a su casa duró 3
4 de hora.
¿Cuánto tiempo le llevó en total la cita con su
ortodoncista?
A 7
11 hora
B 37
60 hora
C 117
20 horas
D 13
5 horas
5. Una tienda ofrece dos docenas de rollos de
papel higiénico a $ 10 488. ¿Cuál es el valor de
un rollo de papel higiénico?
A $874/rollo de papel higiénico
B $524/rollo de papel higiénico
C $437/rollo de papel higiénico
D $349/rollo de papel higiénico
6. En el siguiente triángulo, ¿qué trío de medidas no
puede corresponder a las medidas de sus lados?
A 12 cm, 5 cm, 13 cm
B 12 cm, 9 cm, 15 cm
C 15 cm, 16 cm, 17 cm
D 15 cm, 8 cm, 17 cm
7. ¿Qué expresión representa “dos veces la
diferencia entre un número y 8”?
A 2(x + 8) B 2(x – 8)
C 2x – 8 D 2x + 8
8. ¿Para qué ecuación NO es la solución x = 1?
A 3x + 8 = 11
B 8 – x = 9
C –3x + 8 = 5
D 8 + x = 9
9. ¿Qué razones forman una proporción?
A 4
8 y 3
6 B 4
10 y 6
16
C 4
12 y 7
15 D 2
3 y 5
8
C A P Í T U L O Evaluación acumulativa
Capítulos 1-3
C
C
D
D
D
D
C
C
A
A
A
A
B B
B
B
10. Encuentra el valor de x e y.
AE es bisectriz del c, a + c > b y b + c > a.
Esta propiedad anterior se conoce como desigualdad triangular.
• Además, recuerda que un triángulo se puede clasificar según la medida de sus lados en:
– Equilátero: tiene sus tres lados de igual medida.
– Isósceles: tiene dos lados de igual medida.
– Escaleno: tiene todos sus lados de diferentes medidas.
NO OLVIDES QUE…
1. Construye dos triángulos equiláteros, uno cuyo lado mida 3 cm y otro cuyo lado mida 5 cm. Utiliza
regla y compás.
a) Aumenta en 1 cm uno de los lados de los triángulos anteriores. ¿Siguen siendo equiláteros?
b) Repite la actividad anterior aumentando en 2 y 3 cm uno de los lados de los triángulos
equiláteros. ¿Siguen siendo triángulos equiláteros? Justifica.
c) Aumenta en 1 cm solo un lado de los triángulos equiláteros. ¿Qué tipos de triángulos son los
resultantes? Explica.
2. Construye un triángulo isósceles cuyos lados midan 4 cm, 4 cm y 6 cm, respectivamente. Aumenta
en 1 cm cada lado de los triángulos. ¿Qué tipo de triángulo es el resultante? ¿Ocurrirá siempre lo
mismo? Explica.
3. Marcela dice que construyó un triángulo cuyos lados miden 8, 12 y 18 cm. Felipe dice que él
construyó un triángulo isósceles cuyos lados miden 8, 10 y 8 cm. Paula dice que los lados del
triángulo que ella construyó miden 10, 14 y 3 cm. ¿Es verdad lo que dicen Marcela, Felipe y Paula?,
¿por qué?
4. Unos astutos corredores de propiedades publicaron el siguiente aviso para vender un terreno
situado en la parte más cara del área comercial:
• ¿Por qué no se presentó ningún comprador?
EN TU CUADERNO
SE VENDE
MAGNÍFICO TERRENO
IDEAL PARA FÁBRICAS U OFICINAS
Remate el 5 de marzo
270 m
230 m
500 m
Medidas de los ángulos de un triángulo
• ¿Qué pueden concluir acerca de las medidas de los ángulos interiores
de cada triángulo?
• ¿Se cumplirá esta propiedad en todo tipo de triángulos?
• ¿Cuánto crees que suman los ángulos exteriores de un triángulo?,
¿por qué?
PARA DISCUTIR
En esta actividad descubrirán una propiedad relativa a los ángulos interiores
de un triángulo. Sigan las instrucciones.
1. En una cartulina cada uno dibuja un triángulo acutángulo, uno
rectángulo y uno obtusángulo.
2. Pinten sus ángulos interiores de distinto color.
3. Recorten cada uno de los triángulos dibujados.
4. Luego, realicen con cada uno de ellos lo que se observa en la siguiente
secuencia:
EN EQUIPO Materiales:
• Tijeras
• Regla
• Cartulina
• Lápices
de colores
1 3
2 4
A yuda
• α, β, γ: ángulos
interiores.
• α’, β’, γ’: ángulos
exteriores.
α β
γ
γ’
α’
β’
• En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 180º y la de los ángulos
exteriores es 360º.
• Además, según la medida de sus ángulos interiores, un triángulo se puede clasificar en:
– Acutángulo: sus tres ángulos son agudos.
– Obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso.
– Rectángulo: uno de sus ángulos es recto.
NO OLVIDES QUE…
1. Utilizando un procedimiento similar al anterior verifica si la suma de los ángulos exteriores de un
triángulo es 360º. Compara tu procedimiento con el de un compañero o compañera, ¿obtuvieron lo
mismo?
2. Completa la siguiente tabla.
3. Completa cada recuadro con la medida que debe tener el tercer ángulo que falta en cada trío
de datos.
4. Piensa, comenta y responde.
a) ¿Se puede construir un triángulo ubicando adecuadamente dos ángulos rectos?
b) ¿Se puede construir un triángulo con dos ángulos obtusos?
c) ¿Se puede construir un triángulo con dos ángulos agudos?
EN TU CUADERNO
Observa la imagen y responde:
1. Para que un triángulo se pueda construir, ¿qué condición deben cumplir las
medidas de sus lados?
2. Construye un triángulo dados sus tres ángulos α, β y γ. Explica, paso a paso, cómo
lo construiste y, luego, responde.
• Con los ángulos dados ¿se puede construir un único triángulo?, ¿por qué?
3. Piensa y responde:
a) ¿Un triángulo isósceles puede ser obtusángulo?
b) ¿Un triángulo equilátero puede ser rectángulo? Justifica.
c) ¿Un triángulo equilátero puede ser obtusángulo? Justifica.
MI PROGRESO
Medida de los ángulos interiores ¿Es posible construir un triángulo?
45º 90º 90º
76º 24º 80º
120º 23º 100º
Ángulos interiores de un
20º 60º
55º 25º
67º 12º
α β γ
Ángulos exteriores de un
90º 150º
170º 150º
61º 209º
Alturas de un triángulo
Hasta aquí has trabajado con los elementos primarios de los
triángulos: lados, ángulos y vértices. Ahora aprenderás qué son y cómo
construir los elementos secundarios de los triángulos: alturas,
bisectrices, simetrales y transversales de gravedad.
Observa cómo puedes trazar las alturas de un triángulo utilizando una
escuadra:
PARA DISCUTIR
• ¿Todas las alturas de un triángulo tienen la misma medida?, ¿cómo lo
sabes?
• La medida de cada altura, ¿es la mayor o la menor distancia entre el
vértice y el lado opuesto correspondiente? Explica.
EN TU CUADERNO
1. Copia en tu cuaderno los siguientes triángulos.
a) Construye las tres alturas en el triángulo equilátero.
b) Construye la altura hc en los triángulos isósceles y escaleno.
c) ¿En cuántos triángulos dividen al triángulo equilátero las alturas?
d) ¿Cómo son los triángulos que se forman al trazar hc en el triángulo isósceles?
e) Compara la altura que dibujaste en el triángulo escaleno con la del triángulo isósceles.
¿Qué observas? Explica.
Las alturas se designan
por la letra
(minúscula), ya que
proviene del inglés
height, que significa
altura. A la derecha de la
letra se anota el vértice
desde el cual se traza la
altura, por ejemplo:
A yuda
A B
C
A B A B
C C
Equilátero Isósceles Escaleno
2. Sobre el punto medio de un segmento de línea recta de 6 cm se traza una perpendicular CD de
4 cm de longitud como se muestra en la figura. Sin construir el triángulo predice qué tipo de
triángulo se formará al unir los puntos A y B con el punto D. Fundamenta tu respuesta.
3. Dibuja 2 triángulos acutángulos, 2 rectángulos y 2 obtusángulos, distintos entre sí.
a) Traza las tres alturas en cada triángulo y marca su punto de intersección, llamado ortocentro.
b) Compara la ubicación de las alturas en cada triángulo (al interior o exterior de este).
c) A partir de lo anterior, completa la siguiente tabla:
A
C
D
B
Acutángulo
Lugar donde se ubican las alturas
Rectángulo Obstusángulo
Tipo de triángulo
Lugar donde se encuentra el ortocentro
Comentarios y conclusiones
Copia en tu cuaderno
Las alturas de un triángulo son segmentos perpendiculares a los lados del triángulo y que unen
estos con su vértice opuesto (representan la distancia más corta entre el vértice y el lado opuesto).
Las tres alturas o sus prolongaciones se cortan en un punto llamado ortocentro (H).
NO OLVIDES QUE…
Bisectrices de un triángulo
PARA DISCUTIR
• ¿Cómo son las medidas de las tres bisectrices que se obtienen para
cada triángulo?
• Las bisectrices ¿se intersecan al interior o exterior del triángulo?,
¿ocurrirá esto siempre?
• ¿Qué figuras se forman al intersecarse?
• ¿En qué tipos de triángulos estos segmentos podrían coincidir con
las alturas?
En esta actividad aprenderán a construir bisectrices a través de dobleces y, luego,
con regla y compás. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.
1. Un integrante dibuja en papel lustre un triángulo acutángulo, otro un
triángulo rectángulo y el tercer integrante, un triángulo obtusángulo.
2. Recorten los triángulos dibujados.
3. Doblen los ángulos interiores de cada triángulo exactamente por la mitad, haciendo coincidir
dos de los bordes del papel en cada doblez.
4. Marquen los segmentos que quedaron determinados por cada doblez. Estos corresponden a las
bisectrices de cada triángulo.
5. Marquen con un color diferente el punto donde se cortan los tres segmentos en cada uno.
6. Ahora, en una hoja, copien los triángulos que dibujaron en el papel lustre y construyan sus
bisectrices con regla y compás, siguiendo los pasos que se muestran en las siguientes figuras.
7. Comparen las bisectrices que construiste con regla y compás con las que hicieron con dobleces
en papel lustre.
EN EQUIPO Materiales:
• Papel Lustre
• Tijeras
• Lápices
• Hoja de papel
• Regla
• Compás
A A A A A
B C B C B C B C B C
• Las bisectrices son elementos secundarios de un triángulo. Estas dividen
cada ángulo interior del triángulo en dos ángulos de igual medida.
• En un triángulo se pueden trazar tres bisectrices correspondientes a sus
ángulos interiores. Estas se intersecan en un punto llamado incentro (I).
NO OLVIDES QUE…
EN TU CUADERNO
1. En la figura, ABC es un triángulo equilátero. AD es bisectriz. ¿Qué tipo de triángulos son
ABD y DCA?
2. En la figura, EFG es un triángulo isósceles de base EF. GJ es bisectriz. ¿Cuál es la medida de cada
ángulo de este triángulo?
Conéctate a Internet e ingresa a www.santillana.cl/futuro/ejerc4.html y busca el link
correspondiente.
Allí aparece un triángulo ABC, en el cual se han trazado las tres bisectrices de un triángulo.
Además, se han marcado con verde las intersecciones de la circunferencia inscrita con los
lados del triángulo.
Mueve los vértices del triángulo usando el mouse y, luego, responde.
1. ¿Es posible que la circunferencia quede al exterior en algún tipo de triángulo? Justifica tu
respuesta dando diferentes ejemplos.
2. ¿Podrías construir las bisectrices de la figura anterior sin utilizar compás? ¿Cómo?
3. ¿Cuántos triángulos se forman al interior del triángulo ABC luego de construir las bisectrices?
¿Hay alguna relación entre alguno de esos triángulos?
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
C
A B
D
G
E J F
50º
Simetrales
En esta actividad aprenderán a construir simetrales con regla y compás.
Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.
1. Cada integrante dibuja un triángulo distinto y traza un arco de circunferencia
con centro en un vértice del triángulo. El radio de este arco de circunferencia
debe ser mayor que la mitad del lado sobre el cual se traza.
2. Con la misma abertura del compás, cada uno traza un arco de circunferencia con centro en el
vértice opuesto como se muestra en la figura.
3. Une los puntos donde se intersecan ambos arcos de circunferencia con una recta.
5. La recta que trazó cada uno es una de las simetrales del triángulo. Traza las otras simetrales
repitiendo el procedimiento anterior.
EN EQUIPO Materiales:
• 3 hojas
de papel
• Regla
• Compás
• Lápiz
PARA DISCUTIR
• ¿Cuántas simetrales hay en un triángulo?
• ¿Las simetrales de un triángulo pasan por el punto medio de cada
lado?, ¿cómo lo sabes?
• ¿El punto en que se intersecan las simetrales está en alguno de los
lados del triángulo, en su interior o en su exterior?, ¿ocurrirá siempre
lo mismo?
Las simetrales de un triángulo son rectas perpendiculares a los lados del triángulo las cuales pasan
por el punto medio de estos. Se intersecan en un punto llamado circuncentro (C), centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo.
NO OLVIDES QUE…
1. Dibuja las simetrales correspondientes a los siguientes triángulos. Marca con un lápiz de color
el circuncentro.
• En los triángulos anteriores, traza una circunferencia con centro en el circuncentro y radio igual
a la distancia de este a alguno de los vértices. ¿Qué observas? Comenta.
2. Dibuja las simetrales y alturas de los siguientes triángulos equiláteros. Luego responde.
a) b)
• ¿Qué sucede con las alturas y simetrales en un triángulo equilátero?
EN TU CUADERNO
Conéctate a Internet e ingresa http://www.santillana.cl/puntocl/mat7ej1.htm. Realiza las
actividades que se indican y, luego, responde las siguientes preguntas.
1. ¿Dónde se ubica el circuncentro en un triángulo obtusángulo?
2. ¿Dónde se ubica el circuncentro en un triángulo rectángulo?
3. ¿Es posible que el circuncentro esté sobre alguno de los lados del triángulo? ¿En qué tipo de
triángulo?
4. ¿Es posible que el circuncentro esté sobre alguno de los vértices del triángulo? Explica.
5. ¿Qué sucede cuando el ángulo que está marcado aumenta? Justifica.
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Transversales de gravedad
En esta actividad construirán las transversales de gravedad de un triángulo y
descubrirán por qué se llaman así.
Formen parejas y sigan las instrucciones.
1. Un integrante dibuja un triángulo equilátero y el otro, un triángulo isósceles
en un cartón.
2. Marquen los puntos medios de cada lado de los triángulos.
3. Unan cada vértice con el punto medio del lado opuesto y obtendrán las transversales de
gravedad. ¿Dónde creen que se cortarán las transversales en este triángulo?
4. Finalmente, recorten el triángulo, ubiquen la punta de un compás o de un lápiz en el punto de
intersección de las tres transversales, como se muestra en la figura.
EN EQUIPO
Materiales:
• Tijeras
• Regla
• Cartón
• Lápiz
PARA DISCUTIR
• ¿Qué ocurre al ubicar la punta del compás en el punto de intersección
de las tres transversales?, ¿ocurrirá lo mismo en todos los tipos de
triángulos?, ¿por qué?
• ¿Podría estar este punto de equilibrio en uno de los lados del
triángulo?, ¿en qué caso?
Las transversales de gravedad son segmentos que unen los puntos medios de cada lado con su
vértice opuesto. Se cortan en un punto llamado centro de gravedad o baricentro (G), que
corresponde al punto de equilibrio del triángulo.
NO OLVIDES QUE…
1. En uno de los siguientes triángulos no se han dibujado las transversales de gravedad, ¿en cuál?
Utiliza una regla para encontrarlo.
a) b) c)
2. Dibuja las transversales de gravedad de los siguientes triángulos. Marca con lápiz de color
el baricentro.
a) b) c)
EN TU CUADERNO
1. Construye utilizando regla y compás.
a) Dibuja un triángulo equilátero de lado 4 cm y otro de lado 3 cm y traza las
transversales de gravedad, las alturas, las bisectrices y las simetrales de cada
triángulo con un color distinto.
b) Dibuja un triángulo isósceles cualquiera y traza sus transversales de gravedad,
las alturas, las bisectrices y las simetrales.
c) Dibuja un triángulo escaleno cualquiera y traza sus transversales de gravedad,
las alturas, las bisectrices y las simetrales.
2. Piensa y responde:
a) ¿Es posible afirmar que en un triángulo equilátero las transversales de gravedad,
las alturas y las bisectrices coinciden?, ¿por qué crees que ocurre esto?
b) En un triángulo isósceles, ¿ocurre lo mismo?, ¿por qué?
c) Si las alturas son perpendiculares a los lados del triángulo, ¿en qué se
diferencian de las simetrales?
MI PROGRESO
Teorema de Pitágoras
Como tú ya sabes, el triángulo rectángulo se caracteriza porque uno
de sus ángulos mide 90º.
Además, sus lados se llaman de manera especial: los dos lados que
forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado mayor, opuesto al
ángulo recto, hipotenusa.
Este triángulo ha sido objeto de estudio de matemáticos de todos los
tiempos y en todo el mundo. Es así como se atribuye a Pitágoras una
propiedad que relaciona las medidas de los lados de estos triángulos:
el teorema de Pitágoras.
Este teorema establece que:
“la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos es igual al
cuadrado de la medida de la hipotenusa”.
PARA DISCUTIR
• ¿Qué significa esto?
• ¿Qué utilidad práctica tiene el teorema de Pitágoras? Justifica.
• Si conoces las medidas de dos lados cualesquiera de un triángulo
rectángulo, ¿podrías conocer la medida del otro lado?, ¿cómo?
• El Teorema de Pitágoras dice: “En todo triángulo rectángulo,
la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos es igual
a la medida de la hipotenusa al cuadrado”.
a2 + b2 = c2
a, b: medidas de cada cateto, c: medida de la hipotenusa.
• Un trío pitagórico muy usado es 3, 4 y 5. Como 36 y 48 son múltiplos de 3 y 4, entonces el otro
valor del trío pitagórico es múltiplo de 5.
3 • 12 = 36 4 • 12 = 48 5 • 12 = 60
NO OLVIDES QUE…
Pitágoras de Samos vivió, aproximadamente,
entre los años 580 y 500 a. C. Fundó la
Escuela Pitagórica, a la cual asistían
matemáticos y filósofos de la época.
a
c
b
En la siguiente actividad construirás algunos rompecabezas para comprender
realmente qué significa el Teorema de Pitágoras y probar intuitivamente su
veracidad. Para esto reúnete con un compañero o compañera y sigan las
instrucciones.
1. Copien en el cartón forrado los siguientes modelos.
2. Peguen papeles lustre de colores para diferenciar cada pieza y, luego, recórtenlas.
3. Utilizando las piezas de cada rompecabezas y el concepto de área, comprueben que este
teorema se cumple, es decir que a2 + b2 = c2.
EN EQUIPO Materiales:
• Cartón forrado
• Lápiz, regla
y tijeras
• Papel lustre
1. Verifica si se cumple el teorema de Pitágoras para los siguientes tríos de números.
a) 3, 4 y 5.
b) 9, 12 y 15.
c) 11, 12 y 13.
d) 18, 24 y 30.
e) 16, 17 y 18.
f) 10, 24 y 26.
2. En relación con los tríos de los ejercicios a), b) y d) de la actividad anterior, ¿se mantiene la relación
si se multiplica cada número de un trío pitagórico por un mismo número? Prueba con otros tríos.
3. Respecto a los tríos de los ejercicios a), c) y e), ¿se mantiene la relación si a cada número de un trío
pitagórico se le suma un mismo número? Justifica.
4. Se planea construir una carretera que una las ciudades A y B, estableciendo un camino más corto
entre ambas (el antiguo camino está marcado con línea continua y la posible carretera con línea
punteada). ¿Cuántos kilómetros menos se recorrerían al viajar por la nueva carretera respecto del
camino antiguo?
5. Joaquín y Beatriz se encuentran en una intersección de calles. Luego de conversar, Joaquín se dirige
hacia el norte y Beatriz hacia el este, caminando por senderos perpendiculares. Joaquín es de paso
regular y avanza 48 metros en un minuto; mientras que Beatriz lo hace a 36 metros por minuto.
¿Cómo podemos representar gráficamente esta situación? ¿A qué distancia se encuentran Joaquín
y Beatriz luego de 3 minutos? ¿Qué relación existe, entre las respectivas distancias, a los 1, 2, 3, 4,
5 minutos?, ¿cuál sería la distancia entre ellos a los 10 minutos?
6. Indica si los siguientes triángulos son rectángulos. Explica tu decisión.
a) b) c) d)
EN TU CUADERNO
A
B
12 km
5 km
6
10
8
39
89
80
9 14
12
4,5 7,5
6
En la siguiente actividad trabajarán con el recíproco del Teorema de
Pitágoras, que dice: “Si en un triángulo se tiene que la suma de los
cuadrados de dos de los lados es igual al cuadrado del tercero, entonces el
triángulo es rectángulo”. Para esto, lean la siguiente situación y respondan.
Luego, compartan sus opiniones con otros grupos.
En el antiguo Egipto, el río Nilo subía su nivel, desbordándose cada año, inundando las tierras
vecinas y destruyendo los límites de las propiedades. Como resultado, los egipcios debían medir
sus tierras todos los años. Como la mayoría de los terrenos eran rectangulares, necesitaban una
manera confiable de marcar los ángulos rectos.
Ellos desarrollaron un ingenioso método que consistía
en una cuerda cerrada con 12 nudos, entre los cuales
existía igual distancia.
1. ¿Cómo creen ustedes que los egipcios usaban
la cuerda para marcar los ángulos rectos?
2. Construyan una cuerda similar y experimenten
con ella.
3. Ahora resuelvan la siguiente situación:
Un grupo de estudiantes de una escuela quieren
hacer un trazado, en el suelo de un sector del patio,
para construir una cancha multiuso. Para ello consiguieron lienzas largas y estacas. La cancha
debe ser rectangular y medir 40 metros por
30 metros. Para confirmar que los ángulos del trazado queden rectos van a utilizar tres trozos
de cordel, determinando un triángulo rectángulo.
2. Escriban un método pertinente para resolver el problema.
EN EQUIPO
Materiales:
• Cuerda o cordel de
120 centímetros
• El recíproco del Teorema de Pitágoras dice: “Si en un triángulo se tiene que la suma de
los cuadrados de dos de los lados es igual al cuadrado del tercero, entonces el triángulo
es rectángulo”.
NO OLVIDES QUE…
En la ciudad donde vive Andrés, la catedral, el correo y un museo forman un triángulo
equilátero donde cada uno se puede representar por un vértice. La distancia que hay entre la
catedral y el correo es 2,1 km. Si Andrés va en bicicleta desde el correo al museo y sigue en línea
recta 1 km más, para comprarse una bebida en el kiosco, y después vuelve al correo, pero
pasando por el museo y la catedral, ¿cuántos kilómetros más recorre a la vuelta que a la ida?
Comprender
• ¿Qué sabes del problema?
Que si representamos por un punto la catedral, el correo y un museo de la ciudad donde vive
Andrés, forman un triángulo equilátero.
La distancia que hay entre la catedral y el correo es 2,1 km
• ¿Qué debes encontrar?
Cuántos kilómetros más recorre Andrés a la vuelta que a la ida si va desde el correo al museo y
sigue en línea recta 1 km más, luego vuelve al correo, pero pasando por el museo y la catedral.
Planificar
• ¿Cómo resolver el problema?
Podemos hacer un esquema que represente las condiciones del enunciado.
Resolver
• Observamos el esquema y consideramos el recorrido de Andrés. Tenemos que recorre:
En la ida 2,1 km + 1 km = 3,1 km
En la vuelta 1 km + 2,1 km + 2,1 km = 5,2 km
Diferencia 5,2 km – 3,1 km = 2,1 km
Responder
• Andrés recorre a la vuelta 2,1 km más que a la ida.
Revisar
• Comprueba el resultado obtenido mirando nuevamente el esquema. Luego, verifica si las
adiciones y sustracciones están bien resueltas.
BUSCANDO ESTRATEGIAS
2,1 km 2,1 km
2,1 km 1 km
B
Unidad 3
1. Resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia de la página anterior.
a) La casa de Francisca se encuentra a 4,6 km de la de Javier y la de él se encuentra a esta misma
distancia de la de Pamela, formando, estas tres casas, un triángulo. Si Francisca caminó a la casa
de Javier, luego a la de Pamela y, finalmente, volvió a su casa, recorriendo en total 14,5 km,
¿cuál es la distancia entre su casa y la de Pamela?
b) Si dos de los lados de un triángulo miden 4 y 7 cm, respectivamente, ¿cuál es el mínimo valor
que puede tomar la medida del otro lado?
c) Si el perímetro de un triángulo escaleno es 19 cm y dos de sus lados miden 3 y 10 cm,
respectivamente, ¿cuál es la medida del otro lado?
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior utilizando otra estrategia de resolución. Explica
paso a paso cómo lo resolviste y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y
compañeras.
3. Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el
procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,
¿por qué?
a) En la siguiente imagen, ¿cuál es el lugar más apropiado para instalar un hospital sobre la
carretera, de modo que la distancia del pueblo al hospital sea la más corta posible? Márcalo e
indica cómo encontraste esta distancia.
b) Una cadena de supermercados quiere construir un local que se encuentre exactamente a la
misma distancia de 3 condominios. Cada condominio está a 300 metros de los otros dos.
¿Cómo ubicar el lugar pedido por los vecinos?
c) En un triángulo ABC isósceles, la base AB mide 6 cm y los lados congruentes 5 cm. ¿Cuál es la
medida de la altura CD?
Pueblo
Carretera
CONEXIONES
De Pitágoras a Fermat ahora en TV
Es imposible dividir un cubo en suma de dos
cubos, o un bicuadrado en suma de dos
bicuadrados, o en general, cualquier potencia
superior a dos en dos potencias del mismo grado;
he descubierto una demostración maravillosa de
esta afirmación. Pero este margen es demasiado
angosto para contenerla.
Lo que menciona Fermat se refiere a que si n es
un número mayor que 2 no existen números
enteros positivos a, b y c distintos de cero que
cumplan la igualdad an + bn = cn. Pero, ¿qué
ocurre si n = 2?
Esta importante conjetura se hizo famosa en un
episodio de Los Simpson en que Homer se
introduce en la tercera dimensión. Piensa que son
personajes “planos” de dos dimensiones. Según
pasea por el entramado tridimensional, aparece la
siguiente igualdad: 178212 + 184112 = 192212
Esta igualdad de ser cierta contradice el célebre
Teorema de Fermat, demostrado en 1994 por
Andrew Wiles.
Fuente: Revista Digital de Matemáticas Sacit Ámetam.
Homer Simpson y Las Matemáticas, Teorema de Fermat,
(Boletín nº 12),
http://revistasacitametam.blogspot.com/2008/12/homersimpson-
y-las-matemticas-teorema.html, consultado en
agosto de 2009.
CULTURA
Pierre de Fermat (1601-1665) dejó una nota en el margen del libro
Aritmética de Diofanto, que decía:
1. Utilizando la calculadora, verifiquen si lo la igualdad que apareció en el episodio de los Simpson
es verdadera.
2. Piensen, comenten y respondan:
a) ¿Los resultados que nos entregan las calculadoras son exactos?
b) ¿Es posible que esta igualdad nos muestre que no se cumple el Teorema de Fermat?, ¿por qué?
3. Utilizando la calculadora, prueben con 10 ejemplos que el Teorema de Fermat se cumple.
1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda.
Luego, comparen y comenten sus respuestas.
2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?
Respeté las opiniones de mis compañeros.
Cumplí con las tareas que me comprometí.
Hice aportes interesantes para desarrollar el trabajo.
EVALUAMOS NUESTRO TRABAJO
Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3
SÍNTESIS Unidad 3
A continuación, se presenta un mapa conceptual que relaciona los principales conceptos trabajados
en la unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con los conceptos que crees que faltan y con las
palabras de enlace que indican las relaciones entre los conceptos.
Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde:
1. ¿Cómo se clasifican los polígonos?
2. Si el lado de un cuadrado aumenta al doble, ¿qué ocurre con su perímetro?
3. Para que un triángulo se pueda construir, ¿cuál es la relación que debe existir entre sus lados?
4. En un triángulo, ¿cómo puedes trazar sus alturas con regla y compás? Explica el procedimiento.
5. En un triángulo, ¿cómo puedes trazar sus bisectrices con regla y compás? Explica el procedimiento.
6. Al trazar en un triángulo las alturas y las bisectrices, estas coinciden. ¿Qué tipo de triángulo es?
Geometría
Polígonos
Perímetro
Lados Ángulos
Alturas Bisectrices Simetrales Transversales de gravedad
Triángulos
Clasificación Elementos secundarios
1. ¿Con cuál de los siguientes tríos de medidas de
lados no se puede construir un triángulo?
A. 2 cm, 4 cm, 5 cm
B. 3 cm, 8 cm, 11 cm
C. 5 cm, 3 cm, 6 cm
D. 10 cm,7 cm, 5 cm
2. ¿Cuál de los siguientes tríos de ángulos no
pueden ser las medidas de los ángulos
interiores de un triángulo?
A. 27º, 35º, 118º
B. 28º, 49º, 102º
C. 75º, 75º, 30º
D. 80º, 60º, 40º
3. ¿Cuál de los siguientes triángulos no se puede
construir?
A. Equilátero acutángulo.
B. Rectángulo isósceles.
C. Obtusángulo isósceles.
D. Equilátero obtusángulo.
4. ¿En cuál de los siguientes triángulos las alturas
siempre coinciden con las bisectrices?
A. Equilátero.
B. Isósceles.
C. Escaleno.
D. Rectángulo isósceles.
5. ¿En cuál de los siguientes triángulos el
ortocentro se encuentra al exterior del
triángulo?
A. Acutángulo.
B. Rectángulo.
C. Obtusángulo.
D. Acutángulo isósceles.
6. ¿Cómo se llama el punto donde se intersecan
las transversales de gravedad de un triángulo?
A. Incentro.
B. Baricentro.
C. Ortocentro.
D. Circuncentro.
7. Si se dibuja la altura de un triángulo ABC
y esta lo divide simétricamente en dos
triángulos congruentes, ¿qué tipo de
triángulo no puede ser?
A. Acutángulo.
B. Rectángulo.
C. Isósceles.
D. Escaleno.
8. El triángulo ABC es equilátero. Si CD es la
altura, ¿cuánto mide el ángulo x?
A. 30º
B. 45º
C. 60º
D. 90º
9. El triángulo ABC es isósceles y su ángulo no
basal mide 120º. ¿Cuánto mide cada ángulo
basal?
A. 20º
B. 30º
C. 50º
D. 60º
¿QUÉ APRENDÍ?
Marca la alternativa correcta en las preguntas 1 a 9.
A B
C
D
x
A B
C
120o
10. Cada punto representa las ciudades A, B y C, respectivamente. Indica dónde se
podría construir una estación de servicio de modo que esté a igual distancia de
las tres ciudades.
• ¿Cuántos lugares posibles puedes encontrar? Justifica.
Compara tus respuestas en tu curso. ¿Te equivocaste en alguna?,
¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
1. Marca según tu apreciación.
Los polígonos y sus elementos
Figuras planas
Construcciones geométricas
Construcción de triángulos
Medidas de los lados de un triángulo
Medidas de los ángulos de un triángulo
Alturas de un triángulo
Bisectrices de un triángulo
Simetrales
Transversales de gravedad
Teorema de Pitágoras
Resolución de problemas
2. Reflexiona y responde.
a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste?
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué?
c) Vuelve a la página 58 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”,
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.
¿QUÉ LOGRÉ?
No lo
entendí
Lo
entendí
Puedo
explicarlo
A
B
C
Página 60
¿CUÁNTO SABES?
3. a) Dos líneas rectas son paralelas cuando no se
intersecan en ningún punto o cuando son
coincidentes.
b) Dos líneas rectas son perpendiculares cuando
se intersecan formando cuatro ángulos iguales
y rectos.
5. a) Hexágono e) Romboide
b) Rectángulo f) Triángulo
c) Pentágono g) Octágono
d) Trapecio h) Cuadrado
Página 61
6. a) 150º d) 90º g) 170º
b) 60º e) 135 h) 108º
c) 110º f) 120º i) 45º
7. a) 180º b) 360º
c) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30,
36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360.
Página 62
1.
Página 63
2. a) Sí, 24 m
b) No, faltaría material.
c) No, el perímetro del escenario original es
menor que la suma de los perímetros de los
dos escenarios.
3. En 8 cm, en 12 cm.
4. En 3 cm, en 15 cm.
5. En un polígono de n lados, su perímetro aumenta
en n, 2n, 3n y 4n, respectivamente.
Página 64
EN EQUIPO
4.
Página 65
1. a) 9 diagonales, 54 diagonales.
b) 12 diagonales, 90 diagonales.
3.
Unidad 3
Polígono
regular
Número
de lados
Número de
diagonales
Triángulo 3 0 0
Cuadrado 4 1 2
Pentágono 5 2 5
Hexágono 6 3 9
Heptágono 7 4 14
Octágono 8 5 20
Nombre del
polígono
Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octágono
No de lados 4 5 6 7 8
No de
triángulos
que forman
2 3 4 5 6
Suma de
los ángulos
interiores
360º 540º 720º 900º 1080º
Medida de
cada ángulo
interior
90º 108º 120º 128,5714º 135º
Número
total
– (3 lados)
– (4 lados)
– (5 lados)
– (6 lados)
– etc.
Convexo: todas las del
polí go no, per te ne cen a la región
inte rior de este.
: de todas las dia go na les,
al menos una de ellas o parte de ella
no per te ne ce al interior del polí go no.
: todos sus lados y
ángu los tie nen igual medi da.
Irregulares: al menos uno de sus
tiene dis tin ta medi da o
uno de sus tiene
dis tin ta medi da.
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Diagonales
Cóncavo
Regulares
Lados
Ángulos
a) Suma de los ángulos interiores = 180 • (n – 2),
con n = número de lados.
b) 1440º, 6120º
c) Medida de cada ángulo interior =
con n = número de lados.
d) 144º, 170º
4. a) La suma de las medidas de los ángulos exteriores
de cualquier polígono convexo siempre es 360º.
Página 66
EN EQUIPO
3. a) No
b) La medida de los lados permanece igual pero
cambia las medidas de los ángulos.
4. a) Se mantiene igual.
5. a) Dadas las medidas de los lados solo se puede
construir un triángulo. Dadas las medidas de los
ángulos se pueden construir infinitos triángulos.
Página 71
1. a) No
b) No
c) Quedan triángulos isósceles.
2. Triángulo isósceles.
3. Paula no. Porque las medidas de los lados no
cumplen la desigualdad triangular.
4. Porque las medidas de los lados de la figura
del aviso no cumplen con la propiedad de la
desigualdad triangular, por lo tanto no se puede
construir un triángulo con tales medidas y el aviso
es falso.
Página 73
2.
3.
4. a) No
b) No
c) Sí
MI PROGRESO
1. Deben cumplir la propiedad de desigualdad
triangular.
2. No, se pueden construir infinitos triángulos.
3. a) Sí
b) No
c) No
Página 74
1. c) En 6 triángulos.
d) Son congruentes.
Página 75
2. Un triángulo isósceles.
180 • (n – 2)
n
Medida de los ángulos interiores ¿Es posible construir
un triángulo?
45º 90º 90º
76º 24º 80º
120º 23º 100º
No

No
Ángulos interiores de un
20º 60º 100º
55º 100º 25º
101º 67º 12º
Ángulos exteriores de un
120º 90º 150º
40º 170º 150º
61º 90º 209º
Continuación Página 75
3.
Página 77
1. Ambos son triángulos rectángulos.
2. 40º, 40º y 100º
Página 79
2. Coinciden en un mismo punto.
Página 81
1. En el c)
MI PROGRESO
2. a) Sí
b) No
c) La altura siempre pasa por el vértice opuesto
al lado que interseca, en cambio la simetral no
necesariamente cumple con esta condición.
Página 84
1. a) Sí
b) Sí
c) No
d) Sí
e) No
f) Sí
2. Sí se mantiene la relación.
3. No se mantiene la relación.
4. Cuatro kilómetros menos.
5. Luego de tres minutos se encuentran a 180 m de
distancia, luego de diez minutos se encuentran a
600 m de distancia.
6. a) Sí
b) Sí
c) No
d) Sí
Página 87
BUSCANDO ESTRATEGIAS
1. a) 5,3 km
b) Mayor que 11.
c) 6 cm
3. a)
b) Localizando el circuncentro del triángulo
cuyos vértices son los condominios.
c) 4 cm
Página 90
¿QUÉ APRENDÍ?
1. B 3. D 5. C 7. D 9. B
2. B 4. A 6. B 8. A
Página 91
10. Solo uno, el circuncentro del triángulo cuyos
vértices son las ciudades.
Pueblo
Carretera
Acutángulo Rectángulo Obstusángulo
Tipo de triángulo
Lugar donde se ubican las alturas
Lugar donde se encuentra el ortocentro
Al interior del triángulo
Sobre los catetos
del triángulo
Al exterior del triángulo
Al interior del triángulo
En el vértice del ángulo
recto del triángulo
Al exterior del triángulo
Lado del
cuadrado
Página 91
9. Sí, con cualquier triángulo y cualquier cuadrilátero
se puede teselar el plano, ubicándolos de manera
adecuada.
10. Pregunta abierta.
Página 94
¿CUÁNTO SABES?
1. a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
3. Una de las opciones de fracciones equivalentes
puede ser:
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
4. a) 0,75 d) 0,833333… g) 0,8
b) 0,8 e) 1,3 h) 0,25
c) 0,125 f) 0,6 i) 0,25
5. a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
6. a) < d) = g) < b) > e) > h) >
c) < f) = i) >
Página 95
7. a) 30 d) 15 g) 6
b) 9 e) 64 h) 42
c) 1 f) 5 i) 10
8. a) 2,4 km c) 5,835 km e) 3,65 km
b) 0,7 km d) 1,4 km f) 0,0723 km
9. a) 300 000 m c) 1250 m e) 32 m
b) 4,5 m d) 12,85 m f) 6425 m
Página 97
1. a) 1 : 3 b) 7 : 5 c) 1 : 4 d) 2 : 9
2. a) Sí b) No c) Sí d) Sí
3. a) No b) No c) Sí d) Sí
4. a) 2 b) 35 c) 44 d) 10
5. a) 16 554 576 habitantes.
b) No.
Página 99
1. a) No c) No e) No g) Sí i) No
b) No d) No f) Sí h) Sí
2. a) No
b) Sí
c) Los datos de la tabla 2 son proporcionales.
3.
El lado del cuadrado no es proporcional a su área.
El lado de un cuadrado es proporcional a su
perímetro.
Página 100
1.
125
100
375
1000
17
2500
71
250
45
10 000
18
25
3
5
6
10 000
17
50
1
10
32
72
8
18
42
182
50
66
16
30
48
128
24
34
10
12
3
200
1
3
6
7
8
3
7
8
3
2
1
5
4
5
5
7
Unidad 4
Área Perímetro
3 cm 9 cm2 12 cm
4 cm 16 cm2 16 cm
7 cm 49 cm2 28 cm
Cantidad
de helados
Precio ($)
1
260
2
520 780
4 8
1040 2080
9
2340
10
2600
3