REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE PROBLEMAS RESUELTOS NIVEL UNI PDF

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Objetivo:
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de:

* Calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, expresándolo en función de un ángulo agudo, reconociendo para ello el caso en que nos encontremos .
* Utilizar la reducción al primer cuadrante para casos especiales, como son los ángulos complementarios y suplementarios.
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INTRODUCCIÓN :

Un ángulo puede hallarse situado en cualquiera de los cuatro cuadrantes de que consta la circunferencia, dependiendo de su posición los valores de sus correspondientes líneas trigonométricas.
Pues bien, cuando un ángulo se encuentra situado en el segundo, en el tercero o en el cuarto cuadrante siempre es posible relacionarlo con otro ángulo del primer cuadrante cuyas líneas trigonométricas tengan los mismos valores absolutos, esto es, de los mismos valores salvo posiblemente el signo.
Las relaciones entre las líneas trigonoméricas de los ángulos situados en los distintos cuadrantes resultaba esencial cuando no se disponía de calculadoras. Existian tablas con los valores de las razones para ángulos del primer cuadrante. Los demás ángulos no figuraban en la tabla pues no era necesario: bastaba con reducirlo al primer cuadrante.
No obstante, el tema sigue siendo de interés para aplicar las razones trigonométricas inversas, es decir, para determinar un ángulo conocida una de sus razones trigonométricas. Como sabemos, si buscamos un ángulo a partir de una razón trigonométrica, la calculadora nos proporciona sólo una solución. Nosotros encontraremos el resto de soluciones con los conocimientos adquiridos en esta unidad.

Reducción
Al Primer Cuadrante
Consiste en relacionar las razones trigonométricas de ángulos en posición estándar con las razones trigonométricas de ángulos agudos (ángulos que pertenecen al primer cuadrante).
CASOS DE REDUCCIÓN
AL PRIMER CUADRANTE
Se presentan los siguientes casos:
* Cuando se trata de ángulos positivos menores a una vuelta
* Cuando se trata de ángulos positivos mayores a una vuelta
* Cuando se trata de ángulos negativos
Reducción para ángulos positivos
menores a una vuelta
Todo ángulo positivo menor a una vuelta se puede descomponer como un ángulo cuadrantal más o menos un ángulo agudo, dependiendo del cuadrante al que pertenece , se recomienda tener en cuenta las siguientes sugerencias:
i) Mantener la misma razón trigonométrica si el ángulo está próximo al eje horizontal, esto es, cuando el ángulo es de la forma (p ± x) ó (2p± x ).

NOTA:
Para determinar el signo (+) ó (–) se asume x como agudo (así no lo sea). Con el único fin de determinar el signo (ver figura adjunta) .
II) Cuando el ángulo es de la forma: se dice que el ángulo se aproxima al eje vertical; en tales circunstancias, de la razón trigonométrica dada se deberá pasar a la co-razón trigonométrica.

NOTA:
En todos los casos, se considera «x» como ángulo agudo.
III) El signo que tendrá la operación de reducción será el mismo que posee la razón trigonométrica en el cuadrante al cual pertenece el ángulo.

Ejemplos :

Ejercicio 1 :

Reduzca al primer cuadrante: Sen 110°

Resolución:
1er. Método :
Empleando la fórmula de reducción (I):
Sen 110° = Sen (180° – 70°) 7 Sen 70°
A continuación, el signo se consigue a partir del siguiente hecho:

2do. Método :
Ahora emplearemos la fórmula de reducción (II), esto significa que:
Sen 110° = Sen (90° + 20°) 7 Cos 20°
Enseguida determinamos el signo apoyándonos en el hecho de que:

ejercicio 2 :
Calcule:
Cos 1° + Cos 20 + Cos 30 + …. + Cos 1790 + Cos 1800
Resolución:
Aplicando lo visto en la teoría sobre ángulos suplementarios, tendremos:

Luego de hacer las simplificaciones indicadas, tendremos:

Reducción para ángulos positivos mayores a una vuelta
Para este caso bastará con dividir el ángulo entre 3600 o su equivalente 2p rad, para finalmente tomar la misma razón trigonométrica al residuo o arco sobrante. Si el residuo no pertenece al primer cuadrante, deberá utilizarse la reducción explicada en el item anterior. Si el residuo es menor que 90° (p/2 rad) el problema habrá concluido.

Aquí se observa que si a un ángulo de una razón trigonométrica se elimina el número entero de vueltas que contiene, el valor de dicha razón no varía .
Ejemplo :
Reducir al primer cuadrante Sen400°
RESOLUCIÓN :
Dividimos 400° entre 360° para obtener el número de vueltas que tiene el ángulo .

* Es decir :
sen (400°)=sen(360°+40°)=sen40°

MÉTODO PRÁCTICO :
En este caso se elimina la mayor cantidad de vueltas posibles que contiene el ángulo original y se procede de esta forma :

* Donde :
* q cociente (# de vueltas a eliminar)
* : residuo (ángulo coterminal con “”)
* Note que de la división, es el residuo el ángulo que reemplazara al ángulo original . Este cambio tiene sentido toda vez que este ángulo (residuo) es coterminal con el original , y por lo tanto sus razones trigonométricas son iguales .
ejemplo:

Ejercicio 1 :
Reduzca al primer cuadrante:
I) Sen 1990° II) Tan 5555°
Resolución:
I) Dividimos 1990° entre 360° para obtener el número de vueltas que tiene el ángulo

II) Dividimos 5555° entre 360° para obtener el número de vueltas que tiene el ángulo .

Reducción
para ángulos negativos
Para reducir al primer cuadrante las razones trigonométricas de un ángulo negativo, primero pasaremos de ángulos negativos a positivos, para lo cual se deberá tener en cuenta las siguientes propiedades:

Estas propiedades se verifican en la siguiente figura, donde es un ángulo positivo, y por lo tanto será un ángulo negativo:

Ejemplos :

ejercicio :
Reduzca al primer cuadrante
I) Tan (- 300°) II) Sec (- 200°) III) Csc (- 500°)

Resolución:
I) Para ángulos negativos y en el caso de la tangente de un arco negativo se verifica que:

II)De lo expuesto anteriormente, para el caso de la secante de un arco negativo se tiene que:

III) Para el caso de la cosecante de un arco negativo se tiene que:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS Y ARCOS
COMPLEMENTARIOS Y DE ÁNGULOS
Y ARCOS SUPLEMENTARIOS
En esta parte veremos algunos casos especiales que frecuentemente aparecen, así:
I) Ángulos y arcos complementarios :
Si dos arcos que sumados algebraicamente dan un cuadrante, se dice que son arcos complementarios. En consecuencia: «La razón trigonométrica de un arco es igual a la co-razón trigonométrica de su complemento».

Ejemplos:

II) Ángulos y arcos suplementarios :
Si dos arcos que sumados algebraicamente dan dos cuadrantes, se dice que son arcos suplementarios. En consecuencia: «La razón trigonométrica de un arco es igual a ± la razón trigonométrica de su suplemento».

Ejemplos:

nota s :

NOTA:
Sólo (+) es tangente y cotangente.
Ejemplos:

NOTA:
Sólo (+) en coseno y secante.

Ejemplos:

Ejercicios
1) Calcular : sen750°
RESOLUCIÓN :

2) Calcular : cos 540°
RESOLUCIÓN :

3) Calcular : tan900°
RESOLUCIÓN :

4) Reducir al primer cuadrante : sen3010°
RESOLUCIÓN :

5 ) Reducir al primer cuadrante : cos4910°

RESOLUCIÓN :

6) Reducir al primer cuadrante : tan10000°
RESOLUCIÓN :

¡recordar!…..( resumen )
I) Ángulos Negativos :
Aplicaremos el siguiente criterio :

II) Ángulos Mayores de 360°:
En este caso se debe dividir al ángulo original entre 360 para eliminar el mayor número de vueltas posibles . Luego el residuo de la división seria el nuevo ángulo a trabajar :

Aquí se observa que si a un ángulo de una razón trigonométrica se elimina el número entero de vueltas que contiene, el valor de dicha razón no varía .

II) Para Ángulos Menores De 360° y Para Razones trigonométricas de la forma .

IV) Para Ángulos Relacionados

* Donde :

NOTA:
Sólo (+) en Seno y cosecante

ObjetivoS :
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de:

* Aplicar correctamente la reducción al primer cuadrante, de un ángulo de cualquier magnitud .

* Hallar el equivalente de expresiones de la forma:
.
* Hacer un repaso del capítulo anterior.
INTRODUCCIÓN :
Si observamos las razones trigonométricas en cada cuadrante, notaremos que los valores se repiten y son iguales a los del primer cuadrante, variando sólo en el signo. Por esta razón, sólo son importantes los valores tomados en el primer cuadrante. Las fórmulas de reducción que se presentarán nos permiten hallar el valor equivalente de la razón trigonométrica de cualquier ángulo, reduciendo el cálculo al valor de la razón trigonométrica correspondiente a un ángulo del primer cuadrante. Es decir, varía el signo que toma la razón trigonométrica y no el valor numérico que se repite en cada cuadrante, por eso la importancia de saber reducir un ángulo al primer cuadrante.

Es conveniente reducir una función trigonométrica de un ángulo cualquiera a su equivalente de un ángulo del primer cuadrante. Para tal efecto , vamos a deducir las fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de (180° – a), (180° + a) y (360° – a). También, vamos a constatar que «las funciones trigonométricas de un ángulo, en el primer cuadrante, son iguales a las cofunciones del ángulo complementario». Además, vamos a calcular las funciones trigonométricas del negativo de un ángulo.

reducción al cuadrante
Es el procedimiento mediante el cual, las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, se expresan en función de un ángulo que si lo sea. Es decir:

CASO I :
Ángulos de medida positiva, mayor que 90° y menor que 360° (no cuadrantal).

En este caso, se reconoce el cuadrante al cual pertenece el ángulo original, y luego se aplica el siguiente criterio:

El signo (±) dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo original y de la razón trigonométrica pedida.

ejemploS :

CASO II :
R.T. de ángulos de la forma:

En cualquiera de los casos el signo que va a acompañar (±) dependerá del cuadrante al cual pertenece el ángulo original y de la razón trigonométrica pedida. Note también los casos en que se cambia de:

ejemplo S :

CASO III :
Ángulos cuya medida es mayor que . (Medida expresada en radianes)

* Aplicamos el siguiente criterio:
Piden:

* Hacemos:

* Luego:

ejemplo S :

VALORES NOTABLES
A continuación presentamos algunos valores notables:

Ejercicios
*Determinar o simplificar cada una de las siguientes expresiones :