RECTAS Y PLANOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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EL CONCEPTO DE ESPACIO
Como resultados del los trabajos de Gauss y Reimman , entre otros , el mundo matemático se adaptó a la idea de que aquello que llamamos espacio no es más que un caso particular de otro caso más general con múltiples dimensiones cuantitativas.
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Por ejemplo , el espacio que corresponde a la vista y al tacto es una multiplicidad de tres dimensiones.
Por consiguiente , cualquier punto que le corresponda es posible de ser definido por tres datos distintos e independientes .
Pero también puede concebirse una multiplicidad cuádruple o múltiple en general análoga al espacio.
Este concepto es muy importante ya que de él se desprende que las propiedades del espacio efectivamente percibido se presentan como objetos de la experiencia .
Queda así destruidas las “teorías” de la geometría que intentan sostener esas propiedades sobre la base de argumentos puramente metafísicos .
GEOMETRÍA DEL ESPACIO O ESTEREOMETRÍA
Estudia la forma y extensión de las figuras geométricas cuyos puntos no están en un mismo plano (espacio tridimensional).
ESPACIo
Extensión indefinida y sin limites conocidos , que es el medio en el cual se hallan cuantas cosas existen en el universo y tiene naturaleza material .
Idea de un Plano
En algunas actividades cotidiana se utiliza intuitivamente la palabra plano , esto se puede apreciar cuando los niños o personas adultas eligen un lugar plano para practicar su deporte el fútbol, para apoyar ciertos objetos materiales de manera que permanezcan fijos , estos se eligen teniendo la intuición de horizontabilidad .
Los geómetras, considera un plano como una superficie perfectamente lisa y de extensión ilimitada en todas sus direcciones , esto es ideal .
Pero desde el punto de vista físico un plano puede ser representado por diversos objetos, así tenemos, la pizarra , las paredes , el espejo , una plancha de triplay , una mesa , el tablero de dibujo , etc.
REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DE UN PLANO
Un plano geométricamente es representado por cualquier región plana, convencionalmente se considera la región paralelográmica .


DE LA GEOMETRÍA PLANA
A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO

Los temas tratados hasta ahora eran objeto de la geometría plana, sin embargo, en la realidad, la figura plana de dos dimensiones no existe como tal sino formando parte de un cuerpo del espacio. Así, cuando manipulamos papel, cartón, madera, etc., lo hacemos con figuras tridimensionales, ya que éstas tienen un cierto grosor; sólo mentalmente separamos la figura plana de la del espacio, imaginándola aisladarnente como si no tuviera relación con los cuerpos sólidos.
En esta parte del libro estudiaremos las figuras cuyos elementos básicos están situados en el espacio, lo que constituye el objetivo de la geometría sólida o espacial.
No obstante, los conceptos dados en geometría plana son aplicables de cierto modo a la geometría espacial. Por ello, dando por asumidas las ideas de punto, recta y plano vistas en la primera parte.
Analizaremos sus relaciones desde la óptica espacial, pues si bien en la geometría plana puntos y rectas se hallan dentro del plano, en la geometría espacial no sucede así, ya que en este caso los puntos y las rectas pueden ser exteriores a él.

Determinación de un plano
Con un solo punto del espacio no queda determinado un plano, pues si apoyamos, por ejemplo, un trozo de cartón sobre la punta del dedo, observamos que el plano toma una infinidad de posiciones. Lo mismo sucede si lo intentamos con dos dedos, lo que nos dice que dos puntos tampoco lo determinan. Sin embargo, es un hecho comprobable que con tres dedos como soporte, el cartón queda estabilizado, lo que nos confirma el siguiente enunciado:
“En el espacio, tres puntos no alineados determinan un plano”.

NOCIONES FUNDAMENTALES
ESPACIO:
Extensión indefinida y sin límites conocidos, que es el medio en el cual se hallan cuantas cosas existen en el universo y tiene naturaleza material.

POSTULADO DEL PLANO
El plano es una superficie ilimitada en todas sus partes y contiene, exactamente, a toda recta que pase por dos puntos cualesquiera de dicha superficie.
La idea de plano, recta y punto es un concepto intuitivo puramente experimental.

REPRESENTACIÓN DEL PLANO
El plano se representa generalmente mediante una región paralelográmica; esto no implica que no pueda adoptar la forma de una región poligonal o circular cualquiera. Ejemplo: figura.

Notación:

DETERMINACIÓN DE UN PLANO
Determinar un plano significa escoger uno de los infinitos planos que existen en el espacio.
1. Tres puntos no colineales determinan un plano.

2. Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano.

3. Dos rectas secantes determinan un plano.

4. Dos rectas paralelas determinan un plano.

POSICIONES RELATIVAS ENTRE
RECTAS Y PLANOS
I. ENTRE RECTAS
1. Rectas Secantes: Si tienen un punto común.

2. Rectas Paralelas: No tienen ningún punto en común y además ellos pueden estar contenidas en un mismo plano.

3. Rectas Alabeadas o Cruzadas: No tienen ningún punto en común y además ellas nunca deben estar contenidas en un mismo plano.

* Ángulo formado por dos rectas
alabeadas: Para determinar la medida del ángulo que forman dos rectas alabeadas se trazan 2 rectas paralelas a dichas rectas alabeadas, entonces el ángulo formado por las rectas trazadas será el ángulo entre las 2 rectas alabeadas.

son rectas alabeadas
Si:
es la medida del ángulo formado por

II. ENTRE PLANOS
1. Planos Secantes: Si se intersectan determinando una recta.

2. Planos Paralelos: Si los planos no se intersectan.

III. ENTRE RECTA Y PLANO
1. Secante: Se intersectan determinando un punto.

2. Paralelos: Si no tienen ningún punto en común.

PERPENDICULARIDAD ENTRE
RECTA Y PLANO
Para que una recta sea perpendicular a un plano es necesario y suficiente que esta recta sea perpendicular a dos rectas secantes contenidas en el plano.

Si una recta es perpendicular a un plano será perpendicular a cualquier recta contenida en el plano.

Teorema:
Por un punto exterior a una recta se puede trazar infinitas perpendiculares a la recta.

Teorema de Thales:
Si tres o más planos paralelos son interceptados por dos rectas secantes los segmentos que se determinan entre los planos son proporcionales.

Teorema de las tres perpendiculares
Si por el pie de una recta perpendicular a un plano se traza una segunda perpendicular a una recta contenida en el plano, el pie de la segunda perpendicular con un punto cualquiera de la primera perpendicular se determinará una recta perpendicular a la recta contenida en el plano.

PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN
PUNTO Y UNA RECTA SOBRE UN PLANO
La proyección ortogonal de un punto sobre un plano es el pie de la perpendicular trazada de dicho punto hacia el plano.
La proyección ortogonal de una recta sobre un plano es el conjunto de puntos del plano que son las proyecciones ortogonales de los puntos de la recta sobre dicho plano.

MÍNIMA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS CRUZADAS O ALABEADAS
La mínima distancia entre dos rectas cruzadas es el segmento de recta perpendicular o ambas rectas.

Si: L1 y L2 son rectas cruzadas MN es la mínima distancia entre L1 y L2

1. Las rectas L1 y L2 se cruzan ortogonalmente, es perpendicular común entre ambas, y M es punto medio de .
Si: PA2 + AB2 + BA2 = 32, calcular AM.
A) 4 B) C) 6
D) E) 8

2. En la figura P y Q son 2 planos perpendiculares, es un segmento tal que . Si MN = l, la medida del ángulo entre y P es igual a 30 y la medida del ángulo antre y Q es igual a 45. Calcular la distancia entre y

3. Un segmento es secante a un plano P , se ubican los puntos C y D en P. Si: y la medida del segmento es l, entonces la distancia entre y es:
A) B) C)
D) E)

4. Se tiene una región cuadrada ABCD y una región triangular equilátera ABE, cuyos planos que los contienen son perpendiculares. Si AB = a, entonces la distancia entre es:
A) B) C)
D) E)

5. Los cuadrados ABCD y ADEF están contenidos en dos planos perpendiculares, tal que AB = 2. Calcular la menor distancia entre
A) B) C)
D) E) 1

6. Sobre las caras P y Q de un ángulo diedro recto se ubican los puntos A y B tal que AB = 10. El segmento AB forma con las caras P y Q ángulos que miden 37 y 30 respectivamente. Calcular la menor distancia entre la recta AB y la arista del ángulo diedro.
A) B) C)
D) E)

7. Se tienen los cuadrados ABCD y ABEF ubicados en planos perpendiculares y cuyos centros son los puntos P y Q respectivamente. Calcular la distancia entre si AB = 4 m.
A) B) C)
D) E)

8. En la figura mostrada la arista del cubo mide k. Calcular la mínima distancia entre

9. La circunferencia de centro O y el cuadrado ABCD están contenidos en planos perpendiculares, siendo una cuerda de dicha circunferencia. Se ubica el punto M en , tal que 3DM = 5MC, AB = 40 y OA = 25. Calcular la distancia de M a
A) 40 B) 41 C) 42 D) 43 E) 44

10. Se tiene un triángulo rectángulo ABC (recto en B). Por el circuncentro O de dicho triángulo se traza perpendicular al plano del triángulo (OP = 4u). calcular la mínima distancia entre si BC = 4u.
A) B) C)
D) E)

1. Hallar el número máximo de planos que se pueden determinar con 10 rectas paralelas.

Rpta.:

2. Si la figura es un cubo. Calcular la medida del ángulo formado por y

Rpta.:

3. La proyección sobre un plano de un segmento de 10 cm es 8 cm.
La suma de las distancias de sus extremos al plano es de 26 cm.
Hallar el valor de las distancias de sus extremos al plano.

Rpta.:

4. Dos puntos A y B son situados a uno y otro lado del plano X, distan de dicho plano 6 cm y 9 cm respectivamente. Si la longitud de la proyección del segmento sobre el plano es 30 cm. Hallar la longitud de la distancia.

Rpta.:

Rpta.:

6. Si la distancia del centro de una cara del cubo a un vértice opuesto es 4 m, calcular el área total del cubo.

Rpta.:

7. Desde el extremo “A” del diámetro del semi-círculo, se traza la perpendicular
a su plano de modo que:
PQ = AB. Calcular , si:

Rpta.:

Rpta.:

9. Se da una circunferencia de diametro EF = 10, por el extremo E se levanta la perpendicular al plano de la circunferencia. Sobre ésta se ubica un punto A de modo que DA = EF. Si AE=6cm., hallar DF.

Rpta.:

10. Tres planos paralelos determinan sobre una recta secante L1, los segmentos y y sobre otra secante L2 los segmentos y .
Si AB =8 u, CD =12 u y FD – EB = 1 u.
Hallar la longitud de .

Rpta.: