RECTAS Y ÁNGULOS EJERCICIOS RESUELTOS DE PRIMERO DE SECUNDARIA EN PDF

- Posiciones de la recta en el plano. Recta, semirrecta y segmento.
- Tipos de ángulos y relaciones entre ellos.
- Unidades de medida de ángulos y tiempo.
- Suma y resta en el sistema sexagesimal.
- Operaciones con ángulos de forma gráfica.
- Ángulos complementarios y suplementarios.

Los historiadores griegos antiguos atribuyeron a los egipcios la invención de la geometría. Es muy conocido el hecho de que cada año, debido a las crecidas del río Nilo, las lindes de los campos de cultivo se borraban y debían ser restauradas al retirarse las aguas. Los funcionarios del faraón se encargaban de esta tarea.
Esta actividad, repetida año tras año en miles de parcelas, propició grandes avances en la práctica de la geometría y de la agrimensura. Estos y otros progresos de tipo utilitario, mantenidos e incrementados durante siglos, dieron lugar a un nivel muy alto de la geometría práctica.
Mientras los egipcios atendían la tierra, los babilonios
miraban al cielo. Estos progresaron menos que
aquellos en geometría pero fueron magníficos astrónomos.
La observación del firmamento trajo como
consecuencia un gran dominio de la medición de
ángulos, imprescindible para controlar las estrellas y
sus movimientos.
Nuestro actual sistema de medidas de ángulos está
basado en el que diseñaron los babilonios hace más
de tres mil años.
Mediatriz de un segmento
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en su
punto medio. Los puntos de la mediatriz equidistan (están a igual distancia)
de los extremos del segmento
Bisectriz de un ángulo
La bisectriz de un ángulo es una semirrecta que divide al ángulo en otros
dos ángulos iguales. Los puntos de la bisectriz equidistan (están a igual distancia)
de los lados del ángulo

Simetrías en las figuras planas
En la naturaleza, en la tecnología, en el arte, en nuestro mundo cotidiano,
estamos rodeados de figuras simétricas. Su estudio es interesante.
Eje de simetría de una figura
Una figura plana es simétrica respecto a un eje (una recta) si al doblarla por ella
las dos mitades coinciden.
La simetría de las figuras planas se aprecia a simple vista, y su eje de simetría suele
ser sencillo de identificar. No obstante, puede ser de gran ayuda valerse de un
espejo para comprobar si una cierta recta es o no eje de simetría de una figura.
Las siguientes figuras tienen dos, tres y cinco ejes de simetría, respectivamente
Ángulos de lados paralelos
Dos ángulos cuyos lados son paralelos o son iguales o son suplementarios
Ángulos que se forman cuando una recta corta
a otras dos rectas paralelas entre sí
Si dos rectas paralelas son cortadas por otra recta, se forman ocho ángulos,
muchos de los cuales son iguales entre sí por tener sus lados paralelos.
Minutus, en latín, significa menudo,
diminuto, y así se le llamó a este pequeño
angulillo de 1/60 de grado.
Al tomar otro menor aún, se le llamó
segundo trozo menudo, es decir, por
segunda vez pequeño, más pequeño
todavía. Es el segundo, 1/60 de minuto
= 1/3 600 de grado.
A estos grados se les llama sexagesimales por la forma de dividirse, de 60 en
60. El sistema de numeración sexagesimal, antiquísimo, tiene su origen, posiblemente,
en una forma de contar basada en los cinco dedos de una mano y en
las doce falanges de los dedos índice, corazón, anular y meñique de la otra mano
(5 · 12 = 60).
Instrumentos de medidas de ángulos
Para medir ángulos dibujados sobre el papel, se utiliza el transportador.
Para medidas angulares sobre el terreno existen otros instrumentos mucho más
precisos, como el sextante, el goniómetro y el teodolito.
Expresión de un ángulo en grados y minutos
¿Qué significa un ángulo de 37° 40′? Es un ángulo mayor que 37° y menor que
38°. En concreto, mide 37 grados más 40/60 de grado.
¿Tiene sentido un ángulo de 24° 256′? No es una forma correcta de expresar un
ángulo, pues 256′ es más que un grado.
Este curso vamos a trabajar solo con
ángulos en grados y minutos.
Al expresar un ángulo en grados y
minutos, el número de minutos ha
de ser menor que 60.

Suma de ángulos
Para sumar dos ángulos expresados en grados y minutos, se suman por separado
los grados y los minutos. Después, si el número de minutos es mayor que 60, se
pasan a grados.
Resta de ángulos
Suponemos que el minuendo es mayor que el sustraendo. Si el número de minutos
del minuendo es mayor que el del sustraendo, la operación se realiza de
inmediato. Si no, se procede como en el siguiente ejemplo

Producto de un ángulo por un número natural
Para multiplicar un ángulo por un número natural, se efectúan los productos
de los minutos y de los grados por ese número. Después, si el resultado de los
minutos es mayor que 60, se pasan a grados los que corresponda.

División de un ángulo entre un número natural
Para dividir un ángulo por un número natural, se dividen los grados y el resto se
pasa a minutos, que se añaden a los que había. Después, se dividen los minutos.

Suma de los ángulos en un triángulo
Para hallar la suma de los ángulos de un triángulo cualquiera, trazamos por uno
de sus vértices la paralela al lado opuesto y razonamos del siguiente modo:
La suma de los ángulos de cualquier cuadrilátero es 360°.
Como los cuadrados y los rectángulos tienen los cuatro ángulos iguales, cada
uno de ellos mide 360° : 4 = 90°, como ya sabíamos.

Suma de los ángulos de un pentágono
Mediante diagonales, descomponemos el pentágono en tres triángulos.
Los ángulos de cada uno de ellos suman 180°. Entre los tres, los ángulos suman
3 · 180° = 540°. Por tanto, los ángulos de todos los pentágonos suman 540°.
Los cinco ángulos de cualquier pentágono suman 540°.
Por tanto, cada ángulo de un pentágono regular (todos sus ángulos son
iguales) mide 540° : 5 = 108°.
Ángulos de un polígono cualquiera
Como el pentágono, el hexágono se puede descomponer, mediante diagonales,
en 4 triángulos. Sus ángulos sumarán, por tanto, 4 ⋅ 180° = 720°.
Así, en un hexágono regular, cada ángulo medirá 720° : 6 = 120°.
Lo que hemos hecho con cuadriláteros, pentágonos y hexágonos, lo podemos
generalizar para polígonos de n lados como vemos a continuación.

Operaciones con ángulos
1 Efectúa las siguientes sumas:
a) 15° 13′ + 35° 23′
b) 18° 50′ + 22° 15′
c) 25° 17′ + 54° 40′ + 13° 54′
2 Resuelve estas restas:
a) 181° 19′ – 121° 52′
b) 143° 12′ – 97° 24′
3 Haz los productos siguientes:
a) (58° 14′) · 3
b) (37° 43′) · 5
c) (62° 12′) · 7
d) (5° 58′) · 2
4 Resuelve estas divisiones:
a) (277° 34′) : 11 b) (201° 52′) : 8
c) (127° 55′) : 5 d) (174° 30′) : 6
5 Halla el complementario de:
a) 45° 13′ b) 70° 52′
6 Halla el suplementario de:
a) 93° 15′ b) 15° 02′
7 Halla en grados y minutos el ángulo interior de
un heptágono regular.

ÁNGULOS Y RECTAS

OBJETIVOS
ÁNGULOS Y RECTAS

OBJETIVOS
Reconocer las distintas posiciones que pueden tener dos rectas en el plano, y un plano y una recta en el espacio.
Distinguir entre recta, semirrecta y segmento.
Comparar dos ángulos.
Distinguir los tipos de ángulos y establecer diferentes relaciones entre ellos.
Sumar y restar ángulos, multiplicar un ángulo por un número y dividir un ángulo en dos ángulos iguales de manera gráfica.
Utilizar el plegado, la regla, el compás, la escuadra y el transportador para realizar construcciones geométricas.
Expresar amplitudes de ángulos y tiempos en forma compleja e incompleja.
Pasar de expresión compleja a incompleja de amplitudes y tiempos y viceversa.
Sumar y restar amplitudes y tiempos en el sistema sexagesimal.
Resolver problemas de la vida real que impliquen operar con ángulos y tiempos.

CONTENIDOS
Conceptos
Posiciones de la recta en el plano. Recta, semirrecta y segmento.
Tipos de ángulos y relaciones entre ellos.
Operaciones con ángulos.
Rectas perpendiculares. Uso de la escuadra.
Unidades de medida de ángulos y tiempo.
Ángulos complementarios, suplementarios, de lados paralelos y de lados perpendiculares.
Suma y resta en el sistema sexagesimal.

Procedimientos
Suma y resta de dos o más ángulos dados.
Multiplicación por un número y cálculo de la bisectriz de un ángulo cualquiera.
Trazado de la perpendicular a una recta por un punto.
Expresión en el sistema sexagesimal de una medida de forma compleja e incompleja y viceversa.
Paso de unas unidades de medida a otras.
Suma y resta de medidas de ángulos y tiempos en el sistema sexagesimal.
Cálculo del valor de distintos ángulos en contextos geométricos conocidos los valores de otros.

Actitudes
Incorporación al lenguaje cotidiana de los términos de medida para describir amplitudes de ángulos y tiempos.
Cuidado y precisión en el uso de instrumentos de medida y en la realización de mediciones.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Utilizar la terminología y notaciones adecuadas para describir ángulos, posiciones de rectas y de planos, y situaciones geométricas.
Usar de forma diestra la regla y la escuadra en el trazado de perpendiculares.
Emplear el transportador en la medida y construcción de ángulos.
Comparar ángulos por superposición y mediante el transportador.
Realizar gráficamente operaciones sencillas con ángulos.
Transformar correctamente complejos de amplitudes y de tiempos en incomplejos y viceversa.
Utilizar las operaciones con medidas de ángulos y tiempos en la resolución de problemas.
Reconocer y buscar relaciones de paralelismo y perpendicularidad de ángulos.
Usar el plegado y la escuadra para trazar la mediatriz de un segmento.

METODOLOGÍA
En esta unidad se estudian los tipos de ángulos, las operaciones con ángulos y el sistema sexagesimal de medida de ángulos y tiempos. Aunque ninguno de estos conceptos tiene especial dificultad, conviene practicarlos con variadas actividades y asegurarse de que no quedan dudas sobre ellos.
Es importante hacer hincapié en las distintas relaciones entre ángulos, y dejar claros los conceptos de ángulo complementario y suplementario a uno dado, así como de ángulos consecutivos y adyacentes. La medida de ángulos en la circunferencia también debe ser practicada hasta su comprensión.
Las construcciones gráficas con diversos instrumentos de dibujo deben ejercitarse hasta ser dominadas por los alumnos.
Conviene tener presentes las siguientes sugerencias metodológicas con el fin de garantizar una adecuada motivación de los alumnos:
Proponer a los alumnos que aporten ejemplos reales donde aparezcan términos referidos a los ángulos y las rectas.
Para tratar los tiempos puede ser interesante pedirles que realicen un trabajo sobre los eclipses: qué son, cuánto duran, … y que resuelvan actividades sobre operaciones con medidas de tiempos.
Comentar con los alumnos los instrumentos de medida de ángulos que se empleaban en la antigüedad y los que se utilizan actualmente.

ACTIVIDADES
Actividades de desarrollo
Las actividades de desarrollo consistirán en la realización de las actividades propuestas en el libro de texto, tanto las que aparecen en las distintas tareas como las que se proponen al final de la unidad. La selección de las actividades estará en relación con la evaluación inicial de los alumnos, con el objetivo de cumplir los objetivos previstos.
Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como que los alumnos recuerden las posiciones de dos rectas en el plano y trabajen los conceptos de origen, semirrecta y segmento. Una vez trabajados dichos conceptos, aprender a utilizar la terminología y las notaciones adecuadas para describir los distintos tipos de ángulos. Identificar ángulos en la vida real y realizar ejercicios de construcción, comparación y medida de los mismos.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD
Actividades de refuerzo
Es muy importante que los alumnos dominen las características del sistema sexagesimal de medida, con sus unidades y equivalencias entre ellas, y que le encuentren aplicación práctica, como es la medida de ángulos y tiempos. Puede ser interesante compararlo con el sistema decimal, mostrando sus similitudes y diferencias.
Es interesante practicar el cálculo gráfico de distintas operaciones sencillas con ángulos, así como aprender a comparar ángulos mediante superposición y con el transportador, hasta que los alumnos se desenvuelvan con soltura.
Actividades de ampliación
Despertar en los alumnos curiosidad por identificar ejes de simetría en figuras y objetos que ellos mismos propongan. Practicar la habilidad en el manejo de instrumentos de dibujo para trazar figuras geométricas.

CONTENIDOS TRANSVERSALES
Educación ambiental
En las Actividades de ampliación se habla de las máquinas de reciclado. Aprovechar la realización de la actividad para comentar con los alumnos la importancia de reciclar los productos usados, haciéndoles reflexionar sobre la limitación de los recursos humanos. Resaltar la importancia de que todos contribuyamos al uso racional de los recursos medioambientales y a la conservación del medio.
Comentar con los alumnos los diferentes tipos de contenedores para recogida de residuos que existen, de qué color son, qué se separa en cada uno de ellos (pilas, papel, envases, materia orgánica…), dónde se llevan para su tratamiento, …
Educación para la salud
A lo largo de la unidad se hace referencia al cuerpo humano, los deportes y el trabajo. A la hora de su realización, señalar la importancia de adquirir un conocimiento del cuerpo, de desarrollar hábitos de salud (como es la práctica de deportes), y la necesidad de adoptar posturas correctas cuando se estudia y/o trabaja, trabajando el concepto de prevención.
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