RAZONES Y PROPORCIONES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

Share Button

Al finalizar el capítulo el estudiante estará en condiciones de :

* saber comparar cantidad homogéneas o heterogéneas mediante la sustracción o división .

* Aplicar en forma adecuada y efectiva las diversas propiedades de las razones geométricas iguales.

* Resolver en forma razonada, problemas de proporciones, que son básicos para el estudio de la proporcionalidad .

•Reconocer las características inherentes de los objetos dada la comparación para analizar cuantitivamente dichas características .

•Identificar las magnitudes de nuestros entorno y medir su intensidad para representar mediante cantidades (valores) .

•Obtenidas las comparaciones, poder formar proporciones y series de razones geométricas equivalentes induciendo así mismo sus diversas propiedades vinculadas con dicha comparación.

•Deducir , interpretar y manera adecuadamente los resultados obtenidos en la comparación para obtener formas prácticas de resolver problemas de la vida cotidiana y en otras disciplinas.
Introducción :
En muchas ocasiones, se comparan las características de ciertas personas y particularidades de ciertos objetos, es por ello que se suele decir el avión es más veloz que el automóvil, Lila tiene 4 años más que Raquel , el arroz embolsado cuesta más que el arroz a granel, el precio del kerosene cuesta menos que el precio de la gasolina; etc. Esto significa que constantemente se plantean comparaciones ya que es una actividad intelectual que parte de la realidad objetiva.
Es importante resaltar que la humanidad se ha desarrollado gracias al estudio de las comparaciones, ya que ello motivó dudas y generó investigaciones, apareciendo las diversas ciencias que en la actualidad contribuyen en un mejor vivir.
La comparación efectuada de forma matemática es el objetivo de este capítulo. Estudiaremos, dos tipos de comparación que son base fundamental de la ciencia, sus propiedades y la forma como éstas nos ayudan a resolver problemas concretos.
Asimismo las razones son parte de este estudio en el cual vamos a conocer ciertas propiedades que facilitarán la resolución de problemas y con ello obtener ciertos casos particulares.
Es por ello que cotidianamente nos encontramos con situaciones tales como:
•El costo de una computadora hace 3 meses era de S/. 1000, actualmente es de S/. 1200. La temperatura en Lima es de 16°C y en Cerro de Pasco es 5°C.
•Son 20 niños por cada 75 personas.
•Karin confecciona 4 pantalones por cada 3 pantalones que hace nury.
Se puede notar entonces en estas situaciones una variedad de magnitudes matemáticas (costo, temperatura, número de niños, número de pantalones) que están asociados a una cantidad. la cual nos permite realizar comparaciones y son precisamente estas comparaciones las que vamos a estudiar

OBJETIVOS :
 Identificar las magnitudes de nuestro entorno y medir su intensidad para expresarla cuantitativamente.
 Establecer una comparación entre las medidas de las magnitudes, mediante las operaciones de sustracción y división.
 Reconocer una Razón Aritmética de una Razón Geométrica y relacionar cada una para obtener la proporción Aritmética y proporción Geométrica.
 Aplicar las propiedades en la resolución de los problemas que se presentan en la vida cotidiana.

INTRODUCCIÓN
Un caballo parte de A en dirección a B al tiempo que dos peatones parten de B en sentido opuesto. El caballo los encuentra a uno en M y al otro en M’.
Se pide calcular la distancia AB, sabiendo que los dos peatones marchan a la misma velocidad constante, que la velocidad del caballo es m veces la de los peatones y que la distancia MM’ es dada e igual a d.
Aplicación numérica para m=4; d=16 km.
CONCEPTOS PREVIOS
MAGNITUD
Cuando distintos observadores cuentan los cambios que experimentan algunos objetos o sus propiedades, es frecuente observar que algunas de ellas son interpretadas (propiedades) o relatados (cambios) de la misma forma por todos ellos son resultados objetivos.
Ejemplo:
El tiempo de un experimento si una propiedad, el tiempo, se puede medir, es una magitud.
Ejemplo:
El color de los ojos.
Si una propiedad, el color, no se puede medir, no es una magnitud.
Si la observación de un fenómeno da lugar a una información cuantitativa, dicha información será completa.
Así pues, llamaremos magnitudes a las propiedades físicas que se puedan medir.
Es por lo tanto necesario saber relacionar los resultados de estas mediciones, así como operar con ellos. las matemáticas son parte del lenguaje que necesitamos: para comprender los fenómenos físicos.
Medir, es comparar una magnitud con otra tomada de manera arbitraria como referencia, denominada unidad patrón y expresar cuantas veces la contiene. Al resultado de medir lo llamamos medida.
Ejemplo:

• La velocidad de un móvil es 30 m/s
• La edad de Lorena es 18 años.

RAZÓN
Es la comparación de las medidas de dos magnitudes expresadas en las mismas unidades.
EJEMPLO INDUCTIVO
Las edades de Carlos y Lorena son 30 años y 18 años respectivamente.
Análisis
Es evidente que la edad de Carlos es mayor que la edad de Lorena y para expresarlo matemáticamente, comparamos las edades mediante la sustracción.

En este caso afirmamos que:
“La edad de Carlos excede a la edad de Lorena en 12 años”
Esta razón recibe el nombre de Aritmética. Pero también dichas edades pueden ser comparadas mediante la división:

Aqui se afirma que: “Las edades están en razón o relación de 5 a 3”
Esta razón recibe el nombre de Geometría.
En ambos casos las edades 30 años y 18 años se denominan antecedente y consecuente respectivamente.
Calcule el valor de la razón Aritmética y Geométrica de los volúmenes de los recipientes A y B que son 7,5 L y 5 L respectivamente. Interprete las razones.
Resolución
• Para la razón aritmética

Interpretación: “El volumen de A excede al volumen de B en 2,5 L”.
• Para la razón geométrica

Interpretación: “Los volúmenes de A y B están en la relación de 3 a 2”.
En general para las medidas a y b de dos magnitudes, se tiene que:

i) La razón o relación geométrica es de mayor aplicación en la vida cotidiana, por ello cuando en el texto de un problema sólo se indique razón o relación se entenderá que es la geométrica.
Ejemplo:
La relación entre los pesos de Ana y Eva es de 5 a 7 respectivamente.
 Esto quiere decir que:

ii) Una razón no cambia de valor si el antecedente y consecuente se multiplican o dividen por un mismo número.
Así cualquier razón de números racionales se puede expresar de tal manera que ambos términos sean enteros sin ningun factor común (excepto la unidad).
Ejemplos:

PROPORCIÓN
Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase.
En consecuencia se tiene dos clases de proporciones.
1) Proporción Aritmética
Se forma al igualar dos razones aritméticas.
Ejemplo:
Sean los siguientes datos:

Comprobando mediante la sustracción

Interpretación
La velocidad de A excede a la velocidad de B, tanto como la velocidad de C excede a la velocidad de D además, ubicando los términos iguales en un sólo miembro de la igualdad se tiene:
20m/s + 15m/s = 18m/s+17m/s.
35m/s = 35m/s

De aquí se tiene el principio fundamental de una proporción aritmética:

Dependiendo de los términos medios se tendra:
a. Proporción Aritmética Discreta
Cuando los términos medios son diferentes.
Ejemplo:

b. Proporción Aritmética Continua
Cuando los términos medios son iguales.
Ejemplo:

Ejemplo:
Calcule A+B+C sabiendo que:
A ® Cuarta diferencial de 31; 24 y 18
B ® Media diferencial de 31 y 17
C ® Tercera diferencial de 21 y 18

2. Proporción Geométrica
Se forma al igual dos razones geométricas.
Ejemplo: Sean los siguientes datos:

Comparando mediante la división

Donde: 18 y 10 son los extremos
12 y 15 son los términos medios.

Interpretación:
 La edad de A es a la edad de B, tanto como la edad de C es a la edad de D.
Ubicando los términos iguales en un solo miembro de la igualdad se tiene:

De aquí se tiene el principio fundamental de una proporción geométrica.

Dependiendo de los valores de los términos medios se tendrá:

a. Proporción Geométrica Discreta
Cuando los valores de los términos medios son diferentes. Ejemplo:

Formando la proporción:

b. Proporción Geométrica Contínua
Cuando los valores de los términos medios son iguales. Ejemplo:

Formando la proporción

Ejemplo: Halle M+N+P sabiendo que:
M ® cuarta proporcional de 10; 25 y 16
N ® media proporcional de 36 y 81
P ® tercera proporcional de 28 y 42

PROPIEDADES DE UNA PROPORCIÓN
GEOMÉTRICA
 Al realizar operaciones de adición y sustracción con los términos de una razón en la verificación, estas mismas operaciones se deben realizar con los términos de la otra razón para que la igualdad se mantenga.
Ejemplo:
En la proporción:

Ejemplo: Sabiendo que:
Calcule

1. La razón de “p” es a “q” como 2 es a 3 y la razón de “r” es a “s” como 3 es a 4. ¿Cuál es la razón de “ps” respecto de “qr”?

Rpta.:

2. En 1984 la razón entre las edades de Elí y su padre era . Si Elí nació cuando su padre tenía 20 años, hallar la razón de sus edades en el año 1989.

Rpta.:

3. Dos números están en la relación de , pero agregando 150 al primero y 45 al segundo, la nueva relación es de 2 a 1. Hallar la suma de los números.

Rpta.:

4. La suma de 3 números es 1 425, la razón del primero y el segundo es y la diferencia de los mismos es 600. ¿Cuál es el tercero?

Rpta.:

5. La suma de 3 números es igual a 3 520. Si la suma del primero y el segundo es a la suma del segundo y tercero como 5 es a 4, calcular los números si el primero excede al tercero en 440 unidades. Dar como respuesta el menor de ellos.

Rpta.:

6. Ana comparte el agua de su balde con Rosa y ésta con Lucy. Si lo que le dio Ana a Rosa es a lo que no le dio como 4 es a 5 y lo que dio Rosa a Lucy es a lo que no le dio coom 5 es a 4, ¿en qué relación se encuentra lo que no le dio Ana a Rosa y lo que recibió Lucy.

Rpta.:

7. El número de vagones que lleva un tren “A” equivale a los de los que lleva un tren “B” y el que lleva un tren “C” equivale a los de un tren “D”. Entre “A” y “B” llevan tantos vagones como los otros dos. Si el número de vagones de cada tren no puede pasar de 60, ¿cuántos vagones lleva cada tren?

Rpta.:

8. En un corral hay “n” aves entre patos y gallinas. Si el número de patos es a “n” como 5 es a 12 y la diferencia entre el número de patos y el número de gallinas es 18, ¿cuál será la relación entre patos y gallinas si se mueren 13 gallinas?

Rpta.:

9. En una partida de billar de 100 carambolas el jugador “A” le da de ventaja al jugador “B” 10 carambolas; “B” le da al jugador “C” 20 carambolas de ventaja. ¿Cuánto de ventaja le debe dar el jugador “A” al jugador “C”?

Rpta.:

10. En una proporicón geométrica continua la suma de los términos extremos es 20 y su diferencia 16. ¿Cuál es la media proporcional?

Rpta.:

1. Determinar una proporción geométrica continua sabiendo que el producto de sus cuatro términos es 312 y además uno de sus extremos es 9 veces el otro. Dar como respuesta la suma de sus términos.
A) 100 B) 121 C) 144
D) 169 E) 196

2. En una proporción geométrica de razón 3 la suma de los términos de la segunda razón es menor que la suma de los términos de la primera razón en 56. Determinar la diferencia de antecedentes.

A) 62 B) 64 C) 66 D) 68 E) 42

3. Si las razones aritméticas de los términos de la primera y segunda razón de una proporción geométrica son 8 y 32 respectivamente, determinar en qué relación estarían la suma y la diferencia de los consecuentes de dicha proporción.
A) B) C) D) E)

4. Con 4 enteros diferentes de la unidad se forma una proporicón geométrica cuyo producto de extremos es 195 y la diferencia de los medios es 2. Calcular la suma de los medios.
A) 28 B) 18 C) 54 D) 44 E) 52

5. Sea ; “a” y “d” mínimos, además:
a2 + d2 + bc = 61; b > 1, donde “a”, “b”, “c” y “d” son enteros positivos. Hallar el máximo valor de: E = a +c.
A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24

6. Cuatro enteros diferentes forman una proporicón geométrica; sabiendo que la suma de los 4 términos es 30 y que el producto de los términos de la primera razón es 84, determinar el términos menor de la proporción.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

7. Si: y a2 + b2 + c2 + d2 = 221, siendo “a”, “b”, “c” y “d” enteros positivos, calcular: (a + b + c + d).
A) 45 B) 40 C) 35 D) 30 E) 25

8. La suma de los términos extremos de una proporción geométrica es 63. ¿Cuál es la suma de sus medios si cuando le sumamos un mismo número positivo a todos los términos siguen formando una proporción geométrica?
A) 60 B) 61 C) 62 D) 63 E) 64

9. Sea la proporción:

Calcule el valor de “k”.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

10. Sabiendo que la media proporconal de 2 y 32 es a la tercera proporcional de “a” y 24 como 1 es a 2, hallar “a”.
A) 18 B) 24 C) 36 D) 48 E) 30
SERIE DE RAZONES
 Relacionar razones geométricas para obtener la serie de razones geométricas equivalentes.
 Obtener las propiedades que presentan las series de razones geométricas equivalentes.
 Aplicar las propiedades en la resolución de los problemas que se presentan en la vida cotidiana.
INTRODUCCIÓN
Dos móviles parten en el mismo instante, el primero del punto A y el segundo del punto B, y marchan el uno hacia el otro con movimiento uniforme, sobre la recta AB. Cuando se encuentran en M, el 1° ha recorrido 30 metros más que el 2°. Cada uno de ellos prosigue su camino; el 1° tarda 4 minutos en recorrer la parte MB y el 2° 9 en recorrer la parte MA. Se pide:
1° La distancia AB.
2° Las velocidades de cada móvil.

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS
EQUIVALENTES
Con las siguientes razones:

Como todas ellas tienen el mismo valor numérico, se podrán igualar y de ese modo se formará la serie de razones geométricas equivalentes

Además se tiene que:
6 = 2(3) 15 = 5(3)
12 = 4(3) 21 = 7(3)

Del cual se deduce el siguiente principio fundamental:

 Al efectuar la adición de las igualdades se tiene:
6+15+12+21=3(2+5+4+7)

 Al multiplicar los términos de las igualdades en forma ordenada se tiene:
6151221=254734

Ejemplo:
Sea la serie
De lo anterior:

En general, para “n” razones de igual valor numérico:

Principio fundamental:

Propiedades
1.
Textualmente:

2.
Textualmente:

R: número de razones consideradas.
En la siguiente serie de razones geométricas equivalentes:

se observa que el primer consecuente es igual al segundo antecedente, el segundo consecuente igual al tercer antecedente, a este tipo de serie se le denomina serie de razones geométricas continuas equivalentes.

Ejemplo:

En general:

Ejemplo:

Sabiendo que
Calcule: 5a + 2b – c

Ejemplo:
Dado que:
Calcule: ab

1. Si los antecedentes de varias razones iguales son: 3, 5, 7 y 11 y el producto de los consecuentes es 721 875, hallar el menor consecuente.

Rpta.:

2. Sabiendo que:
y a + b + c = 36, calcular el valor de “d”.

Rpta.:

3. Si:
y además: 3a – 5b + 2c = 245, hallar el valor de: “a + b + c”.

Rpta.:

4. Calcular (a + b + c + n)
so:

Rpta.:

5. Sabiendo que:

calcular: (V + E + N + U + S)

Rpta.:

6. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 7, 1 y 48. Determinar los números.

Rpta.:

7. Si: , calcular:

Rpta.:

8. Si:
(b + d) – (a + c) = 140
calcular: (a + b + c + d)

Rpta.:

9. En una serie de tres razones geométricas equivalentes, se sabe que la suma de los dos primeros antecedentes es igual al segundo consecuente, siendo éste el doble del primer consecuente. Determinar el último antecedente si su respectivo consecuente es 24.

Rpta.:

10. La suma de antecedentes de una serie de tres razones geométricas continuas es 42. Calcular el primer antecedente si el valor común de las razones es un entero diferente de uno.

Rpta.:

1. La suma de los tres antecedentes de una serie de razones geométricas continuas equivalentes es 195. Determinar el primer antecedente si el valor común de dichas razones es un entero diferente de uno.
A) 27 B) 135 C) 216 D) 128 E) 45

2. En una serie de tres razones geométricas continuas, la suma de los antecedentes es 126 y el producto de las tres razones es 8. Calcular el valor del antecedente mayor.
A) 18 B) 24 C) 36 D) 45 E) 72

3. En una serie de cuatro razones geométricas continuas equivalentes, la suma del primer antecedente y el tercer consecuente es 336. Determinar la suma de los consecuentes si se sabe que la suma de las cuatro razones es .
A) 1 120 B) 1 240 C) 1 440
D) 1 820 E) 1 640

4. El producto de cuatro razones geométricas equivalentes es . Si la suma de cada antecedente y el siguiente consecuente es 18, 13 y 8 respectivamente y la razón aritmética del primer consecuente y el último antecedente es 5, calcular el tercer antecedente.
A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 6

5. Si:
calcular:
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

6. Calcular cuatro números proporcionales a 1, 2, 3 y 5 sabiendo que la suma de sus cubos es 4 347. Dar como respuesta la suma del menor y mayor de ellos.
A) 3 402 B) 756 C) 18
D) 9 E) 17

7. Si: ; cd – ab = 1 100.
Además: d – b = 25, calcular “b + d”.
A) 45 B) 75 C) 35 D) 65 E) 55

8. Si:
además:
Calcular: (C – A + n).
A) 60 B) 50 C) 40
D) 30 E) 20

9. Se dan tres razones geométricas continuas equivalentes, donde el último consecuente es 3. La suma de los antecedentes con el primer consecuente es 540. Calcular el producto de los consecuentes.
A) 3 375 B) 3 575 C) 3 735
D) 3 357 E) 7 553

10. En la siguiente serie:
el producto de las tres razones es 16. Caldular el valor de
A) 8 B) 4 C) 32 D) 16 E) 20