RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS NOTABLES PROBLEMAS RESUELTOS NIVEL UNI

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OBJETIVO :
Identificar y analizar la relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, cuyos ángulos agudos pueden ser 30°, 60°, 45°, 37° y 53° .

INTRODUCCIÓN :
Pitágoras y los demás geómetras griegos se ocuparon tanto del triángulo, porque lo usaban mucho en la construcción. Fueron ellos los que inventaron las cubiertas de dos aguas. Eso les permitió ensanchar mucho las naves de los templos y los grandes salones.
Descubrieron la manera de repartir el peso de la techumbre entre tres vigas, de tal manera que el trabajo que realizaba cada una al trabajar conjuntamente, era muy inferior que les correspondería si se distribuyese entre las tres colocadas como vigas planas. Y según el trabajo que hacen , así las nombraron: a las dos vigas que sostienen la techumbre las llamaron catetos, porque tienden a ir hacia abajo (kazíemi); y a la viga de abajo la llamaron hipotenusa porque es la que lira (tenusa) por abajo (hipo) de las otras dos para que no se abran.

Los ángulos que miden 300 ; 45° y 600 son muy utilizados en Trigonometría. Podemos calcular los valores de las seis razones trigonométricas de estos ángulos notables sin necesidad de utilizar tablas o calculadoras. Para encontrar los valores de las razones trigonométricas del ángulo de 45°, consideremos un cuadrado cuyo lado tiene una longitud 1.

Si trazamos su diagonal tenemos que los ángulos agudos del triángulo rectángulo sombreado miden 45°. Con el teorema de Pitágoras podemos encontrar la longitud de la hipotenusa.
Para encontrar los valores de las razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°; consideramos un triángulo equilátero .

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
Son aquellos triángulos rectángulos, donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados. Van a destacar los siguientes triángulos:
En un triÁngulo rectÁngulo de 45°
los catetos
tienen la misma longitud
Consideremos un triángulo rectángulo con tales características y catetos con longitud igual a 1; llamemos “c” a su hipotenusa.

Tal triángulo rectángulo se muestra en la siguiente figura. Con ayuda del diagrama podemos determinar con suma facilidad los valores de las razones trigonométricos para un ángulo de 45°.

En general :

Ejemplo :

Ahora consideremos un triángulo
equilatero :
Cuyos lados tienen una longitud igual a 2. Si bisecamos uno de sus ángulos, obtenemos un triángulo rectángulo que tiene una hipotenusa de longitud 2 y un cateto de longitud 1. El otro cateto tiene una longitud “a”, cuyo valor podemos calcular con base en el teorema de Pitágoras como sigue :

* En general :

* Ejemplos :

* De donde:

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CON ÁNGULOS APROXIMADOS (37°; 53°)
Usualmente se utilizan triángulos rectángulos cuyos ángulos agudos han sido aproximados. Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo de lados 3 ; 4 y 5 .
Ejemplos :

se tiene que tan37°=3/4
(pero haciendo uso de una calculadora científica tendremos que :Tan36°52’11,63″=3/4, logrando así una mayor exactitud )

Así, considerando la aproximación calculemos los valores de las razones trigonométricas de los ángulos de 37°y 53°, los cuales obviamente serán aproximados.

Una forma práctica para calcular las razones trigonométricas de la mitad de un ángulo agudo es la siguiente: Partimos de un triángulo ABC (recto en “C”). Si queremos las razones trigonométricas de entonces prolongamos el cateto hasta un punto “D” tal que: AD=AB luego el triángulo DAB es isósceles, .