RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS EN POSICION NORMAL PROBLEMAS RESUELTOS NIVEL UNI PDF

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OBJETIVOs :
* Calcular los valores de las razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales.
*Reconocer los ángulos coterminales y definir sus razones trigonométricas .
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REGLA DE ORO DE LA TRIGONOMETRÍA
En el antiguo Egipto existían determinados a quienes llamaban “tensores de cuerdas” (harpedonaptas) que aprovechaban una propiedad métrica del triángulo rectángulo para los números 3 ; 4 y 5, la cuerda la ponían bien tensa, sujeta por dos estacas, y juntaban los extremos. El resultado era una escuadra (“el triángulo egipcio”) que servía a los constructores de templos. Pitágoras de Samos , que conoció esta cuerda, “experimento” las relaciones entre los valores numéricos 3; 4 y 5, descubriendo su famoso teorema al comprobar que el cuadrado de 5 era igual a la suma de los cuadrados de 3 y 4. Siguió “experimentando” con otros triángulos rectángulos cuyos lados no tuviesen esos valores numéricos y comprobó que siempre “el cuadrado de la hipotenusa era igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. El importantísimo teorema descubierto por Pitágoras (se le llamó Regla de oro de la Geometría) fue demostrado dos siglos después por Euclides. Hoy ya existen más de cincuenta demostraciones del teorema. La más conocida y la más intuitiva es la del ilustre matemático hindú Bhaskara . Una aplicación del teorema de Pitágoras nos lleva a la famosa relación trigonométrica : seno cuadrado de un arco más del coseno cuadrado de dicho arco, es igual a la unidad (Regla de oro de la Trigonometría).

ÁNGULO CUADRANTAL
Es aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincide con algunos de los semi ejes del sistema coordenado. Los ángulos cuadrantales son de la fórmula:

Ejemplos :

UBICACIÓN DE UN ÁNGULO

Si es un ángulo positivo y menor de una vuelta, se Cumple :

Para determinar si un ángulo es cuadrantal se hace lo siguiente:
El ángulo dado «x» se divide entre 90° o p/2 rad dependiendo si «x» está en grados sexagesimales o en radianes. Si el resultado es un número entero, entonces, dicho ángulo «x» es cuadrantaI.

Ejemplo 1 :
Determine si los siguientes ángulos son cuadrantales o no y grafíquelos en cada caso:

Resolución:

Para determinar si los ángulos dados son cuadrantales, debemos dividir entre 90° y el residuo debe ser cero, caso contrario el ángulo no será cuadrantal.

Ejemplo 2 :
Ubique el cuadrante de los siguientes ángulos:
I) a = 65° II) a= 136°
III) a = 247° IV) a = 315°

Resolución:

nota :
Si a es un ángulo positivo y mayor de una vuelta, se divide a entre 360° (2p rad) y se analiza el residuo.
Ejemplo 3 :
¿A qué cuadrante pertenece el ángulo de 2 000°?
Resolución:
Dividimos 2 000° entre 360°. El residuo de esta división y el ángulo 2 000° pertenecen al mismo cuadrante.

Si a es un ángulo negativo cuyo valor absoluto es menor de 360° se le suma 360°.

ÁNGULOS COTERMINALES
Dos o más ángulos son llamados coterminales: si tienen un mismo lado inicial y un mismo lado final.

*En la figura “” y “” son ángulos coterminales .
* Propiedades :

son coterminales.

Ejemplo 1 :
* 750° y 30°son coterminales porque :

* 330° y -30 son coterminales porque :

* 2 200° y 40° son coterminales porque :

* 80° y -1 000° son coterminales porque :

* 450° y -90° no son coterminales porque :

Ejemplo 2 :
Grafique el ángulo 390° y halle sus razones trigonométricas.
Resolución:

En el gráfico se observa que los ángulos de 390° y 30° son coterminales debido a que se diferencian en 360° (1 vuelta); por lo tanto:

Aplicando la propiedad de los ángulos coterminales, hallamos las demás R.T.

Ejemplo 3 :
Grafique el ángulo 780° y halle sus razones trigonométricas.
Resolución:

En el gráfico se observa que los ángulos de 780° y 60° son coterminales debido a que se diferencian en 720° ( 2 vueltas ); por lo tanto:
Sen 780° = Sen 60°
Por la propiedad de los ángulos coterminales, tenemos:

razones trigonométricas
de ángulos coterminales

* “” y “” son coterminales , entonces se cumple que :

Análogamente :

Ejemplos :
* 750° y 30° son coterminales
* 330° y –30° son coterminales
* 2 200° y 40° son coterminales
* 80° y –1 000° son coterminales
* 400° y 20° no son coterminales
PROPIEDAD :
* Si “” y “” son coterminales , tal que : , entonces :

* Pero :

* Reemplazamos en (I) :

Ejemplos :
*

*

*

*

relaciOnES entre r.tcon R.t
Si “” es un ángulo en posición normal positivo, entonces “” es un ángulo en posición normal negativo , como se muestra :

Calculamos el seno, coseno y tangente de “” y “”.

* Análogamente :

Ejemplos :

razones trigonométricas
de los ángulos cuadrantales
* Como ejemplo , calculemos las razones trigonométricas de 90°.

* El punto P(0,y) está sobre el lado terminal de 90°, luego:

ojo :
Análogamente podrás calcular las restantes, que en resumen se obtendrá :

* Las razones trigonométricas de 0 y 360° son equivalentes por ser ángulos coterminales .
* ND : No definido.