RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD PROBLEMAS RESUELTOS NIVEL UNI PDF

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OBJETIVO :
Reconocer y definir las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud .
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INTRODUCCIÓN :
El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la composición de las palabras griegas trigonon: triángulo y metron: medida; trigonometría: medida de los triángulos.
Se considera a Hiparco (180-125 a.C.) como el padre de la trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios astronómicos. En el año 1600, el profesor de matemáticas de Heidelberg (la universidad más antigua de Alemania) Bartolomé Pitiscus (1561-1613), publicó un texto con el título de Trigonometría, en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos. El matemático francés François Viète (1540-1603) hizo importantes aportes hallando fórmulas trigonométricas de ángulos múltiples. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran impulso gracias al matemático escocés John Neper (1550-1617), quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía, para convertirla en una nueva rama de las matemáticas.
     Originalmente, la  trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado de la trigonometría se definen las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el ángulo [0;180].

Sin embargo, el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los triángulos: geometría, navegación, agrimensura, astronomía; sino también, para el tratamiento matemático en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar el concepto de función trigonométrica a una función de una variable real, en vez de limitarse a una función de ángulos.
En un sentido básico, se puede afirmar que la Trigonometría es el estudio de las relaciones numéricas entre los ángulos y lados del triángulo. Pero su desarrollo la ha llevado a tener un objetivo más amplio, como se verá más adelante.

ÁNGULO DE POSICIÓN NORMAL , CANÓNICA O ESTANDAR
Es un ángulo trigonométrico que cumple las siguientes características.
I) El vértice coincide con el origen de coordenadas.
II) La posición inicial del rayo está en el eje positivo de las abscisas.
III) La posición final del rayo posee cualquier ubicación en el plano cartesiano .

: Representa el ángulo en posición normal, entonces la ubicación final del rayo me indica el cuadrante al cual pertenece , además .
Ejemplos :

DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Sea un ángulo en posición normal y P(x ; y) un punto que pertenece a su lado final, se define :

eJEMPLO:
Si el punto P(–1; 3) pertenece al lado final del ángulo en posición normal “” ; calcular: .

Resolución :
*Ubicando al punto “P”, se obtendrá :

* Ahora calculamos el radio vector :

* Piden :

signos de las razones trigonométricas en los cuadrantes
En el ejemplo anterior , algunas razones trigonométricas resultaron positivas y otras negativas . Esto dependerá del cuadrante en el que se ubique el ángulo considerado , en el cuadro adjunto se aprecia un criterio para recordar los signos ; entendiéndose que están indicadas las que son positivas y sobre entendiendo que las no mencionadas en cada cuadrante , son negativas .

* De lo anterior se desprende :

eJEMPLO :
Señale el signo de :

Resolución :
* Identificando los cuadrantes:

* Entonces :