RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Un ángulo trigonométrico está en POSICIÓN NORMAL si su vértice esta en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje x. Si el lado final esta en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina ÁNGULO DEL SEGUNDO CUADRANTE y análogamente para los otros cuadrantes. Si el lado final coincide con un eje se dice que el ÁNGULO NO PERTENECE A NINGÚN CUADRANTE.
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ÁNGULO CUADRANTAL
Un ángulo en posición normal se llamará CUADRANTAL cuando su lado final coincide con un eje. En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante. Los principales ángulos cuadrantes son: 0°, 90°, 180°, 270° y 360°, que por “comodidad gráfica” se escribirán en los extremos de los ejes.
OBJETIVOS :
 El objetivo principal del capítulo, es calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo, así como reconocer los ángulos en posición normal.
 Adaptar la teoría a determinadas situaciones geométricas.
 Reconocer los signos de las razones trigonométricas, según la posición del ángulo.
 Realizar operaciones con las razones trigonométrica de ángulos en posición normal.
 Reconocer los ángulos cuadrantales.
 Calcular los valores de las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales y coterminales.
 Reconocer propiedades para los ángulos cuadrantales y coterminales.





RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA UN ANGULO EN POSICION NORMAL, ESTANDAR O CANONICO
OBJETIVOS
 Que el alumno conozca la correcta definición de las razones trigonométricas para un ángulo en posición normal.
 Que el alumno pueda calcular el valor de cualquier razón trigonométrica, identificar el signo de las razones trigonométricas, según la realidad o posición del ángulo.

INTRODUCCIÓN:
Hasta este tema hemos llegado a calcular las razones trigonométricas de ángulos agudos es decir para un , bueno pero la pregunta salta a la mente.
¿Cómo se calcula las razones de un ángulo que no sea agudo?
La respuesta mas adecuada sería que para hallar dichos valores se necesita ampliar de definición de las razones, para ello es necesario tener en cuenta ciertas nociones previas como son plano cartesiano, ubicación de pares ordenados, todos estos conceptos se han desarrollado en el tema anterior, por lo cual lo utilizaremos para posición normal, el cual en medida podría ser agudo o no, esto es calcularemos las R.T. de 90º, 300º, 40000º, etc.

DEFINICIÓN:
Se dice que un ángulo trigonométrico (generado por rotación de un rayo en sentido horario o antihorario) esta en posición normal, estándar o canónica o regular si y sólo si el ángulo tiene su vertice en el origen de coordenadas, su lado inicial coincide con la parte positiva del eje de abscisas, y su lado final puede estar ubicado en cualquier parte del plano cartesiano.

Otros ejemplos son:

90º es un ángulo en posición normal pero no pertenece a cuadrante alguno.

DEFINICIÓN:
Dado el ángulo en posición normal tal como se muestra P al lado final de .

Sea un ángulo en posición normal, eligimos un punto cualquiera P(x; y) en su lado terminal con radio vector “r”, las razones trigonométricas se definen como sigue:

x = abscisa de P y = ordenada de P
r = radio vector de P.

Ejemplo 1:
Dada la expresión, hallar las razones trigonométricas de .

Resolución:
Para hallar las razones trigonométricas necesitamos el radio vector.

Abscisa = –4
Ordenada = 2
Luego:




Ejemplo 2:
Se observa que esta en posición normal.

Signo de la razones trigonométricas
en los cuadrantes.

Ejemplos:
 tg100º < 0 ; puesto que 100º IIC  cos280º < 0; puesto que 280ºIVC  sen(-200º) > 0; puesto que –200º IIC

Ejemplo: Si sen> 0 y cos< 0 Indique el cuadrante de . Si IIC Esto no significa que 90º<<180º Sólo indica que su lado final se halla en el IIC. Podría ser. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS CUADRANTALES Y ANGULOS COTERMINALES 1. ÁNGULO CUADRANTAL Es el ángulo en posición normal cuyo lado terminal coincide con cualquier semieje del plano. Las medidas de los ángulos cuadrantales son múltiplo de 90º. Ejemplo: La medida de los ángulos cuadrantales tiene la forma: Ejemplo: Calcule sen90º + cos90º Resolución: 1ro ubicamos el ángulo 90º en posición normal. Para calcular las R.T. de 90º se puede escoger entre P, Q y R u otro par ordenado que se halla en el semieje positivo de ordenadas. Nosotros elegimos el punto. Q(0; 2) Abscisas = 0 ordenada = 2 r. vector = 2 Luego: sen90º + cos90º = 1 De igual forma se puede calcular las R.T. de otros ángulos cuadrantales. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS CUADRANTALES. Donde: N.D.: no definido. 2. ÁNGULOS COTERMINALES Son aquellos ángulos trigonométricos que tienen los mismos elementos, es decir un mismo lado inicial, vertice y lado terminal. Ejemplo: y son ángulos coterminales. Luego: Si y se ubican como ángulo en posición normal se tiene: Dos ángulos coterminales tiene la siguiente característica. i) ii) Ejemplo 1: Indique si los ángulos 400º y 40º son coterminales. Resolución: 400º – 40º = 360º = 360º (1) 400º y 40º son ángulos coterminales. Ejemplo 2: Sean dos ángulos coterminales tal que . Calcule. Resolución: Si son coterminales. …………. (1) (1) en M M = 2tg = 2(4) M = 8 Ejemplo 3: Calcule: cos Resolución: y 30º son coterminales. 8. Se tiene 2 ángulos coterminales y se sabe que dos veces el menor es a la suma de los ángulos como 13 es a 23. Hallar el menor si se sabe que está comprendido entre 400º y 500º. A) 468º B) 470º C) 472º D) 474º E) 476º 9. Calcule AC en términos de n, a y q si BH = n A) –n (ctg a + ctg q) B) –n (tg a + tg q) C) n(ctg a + ctg q) D) n (tg a + tg q) E) n tg a ctg q 10. En un triángulo rectángulo sus lados son tres números consecutivos, calcule la suma de los senos de sus ángulos interiores. A) 1,2 B) 1,4 C) 2,2 D) 2,4 E) 3 TERREMOTO DE SAN FRANCISCO Hace 100 años y cinco días tuvo lugar el terremoto más famoso de los EE.UU. y por extensión del resto del mundo, en San Francisco. Era 1906, y las consecuencias del terremoto de 7.8 grados en la escala Richter destruyó la ciudad por completo. Fue de las primeras veces que ocurrió que un terremoto se llevase por delante grandes cantidades de infraestructura, más adelante tuvimos otros ejemplos del poder de estos desastres naturales, como por ejemplo los terremotos que asolaron Turquía a finales del siglo XX y aún en este siglo y que son de mayor alcance social por tratarse de zonas enormemente desfavorecidas o subdesarrolladas donde las consecuencias de un terremoto (aún un par de grados inferior) son mucho más dramáticas. En San Francisco la destrucción se vio ayudada por la rotura de los conductos de gas, que provocaron gran cantidad de fuegos, y la rotura de las canalizaciones de agua impidió utilizarla para sofocar los incendios, o al menos lo dificultó. Pero, si este mismo terremoto tuviese lugar hoy, ¿qué pasaría? Con 100 años de recuerdos del terremoto, en pleno siglo XXI, con la tecnología al alcance de la mano,… ¿sería diferente la cosa? Pues no. Los expertos aseguran que, de producirse un terremoto de las mismas características de hace 100 años, el 40% de la ciudad quedaría destruida, los gasoductos se romperían, las canalizaciones del agua quedarían inutilizadas, los puentes se caerían… el caos reinaría… por segunda vez. El hombre es el único animal que puede tropezar sistemáticamente con la misma piedra. En 1906, de una población de unos 400000 habitantes, 3000 murieron y 225000 quedaron sin hogar en menos de cinco minutos, y hoy en día, imaginad la cantidad de gente que podría quedarse en esas condiciones. La población de San Francisco es de unos 800000 habitantes, pero su área metropolitana alberga más de 7 millones de personas. El potencial problema que sufriría el entorno de San Francisco es la débil construcción de las viviendas y la escasa capacidad de reacción posible ante un terremoto. Ni siquiera sabiéndolo por las noticias puedes escapar a sus efectos devastadores, pues en segundos, o bien escasos minutos, la onda sísmica alcanza tu posición. Los efectos del terremoto podrían amortiguarse con unas buenas construcciones, pero no es el caso en la mayor parte de la zona de San Francisco. Se calcula que, de ocurrir hoy otro terremoto, más de medio millón de personas quedarían en la calle, sin hogar. Así que el 40% de las construcciones colapsarían ante un pequeño terremoto, imaginad un gran terremoto.