RAZONAMIENTO LOGICO MATEMATICO PREUNIVERSITARIO 24 PROBLEMAS RESUELTOS PRE SAN MARCOS PDF

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Habilidad Lógico Matemática
1. La liebre de Marzo (personaje de Alicia en el país de las maravillas) siempre miente
de lunes a miércoles y dice la verdad los demás días de la semana. Un día se
encuentra con Alicia y le dice:
– “Ayer mentí”
– “Pasado mañana mentiré durante dos días seguidos”
Después de una cierta meditación lógica, Alicia deduce que encontró a la liebre de
Marzo un día:
A) Lunes B) Martes C) Miércoles D) Jueves E) Viernes
Resolución:
1) Veamos; 1º caso:
2) Veamos; 2º caso:
No hay contradicción.
3) Por tanto Alicia encontró a la Liebre de Marzo un día lunes.
Clave: A
Casos
Lunes Martes Mierco Jueves Viernes Sábado Domin
Dice
Miente Miente Miente Verdad Verdad Verdad Verdad
“Ayer
mentí”
Se contradice
Casos
Lunes Martes Mierco Jueves Viernes Sábado Domin
Dice
Miente Miente Miente Verdad Verdad Verdad Verdad
“Ayer
mentí”
2. Nadia, Rosario, Mery y Janet se alojan en un hotel y cada una de ellas toma una
habitación diferente. Las habitaciones están numeradas diferentes del 1 al 4, y
dicen:
– Nadia : “Yo tengo la habitación 3”
– Rosario : “El numero en mi habitación es el doble que la de Janet”
– Mery : “Nadia no tiene la habitación 3”
– Janet : “Mery tiene la habitación 4”
Si sólo uno de ellas miente, ¿cuánto suman los números de las habitaciones que
tienen Rosario y Janet?
A) 6 B) 4 C) 5 D) 3 E) 7
Resolución:
Nadia y Mery se contradicen  uno de ellos miente
 Rosario y Janet no mienten
Luego: Mery = 4 y Rosario = 2J  Rosario = 2 y Janet = 1
 Rosario + Janet = 3
Clave: D
3. “Juan tiene por lo menos 6 primos”, dice José. “No, tiene menos de 6”, corrige
Ramiro. “Tal vez tengas razón, pero lo que yo sé, es que tiene más de 1 primo”,
agrega Ezequiel. Si se sabe que solo uno de los tres muchachos, dice la verdad,
¿cuántos primos puede tener Juan?
A) 2 B) 6 C) 5 D) 8 E) 1
Resolución:
1) Solo uno de ellos está diciendo la verdad.
2) Si José dice la verdad, entonces la afirmación de Ezequiel también seria
verdadero. Imposible porque solo uno dice la verdad. Por tanto José no dice la
verdad, es decir Juan tiene menos de 6 primos.
3) Si Juan tiene entre 2 y 5 primos, entonces Ramiro y Ezequiel estarían diciendo
la verdad. Imposible porque solo uno dice la verdad. Por tanto Juan tiene 1 solo
primo. Así solo Ramiro estaría diciendo la verdad.
4) Por tanto Juan tiene 1 solo primo.
Clave: E
4. En el país Kunta existen dos tipos de personas, los que siempre dicen la verdad y
los que siempre mienten. Una persona se encuentra con 3 habitantes de Kunta y le
comentan lo siguiente:
– A dice: “B y yo somos iguales (decimos la verdad los dos o mentimos los dos)”
– B dice: “C siempre dice la verdad”
– C dice: “A y yo somos diferentes (si uno miente el otro dice la verdad)”
Entonces son correctas:
I) A es mentiroso
II) B es mentiroso
III) C dice la verdad
A) I y III B) solo I C) solo II D) I y II E) todas
Resolución:
Caso 1:
Si A dice la verdad, entonces B también dice la verdad al igual que C, llegando a una
contradicción ya que C plantea que él y A son diferentes y son iguales.
Caso 2:
Supongamos que B dice la verdad, entonces C dice la verdad y A es mentiroso.
Luego A es mentiroso, B dice la verdad, C dice la verdad
Clave: A
5. Cuatro amigos que tienen 66, 68, 72 y 75 años de edad, conversan de sus edades
de hace 50 años y afirmaron:
 Lucas: “Yo tenía 16 años”.
 Venancio: “Para entonces yo tenía 22 años”.
 José: “Lucas tenía en ese tiempo 18 años”.
 Guillermo: “Yo tenía 25 años”.
Se sabe que solo uno de ellos miente y los otros tres dicen la verdad. Si José es
menor que Lucas, ¿cuál es la suma de las edades, que tenían José y Guillermo hace
50 años?
A) 34 años B) 47 años C) 38 años D) 41 años E) 44 años
Resolución:
1) Las afirmaciones de Lucas y José son contradictorias.
2) Si José es el mentiroso, tenemos sus edades que tenían hace 50 años:
– Lucas: 16 años.
– Venancio: 22 años.
– José: 18 años.
– Guillermo: 25 años.
Estas edades no puede ser, puesto que José es menor que Lucas.
3) Así que Lucas es el mentiroso y tenemos sus edades que tenían hace 50 años:
– Lucas: 18 años.
– Venancio: 22 años.
– José: 16 años.
– Guillermo: 25 años.
4) Por tanto la suma de las edades de José y Guillermo hace 50 años: 41 años.
Clave: D
6. Supongamos que los solteros siempre mienten y los casados siempre dicen la
verdad. Tres amigos afirmaron:
Alan : “Kevin y Daniel son casados”.
Kevin : “Alan es soltero”.
Daniel : “Kevin es soltero”.
Si sólo uno de ellos dice la verdad, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas?
I) Alan es soltero y Kevin es casado.
II) Alan y Daniel son solteros.
III) Kevin es casado y Daniel es soltero.
IV) Alan y Daniel son casados.
V) Kevin y Daniel son casados.
A) I, II y IV B) III, IV y V C) I, II y III D) I, II y V E) II, III y IV
Resolución:
1) Supongamos que Alan dice la verdad. Entonces se tiene la contradicción:
– Alan: V  casado.
– Kevin: M  soltero y casado.
– Daniel: M  soltero.
2) Supongamos que Daniel dice la verdad. Entonces se tiene la contradicción:
– Alan: M  soltero y casado.
– Kevin: M  soltero.
– Daniel: V  casado.
3) Por tanto, Kevin dice la verdad. Entonces se tiene el resultado:
– Alan: M  soltero
– Kevin: V  casado.
– Daniel: M  soltero
4) Por tanto las afirmaciones verdaderas son: I, II y III.
Clave: C
7. Don José se puso de muy mal humor cuando descubrió que alguien había roto el
vidrio de su ventana jugando con la pelota. Solo dos de los sospechosos dijeron la
verdad en el interrogatorio que llevo a descubrir al culpable:
 José : “Fue Roberto el que lo hizo”
 Manuel : “fui yo”
 Pedro : “No fue Roberto”
 Roberto : “Pedro miente”
 Raúl : “El culpable puede ser Manuel o Cristian”
 Juan : “Fue Manuel”
 Cristian : “Ni Manuel ni yo fuimos”
 Nahun : “Cristian dice la verdad y Roberto no fue”
¿Quién de ellos rompió dicho vidrio?
A) Cristian B) Raúl C) Roberto D) Juan E) José
Resolución:
Nos podemos dar cuenta que hay contradicción entre (José y Pedro) y entre (Raúl y
Cristian)
 José: fue Roberto el que lo hizo (mentira)
 Manuel: inocente fui yo (mentira)
 Pedro: no fue Roberto (supuesto verdad)
 Roberto inocente : pedro miente (mentira)
 Raúl: el culpable puede ser Manuel o Cristian
 Juan: fue Manuel (mentira)
 Cristian: culpable ni Manuel ni yo fuimos
 Nahun: Cristian dice la verdad y Roberto no fue (mentira)
Clave: A
8. Tres amigos Marcos, Ernesto y Lavenir en el último examen de admisión a San
Marcos obtuvieron puntajes diferentes. Al encontrarse hicieron dos afirmaciones
cada uno:
– Marcos: “Yo obtuve el mayor puntaje de los tres”. “Lavenir obtuvo el menor
puntaje”
– Ernesto: “Yo obtuve el mayor puntaje de los tres”. “Mi puntaje obtenido es más
que Marcos y Lavenir juntos”
– Lavenir: “Yo obtuve el mayor puntaje de los tres”. “Ernesto solo obtuvo la mitad
de mi puntaje”.
Si tres de las afirmaciones anteriores son falsas, ¿quiénes obtuvieron el menor y
mayor puntaje respectivamente?
A) Marcos – Ernesto B) Ernesto – Lavenir C) Lavenir – Marcos
D) Ernesto – Marcos E) Lavenir – Ernesto
Resolución:
De las afirmaciones: 3V y 3F
Marcos Yo obtuve el mayor puntaje F Lavenir la menor F
Ernesto Yo obtuve el mayor puntaje F  Obtuve más que Marcos + Lavenir V
Lavenir Yo obtuve el mayor puntaje V Ernesto solo la mitad de mi puntaje”. V
Supongamos de las dos afirmaciones que mencionan a una misma persona
(Lavenir) pero con diferente puntaje (Una V y la otra F)
Las 2 afirmaciones de Ernesto deben tener el mismo valor de verdad. 
Entonces:
Marcos Yo obtuve el mayor puntaje F Lavenir la menor V
Ernesto Yo obtuve el mayor puntaje V Obtuve más que Marcos + Lavenir V
Lavenir Yo obtuve el mayor puntaje F Ernesto solo la mitad de mi puntaje”. F
Supongamos de las dos afirmaciones que mencionan a una misma persona
(Lavenir) pero con diferente puntaje (Una F y la otra V), entonces la otra afirmación
que hace Lavenir debe ser F.
Necesariamente las 2 afirmaciones de Ernesto deben tener el mismo valor de verdad
(V)
Entonces la otra afirmación de Marcos es y debe ser (F) .
 Ernesto > Marcos > Lavenir
Marcos Yo obtuve el mayor puntaje V Lavenir la menor F
Ernesto Yo obtuve el mayor puntaje V Obtuve más que Marcos + Lavenir V
Lavenir Yo obtuve el mayor puntaje F Ernesto solo la mitad de mi puntaje”.
F
Por lo tanto hay 2 que tienen puntaje mayor ()
Clave: E
9. De la siguiente diferencia 8ab  35c ab7 , halle a + b + c
A) 27 B) 21 C) 24 D) 15 E) 28
Resolución:
8ab  35c ab7  a = 4 ó 5
Si a = 4  las decenas suman 14
b = 8 ó b = 9
Según las unidades se tiene: c = 2 y b = 9
Al probar con: a = 5 no existe solución.
Luego: a = 4; b = 9 y c = 2
a + b + c = 15
Clave: D
10. En la siguiente multiplicación, cada representa un dígito. Halle la suma de todos
los valores que reemplazan a los asteriscos ( ) de los productos parciales.
3 x
2
0 0
9 0
7

A) 15 B) 13 C) 12 D) 14 E) 16
Resolución:
Los primeros asteriscos que se pueden completar son el cero, el 7 en el primer
producto parcial y el 5 de la última cifra del multiplicando. Luego la segunda cifra del
multiplicador puede ser o 4 o 9 se descarta 9 y se queda con 4 luego se completa
rápidamente y queda:
Piden: 2 + 7 + 6 = 15
Clave: A
3 4 5 x
2 6
2 0 7 0
6 9 0
8 9 7 0
11. Marcos tiene menos de S/. 40 en monedas de 2 y 5 soles. Si el número de
monedas de 5 soles es el máximo posible y el doble del número de monedas de 5
soles es excedido por el número de monedas de 2 soles, ¿cuál es la diferencia
positiva entre el número de monedas de 2 soles y las de 5 soles?
A) 5 B) 8 C) 3 D) 7 E) 4
Resolución:
Sean x: número de monedas de S/.2
y: número de monedas de S/.5
2x + 5y < 40 (I) 2y < x  4y < 2x (II) De (I) y (II): 9y < 40 ymáximo = 4 y así x = 9  x – y = 5 Clave: A 12. Pablito y Pedrito tienen cierta cantidad de caramelos. Ellos se percatan, que la suma del número de caramelos que tiene Pablito y la mitad de los que tiene Pedrito es menor que 92, además la diferencia entre el cuádruple de los caramelos de Pablito y los de Pedrito, en ese orden es mayor que 35. Si el número de caramelos de Pablito excede en 2 a la mitad del número de caramelos de Pedrito, ¿cuántos caramelos tienen entre los dos como máximo? A) 135 B) 150 C) 127 D) 130 E) 134 Resolución: # de caramelos de Pablo: A Z+ ; # de caramelos de Pedrito: B Z+ max B A 92 (1) 2 4A B 35 (2) B A = + 2 (3) 2 (3) en (1) B 90 (3) en (2) 27 B Como B 2k B 88 A 46 Tienen como max.134 caramelos          Clave: E 13. En la figura mostrada, el triángulo ABC es obtuso. Si “x” toma el mínimo valor entero en centímetros, halle el máximo valor entero, en centímetros, que puede tomar y. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9 A B C D y 5cm 10cm (2x-3)cm 2  Resolución: 1) En el triángulo BFC 10 < 2x – 3 + 2x – 3 4 < x xmin = 5 2) AB = 7 3) En el triángulo ABD y < 5 + 7 Luego ymax =11 Clave: C 14. En el triángulo MNP de la figura, mNMP = 4 mMPN y MN = 7 cm. Calcule el máximo valor entero de NP. Dé como respuesta la suma de cifras de este resultado. A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Resolución: Trazamos ND MN  MND es Isósceles. Trazamos NE EP  NDE y NEP isósceles Por teorema existencia del :  En NDE: m < 14  En el NEP: NP < 2m < 28 Máximo entero de NP = 27 Clave: E EJERCICIOS DE EVALUACIÓN Nº 4 1. De cinco damas se sabe que sola una de ellas es casada. Al preguntarles quién es la casada, ellas respondieron: – Sonia : “ Raquel” – Raquel : “ Iris” – Iris : “ Mariela” – Leslie : “Yo no ” – Mariela : “Iris mintió cuando dijo que yo soy casada” Si solo es cierta una de las afirmaciones, ¿quién es la casada? A) Leslie B) Sonia C) Raquel D) Iris E) Mariela M N P A B C D 2  10 (2x-3) 5cm y  2 (2x-3) (2x-3) F M N    D E 7 7    7 m m Resolución: Entre Iris y Mariela esta la contradicción: una dice verdad y la otra miente Clave: A 2. En una tómbola de entre los juegos se observa que hay uno en particular denominado “adivine en qué caja se encuentra el cuy”, pero hay un solo “cuy” y tres cajas cerradas de diferente color, rotulados con los siguientes enunciados: – Caja ploma : “El cuy no está aquí” – Caja negra : “El cuy no está en la caja marrón” – Caja marrón : “El cuy está aquí”. Si solo uno de los enunciados es verdadero, entonces es cierto que: A) En ninguna de las cajas está el cuy. B) El cuy no está en la caja ploma. C) El cuy está en la caja ploma. D) El cuy está en la caja marrón. E) El cuy está en la caja negra. Resolución: Analizando la caja donde está el cuy por suposición en el siguiente cuadro: El cuy está en la caja … Ploma (no está aquí) Negra (no está en la marrón) Marrón (aquí está) Ploma F V F Negra V V F Marrón V F V *Cumple cuando el cuy está en la caja ploma uno es verdadero y los demás enunciados falso. *El cuy está en la caja ploma Clave: C 3. Camilo, Alberto, Jaime y Bruno tienen S/.10; S/.50; S/.100 y S/.200, no necesariamente en ese orden. Se sabe que cada uno hizo las siguientes afirmaciones: – Camilo : “Yo tengo S/.200” – Alberto : “Yo tengo S/.50” – Jaime : “Camilo tiene S/. 10” – Bruno : “Yo tengo S/. 10” Sonia : Raquel F F Raquel: Iris F F Iris : Mariela V F Leslie: Yo no F casada F casada Mariela: Iris mintió cuando dijo que yo soy casada F casada V No puede ser Sí Si sólo uno de ellos miente y los otros dicen la verdad, ¿cuánto es la diferencia positiva del número de soles que tienen Jaime y Bruno? A) S/. 190 B) S/. 150 C) S/. 100 D) S/. 50 E) S/. 90 Resolución: Jaime y Bruno se contradicen. Bruno tiene S/ 10 Camilo tiene S/.200 Alberto tiene S/.50 Jaime tiene S/ 100. J – B = 100 – 10 = S/. 90 Clave: E 4. Hay una fila de 2013 loros, que están hablando, uno detrás de otro. El primero dice: “El segundo loro es verde”. El segundo dice: “El tercer loro es verde”, así sucesivamente, hasta que el loro número 2012 dice: “El loro 2013 es un hipopótamo azul”. El loro 2013 dice: ¡Yo no soy un hipopótamo azul! Se sabe que todos los loros verdes mienten, y que todos los loros que mienten, son verdes. ¿Cuántos loros verdes hay en la fila? A) 1 B) 1006 C) 2 D) 1007 E) 2013 Resolución: 1) Supongamos que el 1º loro miente el 1º es verde. 1º dice: el 2º loro es verde el 2º loro no es verde 2º loro dice la verdad. 2º dice: el 3º loro es verde el 3º loro es verde 3º loro miente. 3º dice: el 4º loro es verde el 4º loro no es verde 4º loro dice la verdad. 4º dice: el 5º loro es verde el 5º loro es verde 5º loro miente. 5º dice: el 6º loro es verde el 6º loro no es verde 6º loro dice la verdad. Así sucesivamente 2012º dice: el 2013º loro es un hipopótamo azul como el loro 2012º dice la verdad el 2013º loro es un hipopótamo azul 2013º dice: yo no soy un hipopótamo azul Por tanto habría contradicción. 2) Ahora Supongamos que el 1º loro diga la verdad el 1º no es verde. 1º dice: el 2º loro es verde el 2º loro es verde 2º loro miente. Camilo: “Yo tengo S/.200” V S/. 200  S/.10 V 200 Alberto: “Yo tengo S/.50” V S/. 50 V 50 Jaime: “Camilo tiene S/.10” V F 100 Bruno: “Yo tengo S/.10” F V 10 No puede ser 2º dice: el 3º loro es verde el 3º loro no es verde 3º loro dice la verdad. 3º dice: el 4º loro es verde el 4º loro es verde 4º loro miente. 4º dice: el 5º loro es verde el 5º loro no es verde 5º loro dice la verdad. 5º dice: el 6º loro es verde el 6º loro es verde 6º loro miente. Así sucesivamente 2012º dice: el 2013º loro es un hipopótamo azul como el loro 2012º miente el 2013º loro no es un hipopótamo azul 2013º dice: yo no soy un hipopótamo azul No hay contradicción. 3) Por tanto habría 1006 loros verdes. Clave: B 5. En el resultado de la siguiente multiplicación, todos los dígitos son nueves mnpqr  27 99...9 . Calcule m + n + p + q + r . A) 15 B) 7 C) 20 D) 17 E) 19 Resolución: Simplificando la expresión: mnpqr  27 99...9 Tenemos: mnpqr 3 11...1  Ahora multiplicamos por 3 mnpqr 9 33...3 mnpqr (10 1) 33...3   mnpqr0 mnpqr 33...3 mnpqr0 mnpqr 333333 Luego: r = 7, q = 3, p = 0, n = 7, m = 3 Por tanto: m + n + p + q + r = 20 Clave: C 6. De la siguiente división, halle la suma de cifras, de la diferencia positiva del dividendo con el divisor. A) 19 B) 24 C) 27 D) 21 E) 32 8 1 - 2 6 - 8 - 3 Resolución Del problema tenemos: Luego D – d = 8243 – 16 = 8227 Suma de cifras = 19 Clave: A 7. El número de lápices que tengo sumado al doble de lo que tú tienes es menos de 26, pero el doble de lo que tengo sumado al triple de lo que tú tienes es más de 39. ¿Cuál es el máximo número de lápices que tú puedes tener? A) 12 B) 11 C) 13 D) 10 E) 9 Resolución: Nro. lápices que tengo: x ; Nro. lápices que tú tienes: y x + 2y < 26  2x + 4y < 52 2x + 3y > 39  –2x – 3y < – 39 y < 13 y = 12 (no) y = 11 (no) y = 10 (sí) Clave: D 8. Dos hermanos deciden ahorrar sus propinas en sus respectivas alcancías, terminado el tiempo de ahorro uno le dice al otro: “Si te doy S/. 6 tendremos la misma cantidad de dinero; pero si me das S/. 8 tendré menos del triple de lo que tendrías”. Si solo ahorraron monedas de S/. 1, ¿cuánto dinero ahorraron ambos como mínimo? A) S/.51 B) S/.57 C) S/.35 D) S/.58 E) S/.68 Resolución: Dinero que tienen ahorrado los hermanos: A , B A – B = B + 6  B = A – 12 A + 8 < 3(B – 8)  A + 8 < 3ª – 60  34 < A Amín. = 35  B = 23 Luego ambos ahorraron S/.58 Clave: D 8 1 – 2 6 – 8 – 3 8 2 4 3 16 8 0 5 1 5 – 2 4 1 6 – 8 3 8 0 – 3 9. En el triángulo ABC que se muestra, AI = 5 cm , CI = 20 cm, CM = 25 cm . Si AC toma su mínimo valor entero en centímetros, halle el máximo valor entero que puede tomar la longitud de AM. A) 48 cm B) 47 cm C) 46 cm D) 45 cm E) 44 cm Resolución: