RAZONAMIENTO ALGEBRAICO EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 7–SEPTIMO AÑO PDF

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Variables y expresiones algebraicas.
, Cómo reducir expresiones algebraicas.
, Ecuaciones y sus soluciones.
, Cómo resolver ecuaciones mediante
la suma o la resta.
, Cómo resolver ecuaciones mediante
la multiplicación o la división.
En el mundo real
En el año 1972, el Parque O´Higgins recibió
ese nombre, luego de haberse llamado Parque
Cousiño. Con una expresión algebraica se
puede representar cuántos años hace que se le
cambió el nombre al parque.
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• Usar propiedades de aritmética y
propiedades de igualdad.
• Escribir y resolver ecuaciones para
resolver problemas.
¿Estás listo?
Vocabulario
Elige el término de la lista que complete mejor cada
enunciado.
1. La operación cuyo resultado es el cociente de dos
números es el/la .
2. El/La del dígito 3 en 4 903 672 es de
unidad de mil.
3. La operación cuyo resultado es el producto de dos
números es el/la .
4. En la división 15 : 3 = 5, el/la es 5.
Resuelve los ejercicios para practicar las destrezas que usarás en este capítulo.
Operaciones básicas
Calcula.
Identificar igualdades y desigualdades
Analiza si se cumplen o no las siguientes igualdades colocando los signos
de = o ≠ según corresponda:
13. 5 + 6 ____ 10 + 1 14. 2 (4 + 5) ____ 20 – 2 15. 230 + 84 ___ 450 – 70
16. 150 (8 – 4) ___ 150 · 2 17. 56 – 70 ____ 70 – 56 18. -4 + 8 _____ 8 – 4
19. 90/45 _____80/40 20. 90/45 (50 – 4) ____ 80/40 ( 4 – 50)
Resolver ecuaciones
Encuentra el número que puede sustituir las letras para que se cumplan la s
siguientes igualdades:
21. 5 + x = 10 22. 4 + x = 9 23. 6 + x = 9 24. 20 + x = 23
25. 5 – x = 1 26. x – 4 = 9 27. 6 – x = 1 28. x – 10 = 10
29. 4x = 20 30. 8x = 64 31. 7x = 14 32. 10x = 100
33. 50 : x = 10 34. 10 : x = 5 35. 2 : x = 2 36. 100 : x = 10
12. Un tercio de 96 aumentado
en la mitad de 96
11. La quinta parte de 60
aumentada en 1
10. El triple de 5
aumentado en 50
9. El doble de 100 disminuido
en 50
8. El doble del triple de 10
5. El doble de 10 6. El cuádruplo de 25 7. El triple de 30
división
multiplicación
valor posicional
producto
cociente
De dónde vienes
En este capítulo
Antes
• Usaste el orden de las operaciones
para simplificar expresiones con
números naturales sin exponentes.
• Usaste la multiplicación y la división
para resolver problemas con números
naturales.
• Escribiste números grandes en forma
estándar.
Estudiarás
• Cómo simplificar expresiones
numéricas con el orden de las
operaciones y los exponentes.
• Cómo usar modelos concretos para
resolver ecuaciones.
A dónde vas
Puedes usar las destrezas aprendidas en
este capítulo
• Para expresar distancias entre objetos
y tamaño de los objetos en disciplinas
científicas como Astronomía o
Biología.
• Para resolver problemas en las clases
de matemáticas y ciencias, como las
de Álgebra y Física.
Vocabulario
Conexiones de vocabulario
variable
constante
expresión algebraica
evaluar
términos semejantes
términos
ecuación
solución
propiedad de igualdad de la suma
propiedad de igualdad de la resta
operaciones inversas
propiedad de igualdad de la multiplicación
propiedad de igualdad de la división
Considera lo siguiente para familiarizarte con
algunos de los términos del vocabulario del
capítulo. Puedes consultar el capítulo, el glosario
o un diccionario si lo deseas.
1. En español, la palabra ecuación y Ecuador
comienzan con la raíz latina equa-, que
significa “nivel”. ¿Cómo puede ayudarte la raíz
latina a definir ecuación?
2. La palabra numérico significa “de números”.
¿Que diferencia puede haber entre una
expresión numérica y una expresión como
“la suma de dos y cinco”?
3. Cuando algo es variable, tiene la capacidad
de cambiar. En matemáticas, una variable
es un símbolo algebraico. ¿Qué propiedad
especial crees que tiene ese tipo de símbolo?
Guía de estudio: Vistazo previo C
A P Í T U L O 2 Vistazo previo
Leer y escribir matemáticas
C A P Í T U L O 2
Inténtalo
Ejemplo
Estrategia: Convierte expresiones escritas en palabras en
expresiones algebraicas
Cuando leas un problema matemático del mundo real, busca palabras clave que te ayuden a
convertir expresiones escritas en palabras en expresiones algebraicas.
Escribe una expresión algebraica en la que describas la situación. Explica por qué
elegiste cada una de las operaciones de la expresión.
1. Esta semana, la página de mega ofertas de una página web ofrece útiles escolares en
remate. El precio de un lápiz pasta es $ 2 000 y el de un cuaderno $ 4 000. Claudia compra
un lápiz y c cuadernos. ¿Cuánto gasta en total?
2. Alfredo tiene f cantidad de galletas y Gabriel tiene g cantidad de galletas. Alfredo y Gabriel
comieron 3 galletas cada uno. ¿Cuántas galletas quedan?
En una fonda, jugar con el trompo cuesta $ 8 por juego. Jugar al ajedrez gigante cuesta
$ 5 por juego. La entrada general al parque cuesta $ 3. Jonás quiere jugar con el trompo
y al ajedrez. Escribe una expresión algebraica para hallar el total que Jonás gastaría para
jugar ∙ juegos del trompo y m juegos de ajedrez en la fonda.
Los juegos de tromp o cuesta $8 por
juego. Si se juega más de una vez,
el costo será un múltiplo de $8.
El ajedrez cuesta $5 por juego.
Si se juega más de una vez, el
costo será un múltiplo de $5.
Jonás quiere jugar trompo y
ajedrez.
La entrada general cuesta $3.
El costo total de juegos trompo
es 8 .
El costo total de m juegos de
ajedrez es 5m.
Suma los dos totales para hallar el costo
total de los juegos de trompo y de ajedrez.
8 + 5m
Al costo total de los juegos, súmale
el valor de la entrada general.
8 + 5m + 3
Bernardo O´Higgins nació en 1778. Sabiendo esto, es
posible calcular qué edad tenía en 1802 cuando se
radicó en su hacienda San José.
1802 – 1778 = 24
Así determinamos que O´Higgins a la edad de 24 años se
radicó en la hacienda San José.
En álgebra se usan letras para representar tanto variables
como constantes. Puedes usar una letra como la a para
representar el año de un suceso determinado en la vida
de O´Higgins y poder calcular la edad que tenía. Entonces
en el año a, O´Higgins tenía:
a – 1778
La letra a tiene un valor que puede cambiar o variar. Cuando una letra representa un
número que puede variar, se llama variable. El año 1778 es una constante, porque
es un número que no cambia.
Una expresión algebraica es aquella combinación de términos algebraicos
relacionados entre sí por operaciones de suma y resta. Por ejemplo, a – 1778 es
una expresión algebraica de la edad que tenía O´Higgins en determinado estadio de
la historia de Chile.
Evaluar (valorizar)
una expresión
algebraica consiste
en asignar un
valor determinado
a las variables y
luego hacer las
operaciones para
calcular el valor
numérico.
Variables y expresiones
algebraicas
Aprender a evaluar
expresiones algebraicas.
Vocabulario
variable
constante
expresión algebraica
evaluar
EJEMPLO 1 Evaluar expresiones algebraicas
Evalúa n + 7 para cada valor de n.
A
B
n = 3 n + 7
3 + 7
10
n = 5 n + 7
5 + 7
12
Sustituye n por 3
Suma.
Sustituye n por 5
Suma.
2–1
C A P Í T U L O
Bernardo O´Higgins.
(1778 – 1842).
Suceso
Año del
suceso (a)
a – Año de
nacimiento =
Edad
O´Higgins es nombrado
teniente coronel del 2°
Regimiento de Caballería.
1811 1811 – 1778 33
Emprende la marcha
hacia Mendoza
1817 1817 – 1778 39
Se traslada con su familia
a Huanchaco, donde se
encontraba Bolívar.
1823 1823 – 1778 45
Muere O´Higgins 1842 1842 – 1778 64
a a – 1778
EJEMPLO
EJEMPLO
2
3
Razonar y comentar
Evaluar expresiones algebraicas relacionadas con el orden de las
operaciones
Evalúa las expresiones para el valor dado de la variable.
Evaluar expresiones algebraicas con dos variables
Evalúa 3n
+ 2m para n = 3 y m = 4.
Multiplicación División
7t 7 · t
7(t) 7 · t
q2
: 2
ab a · b
a(b) a · b
sr
s : r
1. Escribe las expresiones de otra forma: a. 12x b.
4a
y c. 3xy
2
2. Explica la diferencia entre una variable y una constante.
A
B
C
3x – 2 para x = 5
3(5) – 2 Sustituye x por 5.
15 – 2 Multiplica.
13 Resta.
n : 2 + n para n = 4
4 : 2 + 4 Sustituye n por 4.
2 + 4 Divide.
6 Suma.
6y2 + 2y para y = 2
6(2)2 + 2(2) Sustituye y por 2.
6(4) + 2(2) Desarrolla la potencia.
24 + 4 Multiplica.
28 Suma.
3n
+ 2m
3
3
+ 2(4) Sustituye y por 3 y m por 4.
1 + 8 Divide y multiplica de izquierda a derecha.
9 Suma.
La multiplicación y la división de las
variables se pueden escribir de varias
maneras, como se muestra en la tabla.
Al evaluar expresiones, usa el orden
de las operaciones.
Ejercicios
1
1
2
2
3
3
Evalúa n + 9 para cada valor de n.
1. n = 3 2. n = 2 3. n = 11
Evalúa n + 5 para cada valor de n.
9. n = 17 10. n = 9 11. n = 0
4. 2x – 3 para x = 4 5. n : 3 + n para n = 6 6. 5y2 + 3y para y = 2
Evalúa las expresiones para el valor dado de la variable.
12. 5y – 1 para y = 3 13. 10b — 9 para b = 2 14. p : 7 + px para p = 14 y x = 2
15. n : 5 + n para n = 20 16. 3×2 + 2x para x = 10 17. 3c2 – 5c para c = 3
Evalúa las expresiones para los valores dados de las variables.
7. 8n
+ 3m para n = 2 y m = 5 8. 5a – 3b + 5 para a = 4 y b = 3
Evalúa las expresiones para los valores dados de las variables.
18. 12
n + 7m para n = 6 y m = 4 19. 7p – 2t + 3 para p = 6 y t = 2
20. 9 – 3x
4
+ 20y para x = 4 e y = 5 21. r2 + 15k para r = 15 y k = 5
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
2-1
Evalúa las expresiones para los valores dados de las variables.
22. 20x – 10 para x = 4 23. 4d3 – 3d para d = 2
24. 22p : 11 + p para p = 3 25. q + q3 + q : 2 para q = 4
26. 16
k + 7h para k = 8 y h = 2 27. f : 3 + f para f = 18
28. 3t : 3 + t para t = 13 29. 9 + 3p – 5t + 3 para p = 2 y t = 1
30. 108 – 12j + j para j = 9 31. 3m3 + y5
para m = 2 e y = 35
32. La expresión 60m da la cantidad de segundos en m minutos. Evalúa 60m si m = 7.
¿Cuántos segundos hay en 7 minutos?
33. Berta tiene n monedas de $ 50. Puedes usar la expresión 50n para hallar el valor total
de sus monedas. ¿Cuál es el valor de 18 monedas de $50?
34. Física Un televisor en colores tiene una potencia de 200 watts. La expresión 200t da la
potencia de t televisores en colores. Evalúa 200t si t = 13. ¿Cuánta potencia tienen 13
televisores?
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
35. Física La expresión ºF = 1,8 · x ºC + 32 puede usarse para convertir una temperatura en
grados Celsius (ºC) a grados Fahrenheit (ºF). ¿Cuál es la temperatura en grados Fahrenheit
si la temperatura es 30 °C?
36. Física En la gráfica se muestran los cambios de estado del agua.
a. ¿Cuál es el punto de ebullición del agua en grados Celsius?
b. Usa la expresión ºF = 1,8 · x ºC + 32 para hallar el punto de ebullición del agua en
grados Fahrenheit.
150 °C
125 °C
100 °C
75 °C
50 °C
25 °C
0 °C
–25 °C
Energía agregada
(sólido)
Punto de fusión
Punto de ebullición
Hielo y agua
Agua y vapor
Vapor
(gas)
Agua
(líquido)
Cambios de estado del agua
Hielo
37. ¿Dónde está el error? Se le pidió a un estudiante que identificara la variable en la
expresión 72x + 8. La respuesta del estudiante fue 72x. ¿Qué error cometió?
38. Escríbelo Explica por qué letras como x, p, y n, que se usan en las expresiones
algebraicas, se llaman variables. Usa ejemplos para ilustrar tu respuesta.
39. Desafío Evalúa la expresión x + y
y – x para x = 6 e y = 8.
40. ¿Qué expresión NO es igual a 15?
A 3t para t = 5 B 3 + t para t = 12 C t : 3 para t = 60 D t – 10 para t = 25
41. Un grupo de 11 estudiantes hacen escalada en roca en un gimnasio local. Hacer escalada
en roca cuesta $ 3 500 por estudiante más $ 2 200 por cada arriendo de zapatos. Si solo 8
estudiantes arriendan zapatos, ¿cuánto es el costo total que debe pagar el grupo para hacer
escalada en roca? Usa la expresión 3 500x + 2 200y, en la que x representa el total de
estudiantes e y representa la cantidad de estudiantes que arriendan zapatos.
A $ 52 200 B $ 55 600 C $ 56 100 D $ 17 600
Encuentra el valor de las siguientes expresiones algebraicas para x = 10.
42. 3x + 8 43. 35 – 3x 44. x + 150 45. 5x + 8x
Si x = 2, encuentra el resultado para las siguientes expresiones.
46. 45x + 8 47. x + 89 – 3 48. 6x – 9 49. x/10
?
Repaso
Aprender a reducir
expresiones algebraicas.
Vocabulario
términos semejantes
términos
EJEMPLO 1 Identificar términos semejantes
Identifica términos semejantes en la lista.
Términos semejantes 3x y 2x w y w7
5 y 1,8
Términos no
semejantes
5×2 y 2x
Los exponentes
son distintos.
6a y 6b
Las variables son
distintas.
3,2 y n
Solo un término
contiene una
variable.
5a t2
3y2 7t x2 4z k 4,5y2 2t 2
3 a
Busca variables semejantes con potencias semejantes.
5a t2
3y2 7t x2 4z k 4,5y2 2t 2
3 a
Términos semejantes: 5a y 2
3 a 1
2 , 7t y 2t 3y2 y 4,5y2
2-2 Cómo reducir expresiones
algebraicas
C A P Í T U L O
¡Atención!
El coeficiente
numérico de una
variable, como y,
cuando aparece
sola, es 1. Por lo
tanto, y = 1y.
Pista útil
Usa diferentes
figuras o colores
para indicar grupos
de términos
semejantes.
Coeciente
numérico Variable
(factor literal)
Las entrevistas individuales para el casting de
un reality show pueden durar hasta x minutos
cada una y las grupales hasta y minutos cada
una. El intervalo durará 15 minutos.
La expresión 7x + 9y + 5y + 15 representa la
máxima duración del casting si se presentan
7 personas a entrevistas individuales, 9
entrevistas grupales y luego 5 entrevistas
grupales más.
En la expresión 7x + 9y + 5y + 15, 9y y 5y
son términos semejantes, pues tienen igual
factor literal.
Por ejemplo, en la expresión 5xy + 2y+ 3yx
+ 15 los términos 5xy y 3yx son términos
semejantes, ya que xy = yx.
EJEMPLO
EJEMPLO
2
3
Razonar y comentar
Reducir expresiones algebraicas
Reduce los términos semejantes. Justifica tus pasos usando las
propiedades conmutativa, asociativa y distributiva cuando sea necesario.
Aplicación a la Geometría
Escribe una expresión para determinar el
perímetro del rectángulo. Luego reduce la
expresión.
b + h + b + h Escribe una expresión usando
las longitudes de los lados.
(b + b) + (h + h) Identifica y agrupa los términos semejantes.
2b + 2h Suma los coeficientes.
1. Explica si 5x, 5×2 y 5×3 son términos semejantes.
2. Explica cómo sabes cuándo una expresión no puede simplificarse.
A
B
C
7x + 2x
7x + 2x 7x y 2x son términos semejantes.
9x Suma los coeficientes.
5×3 + 3y + 7×3 – 2y – 4×2
5×3 + 3y + 7×3 – 2y – 4×2 Identifica los términos semejantes.
5×3 + 7×3 + 3y – 2y – 4×2 Propiedad conmutativa
(5×3 + 7×3) + (3y – 2y) – 4×2 Propiedad asociativa
12×3 + y – 4×2 Suma o resta los coeficientes.
2(a + 2a2) + 2b
2a + 4a2 + 2b Propiedad distributiva
No hay términos semejantes
que combinar.
Para reducir una expresión algebraica que contiene términos semejantes,
combina los términos. Combinar términos semejantes es como agrupar objetos
semejantes.
Para combinar términos semejantes que tengan variables, suma o resta los
coeficientes.
+ =
x x
x x
x x
x x x x x x x x
x x x x
4x 5x 9x
b
b
h h
+ =
x x
x x
x x
x x x x 4x 5x b
b
h h
Ejercicios
1
1
2
3
3
2
Identifica los términos semejantes de cada lista.
1. 6b 5×2 4×3 b2
x2 2e 2. 12a2 4×3 b 4a2 3,5×3 5
6 b
Identifica los términos semejantes de cada lista.
10. 2b b6 b x4 3b6 2×2 11. 6 2n 3n2 6m2 n4
7
12. 10k2 m 33 p6
2m 2 13. 63 y3 3y2 62 y 5y3
Reduce.
3. 5x + 3x 4. 6a2 – a2 + 16 5. 4a2 + 5a + 14b
6. 3 (x + 5) 7. x (2 + 5) 8. 3y (8 – 3)
9. Escribe una expresión para determinar el perímetro del
rectángulo. Luego reduce la expresión.
20. Escribe una expresión para el perímetro de la figura dada.
Luego reduce la expresión.
Reduce. Justifica tus pasos usando las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva cuando
sea necesario.
14. 3a + 2b + 5a 15. 5b + 7b + 10 16. a + 2b + 2a + b + 2c
17. y + 4 + 2x + 3y 18. q2 + 2q + 2q2 19. 18 + 2d3 + d + 3d
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
2-2
Reduce los términos semejantes.
21. 4x + 5x 22. 32y – 5y 23. 4c2 + 5c + 2c
24. 5d2 – 3d2 + d 25. 5f2 + 2f + f2 26. 7x + 8×2 – 3y
27. 3(p + 9q – 2 + 9) + 14p 28. 6b + 6b2 + 4b3 29. 2(a2 + 2b + 2a2) + b + 2c
30. Escribe una expresión para el
perímetro del triángulo dado.
Luego, evalúa el perímetro si n
es 1, 2, 3, 4 y 5.
n 1 2 3 4 5
Perímetro
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
5n
5n
6b 6b
3a
5a
2n 2n
3a
4n 6n
5n
36. Convierte “seis por la suma de x e y” y “cinco menos que y” en expresiones algebraicas.
¿Qué expresión algebraica representa la suma de estas dos expresiones?
A 6x + 5 B 6x + 2y – 5
C 6x + 5y + 5 D 6x + 7y – 5
37. La longitud de cada lado de un cuadrado es 2x + 3. ¿Qué expresión representa el perímetro
del cuadrado?
A 2x + 12 B 4x + 6
C 6x + 7 D 8x + 12
Evalúa la expresión 9y — 3 para cada valor dado de la variable.
38. y = 2 39. y = 6 40. y =10 41. y =18
?
31. Razonamiento crítico Determina si la expresión 9m2 + k es igual a
7m2 + 2(2k — m2) + 5k. Usa las propiedades para justificar tu respuesta.
32. Varios pasos Bastián gana d pesos por hora como
cocinero en un restaurante. En la tabla se muestra
la cantidad de horas que trabajó cada semana de
junio.
a. Escribe y simplifica una expresión para la
cantidad de dinero que ganó Bastián en junio.
b. Evalúa tu expresión de la parte a para
d = $1 550.
c. ¿Qué representa tu respuesta de la parte b?
33. Andrea gana $ 1 250 por hora trabajando en una tienda de comida rápida.
La semana pasada trabajó h horas en la caja y el doble de horas en la cocina.
Escribe y simplifica una expresión para la cantidad de dinero que ganó Andrea.
34. Razonamiento crítico Los términos 3x, 23×2, 6y2, 2x, y2 y otro término más se
pueden escribir en una expresión que, al reducirse, es igual a 5x + 7y2. Identifica
el término que falta en la lista y escribe la expresión.
35. ¿Cuál es la pregunta? En una tienda, un par de jeans cuesta $ 12 990 y una
camisa, $ 6 990. En otra tienda, la misma clase de jeans cuestan $ 9 990 y la
misma clase de camisa, $ 3 690.
La respuesta es 12 990j – 9 990j + 6 990c – 3 690c. ¿Cuál es la pregunta?
Horas que trabajo Bastián
Semana Horas
1 21,5
2 23
3 15,5
4 19
Repaso
2 ¿Listo para seguir?
Prueba de las Lecciones 2-1 a 2-2
2-1 Variables y expresiones algebraicas
Evalúa cada expresión para hallar los valores que faltan en las tablas.
1. y 23 + y
17 40
27
37
2. w w · 3 + 10
4 22
5
6
3. y 2y – 2
3 4
4
5
4. x 3 + 5x
3 18
7
9
5. En la carpeta de discos compactos de Sofía caben 6 discos por página. ¿Cuántos discos tiene
Sofía si completa 2, 3, 4 o 5 páginas?
6. En una familia, cada mañana sus 4 integrantes toman dos tazas de té cada uno. Si cada vez
que tienen visitas, ellas también consumen la misma cantidad de tazas de té, ¿cuántas tazas se
consumirán en total cuando tengan 2, 3 y 4 visitas? (Incluye a los miembros de la familia en el
cálculo).
2-2 Cómo simplificar o reducir expresiones algebraicas
Identifica los términos semejantes de cada lista
7. 3×2 5x 1
6 x 8×2 8. 12a2 5a3 6a 4a3 86a3 8a2 9. 12w 13x 5×2 19y 24z
Reduce las siguientes expresiones
10. 8y + 12y 11. 23n – 19n 12. 6f2 + 3f – 2f
13. 5a2 – 2a + 3a2 14. 5b – 3b – b 15. 4(s + 3s + 5) – 20s
Escribe la expresión para el perímetro de cada figura. Luego reduce las expresiones.
16.
2a
17.
2b
2b
18.
3n
2a
C A P Í T U L O
¿Listo para seguir?
Enfoque en resolución de problemas
A menudo, los problemas dan demasiada información o muy poca.
Debes decidir si tienes información suficiente para resolver el
problema.
Lee el problema e identifica los datos que se dan. ¿Puedes usar
estos datos para llegar a una respuesta? ¿Hay datos en el problema
que no son necesarios para hallar la respuesta? Estas preguntas te
sirven para determinar si tienes demasiada o poca información.
Si no puedes resolver el problema con la información que tienes,
decide qué información necesitas. Luego, vuelve a leer el problema
para asegurarte de que no te saltaste información.
Comprende el problema
• Identifica si tienes demasiada o poca información
Copia cada problema. Encierra en un círculo los datos importantes. Subraya los datos
que no sean necesarios para responder la pregunta. Si no hay suficiente información,
anota qué te falta.
La pitón reticulada es una de las serpientes
más largas del mundo. En 1912 se encontró
una en Indonesia que medía 10 metros de
largo. Al nacer, la pitón reticulada mide
60 cm. Supongamos que una pitón adulta
tiene una longitud de 8,85 m. Sea p los cm
que creció la pitón desde el nacimiento.
¿Cuál es el valor de p?
La bandera más grande del mundo mide
2,26 m2 y pesa 81,6 kg. En total, tiene 13
franjas horizontales. Sea h la altura de cada
franja. ¿Cuál es el valor de h?
El cerro Aconcagua tiene una altitud de
6 960 metros. Los que escalan el monte
toman un vuelo al campamento de la
base que está a 4 300 metros. Desde allí,
comienzan el ascenso, que puede durar
varios días o más. Sea d la distancia del
campamento a la cumbre del Aconcagua.
¿Cuál es el valor de d?
Sea c el costo de cierta computadora en
1981. Seis años después, en 1987, el precio
de la computadora había aumentado al doble
y era $129 990. ¿Cuál es el valor de c?
1 2
3
4
Comprende
u El Aconcagua. Cordillera de los Andes.
Elba tiene 22 canciones en su reproductor de
MP3. Tiene 9 más que Natalia.
Esta situación se puede escribir en forma de
ecuación.
Una ecuación es una igualdad entre dos
expresiones algebraicas que tienen una o más
variables desconocidas llamadas incógnitas.
Así como los pesos de ambos lados de la balanza equilibrada son exactamente
iguales, las expresiones en ambos lados de una ecuación representan exactamente
el mismo valor.
Cuando una ecuación contiene una variable, un valor de la variable que hace que el
enunciado sea verdadero se llama solución de la ecuación.
22 = j + 9 j = 13 es una solución porque 22 = 13 + 9.
22 = j + 9 j = 15 no es una solución porque 22 ∙ 15 + 9.
Aprender a decidir si
un número es una solución de
una ecuación.
Vocabulario
ecuación
solución
EJEMPLO 1 Determinar si un número es una solución de una ecuación
Determina si el valor dado es una solución para la ecuación.
A
B
18 = s – 7; s = 11
18 = s – 7
18 ?=
11 – 7 Sustituye s por 11.
18 ?=
4 ✘
11 no es una solución de 18 = s – 7.
w + 17 = 23; w = 6
w + 17 = 23
6 + 17 ?=
23 Sustituye w por 6.
23 ?=
23 ✔
6 es una solución de w + 17 = 23.
2-3 Ecuaciones y
sus soluciones
C A P Í T U L O
Leer matemáticas
El símbolo ∙ significa
“no es igual a”
Expresión izquierda Expresión derecha
Cantidad de canciones
de Elba
22 j 9
es
igual a
9 más
que Natalia
EJEMPLO
EJEMPLO
2
3
Razonar y comentar
Tomás quiere comprar una manzana verde. Tiene $ 50, que son $ 100
menos de lo que necesita. ¿La manzana cuesta $100 o $150?
Puedes escribir una ecuación para hallar el precio de la manzana.
Si m representa el precio de la manzana, entonces m – 100 = 50.
$100
m – 100 = 50
100 – 100 ?=
50 Sustituye m por 100.
0 ?=
50 ✘
$150
150 – 100 = 50
50 ?=
50 Sustituye m por 150.
50 – 50 ?=
✔ La manzana cuesta $150.
Llevar una situación del mundo real a una ecuación
¿Qué problema se corresponde mejor con la ecuación
300x + 400 = 2 200?
Problema A:
Jaime gastó $ 2 200 en figuritas de sus series favoritas. Pagó $ 400 por
cada figura femenina y $ 300 por cada figura masculina. ¿Cuántas figuras
femeninas compró Jaime si solo compró una figura masculina?
La variable x representa la cantidad de figuras femeninas que compró Jaime.
Como 400x no es un término en la ecuación dada, el problema A no se
corresponde con la ecuación.
Problema B:
Jaime gastó $ 2 200 en figuritas de sus series favoritas. Pagó $ 300 por
cada figura femenina y $ 400 por cada figura masculina. ¿Cuántas figuras
femeninas compró Jaime si solo compró una figura masculina?
$ 300 por figura femenina 300x
$ 400 en figura masculina 1(400)
Jaime pagó $ 2 200 en total; por lo tanto, 300x + 400 = 2 200.
1. Compara ecuaciones con expresiones. En tu cuaderno anota un
ejemplo para cada concepto.
2. Inventa una ecuación de una ecuación que tenga 5 como solución.
Ejercicios
1
1
2
2
3
3
Determina si el valor dado de la variable es una solución.
1. 19 = x + 4 ; x = 23 2. 6n = 78 ; n = 13 3. k : 3 = 14; k = 42
Determina si el valor dado de la variable es una solución.
6. r – 12 = 25; r = 37 7. 39 : x = 13; x = 4 8. 21 = m + 9; m = 11
9. a
18 = 7; a =126 10. 16f = 48; f = 3 11. 71 – y = 26; y = 47
4. Mario junta estampillas. Tiene 25, que son 9 menos de lo que necesita para llenar un
libro. ¿El libro se llena con 34 o 38 estampillas?
12. Carlos va a ir esta semana a una fiesta. Para poder ir, su padre le pide que haga todas sus
tareas. Carlos tiene 119 ejercicios de matemáticas resueltos, que son 56 menos de lo
que tiene que hacer en total. ¿Los ejercicios totales son 165 o 175?
13. ¿Qué problema se corresponde mejor con la ecuación 200x + 1 000 = 1 800?
Problema A: Elena compró helados y bebida. Si el helado costaba 1 000 pesos y la
bebida 200 pesos, ¿cuántos helados compró Elena si pagó 1 800 pesos y solo llevó una
botella de bebida?
Problema B: Elena compró helados y bebida. Si el helado costaba 200 pesos y la bebida
1 000 pesos, ¿cuántos helados compró Elena si pagó 1 800 pesos y solo llevó una
botella de bebida?
5. ¿Qué problema se corresponde mejor con la ecuación 100 + 20x = 160?
Problema A: Luz compró esponjas a $20 la unidad, y un jabón para lavar la ropa a $100.
Gastó $160 en total. ¿Cuántas esponjas compró?
Problema B: Luz compró esponjas a $100 la unidad, y un jabón para lavar la ropa a $200.
Gastó $160 en total. ¿Cuántas esponjas compró?
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
2-3
Determina si el valor dado de la variable es una solución.
14. j = 6 para 15 – j = 21 15. x = 36 para 48 = x + 12
16. m =18 para 16 = 34 – m 17. k = 23 para 17 + k = 40
18. y = 8 para 9y + 2 = 74 19. c = 12 para 100 – 2c = 86
20. q = 13 para 5q + 7 – q = 51 21. w = 15 para 13w – 2 – 6w = 103
22. t = 12 para 3(50 – t) – 10t = 104 23. r = 21 para 4r – 8 + 9r – 1 = 264
24. Mónica tiene una colección de estampillas de 6 países diferentes. Pedro tiene
estampillas de 3 países menos que ella. Escribe una ecuación que muestre esta
situación, donde j sea la cantidad de países de los que Pedro tiene estampillas.
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
29. El jardín rectangular de Rodrigo mide 3 metros de largo. Para hallar el área de su jardín,
Rodrigo usó la fórmula A = 3a. Halló que su jardín tenía un área de 45 metros cuadrados.
¿Cuánto mide de ancho el jardín de Rodrigo?
A 10 metros B 15 metros C 20 metros D 25 metros
30. En la Escuela San Juan hay 316 estudiantes de séptimo básico. Son 27 estudiantes más de
los que hay en octavo básico. ¿Cuántos estudiantes de octavo básico se inscribieron?
A 289 B 291 C 299 D 343
Evalúa la expresión 5x + y + 8 para cada valor dado.
31. x = 50, y = 10 32. x = 10, y = 150 33. x = 25, y = 200
Indica qué propiedad se representa.
34. (7 + 5) + 3 = 7 + (5 + 3) 35. 181 + 0 = 181 36. bc = cb
con las Ciencias
25. En la tabla, se muestran las alturas
aproximadas de algunas montañas del
mundo en diferentes zonas climáticas.
Usa la tabla para escribir una ecuación
que muestre la distancia vertical desde
la cima de un monte de 4 347 metros
de altura a la línea arbórea, que marca
el comienzo de la zona de tundra
alpina.
26. La velocidad eólica máxima de un tornado F5, el tipo más fuerte de tornado
que se conoce, es de 396 km/h. La velocidad máxima de un tornado F1 es
115 Km/h. La diferencia de velocidad entre el tornado F5 y F1 es 279 Km/h,
281 Km/h o 283 Km/h?
27. Escribe un problema La temperatura media de la superficie terrestre
tuvo un aumento de aproximadamente 0,5 ° C de 1861 a 1998. En 1998,
la temperatura media de la superficie terrestre fue unos 15,5 °C. Usa estos
datos para escribir un problema que contenga una ecuación con una
variable.
28. Desafío En la década de 1980, cerca de 3,7 • 104 hectáreas de selva
tropical se destruyeron cada año por deforestación. ¿Aproximadamente,
cuántas hectáreas de selva tropical se destruyeron en la década de 1980?
Equivalencia de unidades:
1 hectárea (ha) equivale a 10 000 m cuadrados (m2).
Zona climática Altura aproximada
Grandes llanuras 900 a 1 600 metros
Estribaciones 1 600 a 2 300 metros
Bosque de montaña 2 300 a 2 800 metros
Subalpina 2 800 a 3 200 metros
Tundra alpina A más de 3 200 metros
Repaso
Resolver una ecuación significa hallar la solución de la ecuación. Para hacerlo,
despeja la variable, es decir, deja sola la variable a un lado del signo de igualdad.
x = 8 – 5 x + 5 = 8
7 – 3 = y 7 = 3 + y
Las variables están despejadas. Las variables no están despejadas.
Imagina que una ecuación es como una balanza equilibrada. Si aumentas o
disminuyes los pesos en la misma cantidad en ambos lados, la balanza se mantendrá
en equilibrio. Estas son la propiedad de igualdad de la suma y la propiedad de
igualdad de la resta.
Usa las operaciones inversas cuando despejes una variable. La suma y la resta son
operaciones inversas, lo que significa que se “cancelan” entre sí.
Aprender a resolver
ecuaciones de un paso usando
la suma o la resta
Vocabulario
propiedad de igualdad
de la suma
propiedad de igualdad
de la resta
operaciones inversas
EJEMPLO 1 Usar la propiedad de igualdad de la suma
Resuelve la ecuación x – 8 = 17. Comprueba tu respuesta.
x – 8 = 17 Razona: 8 se resta de x, por lo tanto,
+8 +8 suma 8 a ambos lados para despejar x.
x = 25
Comprueba.
x – 8 = 17
25 – 8 ?=
17 Sustituye x por 25
17 ?=
17 ✔ 25 es la solución.
2-4 Cómo resolver ecuaciones
mediante la suma o la resta
C A P Í T U L O
PROPIEDAD DE IGUALDAD DE LA SUMA
En palabras Con números En álgebra
Puedes sumar la misma
cantidad a ambos lados
de una ecuación y el
enunciado seguirá siendo
verdadero.
2 + 3 = 5
+ 4 + 4
2 + 7 = 9
x + 3 = y
+ z + z
x + z = y + z
EJEMPLO 3 Aplicación a los deportes
Adolfo es el líder del equipo de tenis del colegio. Él ha logrado ganar 15
partidos. El equipo completo del colegio ha logrado ganar 63. ¿Cuántos
partidos ha logrado ganar el resto del equipo del colegio de Adolfo?
Sea p los juegos ganados por el resto del equipo.
Juegos ganados por Adolfo + Juegos ganados por
el resto del equipo
= Total juegos ganados
15
+
p
=
63
15 + p = 63
–15 –15 Resta 15 de ambos lados para despejar p.
p = 48
Sus compañeros ganaron 48 juegos.
Razonar y comentar
1. Explica cómo decidir qué operación se puede usar para despejar la
variable de una ecuación.
2. Describe qué sucedería si se sumara o restara un número en un
lado de una ecuación, pero no en el otro. Inventa un ejemplo y
escríbelo en tu cuaderno.
EJEMPLO 2 Usar la propiedad de igualdad de la resta
Resuelve la ecuación a + 5 = 11. Comprueba tu respuesta.
a + 5 = 11 Razona: 5 se suma a la incógnita, por lo tanto,
–5 –5 resta 5 a ambos lados para despejar a.
a = 6
Comprueba.
a + 5 = 11
6 + 5 ?=
11 Sustituye a por 6
11 ?=
11 ✔ 6 es la solución.
PROPIEDAD DE IGUALDAD DE LA RESTA
En palabras Con números En álgebra
Puedes restar la misma
cantidad a ambos lados
de una ecuación y el
enunciado seguirá siendo
verdadero.
4 + 7 = 11
–3 –3
4 + 4 = 8
x = y
– z – z
x – z = y – z
Ejercicios
1
1
2
2
3
3
Resuelve cada ecuación. Comprueba tus respuestas.
1. r – 77 = 99 2. 102 = v – 66 3. x – 22 = 66
Resuelve cada ecuación. Comprueba tus respuestas.
8. n – 36 = 17 9. t – 28 = 54 10. p – 56 = 12
11. b – 41 = 26 12. m – 51 = 23 13. k – 22 = 101
4. d + 83 = 92 5. 45 = 36 + f 6. 987 = 16 + m
14. x + 15 = 43 15. w + 19 = 62 16. a + 14 = 38
17. 110 = s + 65 18. x + 47 = 82 19. 18 + j = 94
20. 97 = t + 45 21. q + 13 = 112 22. 44 = 16 + n
23. Hans está en un viaje de estudio. Tiene que viajar 56 km para llegar a su destino. Hasta
ahora, ha viajado 18 km. ¿Cuánto más tiene que viajar?
24. Sandra leyó 8 libros en abril. Si su club de lectura le pide leer 6 libros al mes, ¿cuántos
libros leyó aparte de lo que le pide el club?
7. Después de ganar 9 partidos, tu equipo ha ganado un total de 23 partidos. ¿Cuántos
partidos había ganado tu equipo antes de ganar los 9 partidos?
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
2-4
Resuelve cada ecuación. Comprueba tus respuestas.
25. p – 7 = 3 26. n + 17 = 98 27. 23 + b = 75
28. 356 = y – 219 29. 105 = a + 60 30. g – 720 =159
31. 651 + c = 800 32. f – 63 = 937 33. 59 + m = 258
34. 16 = h – 125 35. s + 841 = 1 000 36. 711 = q – 800
37. 63 + x = 902 38. z – 712 = 54 39. 120 = w + 41
40. Física Un objeto pesa menos cuando está en el agua. Esto se debe a que el agua ejerce
una fuerza de empuje sobre el objeto. El peso de un objeto fuera del agua es igual al
peso del objeto en el agua más la fuerza de empuje del agua. Supongamos que un
objeto pesa 46 kg fuera del agua y 24 kg en el agua. Escribe una ecuación para hallar la
fuerza de empuje del agua y resuélvela.
41. Después de depositar un cheque de $ 6 500, el nuevo saldo de la cuenta de Helena era
$ 31 500. Escribe una ecuación para hallar la cantidad que había en su cuenta antes del
depósito y resuélvela.
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
46. Esteban ha leído 78 páginas de La isla del tesoro. El libro tiene 203 páginas. ¿Cuántas
páginas le falta leer a Esteban?
47. ¿Qué problema representa mejor la ecuación 42 — x = 7?
A Ariel tiene 42 años. Su hermano es 7 años mayor que él. ¿Cuántos años tiene el hermano
de Ariel?
B Luis tiene 42 días para terminar su proyecto para la feria de ciencias. ¿Cuántas semanas
tiene para terminar su proyecto?
C El total de la cuenta del almuerzo de un grupo de 7 amigos suma $ 4 200. Si los amigos
dividen la cuenta para que cada uno pague lo mismo, ¿cuánto debe pagar cada uno?
D Cada estudiante del club de teatro de la escuela ha pagado por una camiseta del
club. Si en el club hay 42 estudiantes y solo quedan 7 camisetas por retirar, ¿cuántos
estudiantes ya se han llevado su camiseta?
Escribe cada frase como expresión algebraica.
48. el producto de 16 y n 49. k restado de 17 50. 8 por la suma de x y 4
Reduce las expresiones.
51. 6(2 + 2n) + 3n 52. 4x – 7y + x 53. 8 + 3f + 2(4f)
?
42. Música Aldo quiere comprar una
trompeta que aparece en los anuncios
clasificados. Ha ahorrado $15 600. Con
ayuda de la información del anuncio,
escribe y resuelve una ecuación para
hallar cuánto dinero más necesita Aldo
para comprar la trompeta.
43. ¿Dónde está el error? Describe y corrige
el error, x = 50 para (8 + 4)2 + x = 26.
44. Escríbelo Explica cómo sabes si
debes sumar o restar para resolver una
ecuación.
45. Desafío Miguel lleva un registro de los avances y retrocesos de su equipo de fútbol
en cada fase del campeonato anual. El registro se muestra en la tabla. Escribe una
ecuación para hallar la información que falta y resuélvela.
TROMPETA, perfecto estado, pulida, solo
19 500. David 7/528413267
Repaso
Juego Avance/retroceso Total avance/retroceso
1º año Avanzó 2 puestos Avanzó 2 puestos
2º año Retrocedió 5 puestos Retrocedió 3 puestos
3º año Avanzó 7 puestos Avanzó 4 puestos
4º año Retrocedió 7 puestos
2-5
Aprender a resolver
ecuaciones de un paso usando
la multiplicación o la división.
Al igual que la suma y la resta,
la multiplicación y la división
son operaciones inversas. Se
“cancelan” entre sí.
Si una variable se divide entre un número, a menudo puedes usar la multiplicación
para despejar la variable. Multiplica ambos lados de la ecuación por el número.
Cómo resolver ecuaciones
mediante la multiplicación
o la división
C A P Í T U L O
Vocabulario
propiedad de igualdad
de la multiplicación
propiedad de igualdad
de la división
EJEMPLO 1 Usar la propiedad de igualdad de la multiplicación
Resuelve la ecuación x7
= 20. Comprueba tu respuesta.
x7
= 20
(7)x7
= 20(7) Razona: se divide x entre 7, por lo tanto multiplica
x = 140 ambos lados por 7 para despejar x.
Comprueba.
x7
= 20
140
7 ?=
20 Sustituye x por 140.
20 ?=
20 ✔ 140 es la solución.
PROPIEDAD DE IGUALDAD DE LA MULTIPLICACIÓN
En palabras Con números En álgebra
Puedes multiplicar ambos
lados de una ecuación
por el mismo número y el
enunciado seguirá siendo
verdadero.
3 · 4 = 12
2 · 3 · 4 = 2 · 12
6 · 4 = 24
x = y
z x = zy
PROPIEDAD DE IGUALDAD DE LA DIVISIÓN
En palabras Con números En álgebra
Puedes dividir ambos lados
de una ecuación entre el
mismo número distinto de
cero y el enunciado seguirá
siendo verdadero.
5 · 6 = 30
5 · 6 = 30
3 3
5 · 63
= 10
5 · 2 = 10
x = y
xz
= yz
z = 0
2 5 10
10 5 2
Si una variable se multiplica por un número, a menudo puedes usar la división para
despejar la variable. Divide ambos lados de la ecuación por el mismo número.
Razonar y comentar
1. Explica cómo comprobar tu solución a una ecuación.
2. Describe cómo resolver 13x = 91.
3. Cuando resuelvas 5p = 35, ¿p será mayor o menor que 35? Explica tu
respuesta.
4. Cuando resuelvas p5
= 35, ¿p será mayor o menor que 35? Explica tu
respuesta.
EJEMPLO 2 Usar la propiedad de igualdad de la división
Resuelve la ecuación 240 = 4z. Comprueba tu respuesta.
240 = 4z Razona: Se multiplica z por 4, por lo tanto,
240
4 = 4z
4 divide ambos lados entre 4 para despejar z.
60 = z
Comprueba.
240 = 4z
240 ?=
4(60) Sustituye z por 60.
240 ?=
240 ✔ 60 es la solución.
con
Salud
Miguel Induraín ganó
el tour de Francia
cinco veces, de
manera consecutiva
en los años de 1991
al 1995. Solo tres
ciclistas han logrado
su hazaña en la
carrera de bicicletas
más larga del
mundo.
EJEMPLO 3 Aplicación a la salud
Si cuentas los latidos de tu corazón durante 10 segundos y multiplicas
ese número por 6, puedes hallar tu ritmo cardíaco en latidos por
minuto. Miguel Induraín, que ganó el Tour de Francia cinco veces,
tenía un ritmo cardíaco en estado de reposo de 30 latidos por
minuto. ¿Cuántas veces late su corazón en 10 segundos?
Usa la información dada para escribir una ecuación, donde b es la cantidad
de latidos en 10 segundos.
Latidos en 10 s · 6 + 6 = latidos por minuto
b · 6 = 30
6b = 30 Razona: b se multiplica por 6, por lo tanto,
6b
6 = 30
6 divide ambos lados entre 6 para despejar b.
b = 5
El corazón de Miguel Induraín late 5 veces en 10 segundos.
Ejercicios
1
1
2
2
3
3
Resuelve cada ecuación. Comprueba tus respuestas.
1. s
77 = 11 2. b : 25 = 4 3. y : 8 = 5
Resuelve cada ecuación. Comprueba tu respuesta.
8. 12 = s + 4 9. k
18 = 72 10. 13 = z5
11. c5
= 35 12. w
11 = 22 13. 17 = n : 18
4. 72 = 8x 5. 3c = 9,6 6. x · 1,8 = 1,8
14. 1,7x = 85 15. 63 = 3p 16. 6u = 22,2
17. 9,7a = 19,4 18. 9q = 108 19. 195 = 11d
20. Ver una película en el cine del colegio cuesta $ 600 por entrada para grupos de diez o
más personas. Si el grupo de Alberto pagó en total $ 16 200 por las entradas al cine,
¿cuántas personas había en el grupo?
7. Los viernes por la noche, una cancha de fútbol local cobra $ 500 por persona por jugar
toda la noche. Si Andrés y sus amigos pagaron en total $ 4 500 por jugar, ¿cuántas
personas había en el grupo?
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
2-5
Resuelve cada ecuación. Comprueba tu respuesta.
21. 9 = g : 3 22. 150 = 3j 23. 68 = m – 42
24. 7r = 8,4 25. 5x = 35 26. 9 = s
38
27. b + 33 = 95 28. p
15 = 6 29. 12f = 240
30. 504 = c – 212 31. 8a = 288 32. 15,7 + q = 26,9
33. 21 = d : 2 34. h
20 = 83 35. r – 92 = 215
Varios pasos Convierte cada enunciado en una ecuación. Luego resuelve la ecuación.
36. Un número d dividido entre 4 es igual a 3.
37. La suma de 7 y un número n da 15.
38. El producto de un número b y 5 es 250.
39. Doce es la diferencia entre un número q y 8.
40. En nueve semanas a partir de ahora, Susana espera comprar una bicicleta que cuesta
$ 18 000. ¿Cuánto dinero debe ahorrar por semana?
Resuelve.
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
48. El sr. Donoso pidió prestados $120 000 para comprar una computadora. Quiere devolver el
préstamo en 8 pagos iguales. ¿De cuánto será cada pago?
A $ 8 000 B $ 10 000 C $ 15 000 D $ 20 000
49. Resuelve la ecuación 16x = 208.
A x = 11 B x = 12 C x = 13 D x = 14
50. La entrada a un parque de diversiones cuesta $ 1 800 por persona para grupos de 20 o más
personas. Si el grupo de Celia pagó en total $ 41 400 para entrar, ¿cuántas personas había
en el grupo?
Determina si el valor dado de la variable es una solución.
51. x + 34 = 48; x = 14 52. d – 87 = 77; d = 10
Resuelve cada ecuación.
53. 76 + n = 115 54. j – 97 = 145 55. t – 123 = 455 56. a + 39 = 86
?
41. Un club de una escuela está reuniendo juguetes para una organización de
beneficencia infantil. Hay 18 estudiantes en el club y deben reunir 216 juguetes.
Cada uno reunirá la misma cantidad de juguetes. ¿Cuántos deberá reunir cada
integrante?
42. Liliana condujo desde La Serena hacia el Norte a un promedio de 72 km/h. Su
tiempo de recorrido fue 62 horas en total. Escribe una ecuación para hallar la
distancia que recorrío Liliana y resuélvela.
43. Una tienda arrienda un local en un edificio a un costo de $ 2 000 por metro
cuadrado. Si el local tiene 700 metros cuadrados. ¿Cuánto cuesta el arriendo?
44. La profesora de 7º pidió a sus estudiantes que
dijeran cuál es su fruta favorita. Si hay 6 veces más
personas que prefieren los plátanos que personas
que prefieren los duraznos, ¿a cuántas personas
les gustan los duraznos?
45. ¿Dónde está el error? En la ecuación 7x = 56,
un estudiante halló que el valor de x era 392.
¿Qué error cometió?
46. Escríbelo ¿Cómo sabes si debes usar la
multiplicación o la división para resolver una
ecuación?
47. Desafío En una encuesta se preguntó a 8 690 000 estudiantes universitarios
qué equipos electrónicos usan. Los resultados son los siguientes: 7 299 600
tienen televisor, 6 604 400 tienen un reproductor de DVD, 3 389 100 tienen una
consola de videojuegos, 3 041 500 tienen un reproductor de video y x estudiantes
tienen un reproductor de MP3. Si multiplicas la cantidad de estudiantes que tienen
reproductores de MP3 por 5 y luego divides el producto entre 3, tienes el total de
estudiantes representados en la encuesta. Escribe y resuelve una ecuación para
hallar la cantidad de estudiantes que usan reproductores de MP3.
Fruta preferida
20
15
10
5
0
Manzana Plátano Durazno
Cantidad de estudiantes
?
Repaso
4b
4b
7a 7a
2 ¿Listo para seguir?
Prueba de las lecciones 2-1 a 2-5
2-1 Variables y expresiones algebraicas
Evalúa las expresiones para los valores dados de la variable.
1. 7(x + 4) para x = 5 2. 11 – n : 3 para n = 6
3. p + 6t2 para p = 11 y t = 3 4. 2(x – 6) para x = 9
5. 64 – m : 8 para m = 64 6. x2 + 3y2 para x = 2 y y = 5
2-2 Cómo reducir expresiones algebraicas
Reduce las expresiones. Justifica tus pasos.
7. 2y + 5y2 – 2y 8. 2y + (5x – 3x) + y
9. x + 4 + 7x + 9 10. x(3 + 3y) + xy + 6x
11. 10 + 9b – 6a – b 12. 2xy – 5y – yx + 7(2y + 3xy)
13. Escribe una expresión para el perímetro de la figura dada. Luego
reduce la expresión.
14. Escribe un ejemplo de expresión y luego redúcela.
2-3 Ecuaciones y sus soluciones
Determina si el valor dado de la variable es una solución.
15. 22 – x = 7; x = 15
16. 56
r = 8; r = 9
17. m + 19 = 47; m = 28
18. El mes pasado, Sol gastó $ 14 700 en la tienda de comestibles. Este mes gastó $ 2 900 más
que el mes pasado. ¿Cuánto gastó Sol este mes, $ 11 800 o $ 17 600?
2-4 Cómo resolver ecuaciones mediante la suma o la resta
Resuelve cada ecuación.
19. g – 4 = 13 20. 20 = 7 + p
21. t – 18 = 6 22. m + 34 = 53
2-5 Cómo resolver ecuaciones mediante la multiplicación o la división
Resuelve cada ecuación.
23. k8
= 7 24. 3b = 39
25. n : 16 = 7 26. 330 = 22x
27. Un jarro de agua contiene 3,6 litros. ¿Cuántos vasos de 20 ml de agua contiene la jarra?
C A P Í T U L O
¿Listo para seguir?
2 C A P Í T U L O
La torre Titanium
Cuando se terminó en 2010, la torre Titanium La Portada se convirtió en el edificio más
alto de Chile. Poco tiempo después fue superado por la Gran Torre Santiago. El helipuerto
de la torre Titanium La Portada se encuentra a 195,9 metros de altura, lo que permite que
los helicópteros aterricen y despeguen rápidamente. Los ascensores de alta velocidad de
la torre, permiten que las personas lleguen a sus más de 50 pisos en muy poco tiempo.
Usa la información de la tabla para resolver los ejercicios del 1 al 4.
Conexiones con el mundo real
1. En la tabla se muestra la distancia que
recorren los ascensores de la torre
Titanium La Portada en segundos.
Describe el patrón de la tabla.
2. Halla la distancia que puede viajar un
ascensor en 7 segundos. Explica cómo
hallaste la distancia.
3. El helipuerto está a 196 metros de
altura aproximadamente. Escribe y
resuelve una ecuación para hallar
cuánto le lleva a un ascensor ir desde
el suelo hasta el helipuerto.
4. Si un edificio A tuviera 16 100 ventanas
y un edificio B tuviera 65 000 ventanas.
¿Qué edificio tiene más ventanas?
¿Cuántas ventanas más tiene?
Ascensores Skydec
Tiempo (s) Distancia (m)
1 2,1
2 4,2
3 6,3
4 8,4
5. Aproximadamente, 25 000 personas entran a un rascacielos por día. ¿Aproximadamente, cuántas
personas entran en ese rascacielos durante una típica semana laboral de lunes a viernes?
u Torre Titanium. Santiago.
Mover todos los porotos con diez movimientos no es tan difícil, ¿pero pueden
hacerlo con nueve movimientos?
Pueden mover porotos hacia cualquier cuadrado vacío y en cualquier dirección.
Pueden saltar sobre otro poroto en cualquier dirección hacia un cuadrado vacío.
Pueden saltar sobre otros porotos tantas veces como quieran.
1
2
3
¡Vamos a Jugar!
Porotos saltarines
Formen grupos de 3 personas y
realicen la siguiente actividad.
Necesitarás una cuadrícula de 4
por 6 cuadrados. En cada cuadrado
debe caber un poroto. Marca
una sección de 3 cuadrados por
3 cuadrados de la cuadrícula.
Coloca nueve porotos en los nueve
espacios, como se muestra en la
ilustración.
Deben mover los nueve porotos a
los nueve cuadrados marcados con
la menor cantidad de movimientos.
Sigan estas reglas para mover los porotos.
PROYECTO Álgebra paso a paso
Esta “libreta con escalones” es un excelente lugar para anotar
ejemplos de problemas de álgebra.
Instrucciones
1
2
3
4
A
B
C
B
A
C
Materiales
• 1 hoja grande de papel
para decoración
• 3 hojas de papel
para decoración más
pequeñas
• corchetera
• tijeras
• marcadores
• lápiz
Tomar notas en matemáticas
Extiende la hoja de papel de 30 cm por 20 cm delante de ti.
Dóblala a 6 cm del borde superior y haz un pliegue.
Figura A
Desliza la hoja de papel de 18 cm por 20 cm por debajo
de la solapa del primer trozo. Haz lo mismo con las hojas
de papel de 14 cm por 20 cm y de 9,5 cm por 20 cm para
hacer una libreta con escalones. Engrapa todas las hojas en
la parte superior. Figura B
Con un lápiz, divide en tercios las tres hojas del medio.
Luego, desde la parte inferior, corta a lo largo de las líneas
que trazaste para hacer hendiduras en estas tres hojas.
Figura C
En el “escalón” superior de tu libreta, escribe el número
y título del capítulo.
Rotula cada uno de los escalones de tu libreta
con conceptos importantes del capítulo: “Usar
exponentes”, “Expresar números en notación
científica”, etc. En la última hoja, escribe
“Resolver ecuaciones”. Escribe ejemplos
de problemas del capítulo en los escalones
apropiados.
C A P Í T U L O 2
Vocabulario
Guía de estudio: Repaso
EJEMPLOS EJERCICIOS
2
Completa los siguientes enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Una ____________ es aquella combinación de términos algebraicos relacionados entre sí por
operaciones de suma y resta.
2. Un ____________ es un número que se multiplica por una variable en una expresión algebraica.
3. Una ____________ es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que tienen una o más variables
desconocidas llamadas incógnitas.
4. Las ____________ son aquellas que se “cancelan” entre sí, es decir, una anula a la otra.
2-1 Variables y expresiones algebraicas
Evalúa 5a – 6b + 7 para a = 4 y b = 3
5a – 6b + 7 =
5(4) – 6(3) + 7 =
20 – 18 + 7 =
9
Evalúa 3b + 6c + 1 para b = 4 y c = 2
3b + 6c + 1 =
3(4) + 6(2) + 1 =
12 + 12 + 1 =
25
Evalúa las expresiones para los valores
dados de las variables
5. 4x – 5 para x = 6
6. 3s + 7s para s = 9
7. 8y3 + 3y para y = 4
8. 8n2 – 3n3 para n = 2
9. n5
+ 6m – 3 para n = 5 y m = 2
10. 1
4 b + 2b – 5c para b = 3 y c = 2
11. 2a2 + 3b3 para a = 2 y b = 3
12. 1
2 x2 – 3n para x = 12 y n = 16
13. 1
3 c3 + 3c3 para c = 4
Guía de estudio: Repaso
variable ………………………………..54
constante……………………………….54
expresión
algebraica……………………………….54
evaluar……………………………………54
términos semejantes ………………58
términos…………………………………58
ecuación ………………………………..64
solución …………………………………64
propiedad de igualdad
de la suma………………………………68
propiedad de igualdad
de la resta……………………………….68
operaciones inversas………………68
propiedad de igualdad de la
multiplicación…………………………72
propiedad de igualdad de la
división…………………………………..72
EJEMPLOS EJERCICIOS
2
2
2-2
2-3
Cómo reducir expresiones algebraicas
Ecuaciones y sus soluciones
Reduce la expresión.
4×3 + 5y + 8×3 – 4y – 5×2
8×3+ 4×3 – 5×2 + 5y – 4y
12×3 + y – 5×2
Reduce la expresión.
2a2 + 5a + 2a3 + a2 + 2a3 + a
2a3 + 2a3 + 2a2 + a2 + 5a + a
4a3 + 3a2 + 6a
Determina si 22 es una solución.
24 = s – 13
24 = 22 – 13
24 = 9 ✘
Determina si 16 es una solución.
36 = j + 20
36 = 16 + 20
36 = 36 ✔
Reduce las expresiones.
14. 5×2 + 3x – 2×2 + x
15. 2a3 + 3b + 3b – 2a3
16. (m3 + 2m2) + (m + m2)
17. 7b2 + 8 + 3b2
18. 5 + 3a3 + 6a3
19. 12a2 + 4 + 3a2 – 2
20. 6 + 15n2 – 5 – 14n2
21. x2 + x3 + x4 + 5×2
22. 2y3 – 5y4 – 2y3 + 5y4
23. (16a + 22a)– 34a
24. 2m3 + m3 – 4m3
25. 1
5 x2 – 5×2 + 3m
Determina si el valor dado para la variable es una
solución para las siguientes ecuaciones:
26. b
12
= 3; b = 48
27. n9
= 1; n = 1
28. 36 = n – 12; n = 48
29. 54 = x + 26; x = 28
30. 9x = 117; x = 12
31. 12x = 1; x = 1
32. 3x + 2x = 15; x = 15
33. 3
4m – 1
4m = 10; m = 20
34. 2a + 6a2 = 30; a = 12
35. 3a = 18; a = 6
36. 5x = 1
3 x; x = 15
37. 16 = x + 9; x = 7
Prueba del capítulo
Guía de estudio: Repaso
EJEMPLOS EJERCICIOS
2-4
2-5
Cómo resolver ecuaciones mediante la suma o la resta
Cómo resolver ecuaciones mediante la multiplicación o la división
Resuelve la ecuación. Luego comprueba.
b + 12 = 16
–12 –12
b = 4
a – 6 = 24
+ 6 + 6
a = 30
Resuelve la ecuación. Luego comprueba.
2r = 12 2r = 12
2r
2
= 12
2 2(6) ?=
12
r = 6 12 ?=
12 ✔
5m + 4 = 24 5m + 4 = 24
5m
5
= 20
5 5(4) + 4 = 24
m = 4 20 + 4 = 24
24 = 24 ✔
Resuelve cada ecuación. Luego comprueba.
38. 8 + b = 16
39. x + 6 = 25
40. 20 = n – 12
41. 36 = j – 5
42. 27 + c = 45
43. t – 68 = 44
44. x + 5 = 4
45. a – 16 = 16
46. b + 3 = 20
47. 36 – x = 17
48. 15 = x – 9
49. 48 = y – 6
Resuelve cada ecuación. Luego comprueba.
50. n4
+ 12 = 56
51. j3
– 2 = 40
52. 3p + 5 = 32
53. 6x + 5 = 78
54. d
14 = 57
55. 1
4 x + 6 = 9
56. 3
5 m + 16 = 22
57. 2x + 10 = 18
58. 12x – 5 = 7
59. 2
5 a + 4 = 8
60. Elisa cobra $ 1 500 por hora trabajando como
niñera. El mes pasado, ganó $ 63 000. ¿Cuántas
horas trabajó Elisa como niñera el mes pasado?
Prueba del capítulo
2 Prueba de capítulo C A P Í T U L O
Evalúa las expresiones para los valores dados de las variables.
1. 2x – 5 para x = 6 2. y3 + 1 para y = 3
3. 2x + 3 para x = 4 4. 1
6 x + 2 para x = 36
5. 3a + 2b para a = 5 y b = 4 6. 1
8 m – 5n para m = 800 y n = 20
7. 16p2 – 14q para p = 1 y q = 1 8. 4a + 6b + 7 para a = 2 y b = 3
9. 7y2 + 7y para y = 3 10. 1
4 x – 1
4 y para x = 12 e y = 8
Reduce las expresiones. Justifica tus pasos.
11. b + 2 + 5b 12. 16 + 5b + 3b + 9
13. 5a + 6t + 9 + 2a 14. 4m – 5a + 7a – 3m
15. (m + n + m) – (n – m + n) 16. 4q + 2j +3j + 2q
17. 5×2 – 7x + 9×2 + 12x 18. 3p + 9p + 5p + 9p2
19. 1
2 q + p + 1
2 q + p 20. 14s – (6g + 4g – 6s)
Determina si el valor dado para la variable es una solución.
21. 5x + 6 = 42; x = 7 22. 3m + 9 = 27; m = 9
23. n3
= 9; n = 24 24. m4
= 6; m = 24
25. 44 = 6q + 2; q = 7 26. 100 = 1
5 x + 80; x = 20
27. 12h = 144; h = 12 28. 9 = 1
3 x + 9; x = 1
29. 45 = 2x + 19; x = 13 30. 104 = 5x + 34; x = 12
Resuelve cada ecuación. Luego comprueba.
31. 32 – x = 8 32. x – 5 = 11
33. x + 2 = 14 34. x – 5 = 12
35. 3 + x = 9 36. x – 4 = 7
37. x – 59 = 25 38. m + 41 = 56
39. m + 1 = 6 40. 234 + c = 268
Resuelve cada ecuación. Luego comprueba.
41. 2x + 3 = 5 42. 2x + 1 = 7
43. x + 4 = 9 44. 2x – 1 = 3
45. 2x – 1 = 3 46. x + 5 = 6
47. 3x – 4 = 8 48. 3
4 x + 9 = 21
49. 1
5 m = 6 50. m5
= 20
2 Evaluación acumulativa
Capítulos 1-2
1. ¿Qué expresión tiene un valor de –6 cuando
x = 10, y = 8 y z = 12?
A 4xyz B 2xz – 3y
C x – 5y + 2z D 6xyz + 8
2. ¿Para qué valor de m se cumple m + 49 = 51?
A 100
B 49
C 51
D 2
3. Un constructor usa 22 tornillos para instalar una
persiana. ¿Cuántos tornillos usa para instalar m
persianas?
A 22m B 22 + m
C m
22 D 22
m
4. ¿Para qué valor de x se cumple 1/5 x + 19 = 123 ?
A 104
B 142
C 520
D 500
5. ¿Qué expresión se reduce a 9x + 3 cuando
combinas los términos semejantes?
A 10×2 – x2 – 3
B 3x + 7 – 4 + 3x
C 18 + 4x – 15 + 5x
D 7×2 + 2x + 6 – 3
6. ¿Cuál es la solución a la ecuación
810 = x – 625?
A x = 185 B x = 845
C x = 215 D x = 1 435
7. En la tabla se muestran los valores de diferentes
variables. ¿Cuál de las variables presentadas
permite que, al ser aplicada, la ecuación
4___ – 4 = 16 sea correcta?
Variable Valor
m 3
n 4
x 5
y 6
A m
B n
C x
D y
8. Para hacer un collar de pelotitas, Cristina
necesita 88 pelotitas. Si Cristina tiene un total de
1 056 pelotitas, ¿cuántos collares puede hacer?
A 968
B 12
C 264
D 8
9. ¿Cuáles son los dos números siguientes en el
patrón? -50, -45, -35, -30, -20
A -5, 10
B -5, 0, -15
C -15, -5
D -10, 10
10. Marcos gasta 78 fichas para jugar n vidas de
un juego. ¿Qué expresión puede usarse para
representar el costo en fichas de una vida?
A n
78 B 78
n
C 78n D 78 + n
C A P Í T U L O
11. ¿A qué situación corresponde la expresión
0,29x + 20?
A Una empresa de taxis cobra $ 20 por la
bajada de bandera más $ 0,29 por metro
recorrido.
B Jaime corrió 0,29 kilómetros, se detuvo
para descansar y luego corrió
20 kilómetros más.
C En 20 porciones de cereal hay
0,29 gramos de azúcar.
D Amelia tiene 20 fotos de animales y cada
una mide 0,29 m.
12. ¿Cuál de las siguientes operaciones debe
realizarse primero para reducir esta expresión?
16 • 2 + (20 : 5) – 32 : 3 + 1
A 32 : 3
B 20 : 5
C 16 · 2
D 3 + 1
13. Si x = 25 e y = -8, ¿cuál es el valor de
2 + x – y
14. Un avión tiene asientos para 198 pasajeros. Si
en cada fila hay 6 asientos, ¿cuántas filas de
asientos hay en el avión?
15. ¿Cuál es el valor de la expresión
32 · (2 + 3 · 4) – 5?
16. ¿Cuál es la solución a la ecuación
–10 + s = 42?
17. ¿Cuál es el resultado de sumar 4 al
producto de 9 y 5?
18. Lucas puede nadar 25 vueltas en una hora.
Escribe una expresión algebraica en la que
muestres cuántas vueltas puede nadar Lucas en
h horas. ¿Cuántas horas tardará Lucas en nadar
100 vueltas?
19. Una instructora de gimnasia aeróbica da una
clase de 45 minutos de duración a las 9:30 a. m.,
tres veces por semana. La instructora dedica 12
minutos de la clase a ejercicios de estiramiento.
El resto de la clase consiste en danza aeróbica.
¿Cuántos minutos dedica a enseñar danza
aeróbica en una clase? Escribe una ecuación para
explicar cómo hallaste la respuesta y resuélvela.
20. Luis y José corrieron la misma distancia, pero
tomaron diferentes rutas. Luis corrió 3 cuadras
hacia el Este y 7 hacia el Sur. José corrió 4
cuadras hacia el Oeste y luego se dirigió hacia
el Norte. ¿Cuántas cuadras recorrió José en
dirección Norte? Muestra tu trabajo.
21. Los Leones y los Pumas están comprando
uniformes nuevos para sus equipos de fútbol.
Cada miembro del equipo recibirá una gorra, una
polera y un par de pantalones nuevos.
COSTOS DEL uniforme
Leones Pumas
Gorra $ 1 500 $ 1 500
Polera $ 7 500 $ 7 000
Pantalones $ 6 000 $ 7 000
a. Sea r la cantidad de miembros de los Leones y h
la cantidad de miembros de los Pumas. Escribe
una expresión que muestre el costo total de los
uniformes de cada equipo.
b. Si tanto los Leones como los Pumas tienen 12
miembros en el equipo, ¿cuánto gastará cada
equipo en uniformes? ¿Qué equipo gastará más?
¿Cuánto más? Muestra tu trabajo.
Responde verdadero (V) o falso (F)
22. ______ Una expresión algebraica siempre tiene
una o más variables.
23. ______ Las operaciones inversas son iguales
entre sí, pero con signo contrario.
24. ______ Una ecuación siempre tiene solo una
solución.
Índice tematico
3. 6 · 15 = 45 · 2
Página 36
1. x=60
2. p=8,75
3. m=16,4
4. t=21
5. 1,5 kg
6. x=20
7. h=144
8. r=6,5
9. v=336
10. x=9
11. t=36
12. s=4,8
13. n=22,4
14. 95,63 mm
15. 254,9 g
16. h=8
17. x=2
18. t=117
19. w=18
20. y= 8,5
21. x=90
22. m=35
23. q=17,4
24. r=15
25. k=324
26. p=45
27. j=16,5
28. 3,4
29. 22,5 monedas
30. 3 horas
31. 22 visitas
Página 37
32. 10/6, 30/18
33. 4/6,10/15
34. 12/21 , 4/7
35. 75/3 , 100/4
36. 30/5 , 42/7
37. 5/90 , 6/108
38. a) 4 identificados, 100 muestras
b) 50/100
c) n/100
39. 1/7 = 15/x
40. 3 km
41. ¿Cuántos gramos de proteína hay
en 94 500 gramos de pescado?
42. Revisar cuaderno
43. ad = bc 3/2 = 6/4, 12 = 12
44. C
45. 4/6
46. 1,34
47. –18,9854
48. 174,87
49. 64
50. 1,5
51. 950
Página 39
1. El inverso multiplicativo de una
fracción, es otra fracción que al
multiplicarla por la primera, el
resultado es 1. El inverso multiplicativo
de 2/3 es 3/2, porque (2/3)
· (3/2) = 1
2. Sí se puede, transformando el
número mixto a fracción impropia.
1 2/3 = 5/3.
Página 40
1. 1
2. 1/10
3. 7/10
4. 12
5. 2/9
6. 7,5
7. 7/27
8. 1/48
9. 2/3
10. 3/40
11. 9/5
12. 9/8
13. 2/3
14. 5/18
15. 17,5
16. 6/25 estudiantes
17. 2/10 Kg.
18. 13 vasos
19. 3/8
20. 40/9
21. A) 14/27
B) 2/5
C) 2/5
D) 63/80
22. B
Página 41
1. 20/32
2. 63/84
3. 48/100
4. 80/96
5. No son proporcionales. Raúl ganó
$680 por hora y Juan $700 por
hora.Sí, porque sus productos
cruzados dan el mismo valor
6. Revisar cuaderno
7. La relación entre poleras y
calcetines, y poleras y galletas es
equivalente 3 : 1
8. 833 alimentos saludables
9. 3:1
10. 4/6 = 8/12
11. n = 30
12. t = 48
13. z = 0,22
14. x = 6,25
15. x = 12
16. m = 1
17. x = 5,25
18. x = 53
19. 38,5 (39 años)
20. $ 2 500
21. 12(90
22. 39/104
23. 125/35
24. 1
Página 42
1. 40°C
2. A) 9 filas
B) 3 fotos exóticas, 3 fotos nativas
3. 35,6
4. 14 3/5
5. Lagarto, escinco, iguana, chucuala,
monstruo
Página 44
1. Enteros, opuestos
2. Producto cruzado
3. >
4. < 5. >
6. < 7. 6, –2, 0, 4, 5 8. –8, –3, 1, 2, 8 9. –8, 1, 2, 3 10. –5, –3, 0, 5, 8 11. –4, –2, –1, 3, 7 12. 0 13. 17 14. 6 15. 3 16. 8 17. 1 Página 45 18. –3 19. –2 20. 1 21. 1 22. –56 23. –46 24. 9 25. –9 26. 10 27. 0 28. –5 29. 11°C 30. 6 31. 6 32. –9 33. –9 34. –1 35. –5 36. –9 37. –3 38. 3 39. 8 40. 14 41. 42 Página 46 42. No 43. No 44. No 45. No 46. Sí 47. Sí 48. 20/24 49. 24/96 50. 9/10 51. 9/10 52. 3/5 53. 12/16 54. n=2 55. s=1 56. a=6 57. b=6 58. b=4 59. j=2 60. x=66 61. x=4 62. y=10 63. y=15 64. w=20 Página 47 1. –4, –2, 0, 1, 3 2. –8, –6, –3, 5, 7 3. 11 4. 5 5. 74 6. 1 7. –10 8. –9 9. 18 10. 8 11. –17 12. –48 13. –410 14. –16 15. w = –2 16. x = –10 17. a = –10 18. n = –48 19. 43 partidas 20. La razón de la moneda de $1 a monedas de $50 21. 12 completos por hora 22. La caja de 10 k 23. 11/15 24. 21/27 25. 9/27 26. 40/68 27. m = 4,5 28. x = 6 29. t = 49 30. p = 1 31. 4,5 tazas de tomates Página 48 1. D 2. D 3. B 4. A 5. C 6. C 7. A 8. A Página 49 9. D 10. D 11. 2,08 T 12. 6,3 13. 39 m 14. 4 de 14 flores 15. 10 250 + 850 – 975 + 500 – 650 = 9 975 16. 5,3/4,2 = x/18 x=23 mts. 17. A)17,92 a 18 8,33 a 8 B) 216 m C)8,26 18. V 19. F 20. V Capítulo 2 Página 51 1. División 2. Valor posicional 3. Multiplicación 4. Cociente 5. 20 6. 100 7. 90 8. 60 9. 150 10. 65 11. 13 12. 80 13. = 14. = 15. ≠ 16. ≠ 17. ≠ 18. = 19. = 20. ≠ 21. x = 5 22. x = 5 23. x = 3 24. x = 3 25. x = 4 26. x = 13 27. x = 5 28. x = 20 29. x = 5 30. x = 8 31. x = 2 32. x = 10 33. x = 5 34. x = 2 35. x = 1 36. x = 10 Página 53 1. 2 000 + 4 000c 2. (f – 3) + (g – 3) Página 55 1. a) 12 · X b) 4 : A c) (3 X Y) : 2 2. Cuando una letra representa un número que puede variar = variable; constante = por que el número no cambia. Página 56 1. 12 2. 11 3. 20 4. 5 5. 8 6. 26 7. 19 8. 16 9. 22 10. 14 11. 5 12. 14 13. 11 14. 30 15. 24 16. 320 17. 12 18. 30 19. 41 20. 106 21. 300 22. 70 23. 26 24. 9 25. 70 26. 16 27. 24 28. 26 29. 13 30. 9 31. 31 32. 420 seg 33. $ 900 34. 2 600 W Página 57 35. 86 oF 36. a) 100 oF b) 212 oF 37. La variable es x 38. Son letras que representan un número que puede variar 39. 7 40. C 41. C 42. 38 43. 5 44. 160 45. 130 46. 98 Solucionario Solucionario Índice tematico 47. 88 48. 3 49. 0,2 Página 59 1. No son términos semejantes por que tiene diferentes potencias 2. Cuando no son términos semejantes Página 60 1. 6b y b/2; 5×2 y x2 2. 12a2 y 4a2 , 4×3 ,y 3,5×3 , b y 5/6b 3. 8x 4. 5a2 +16 5. 4a2 +5a+14b 6. 3x + 15 7. 7x 8. 15y 9. 5n+5n+6b+6b, 10n+12b 10. 2b y b; b^6 y 3b^6 11. 2n y n/4; 6 y 7 12. m y 2m 13. y^3 y 5y^3 14. 8a + 2b 15. 12b+10 16. 3a +3b+2c 17. 4y+4+2x 18. 3q2 +2q 19. 18 + 2d3 +4d 20. 3a + 3a + 2n + 5a + 2n; 11a + 4n 21. 9x 22. 27y 23. 4c2 + 7c 24. 2d2 + d 25. 6f2 + 2f 26. 7x + 8×2 –3y 27. 17p + 27q + 21 28. 6b + 6b2 + 4b3 29. 6a2 + 5b + 2c 30. 15, 30, 45, 60, 75 Página 61 31. No son Iguales 32. A) 79d B) $ 122 450 C) La cantidad que Bastián gano en total 33. $3 750 34. 5x + 23×2 + 7y2 – 23×2 35. Escribe una expresión para calcular la diferencia al comprar un jeans y una camisa en ambas tiendas. 36. D 37. D 38. 15 39. 51 40. 87 41. 159 Página 62 1. 50, 60 2. 25, 28 3. 6, 8 4. 38, 48 5. 12, 18, 24, 30 6. 12, 14, 16 7. 3×2, 8×2, 5x, 1/6x 8. 12a2, 8a2, 5a2, 4a2, 86a2 9. No tiene 10. 20y 11. 4n 12. 6f2 + f 13. 8a2 – 2a 14. B 15. 20–4s 16. 4(2a) 8a 17. 4(2b) 8b 18. 6n + 2a Página 63 1. 825 cm 2. 0,17 m 3. D = 2660 4. $64 995 Página 65 1. Revisar cuaderno 2. 25x–20x Página 66 1. No 2. Sí 3. Sí 4. 34 5. Problema A 6. Sí 7. No 8. No 9. Sí 10. Sí 11. No 12. 175 13. Problema B 14. No 15. Sí 16. Sí 17. Sí 18. Sí 19. No 20. No 21. Sí 22. No 23. Sí 24. 6j – 3j Página 67 25. Revisar cuaderno 26. Es 281 km/h 27. X + 0,5 º C = 15,5º 28. 37 000 Hectáreas 29. B 30. A 31. 268 32. 208 33. 333 34. Asociativa 35. Elemento neutro aditivo 36. Conmutativa de la multiplicación Página 69 1. Se deben usar las operaciones inversas (suma o resta) 2. Significa que no se cancelarían Página 70 1. r=176 2. v=168 3. x=88 4. d=9 5. f=9 6. m=971 7. 14 partidos 8. n=53 9. t=82 10. p=68 11. b=67 12. m=74 13. k=123 14. x=28 15. w=43 16. a=24 17. s=45 18. x=35 19. j=76 20. t=52 21. q=99 22. n=28 23. 38 km 24. 2 libros 25. p=10 26. n=81 27. b=52 28. y=575 29. a=45 30. g=879 31. c=149 32. f=1 000 33. m=199 34. h=141 35. s=159 36. q=1 511 37. x=839 38. z=766 39. w=79 40. f. empuje = 46kg – 24kg = 22kg 41. 31 500 = x + 6 500 25 000 = x Página 71 42. 19 500 = x + 15 600 43. x=2 44. Se debe usar la operación inversa 45. Retrocedió 11 puestos 46. 125 páginas 47. D 48. 16 n 49. 17– k 50. 8(x + 4) 51. 12 + 15 n 52. 5x – 7y 53. 8 + 11 f Página 73 1. Reemplazando el valor de la variable 2. Dividiendo 91/13 3. P es menor que 35 4. P es mayor que 35 Página 74 1. s=847 2. b=100 3. y=40 4. x=9 5. c=3,2 6. x=1 7. 9 personas 8. s=8 9. k=1 296 10. z=65 11. c=175 12. w=242 13. n=306 14. x=50 15. p=21 16. u=3,7 17. a=2 18. q=12 19. d=17,73 20. 27 personas 21. g=27 22. j=50 23. m=110 24. r=1,2 25. x=7 26. s=342 27. b=62 28. p=90 29. f=20 30. c=716 31. a=36 32. q=11,2 33. d=42 34. h=1 660 35. r=307 36. d=12 37. n=8 38. b=50 39. q=20 40. $2 000 Página 75 41. 12 juguetes 42. 4 464 km 43. $1 400 000 44. 2 personas 45. Multiplicó 56 y 7 y tenía que dividir 46. Operación inversa 47. (5x):3=8 690 000 ; x = 5 214 000 48. C 49. C 50. 23 personas 51. Sí 52. No 53. n=39 54. j=242 55. t= 578 56. a= 47 Página 76 1. 63 2. 9 3. 65 4. 6 5. 56 6. 79 7. 5 y2 8. 3y +2x 9. 8x + 13 10. 9x + 4 xy 11. 10 + 8b – 6a 12. 22 xy + 9y 13. 4b + 4b + 7a + 7a + 8b + 14a 14. Revisar cuaderno 15. Sí 16. No 17. Sí 18. $17 600 19. g=17 20. p=13 21. t=24 22. m=19 23. k=56 24. b=13 25. n=112 26. x=15 27. 180 vasos Página 77 1. 2,1 x seg 2. 14,7 m 3. 93,3 seg 4. El edificio B, 48 900 5. 125 000 Página 80 1. Expresión algebraica 2. Término 3. Ecuación 4. Operaciones inversas 5. 19 6. 90 7. 524 8. 8 9. 10 10. –13/4 11. 89 12. 24 13. 213,33 Página 81 14. 3×2 + 4x 15. 6b 16. m3 + 3m2 + m 17. 10b2 + 8 18. 5 + 9a3 19. 15a2 + 2 20. 1 + n2 21. 6×2 + x3 + x4 22. 0 23. 4a 24. –m3 25.– 24/5×2 + 3m 26. No 27. No 28. Sí 29. Sí 30. No 31. No 32. No 33. Sí 34. No 35. Sí 36. No 37. Sí Página 82 38. b=8 39. x=19 40. n=32 41. j=41 42. c=18 43. t=112 44. x=–1 45. a=32 46. b=17 47. x=19 48. x=24 49. y=54 50. n=176 51. j=126 52. p=9 53. x=12,17 54. d=798 55. x=12 56. m=10 57. x=4 58. x=1 59. a=10 60. 42 horas Página 83 1. 7 2. 28 3. 11 4. 8 5. 23 6. 0 7. 2 8. 33 9. 84 10. 1 11. 6b + 2 12. 25 + 8b 13. 7a + 6t + 9 14. m + 2a 15. 3m – n 16. 6q + 5j 17. 14×2 + 5x 18. 17p + 9p2 19. q + 2p 20. 20s – 10g 21. No 22. No 23. No 24. Sí 25. Sí 26. No 27. Sí 28. No 29. Sí 30. No 31. x=24 32. x=16 33. x=12 34. x=17 35. x=6 Solucionario Índice tematico 36. x=11 37. x=84 38. m=15 39. m=5 40. c=34 41. x=1 42. x=3 43. x=5 44. x=2 45. x=2 46. x=1 47. x=4 48. x=16 49. m=30 50. m=100 Página 84 1. C 2. D 3. A 4. C 5. C 6. D 7. C 8. B 9. C 10. B Página 85 11. A 12. B 13. 35 14. 33 filas 15. 443 16. 52 17. 49 18. 25h; 4 horas 19. 33 minutos 20. 6 cuadras 21. A)$15 000 s, $15 500 h, B)$180 000 / $186 000, los pumas / $6 000 22. V 23. F 24. V Capítulo 3 Página 87 1. Triángulo 2. Transportador 3. En el sentido de las manecillas del reloj 4. Regla 5. Revisar cuaderno 6. Revisar cuaderno 7. Revisar cuaderno 8. Revisar cuaderno 9. Agudo 10. Recto 11. Obtuso 12. No 13. Sí 14. No Página 89 1. 50 m Página 91 1. Revisar cuaderno 2. Con una regla y una escuadra, midiendo la distancia de una recta a la otra desde diversos puntos de la recta o con un compás Página 92 1. Revisar cuaderno 2. Revisar cuaderno 3. Revisar cuaderno 4. Revisar cuaderno 5. Revisar cuaderno 6. Revisar cuaderno 7. Revisar cuaderno 8. Revisar cuaderno 9. Revisar cuaderno 10. Revisar cuaderno 11. Revisar cuaderno 12. Revisar cuaderno 13. Revisar cuaderno 14. Revisar cuaderno 15. Revisar cuaderno 16. Revisar cuaderno 17. Revisar cuaderno 18. Revisar cuaderno 19. Revisar cuaderno 20. Revisar cuaderno 21. Revisar cuaderno 22. Revisar cuaderno 23. Revisar cuaderno 24. Revisar cuaderno 25. Revisar cuaderno 26. Revisar cuaderno 27. Revisar cuaderno 28. Revisar cuaderno 29. Revisar cuaderno 30. Revisar cuaderno 31. Revisar cuaderno 32. Revisar cuaderno Página 93 33. Revisar cuaderno 34. Revisar cuaderno 35. Revisar cuaderno 36. Revisar cuaderno 37. Revisar cuaderno 38. Revisar cuaderno 39. Revisar cuaderno 40. Revisar cuaderno 41. Revisar cuaderno 42. Revisar cuaderno 43. Revisar cuaderno 44. Revisar cuaderno 45. B 46. D 47. Revisar cuaderno 48. Revisar cuaderno 49. Revisar cuaderno Página 95 1. Se forman dos ángulos de 30⁰ cada uno Página 96 1. Revisar cuaderno 2. Revisar cuaderno 3. Revisar cuaderno 4. Revisar cuaderno 5. Revisar cuaderno 6. Revisar cuaderno 7. Revisar cuaderno 8. Revisar cuaderno 9. Sí 10. Sí 11. No 12. No 13. No 14. Sí 15. No 16. Sí 17. 45⁰ 18. Revisar cuaderno 19. Revisar cuaderno 20. Revisar cuaderno Página 97 21. Revisar cuaderno 22. Revisar cuaderno 23. Revisar cuaderno 24. Sí 25. Sí 26. No 27. No 28. No 29. Sí 30. No 31. No 32. 150° 33. Porque la bisectriz divide al ángulo en dos ángulos de igual medida y en un cuadrado la diagonal coincide con la bisectriz de los ángulos opuestos y se forman dos triángulos congruentes. 34. Revisar cuaderno 35. Revisar cuaderno 36. Revisar cuaderno 37. Revisar cuaderno 38. X = 9 39. X = 86 40. X = 13,25 41. X = 46,67 42. X = 192 43. X = 440 44. X = 26,3 45. X = 11,7 Página 100 1. No 2. Sí 3. Sí 4. Revisar cuaderno 5. Revisar cuaderno 6. Revisar cuaderno 7. No 8. Sí 9. No 10. Sí 11. No 12. No 13. Revisar cuaderno 14. Revisar cuaderno 15. Revisar cuaderno 16. Sí 17. No 18. No Página 101 19. Revisar cuaderno 20. 10 m, 26 m y 30 m / 26 m, 30 m y 35 m 21. Revisar cuaderno 22. 3 cm, 4 cm, 5 cm/3 cm, 4 cm, 6 cm/ 4 cm, 5 cm, 6 cm/5 cm, 6 cm, 9 cm 23. Revisar cuaderno 24. Revisar cuaderno 25. Revisar cuaderno 26. Revisar cuaderno 27. Revisar cuaderno 28. Revisar cuaderno Página 102 1. Revisar cuaderno 2. Revisar cuaderno 3. Revisar cuaderno 4. Revisar cuaderno 5. Revisar cuaderno 6. Revisar cuaderno 7. Revisar cuaderno 8. Sí 9. Sí 10. Sí, porque la suma de dos de los lados siempre es mayor que el tercer lado. Página 103 1. B 2. B 3. C Página 105 1. Revisar Cuaderno 2. Revisar Cuaderno 3. Revisar Cuaderno Página 106 1. Revisar cuaderno 2. Revisar cuaderno 3. Revisar cuaderno 4.