RADICACION DE POLINOMIOS Y RADICALES DOBLES EJERCICIOS DE TERCERO DE SECUNDARIA EN WORD

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OBJETIVOS ESPECIFICOS:
 Extrae la raíz cuadrada de un polinomio.
 Extrae la raíz cúbica de un polinomio.
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COMENTARIO PREVIO:

La sexta operación, la radicación, se expresa con el signo: . No todos conocen que este signo es una variante de la letra latina “r“, primera letra de la palabra latina radix, que significa raíz. En otros tiempos (en el siglo XVI), el signo de raíz, no era la “r“ minúscula si no la mayúscula, la “R“, y junto a ella se escribía la primera letra de las palabras latinas quadratus, la letra “q” o la primera de cubus, la “c“, señalando con ello que la raíz a extraer era cuadrada o cúbica.
Escribían por ejemplo: R.q. 4325 ó R.c.21758 en lugar de la moderna expresión:

ó

CONTENIDO TEÓRICO:
1. RADICACIÓN.- Es la operación inversa a la potenciación, que consiste en obtener una expresión llamada raíz, de tal manera que al ser elevado a un número llamado índice nos produce una expresión llamada radicando o cantidad subradical.

Donde: b : Raíz enésima
n : índice
A : Radicando
√ : Signo de la radicación.

2. RAÍZ ENÉSIMA DE POLINOMIOS

Donde: P(X) : Polinomio radicando
R(X) : Raíz enésima
r(X) : Residuo de la raíz enésima.

3. GRADOS DE LA RADICACIÓN
3.1. GRADO DE LA RAÍZ: RO

R0  IN

: Grado del polinomio radicando.
n : Índice de la raíz

3.2. GRADO DEL RESIDUO: ro

Ejemplo:
Hallar los grados de los términos de la siguiente radicación:
Resolución:
: 10 ; n = 2, luego:
Ro = 10/2 = 5 (Grado de la raíz)
ro  ( n – 1) Ro – 1 (Grado del residuo)
ro  ( 2 – 1) 5 – 1
ro  4

 Ro = 5 ; ro  4 ; r máx. = 4

4. RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO
MÉTODO PRÁCTICO
Es condición necesaria que P(x) sea de grado 2 o múltiplo de 2, además de ser ordenado y completo. Así mismo los términos del polinomio deben agruparse de 2 en 2 a partir del término independiente, a continuación se procederá a la extracción de la raíz cuadrada mediante las siguientes recomendaciones:

5. RAÍZ CÚBICA DE UN POLINOMIO
MÉTODO PRÁCTICO
Es condición necesaria que P(x) sea de grado 3 o múltiplo de 3, además de ser ordenado y completo. Así mismo los términos del polinomio deben agruparse de 3 en 3 a partir del término independiente, a continuación se procede a la extracción de la raíz cúbica mediante las siguientes recomendaciones:

1. Se extrae la raíz cúbica del primer término de P(x), obteniéndose el primer término de la raíz.
2. El término obtenido se eleva al cubo y se resta de su correspondiente término semejante en el radicando.
3. Se bajan los tres términos del siguiente grupo y se divide el primer término con el triple del cuadrado de la raíz hallada hasta ese momento. El cociente obtenido será el segundo término de la raíz cúbica.

4. A continuación se forman tres productos:
4.1. El triple del cuadrado del primer término de la raíz por el segundo término de la misma.
4.2. El triple del primer término de la raíz por el cuadrado de su segundo término.
4.3. El cubo del segundo término de la raíz. Luego los productos obtenidos se restan de los tres términos que se habían bajado del polinomio.
5. Se baja el siguiente grupo y se procede como en los pasos 3 y 4, hasta obtener un residuo cuyo grado sea una unidad menor que el doble del grado de la raíz ( grado máximo

PRÁCTICA DE CLASE

Extraer la raíz cuadrada de los siguientes polinomios.
01.4×6 – 12×3 + 13×4 – 22×3 + 25×2 – 8x + 16

02. 4×4 – 20×3 + 37×2 + 32×2 + 32x – 12

03. 9×6 – 24×5 + 28×4 – 46×3 + 44×2 – 20x + 25

04. 4×6 – 16×4 + 28×3 – 16×2 – 56x + 19

05. 25×4 + 70x3a + 29x2a2 – 28xa3 + 4a4

Extraer la raíz cúbica de los siguientes polinomios:

06. 8×6 + 12×5 – 54×4 – 59×3 + 135×2 + 75x – 125

07. 27×6 + 54×5 + 9×4 – 28×3 – 3×2 + 6x – 1

08. x6 – 6×5 + 15×4 – 20×3 + 15×2 + 6x – 1

Resolver los siguientes ejercicios:

09. Calcular “m” y “n” sí la raíz cuadrada de:
9×4 – 42×2 + mx2 – 56x + n, es exacta.

10. Calcular “m + n” si la raíz cuadrada de:
mx4 + nx3 + 29×2 + 12x + 4, es exacta.

11. Calcular: ; sabiendo que:

C = x – 1

a) x + 1 b) x – 1 c) x
d) 2x e) 2x + 1

TAREA DOMICILIARIA

01. Calcular “m + n” si la expresión:
49×26 – mx16 + nx13 + 4×6 – 15×3 + 27, tiene raíz cuadrada inexacta, y se obtiene como residuo 5×3 + 2.

02. Calcular “n – m” si la raíz cuadrada de:
9×4 + mx3 + nx2 – 70x + 49, es exacta.

03. Calcular “m + n” en: 81×4 – 216×3 + mx + n, para que su raíz cuadrada sea el cuadrado del residuo correspondiente.

04. Calcular “m” si la raíz cuadrada de:
9×30 + 30×18 + 24×15 + 25×6 + mx3 + 16, es exacta.

05. Calcular “m” si la raíz cuadrada de:
4×4 + (m + 3)x3 + 5×2 + (m + 1)x + 1, es exacta.

06. Calcular “n – m” si la raíz cuadrada de:
9×4 + mx3 + nx2 + 20x + 4, es exacta.

07. Calcular “m” si la raíz cuadrada de:
25×40 – 30×25 + 70×20 + 9×10 – mx5 + 49, es exacta.

08. Calcular “m + n” en: 16×4 + 96×3 + 216×2 + mx + n, para que su raíz cuadrada sea el cuadrado del residuo correspondiente.

09. Calcular “m+n” si la raíz cuadrada de:
16×4 + mx3 + nx2 – 60x + 36, es exacta.

10. Calcular “m+n” si la raíz cuadrada de:
9×4 + mx3 + nx2 – 14x + 1, es exacta.

11. Calcular el menor valor que se le debe asignar a () en: P(x) = 16×4 + 32×3 + 24×2 + x + 

Para que su raíz cuadrada sea el cuadrado del residuo correspondiente.

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

11. ¿Qué valor de “n” convierte a los polinomios:

I. x4 + mx3 + nx2 + px + 1
II. x4 + 4mx3 + 6nx2 + 4px + 1

En cuadrados perfectos?

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6

12. Calcular la condición que deben cumplir los coeficientes de:(a + bx)2 + (c + dx)2 a fin de que la expresión resulte un cuadrado perfecto.

a) a = b b) a = b = c
c) a = b = c = d d) a = -b = c
e) a = b = c = -d

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
• Opera correctamente con radicales, haciendo uso de las propiedades enunciadas en el presente módulo.
• Transforma radicales dobles a radicales simples, haciendo uso de las fórmulas de transformación demostradas en clase. :

COMENTARIO PREVIO:

En el siglo V A. C.., los griegos pitagóricos, buscando la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno, descubrieron otra clase de números distintos a los naturales y a los fraccionarios, les pareció tan poco razonable lo que obtuvieron que le llamaron irracional.

Las raíces que no pueden expresarse exactamente mediante números racionales representan números irracionales y reciben el nombre de radicales. Por ejemplo: , son radicales.

CONTENIDO TEÓRICO:
1. CONOCIMIENTOS PREVIOS:
1.1.VALOR PRINCIPAL DE UNA RAÍZ

Ejemplos:
a)

b)

Luego:

c)

1.2.EXPRESIÓN RADICAL: Las raíces de expresiones algebraicas que no pueden expresarse exactamente mediante una expresión algebraica racional, representan expresiones algebraicas irracionales y reciben el nombre de radicales. Ejemplo: ; son radicales.

1.3.RADICALES HOMOGÉNEOS: Son aquellos radicales que presentan el mismo orden o índice, sin importar el radicando. Ejemplo: ; Son radicales homogéneos.

1.4.RADICALES SEMEJANTES: Son aquellos radicales que presentan el mismo orden o índice y la misma cantidad subradical, sin importar la expresión que lo multiplica.

Ejemplo:
;
son radicales semejantes.

1.5.HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES: Es la operación que consiste en transformar radicales con diferente índice (radicales heterogéneos), en radicales con igual índice (radicales homogéneos).

Se recomienda tener en cuenta las siguientes; reglas:

(1) Se halla el M.C.M. de los índices de los radicales, que será el índice común.
(2) Se divide el M.C.M. encontrado entre el índice original de cada radical y cada cociente de multiplica por el exponente también original de la cantidad subradical.

Ejemplo: , expresarlos como homogéneos.

En primer lugar se debe reconocer que el M.C.M. de 3, 4 y 5 es 60.

(60  3 = 20)

1.6 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES: Se dice que un radical está simplificado al máximo cuando al descomponer en factores primos el radicando todos los factores primos están elevados a exponentes menores que el índice del radical.
Ejemplo : está simplificado al máximo porque descomponiendo 330 en factores primos tendremos:

330 2
165 3
55 5
11 1
1

En cambio, no está simplificando al máximo porque descomponiendo 384 en factores primos tendremos:

384 2
192 2
96 2
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1

Para simplificar al máximo procederemos del modo siguiente.

1.7 PRINCIPIO DE LA EXTRACCIÓN: Consiste en extraer una expresión del radicando; así:

Ejemplos:
a) b)
c)

1.8 PRINCIPIO DE LA INTRODUCCIÓN: Consiste en introducir una expresión en el radicando; así:

Ejemplos:
a) b)
c)

2. OPERACIONES CON RADICALES
2.1. ADICIÓN DE RADICALES
a) Para radicales semejantes se procede así:

b) En la adición de radicales con distinto índice, la expresión queda indicada.

no son semejantes

Observación.- En las operaciones de adición y sustracción los radicales se simplifican al máximo y a continuación se efectúan las operaciones

2.2. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
a)

b)

2.3. DIVISIÓN DE RADICALES
a)
b)

3. DESCOMPOSICIÓN DE RADICALES DOBLES EN SIMPLES

3.1.PRIMER CASO:

De donde:

Siendo :

En resumen la fórmula para descomponer una raíz doble en raíces simples es:

Es decir que, para transformar radicales dobles, en radicales simples: A2 – B, debe ser un número cuadrado perfecto.

3.2.SEGUNDO CASO:

Donde:

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos x, y, z.

Ejemplo: Transformar a radicales simples:

Resolución:

Luego:

Pero:

3.3 TERCER CASO:

Donde:

siendo: cubo perfecto.

Ejemplo:
Transformar: a radicales simples.

Resolución:

Cálculo de C:
Siendo:

Cálculo de x:

La igualdad se cumple cuando: x = 2

Cálculo de y:

Luego:

PRÁCTICA DE CLASE

01. Transforma a radicales simples

A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
H)
I)
J )
K)
L)

02. Calcula el valor de:

03. Simplificar:

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

04. Al descomponer en radicales simples:

se obtiene una expresión de la forma , dar como resultado el valor de k.

a) b) c)
d) e) N.a.

05. Reducir:

a) b) c)
d) e) N.a.

06. Si se tiene que: . Hallar el equivalente de:

a) a – b b) a2 – b c) a – b2
d) E = 0 e) a2 – b2

07. Calcula el valor de:

a) 2 b) 1 c) 0
d) -2 e) N.a.

08. Simplifica:

a) 3+2 b) 2 – 3 c) 3
d) – 2 e) 2

09. Hallar el valor de “E”

a) + 1 b) 1 – c) – ( 1 + )
d) 0 e) 2

10. Simplificar:

a) 5 b) 7 c) 4
d) 6 e) N.a.

12. Simplificar

13.

dividirlo entre:

14. Efectuar la operación:

15. Simplificar:

TAREA DOMICILIARIA

01. Proporcionar el radical equivalente a:

a) b)
c) d)
e)

02. Transformar radicales simples:

a) 10 + 2 b) 10 +
c) 10 +20 d) 5 +10
e) 10 -20

03. Reduce:

E = + +

a) 2 b) c) 2
d) e) 0

04. Reduce:

a) 1 b) 0 c) 8
d) 12 e) 6

05.Calcula:

06. Reduce:

07. Transformar:

08. Si:

la relación que cumple es:

a) x < y b) x = y c) x/y =c d) x/y = 3 e) x > y

09. Reducir:

10. Efectuar:

a) 1 b) 2 c) 4
d) 2 2 e) 4 2

11. Calcula (a + b) si se cumple:

a) 42 b) 45 c) 47
d) 49 e) 51

12. Sí:

Halla el valor de:

a) 1 b) 2 c)
d) +1 e) 3

13. Efectuar las operaciones indicadas:

14. Al transformar:

Como una suma de radicales simples se obtiene

x > y > z.

Calcular: x + y +z

15. Al transformar la expresión:

se obtiene:

el valor de x + y es:

16. Calcular:

17. Sabiendo que los radicales son homogéneos, reducir: