RADICACION ALGEBRAICA , RADICALES DOBLES , RACIONALIZACION EJERCICIOS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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OBJETIVO:
Conocer el procedimiento para extraer la raíz cuadrada de polinomios, así como manipular la simplificación de radicales.
PROCEDIMIENTO PARA EXTRAER LA RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO
RAíz CúBICA DE POLINOMIOS
RADICALES DOBLES
Se llaman así a aquellos radicales que dentro de un radical se encuentran otros radicales relacionados mediante adiciones o sustracciones
Racionalización
Es una operación que consiste en transformar una expresión (con denominador irracional) en otra equivalente parcialmente racional (con denominador racional).
Factor Racionalizante (F.R) :
Es la expresión por la que hay que multiplicar a una cantidad irracional para convertirla en racional.

• Este tema nos permitirá conocer la diferencia sustancial entre raíz aritmética y raíz algebraica de un número.
• Estableceremos las propiedades fundamentales de la radicación en el conjunto de los números reales, y sus respectivas consecuencias.
• Aprenderemos a simplificar y reducir radicales, también operar expresiones irracionales, sean estas numéricas o literales.
RADICACIÓN PARTE I
Es aquella operación algebraica que consiste en hallar una expresión numérica llamada RAÍZ, conocidos dos cantidades denominadas ÍNDICE y CANTIDAD SUBRADICAL, los cuales verifican la igualdad:

Donde: n : índice del radical.
a : cantidad subradical o radicando.
b : raíz enésima de a.

DEFINICIÓN DE RAÍZ ARITMÉTICA
Sea a un número real positivo y n un número natural (n ³ 2), se denomina raíz enésima aritmética de a, al número positivo b, tal que bn = a.
Esta raíz verifica la definición general:

Ejemplos explicativos:

siendo 3 la raíz quinta aritmética de 243.

siendo 5 la raíz cuarta aritmética de 625.

EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA RAÍZ EN EL CONJUNTO R
En la igualdad , si n es un número natural (n ³ 2) y a es un valor permisible para que esté definida en R, el valor de b existirá y será único.
Redefiniendo este concepto general, se tiene:
• Si n es PAR: a ³ 0 y b ³ 0
• Si n es IMPAR:
Siendo el signo de b, el mismo que el de a.

Ejemplos: •

PROPIEDADES GENERALES DE LA
RADICACIÓN EN EL CONJUNTO R
1. y n un natural impar

y n un natural par

2. y n un natural impar

y n un natural par

3.
• Si mn es IMPAR :
• Si mn es PAR: a ³ 0
4. n ³ 2 y a ³ 0

n un número par y

5. Si n es par o impar y a ³ 0

Si n y p son pares y a < 0 6. y n un natural impar. Si n es par, debemos tener en cuenta: • y m un número PAR. • y m un número IMPAR. El signo (–) resulta del valor absoluto, veamos: DEFINICIÓN DE RAÍZ ALGEBRAICA Se denomina raíz algebraica de la , donde n ³ 2; a cada una de las n raíces diferentes bk, que verifican la igualdad: Es importante resaltar el siguiente detalle: • Si el índice n es par, el elemento bk, asumirá dos raíces reales y (n – 2) raíces imaginarias. • Si el índice n es impar, el elemento bk, asumirá una raíz real y (n – 1) raíces imaginarias. De todo lo anterior, podemos concluir que, para determinar las n raíces algebraicas del número real a, el análisis cualitativo de su cálculo, debemos hacerlo dentro del conjunto C de los números complejos. Ejemplos explicativos: • donde k = 1 : b1 = 2 k = 2 : b2 = -2 \ 2 y –2 son las raíces cuadradas algebraicas del número 4. • donde k = 1 : b1 = 3 k = 2 : b2 = 3 k = 3 : b3 = 3 Siendo la unidad imaginaria, y convencionalmente el símbolo w, nos representa a una de las raíces cúbicas imaginarias de la unidad. \ 3, 3w y 3w2 son las raíces cúbicas algebraicas del número 27. • donde k = 1 : b1 = 4 k = 2 : b2 = –4 k = 3 : b3 = 4i k = 4 : b4 = –4i \ 4, –4, 4i y –4i son las raíces cuartas algebraicas del número 256. Finalmente, debemos concluir con el siguiente ejemplo: • El radical admite seis raíces algebraicas; los cuales se muestran: CLASIFICACIÓN DE RADICALES 1) RADICALES HOMOGÉNEOS Son aquellos radicales que tienen igual índice. Ejemplos: • • 2) RADICALES SEMEJANTES Son aquellos radicales que admiten el mismo signo y además igual radicando. Ejemplos : • • HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES Esta transformación elemental se fundamenta en el criterio: Un radical no altera su valor intrínseco cuando se multiplica simultáneamente por un mismo número, el índice del radical y el exponente del radicando. Es decir: Ejemplo: Homogenizar o dar común índice los siguientes radicales: El MCM de los índices 6, 4, 8 y 2 es igual a 24. Luego, homogenizando se tiene: Resultan los radicales homogéneos: RAÍZ CUADRADA DE POLINOMIOS EN R Dado un polinomio P(x) de grado PAR, determinar su raíz cuadrada consiste en hallar otros dos polinomios llamados raíz cuadrada y residuo, denotados por r(x) y R(x) respectivamente. De tal manera que estos verifiquen la identidad fundamental de la radicación: Los cuales resultan del algoritmo: Donde : P(x) : Polinomio radicando r(x) : Polinomio raíz R(x) : Polinomio residuo CLASIFICACIÓN : 1º) Una raíz cuadrada será EXACTA, si su residuo es un polinomio identicamente nulo. Es decir: Por ejemplo: 2º) Una raíz cuadrada será INEXACTA, si su residuo no es un polinomio identicamente nulo. Es decir: Por ejemplo: no es exacto, debido a que: 16x2 – 8x + 5 º (4x – 1)2 + 4; siendo: r(x) = 4x – 1 y R(x) = 4 PROPIEDADES DE GRADO 1º) 0 £ |R(x)|º < |r(x)|º 2º) PROCEDIMIENTO PARA EXTRAER LA RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO Considerando que el polinomio es de grado PAR, se siguen los siguientes pasos: 1. El polinomio radicando debe estar ordenado, generalmente en forma decreciente y no necesariamente ser completo. 2. Se extrae la raíz cuadrada al primer término del polinomio, el cual será el primero de la raíz. Luego, éste se eleva al cuadrado y el resultado se resta del polinomio. 3. Se bajan los dos términos siguientes del radicando, y paralelamente se duplica la raíz encontrada. Se divide el 1º término bajado entre la expresión duplicada, obteniéndose el segundo término de la raíz. 4. Este término obtenido se le adiciona a la raíz duplicada, obteniéndose un resultado. Este resultado se multiplica por el segundo término de la raíz, para luego restarlo de los términos bajados del polinomio. 5. Se bajan los dos términos subsiguientes y se repite el paso anterior, tantas veces hasta que el residuo sea de grado menor que el de la raíz o dicho resto sea un polinomio identicamente nulo. Ejemplo (1) Extraer la raíz cuadrada del polinomio: P(x) = 4x4 – 12x3 + 13x2 – 6x + 1 Raíz : r(x) = 2x2 – 3x + 1 Residuo : R(x) º 0 Ejemplo (2) Hallar la raíz cuadrada del polinomio: P(x) = 9x6 + 24x5 – 14x4 – 28x3 + 33x2 – 18x + 15 Raíz : r(x) = 3x3 + 4x2 – 5x + 2 Residuo : R(x) º –8x2 + 2x + 1 Ejemplo (3) Determinar la raíz cuadrada del polinomio: P(x) = 16x10 + 24x7 – 8x5 + 9x4 – 7x2 + 4 Ejemplo (4) Calcular los valores de a y b, si el polinomio mostrado: P(x) = 81x4 + 216x3 + 216x2 + ax + b tiene raíz cuadrada exacta. Como es exacta : R(x) = (a – 96)x + (b – 16) º 0x + 0 Se cumplen: a – 96 = 0 ® a = 96 b – 16 = 0 ® b = 16 Ejemplo (5) Si la raíz cuadrada del polinomio: P(x) = 9x4 + ax3 + bx2 – 67x + 54 posee coeficiente principal y término independiente positivos. Calcular el valor de (b – a), si el resto de la extracción es igual a (3x + 5). • Aplicando la siguiente propiedad: • Por el criterio mencionado: F(x) = P(x) – (3x+5) El nuevo polinomio: F(x) = 9x4 + ax3 + bx2 – 70x + 49 tendrá raíz cuadrada exacta. • Utilizando la identidad de la radicación exacta. Se tiene: F(x) º [r(x)]2 9x4 + ax3 + bx2 – 70x + 49 º (3x2 + nx + 7)2 Identificando, luego de desarrollar el segundo miembro, resultan las relaciones: a = 6n, b = n2 + 42, 14n = –70 Luego : n = –5 por lo tanto: a = –30 ; b = 67. Finalmente b – a = 97 • Este acápite nos permitirá conocer la regla clásica y el procedimiento usual para descomponer un radical doble de la forma , en radicales simples o sencillos de la forma . RACIONALIZACIÓN SÍNTESIS TEÓRICA CONCEPTO Racionalizar el denominador irracional de una fracción, consiste en transformarla en una fracción equivalente cuyo denominador sea racional. FACTOR RACIONALIZANTE (F.R.) Es otra expresión irracional que multiplicada, por el denominador irracional de una fracción, la convierte en un nuevo denominador racional, libre de radicales. Veamos el esquema: Dados N : Numerador de la fracción Di : Denominador irracional Dr : Denominador racional ABEL, NIELS HENRIK Nació el 5 de Agosto de 1802 en Finnoy (una isla cerca de Stavanger) Falleció el 16 de Abril de 1829 en Froland, Noruega. Niels Abel probó la imposibilidad de resolver algebraicamente ecuaciones de quinto grado. La vida de Abel estuvo dominada por la pobreza. Después de muerto su padre, quien era un ministro protestante, Abel tuvo que asumir la responsabilidad de mantener a su madre y familia, en 1820. El profesor de Abel, Holmboe, reconoció su talento para las matemáticas, debido a su falta de dinero para asistir a una colegiatura para ingresar a la universidad de Christiania, ingresó a la universidad en 1821, diez años después de que la universidad fuera fundada, y se graduó en 1822. Abel publicó en 1823 escritos de ecuaciones funcionales e integrales. En esto Abel dio la primera solución de una ecuación integral. En 1824 probó que era imposible resolver algebraicamente ecuaciones de quinto grado y de su propio costo realizó publicaciones con la esperanza de obtener reconocimiento por su trabajo. Eventualmente ganó un premio de escolaridad del gobierno para viajar al extranjero, visitó Alemania y Francia. Abel fue el instrumento que le dio estabilidad al análisis matemático sobre bases rigurosas. Su mayor trabajo “Recherches sur les fonctions elliptiques” fue publicado en 1827 en el primer volumen del diario Crelle, el primer periódico dedicado enteramente a las matemáticas. Abel visitó este periódico en su visita a Alemania. Después de su visita a París, retornó a Noruega bastante débil, mientras estuvo en París visitó a un doctor quien le informó que padecía de tuberculosis. A pesar de su mala salud y la pobreza, continuó sus escritos sobre la teoría de la ecuación y de las funciones elípticas de mayor importancia en el desarrollo de la teoría total. Abel revolucionó el entendimiento de las funciones elípticas por el estudio de la función inversa de esa función. Abel viajó muy enfermo a visitar a su familia para la Navidad de 1828 en Froland. El comenzó a decaer y estuvo seriamente enfermo y murió a los pocos meses después. SÍNTESIS TEÓRICA TRANSFORMACIÓN DEL RADICAL DOBLE Dado el irracional , donde a y b son racionales positivos. Para su transformación, analicemos la igualdad algebraica: Del cual, se generan las relaciones: Siendo {x,y} Ì Q+, tal que x > y > 0.
Efectuando (a) + (b), resulta:

Elevando al cuadrado:

Despejando:
Del mismo modo (a) – (b), se tiene:

Elevando al cuadrado:

De aqui:
Sustituyendo: , donde c > 0
Finalmente, todo en (I), se obtiene la forma clásica de la descomposición en radicales simples:

CONDICIÓN: a2 – b = # cuadrado perfecto.
Ejemplo (1):
Descomponer
Identificando: a = 7 y b = 40
Por condición:

Ejemplo (2):
Transformar
Identificando: a = 12 y b = 108
Por condición:

DEDUCCIÓN DE LA REGLA PRÁCTICA:
Desarrollemos la potencia de :

Extrayendo raíz cuadrada, así:

REGLA I.-
; Luego:

Ejemplo:
Descomponer

REGLA II.-

Considerando que a > b, se tiene:

Ejemplo:
Transformar

APLICACIONES ELEMENTALES
1) Calcular:

2) Reducir:

Analizando por separado los radicales dobles:

Reemplazando se tiene:

3) Simplificar el radical de cuatro escalones:

4) Descomponer en radicales sencillos:

Por lo tanto:
5) Reducir la expresión:

Multiplicando por :

Teniendo en cuenta que x > 4, resulta:

finalmente: