PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES EJERCICIOS RESUELTOS DE PRIMERO DE SECUNDARIA EN PDF

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Proporcionalidad numérica:
- Razón, proporción y serie de razones iguales.
- Magnitudes directa e inversamente proporcionales.
- Regla de tres simple.
- Porcentajes. Problemas con porcentajes.

Los matemáticos de los pueblos primitivos se ocuparon, entre otras cosas, de resolver problemas de proporcionalidad (repartos, herencias…). Así fue en el antiguo Egipto y en Babilonia.
Sin embargo, los griegos fueron más allá, prestando atención a lo que llamaron la teoría de las proporciones, con un enfoque más teórico que práctico.
Los pitagóricos, además del tratamiento aritmético y geométrico de las proporciones, las relacionaron con
la música. Como sabes, la escala musical consta de siete notas: do, re, mi, fa, sol, la y si. La octava nota vuelve a ser un do, repitiéndose la serie anterior. Por eso, al intervalo musical entre dos notas con el mismo nombre se le llama octava.
Pues bien, los pitagóricos apreciaron que si dos cuerdas
tensas cuyas longitudes están en relación 1:2 se
hacen vibrar, sus sonidos marcan una octava. Y que si
sus longitudes están en una proporción sencilla (2:3,
3:4, 5:6…), sus sonidos son armoniosos, suenan bien.
Su gran imaginación los llevó a extrapolar los sonidos
de las cuerdas a los que, supuestamente, emitían
los cuerpos celestes. Lo llamaron “armonía de las esferas”.

Relación de proporcionalidad entre magnitudes
Llamamos magnitud a cualquier cualidad de los objetos que se pueda medir. Así,
la longitud, el peso o el precio son magnitudes. A veces, entre las magnitudes se
dan relaciones muy útiles para la resolución de problemas, como la relación de
proporcionalidad que vas a estudiar ahora en sus dos modalidades: directa e inversa.

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:
• Al multiplicar una (doble, triple, …), la otra se multiplica de la misma
manera (doble, triple, …).
• Al dividir una (mitad, tercio, …), la otra se divide de la misma forma (mitad,
tercio, …).

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando:
• Al multiplicar una (doble, triple, …), se divide la otra (mitad, tercio, …).
• Al dividir una (mitad, tercio, …), la otra se multiplica (doble, triple, …).

Método de reducción a la unidad
Consiste en calcular, primero, el valor asociado a la unidad.
Conociendo ese valor, es fácil completar cualquier par de valores correspondientes.

Regla de tres directa
Hemos visto que dos pares de valores correspondientes forman dos fracciones
equivalentes. Esto nos permite calcular uno de los cuatro valores si se conocen
los otros tres.

PORCENTAJES
Seguramente, habrás escuchado frases como “hay un ochenta por ciento de
posibilidades”, “me han hecho una rebaja del diez por ciento” o “el banco cobra
un cuatro y medio por ciento”. Son expresiones muy usadas en el lenguaje
corriente y, sobre todo, en el lenguaje comercial.
Concepto de tanto por ciento
Tomar un determinado tanto por ciento de un total equivale a partir el total en
porciones de cien unidades y tomar de cada porción el tanto indicado.

• El símbolo % se lee por ciento: 20% 8 veinte por ciento.
• Para calcular un determinado tanto por ciento de una cantidad, dividimos
la cantidad entre 100 y multiplicamos por el tanto.

1 Calcula mentalmente en el orden en que aparecen:
a) 30% de 100 b) 8% de 100
30% de 200 8% de 200
30% de 300 8% de 300
c) 15% de 200 d) 5% de 200
15% de 300 5% de 400
15% de 400 5% de 600
2 Calcula mentalmente.
a) 12% de 400 b) 7% de 300
c) 25% de 300 d) 6% de 800
e) 40% de 200 f ) 10% de 500
3 Calcula con lápiz y papel.
a) 4% de 175 b) 9% de 1 200
c) 10% de 820 d) 12% de 425
e) 17% de 560 f ) 25% de 1 480
g) 32% de 625 h) 44% de 10 000
i) 63% de 830 j) 90% de 451
4 Calcula.
a) 10% de 30 b) 10% de 82
c) 15% de 40 d) 15% de 68
e) 20% de 50 f ) 20% de 34
g) 35% de 80 h) 35% de 48
i) 50% de 24 j) 50% de 31
5 Reflexiona y contesta.
a) El 80% de los frutales de una huerta son manzanos,
y el resto, perales. ¿Cuál es el porcentaje de
perales?
b) El 92% de los alumnos han aprobado un examen.
¿Qué porcentaje no ha aprobado?
c) El 10% de los empleados de una empresa están de
vacaciones. ¿Qué porcentaje está trabajando?
d) Si al comprar un jersey me rebajan el 15%, ¿qué
porcentaje pago?
6 El 90% de los 430 empleados de una fábrica trabajan
en turno de día. ¿Cuántos trabajan de día?
7 En una clase de 30 alumnos, el 80% votaron a la actual
delegada. ¿Cuántos votos recibió la delegada?
8 El 30% de los 560 árboles que hay en un parque se
plantaron el invierno pasado.
¿Cuántos árboles se plantaron el último invierno?
9 En el estante de los zumos de un supermercado hay
900 botellas. Un 25% son de zumo de tomate; un
45%, de naranja; un 20%, de pera, y el resto, de melocotón.
¿Cuántas botellas hay de cada sabor?
10 Una familia compra un frigorífico que cuesta 840 e
pagando el 30% al contado y el resto en 6 plazos mensuales
sin recargo.
¿Cuál es el importe de cada plazo?

Aumentos y disminuciones porcentuales
Veamos dos tipos de problemas que encontrarás con frecuencia en el mundo real.
Analízalos con detenimiento y aprende los métodos de resolución.
Aumentos porcentuales
Un billete de avión a París costaba, el verano pasado, 460 e, pero desde entonces ha
subido un 20%.
¿Cuál es el precio actual del billete?
Disminuciones porcentuales
Una tienda de electrodomésticos saca en oferta, con una rebaja del 15%, un televisor
que antes costaba 900 €.

PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

OBJETIVOS
Averiguar si dos razones forman proporción.
Completar tablas de proporcionalidad y series de razones iguales.
Utilizar las razones entre cantidades para resolver problemas en contextos reales.
Conocer y comprender el significado de la proporcionalidad de magnitudes.
Distinguir si dos magnitudes son proporcionales o no.
Aplicar la regla de tres simple directa en la solución de problemas de la vida cotidiana.
Hacer repartos directamente proporcionales.
Comprender y manejar los tantos por cien, por uno y por mil, y resolver problemas reales donde aparezcan
Saber manejar adecuadamente la calculadora para resolver problemas de proporcionalidad.
Trabajar con escalas en planos y mapas, calculando distancias a partir de distancias reales y viceversa.

CONTENIDOS
Conceptos
Razón, proporción y serie de razones iguales.
Magnitudes directamente proporcionales.
Regla de tres simple directa.
Repartos directamente proporcionales.
Tantos por uno, por mil y porcentajes.
Escalas en planos y mapas.

Procedimientos
Cálculo del término desconocido en una proporción.
Determinación del cuarto y medio proporcional.
Distinción de la relación entre dos magnitudes.
Construcción de tablas de proporcionalidad.
Aplicación de la regla de tres simple a la resolución de problemas.
Realización de repartos proporcionales.
Cálculo de tantos por uno, por ciento y por mil.
Determinación de longitudes reales a partir de longitudes en un plano y viceversa, conocida la escala.
Determinación de la escala de un plano o mapa conocidas una longitud real y su longitud en ese plano o mapa.

Actitudes
Incorporación al lenguaje cotidiano de términos relacionados con la medida de magnitudes para describir situaciones.
Gusto por la resolución ordenada de problemas de proporcionalidad.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Distinguir si dos razones forman proporción y calcular el tercero y medio proporcional.
Completar de manera correcta tablas de proporcionalidad y series de razones iguales.
Aplicar de forma adecuada el significado de la proporcionalidad de magnitudes.
Distinguir si dos magnitudes son o no directamente proporcionales.
Aplicar correctamente la regla de tres simple directa en la resolución de distintos problemas de la vida real.
Realizar repartos directamente proporcionales.
Calcular tantos por uno, por ciento y por mil y pasar de unos a otros correctamente.
Utilizar de forma correcta las escalas en planos o mapas, para el cálculo de distancias a partir de distancias reales y viceversa.

METODOLOGÍA
Si bien el concepto de razón y proporción, así como el cálculo de porcentajes es ya conocido por los alumnos, conviene repasarlos antes de comenzar, pues son la base de la unidad.
Determinar si dos magnitudes son directamente proporcionales suele ofrecer problemas a los alumnos, hacerles ver la necesidad de que las magnitudes cumplan las condiciones vistas.
Trabajar las aplicaciones de la proporcionalidad en diferentes contextos reales mostrando siempre su utilidad y la técnica que se trabaja en cada caso.
Conviene tener presentes las siguientes sugerencias metodológicas con el fin de garantizar una adecuada motivación de los alumnos:
Hacer patente la gran cantidad de contextos reales donde se aplica la proporcionalidad: compras, repartos, escalas, etc.
Proponer a los alumnos que dibujen los planos de sus casas o el de la clase y calculen sus medidas a distintas escalas, propuestas por el profesor, para potenciar el desarrollo de la visión espacial.
Los consumos de leche, pan, fruta y otros alimentos a lo largo de la semana pueden servir al profesor para que trabajar los conceptos de la unidad.

ACTIVIDADES
Actividades de desarrollo
Las actividades de desarrollo consistirán en la realización de las actividades propuestas en el libro de texto, tanto las que aparecen en las distintas tareas como las que se proponen al final de la unidad. La selección de las actividades estará en relación con la evaluación inicial de los alumnos, con el objetivo de cumplir los objetivos previstos.
Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como:
Repasar con los alumnos el concepto de razón, así como la diferencia que existe entre proporción y razón. Pedir a los alumnos que pongan ejemplos propios de ambos.
Una vez aprendido el concepto de proporción, y trabajada su propiedad fundamental, realizar ejercicios que impliquen la utilización de cuartos y medios proporcionales, así como la construcción de tablas de proporcionalidad.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD
Actividades de refuerzo
Aprender a distinguir si dos magnitudes son directamente proporcionales es un objetivo fundamental de la unidad. Es necesario que los alumnos sepan aplicar correctamente los diferentes procedimientos (repartos proporcionales, tanto por ciento, tanto por uno, tanto por mil y regla de tres simple) para efectuar cálculos y resolver problemas de proporcionalidad.
Practicar la interpretación de planos y mapas a escala hasta que los alumnos se manejen con soltura.
Actividades de ampliación
La representación de un conjunto de datos gráficamente puede ayudar a los alumnos a fijar los conceptos de la unidad, por ello, se puede practicar el reparto proporcional aplicando la representación en diagramas de sectores.
Trabajar la resolución de problemas que impliquen el empleo de la regla de tres compuesta, la fórmula del interés simple o la proporcionalidad inversa entre magnitudes si se cree conveniente.

CONTENIDOS TRANSVERSALES
Educación ambiental
En “Evaluación Inicial” se hace referencia a la producción de alimentos ecológicos. Aprovechando la realización del ejercicio, preguntar a los alumnos qué significa elaborar alimentos ecológicos, cuáles conocen, cómo se producen, qué ventajas tiene su consumo, qué tipo de energías renovables se emplean en su producción,….
Desarrollar en los alumnos una conciencia de responsabilidad respecto al medio ambiente, haciéndoles ver que ellos mismos son partícipes en el proceso conservación del espacio que les rodea.
Educación para la salud
En las “Actividades de refuerzo” se resuelve un problema de porcentajes aplicando la relación entre el peso de una persona y la masa de su cerebro. Al hilo de su realización es posible comentar la anatomía y fisiología del cuerpo humano, la importancia de las revisiones médicas periódicas, la necesidad de desarrrollar hábitos de salud y cuidado del cuerpo, …
Consolidar en los alumnos una actitud de respeto hacia sus cuerpos y el de los demás, de forma que aprendan a valorar a las personas no sólo por su físico sino por sus cualidades humanas.

ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE PROPORCIONALIDAD Y
PORCENTAJES EN PRIMARIA
Consigna:
A continuación incluimos algunos enunciados de problemas y ejercicios que han sido
tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos:
a) Resuelve los problemas propuestos.
b) Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la
solución.
c) Clasifica los enunciados en tres grupos según el grado de dificultad que les
atribuyes (fácil, intermedio, difícil).
d) Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables
de la tarea, de manera que uno te parezca más fácil de resolver y otro más difícil.
e) ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para
los alumnos de primaria? Propón un enunciado alternativo para aquellos
ejercicios que no te parezcan suficientemente claros para los alumnos.
f) Consigue una colección de libros de texto de primaria. Busca en ellos tipos de
problemas no incluidos en esta relación. Explica en qué se diferencian.
Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria:
1. De los siguientes pares de magnitudes, ¿cuáles son directamente proporcionales?
a) Lado del cuadrado y su superficie.
b) Lado del cuadrado y su perímetro.
c) Edad y altura de las personas.
Justifica tu respuesta realizando una tabla para cada caso.
2. ¿Cuáles de las siguientes tablas expresan magnitudes proporcionales1?
A 1 2 3 4 5
B 7 14 21 21 35
L 4 8 12 16 20
S 36 72 108 144 180
T 1 2 3 4 5
E 100 200 300 400 500
1 Los números expresan las medidas de las cantidades correspondientes.
Comprueba tus respuestas, representando gráficamente cada tabla.
3. Explica con tus propias palabras cuándo dos magnitudes son proporcionales. Pon un
ejemplo, construye su tabla y represéntala gráficamente.
4. Para hacer crema de chocolate para 6 personas se necesitan 8 onzas de chocolate, 6
cucharadas de azúcar, 4 yemas de huevo y 10 almendras, entre otros ingredientes.
¿Qué necesita Juan, de cada ingrediente, para preparar una crema para 9 personas?
5. Observa en la escala que 1 cm
representa 150 km. Esto significa que 1
cm sobre el mapa representa 150 km sobre
el terreno real.
Mide en el mapa y calcula las siguientes
distancias en línea recta:
 La distancia en kilómetros de Madrid a
Zaragoza.
 La distancia en kilómetros de Madrid a
A Coruña.
 La distancia en kilómetros de Madrid a Sevilla.
 La distancia de Madrid a Barcelona pasando por Zaragoza.
 La distancia de Madrid a Alicante pasando por Valencia.
6. El siguiente pictograma muestra el número de dias de lluvia que se registraron en un
año en cada ciudad. Observa el pictograma y completa la tabla.
7. Se ha realizado una encuesta a 720 personas sobre el uso del
ordenador en casa. Los resultados están representados en el
siguiente gráfico de sectores. Observa el gráfico y calcula el
número de personas que corresponde a cada grupo.
1º. Averigua cuántas personas representa cada grado del círculo.
2º. Mide, con un transportador, los grados de cada sector circular.
Trabajar = ; Jugar = ; Estudiar = ; Dibujar =
3º. Calcula el número de personas que corresponde a cada sector.
Trabajar 60º x 2= personas ; Jugar =— x— = personas
Estudiar… Dibujar…
Porcentajes:
1. En el colegio de Celia, la directora prevé que el curso próximo el número de
estudiantes aumentará un 5%. Ahora son 400. ¿Cuántos serán el año que viene?
2. Los padres de Teresa van a comprar un coche que vale 1.7500.000 pts. Pagarán el
40% de su precio cuando se lo entreguen, y el resto en 12 mensualidades iguales.
Calcula las cantidades que tendrán que pagar cada vez.
3. Al comprar una moto, cuyo precio es de 789.000 pts, hay que pagar el 13% más en
concepto de impuestos. ¿Cuál es el precio final de la moto?
4. La comunidad autónoma donde vive Alfredo tiene una población de 653.800
habitantes, de los cuales el 51% son mujeres. a) ¿Qué porcentaje representan los
hombres?; b) ¿Cuántas mujeres hay? c) ¿Cuántos hombres hay?.
5. Se ha investigado y se ha llegado a la conclusión de que, aproximadamente, el 1%
de los nacimientos que se producen es de mellizos. En una gran ciudad, donde hay
unos 27.000 nacimientos al año, ¿cuántos son de mellizos?
6. Alfredo va a comprar una mochila de 6.460 pts. En la tienda le rebajan un 15%.
¿Qué porcentaje paga por la mochila? ¿Cuánto paga por la mochila?. Resuelve este
problema siguiendo los siguientes pasos:
- ¿Cuánto dinero le descontaron a Alfredo?
- ¿Cuánto dinero pagó por la mochila?
Compara los dos procedimientos para ver cuál te resuelta más rápido.
B: Conocimientos Matemáticos
1. LA NOCIÓN DE RAZÓN
En el tema “Fracciones y números racionales” hemos visto que entre los usos
de las fracciones figura el de razón, entendida, de manera genérica, como la
comparación entre una parte y otra parte. Es importante, sin embargo, estudiar con más
detalle el uso que se hace del término “razón”, ya que no siempre es sinónimo de
“fracción”, lo cual puede acarrear dificultades de comprensión para los estudiantes.
Hoffer2 explica claramente estas distinciones. La idea clave es que las fracciones son
“cualquier par ordenado de números enteros cuya segunda componente es distinta de
cero”; mientras que una razón es “un par ordenado de cantidades de magnitudes”. Cada
una de esas cantidades vienen expresadas mediante un número real y una unidad de
medida.
El hecho de que en las razones se refieran a cantidades de magnitudes, medibles
cada una con sus respectivas unidades, implica las siguientes diferencias con las
fracciones:
- Las razones comparan entre sí objetos heterogéneos, o sea, objetos que se miden con
unidades diferentes. Por ejemplo, 3 jamones por 145 euros. Las fracciones, por el
contrario, se usan para comparar el mismo tipo de objetos como “dos de tres partes”,
lo que se indica con 2/3. Según esto la razón 3 jamones/145 euros no es una
fracción.
- Algunas razones no se representan con la notación fraccional. Por ejemplo, 10 litros
por metro cuadrado. En este caso no se necesita, ni se usa, la notación de fracción
para informar de la relación entre dichas cantidades.
- Las razones se pueden designar mediante símbolos distintos de las fracciones. La
razón 4 a 7 se puede poner como 4:7, o 4  7.
- En las razones, el segundo componente puede ser cero. En una bolsa de caramelos la
razón de caramelos verdes a rojos puede ser 10:5, pero también se puede decir que
puede ser 10:0, si es que todos son verdes (no se trata de hacer ninguna división por
0).
- Las razones no son siempre números racionales. Por ejemplo, la razón de la longitud
de una circunferencia a su diámetro C/D es el número , que sabemos no es
racional, o la razón de la longitud de la diagonal de un cuadrado a la longitud de su
lado (!2). Esta es una diferencia esencial entre “razón” y “fracción”, ya que como
vimos las fracciones son siempre interpretables como cociente de enteros.
2 Hoffer, A. R. (1988). Ratios and proportional thiking. En Th. R. Post (Ed.), Teaching mathematics in
grades K-8. Boston: Allyn and Bacon.
- Las operaciones con razones no se realizan, en general, de igual manera que las
fracciones. Por ejemplo, 2 aciertos sobre 5 intentos (2:5), seguidos de 3 aciertos
sobre 7 intentos (3:7) se combinan para producir 5 aciertos en un total de 12
intentos, o sea, con estas fracciones se puede definir una “suma” de razones del
siguiente modo.
2:5 + 3:7 = 5:12. Evidentemente esta suma no es la misma que la suma de
fracciones.
2. PROPORCIONES. SERIES PROPORCIONALES
2.1. Situación introductora: El puzzle
En la figura adjunta se presentan las piezas de
un puzzle. Los números escritos junto a los lados de los
polígonos corresponde a las medidas de dichos lados
expresadas en centímetros. Construir en cartulina este
puzle pero de mayor tamaño, de tal manera que el lado
de 4 cm tenga una longitud de 7 cm. Trabaja en
colaboración con otro compañero haciendo cada uno la
mitad de las piezas.
2.2. Series proporcionales3
En muchas situaciones prácticas se establecen relaciones entre las cantidades de
dos magnitudes, de tal modo que las cantidades de una de ellas se obtienen
multiplicando por un mismo número las distintas cantidades de la otra. Por ejemplo, el
precio pagado por las distintas cantidades de un artículo – supongamos que barras de
pan- se obtiene multiplicando el número de barras que compramos por el precio unitario
de dicho artículo –30 céntimos de euro- , de manera que si compramos 3 barras
tendremos que pagar 30×3=90 (90 c)., si compramos 5 habrá que pagar 150 c., etc. En
estas situaciones tenemos dos series de números, como se indica en la tabla adjunta, que
se dicen son proporcionales entre sí.
Número de barras de pan 1 2 3 4 5 6 7
Precio pagado en euros 0’3 0’6 0’9 1’2 1’5 1’8 2’1
En general, decimos que dos series de números, con el mismo número de
elementos, son proporcionales entre sí, si existe un número real fijo k, llamado
razón de proporcionalidad, que permite escribir cada valor de la segunda serie
como producto por k de los valores correspondiente de la primera serie.
La relación entre ambas series de números también se puede describir diciendo
que se establece una aplicación lineal de coeficiente k entre los conjuntos numéricos
correspondientes: f: A B,
3 Maurin y Johsua (1993)
cumpliéndose que, f(a+b) = f(a) + f(b), y f(ka) = kf(a).
En consecuencia, la gráfica cartesiana de estas funciones es una recta que pasa por el
origen de coordenadas.
2.3 Proporciones
Cuando en la situación considerada sólo intervienen dos pares de números que
se corresponden se dice que se establece una proporción.
A 21 le hacemos corresponder 6, y a 28 le corresponde 8. En este caso,
6 = 21.(2/7) y 8 = 28. (2/7). Por tanto, las dos series de números
21  6
28  8
decimos que forman una proporción. Se escribe en la forma de igualdad de dos razones:
6 8
21 28
 , o también,
6 2
8 28
 1
.
Una proporción aparece en general bajo la forma de una igualdad entre dos
fracciones. En consecuencia, el producto cruzado de los numeradores y denominadores
serán iguales entre sí. Cualquier cambio de disposición entre los cuatro números que
forman una proporción que no modifique los productos cruzados de los numeradores y
denominadores entre sí dará lugar a una nueva igualdad de fracciones. Una proporción
permite escribir cuatro igualdades equivalentes entre dos fracciones (que suelen ser
interpretadas en este caso como razones), como se resume en el cuadro adjunto:
a c
b d
 d c
b a

a b
c d
 d b
c a

a x d = b x c
En la práctica una de las fracciones tendrá el numerador o el denominador
desconocido y se plantea el problema de encontrar su valor usando la relación de
proporcionalidad que se establece.
Ejemplo:
La razón de chicos a chicas en una clase es de 2 a 3. Hay 12 chicos ¿cuántas
chicas hay?
Solución:
2/3 = 12/x; x = (3/2).12 = 18; hay 18 chicas.
En el enunciado de este problema se establece implícitamente una correspondencia
entre dos conjuntos de cantidades discretas: “número de chicos” y “número de chicas”.
Esto se traduce en que si hay 2 chicos entonces hay 3 chicas, si hubiera 4 chicos habria
6 chicas, etc., lo que se puede expresar con la función lineal,
a=(3/2).c (a, número de chicas, c número de chicos)
La gráfica cartesiana de esta clase de funciones, y = kx, sabemos que es una recta que
pasa por el origen de coordenadas.
En algunos casos, usamos frases como “la proporción de chicas en una clase es
3/5”. En estos casos la segunda fracción aparece implícita, y consiste en Nc/N siendo
Nc el número de chicas en la clase y N el número total de alumnos de los dos sexos. En
este sentido se usa habitualmente el término proporción en estadística, en que, con
frecuencia estamos interesados en estimar la proporción de elementos con una cierta
característica dentro de una población.
3. MAGNITUDES PROPORCIONALES
Dadas dos magnitudes A y B (por ejemplo, espacio recorrido por un móvil
cuando la velocidad es constante y tiempo transcurrido) se dice que son proporcionales
si están en correspondencia de tal manera que las medidas de las cantidades que se
corresponden forman dos series de números proporcionales entre sí, es decir si existe
una aplicación lineal f: A  B.
En el ejemplo de la relación entre el espacio recorrido y el tiempo existirá una tal
relación si el movimiento es uniforme, pero no si se trata de la caida de un cuerpo por la
acción de la gravedad.
3.1. Proporcionalidad inversa
Se dice que dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si los
valores tomados por la magnitud A y los inversos de los valores tomados por la
magnitud B forman dos series proporcionales. Esta situación se presenta cuando el
producto de valores tomados por las magnitudes A y B es constante, como ocurre, por
ejemplo,
- la relación existente entre la presión (p) y el volumen (v) de un gas que siga la ley de
Mariotte: p.v =k.
- la duración (t) del trayecto de longitud fija recorrida por un móvil (e) a velocidad
uniforme (v): v.t =e.
3.2. Ejemplos de situaciones de proporcionalidad
Además de los ejemplos que hemos presentado en los apartados anteriores
enumeramos algunos otros para mostrar la variedad de situaciones en las cuales se
ponen en juego el modelo matemático de la proporcionalidad.
- Los numeradores y denominadores de todas las fracciones que son equivalentes
entre sí (representantes del mismo racional).
- La longitud de cualquier circunferencia con su diámetro (o su radio): l = d (2r)
- Longitud del arco de circunferencia y la amplitud del ángulo central correspondiente
a dicho arco.
- El área de un sector circular y la amplitud del ángulo correspondiente.
- Las longitudes de diferentes segmentos marcados sobre una recta y sus proyecciones
paralelas sobre otra recta (teorema de Thales)
- El volumen de líquido introducido en un recipiente con una sección regular (prisma,
cilindro, …) y la altura del líquido en el recipiente. (Esto permite la lectura del
volumen graduando la altura).
- La masa de un cuerpo homogéneo y su volumen.
- El volumen de líquido que sale de un grifo de caudal constante y el tiempo que
mantenemos el grifo abierto.
- La distancia medida sobre un plano o mapa realizado a una escala dada y la
distancia real.
- El precio que pagamos al comprar un producto (por ejemplo, al llenar el depósito de
gasolina) y la cantidad comprada (litros, en el ejemplo).
- Fijado un porcentaje, las medidas de las cantidades a las cuales se aplica dicho
porcentaje (precios, pesos, etc.) y los valores resultantes del cálculo porcentual.
Hay otras muchas situaciones en que la proporcionalidad no es exacta, porque en las
mismas se presenta un componente aleatorio. Sin embargo, la función lineal y la
proporcionalidad se emplean también como modelo aproximado de la situación, por
ejemplo:
 Altura de un hombre /mujer a una cierta edad y su peso.
 Número de hombres/ número de mujeres en un cierto país.
 Número de habitantes / número de niños nacidos (la constante de proporcionalidad
es la tasa de natalidad).
 Número de glóbulos rojos en 1 cm3 al realizar un análisis de sangre y número total
de glóbulos rojos en sangre.
Estas situaciones no son objeto de estudio en la educación primaria. No obstante, la
comprensión de la proporcionalidad y la función lineal en un contexto determinista es
un requisito necesario para comprender posteriormente las relaciones aleatorias.
3.3. Ejemplos de situaciones de no proporcionalidad
- Los ejemplos de magnitudes inversamente proporcionales corresponden a relaciones
no proporcionales.
- La longitud del lado de un cuadrado y su área.
- Número de habitantes de un país y Producto Nacional Bruto.
- La edad y la altura de un niño.
- La distancia de frenado y la velocidad de un vehículo.
- El espacio recorrido por un cuerpo en caída libre en el vacío y el tiempo
transcurrido.
- Las magnitudes que varían por tramos, como las tarifas de franqueo postal de una
carta y su peso; los impuestos pagados y los ingresos.
- Las situaciones en las que los precios aumentan proporcionalmente a la duración o
distancia, pero a partir de un valor inicial no nulo (precio de un recorrido en taxi, ya
que la bajada de bandera se debe pagar aunque el tiempo o la distancia sea mínima).
Ejercicios:
1. Algunos de los siguientes problemas son de proporcionalidad y otros no. Determinar en
cuáles de estas situaciones aparece la proporcionalidad y resuelve las que se pueda:
a) Si los cereales se venden en cajas de tres paquetes, a 180 pts la caja, ¿cuánto costarán 12
paquetes?
b) Si un bebé aumenta de peso 3 kgr en tres meses, ¿cuánto aumentará en el primer año?
c) Pedro puede comer 2 pasteles en 3 minutos. ¿Cuánto tiempo le llevará comer 12 pasteles?
d) Si 5 chicas beben 3 botellas de limonada, ¿Cuánta limonada podrán beber 30 chicas?
2. En una ciudad, 2/3 de los hombres están casados con los 3/5 de las mujeres. Si nunca se casan
con forasteros, ¿cuál es la proporción de solteros en dicha ciudad?
3. Si 8 hombres pueden cortar 9 troncos en 9 horas, ¿cuántas horas les llevará a 4 hombres
cortar 3 troncos trabajando a la misma velocidad?
4. EL RAZONAMIENTO DE LA REGLA DE TRES
Con la expresión “regla de tres” se designa un procedimiento que se aplica a la
resolución de problemas de proporcionalidad en los cuales se conocen tres de los cuatro
datos que componen las proporciones y se requiere calcular el cuarto. Aunque aplicado
correctamente el razonamiento supone una cierta ventaja algorítmica en el proceso de
solución, ya que se reduce a la secuencia de una multiplicación de dos de los números,
seguida de una división por el tercero, con frecuencia muchos alumnos manipulan los
números de una manera aleatoria y sin sentido de lo están haciendo. En cierto modo el
algoritmo les impide comprender la naturaleza del problema, sin preocuparse de si la
correspondencia entre las cantidades es de proporcionalidad directa, inversa, o de otro
tipo. La regla de tres se llega a aplicar de manera indiscriminada en situaciones en las
que es innecesaria o impertinente.
Recordemos el procedimiento y las propiedades de las proporciones en las que
se basa con un ejemplo.
“Un paquete de 500 gramos de café se vende a 5 euros. ¿A qué precio se debe vender un
paquete de 450 gramos? (se sobreentiende que es del mismo tipo de café y al mismo
precio unitario)”
Solución:
500 g  5 e
450 g  x x = (450.5)/500 = 4’5; 4’5 euros.
(se multiplican los dos números contiguos a la x y se divide por el opuesto)
Ciertamente, en las condiciones del enunciado, la correspondencia que se
establece entre las cantidades del producto y el precio pagado es de proporcionalidad
directa. Si se compra el doble, triple, etc. de producto, se deberá pagar el doble, triple,
etc. de precio (suponiendo que no hay rebajas por comprar más o menos cantidad del
producto).
Por tanto, la razón de las cantidades que se corresponden debe ser constante:
5/500 = x/450;
en esta proporción se cumple la igualdad del producto en cruz de los términos,
5.450 = 500.x, luego x = (5.450)/500 = 4’5.
La razón de las cantidades que se corresponden es constante, en cualquier orden en que
se coloquen como numerador o denominador; en la disposición que hemos puesto la
razón de las cantidades da al coeficiente de proporcionalidad la interpretación del precio
de 1 gramo de café (5/500), por tanto, como lo que deseamos comprar es 450 habrá que
multiplicar dicho precio unitario por 450.
Se puede desarrollar un procedimiento de solución de los problemas de
proporcionalidad poniendo en juego las propiedades de las funciones lineales,
f(a+b) =f(a) + f(b); f(ka) = kf(a),
en lugar de la igualdad de los productos cruzados de los términos de dos fracciones
equivalentes. En efecto, en el ejemplo dado se puede escribir:
5e =f(500g) = 500f(1g); f(1g) = 5/500 euros por gramo;
es decir, se busca, en primer lugar el precio de un gramo de café. Una vez determinado,
calculamos el precio de 450 gramos:
f(450g) =450f(1g)= 450.(5/500)= 4’5 euros.
Ejercicio
4. La fuerza de la gravedad en la Luna es 1/6 de la fuerza de la gravedad en la Tierra. Si una
persona es capaz de hacer un salto de altura de 1’70 m y un salto de longitud de 4’85 m, ¿cuánto
podrá saltar en altura y longitud en la Luna? Aplica el razonamiento de regla de tres y el
razonamiento de función lineal para hacer los cálculos.
5. PORCENTAJES
La notación de porcentajes y el razonamiento de proporcionalidad que se pone
en juego cuando uno de los términos que intervienen en las proporciones toma el valor
100 se utiliza en una amplia variedad de situaciones de la vida diaria. La expresión
“x%” es una manera alternativa de expresar la fracción x/100, pero el concepto de
porcentaje proviene de la necesidad de comparar dos números entre sí, no sólo de
manera absoluta (cual de los dos es mayor), sino de una manera relativa, es decir, se
desea saber qué fracción o proporción de uno representa respecto del otro. En estas
situaciones se suele utilizar el número 100, que es bien familiar, como referencia. Al
situarlo como denominador de una fracción, su numerador nos indica qué porción de
100 representa. El siguiente ejemplo muestra el interés de hacer estas comparaciones
relativas y de adoptar 100 como base de comparación.
Ejemplo:
En una elección en la que se emitieron 5.781.200 de votos un candidato obtuvo
2.948.412 votos; en la siguiente elección se emitieron 6. 456.900 votos y dicho
candidato obtuvo 3.099.312 votos. ¿Han mejorado los resultados de este candidato entre
una y otra votación?
En la primera votación la fracción de votos obtenidos ha sido:
2.948.412/5.781.200 = 51/100; mientras que en la segunda
3.099.312/6.456.900 = 48/100.
El uso de los porcentajes permite conocer el número de votantes que recibió el
candidato por cada 100 votantes, y comprobar de manera inmediata que el candidato ha
perdido posición entre el electorado.
Sin embargo, la noción de porcentaje no sólo se utiliza para establecer
comparaciones en valor relativo entre dos números. Una vez que se fija un porcentaje se
puede aplicar a distintos números, obteniendo de este modo series de números
proporcionales. Si se aplica el 30% de descuento a los precios de tres artículos A, B, C,
cuyo valor es de 153, 452, 532 euros, respectivamente, entre los precios dados y los
descuentos, se establece una correspondencia de proporcionalidad directa, cuya razón de
proporcionalidad es 30/100:
30 A’ B’ C’
100 150 450 540
A’ = 0’30 x 150 = 45; B’ = 0’30 x 450 = 135; C’ = 0’30 x 540= 162
Ejercicios:
5. Justificar las siguientes reglas:
Regla 1ª: Para calcular el p % de un número a basta con multiplicar a por el operador
decimal de porcentaje (p/100).
Regla 2ª: Aumentar un número en el p % de su valor equivale a calcular (100+p)% de
dicho número, o sea, multiplicar dicho número por (1+p/100).
Regla 3ª: Disminuir o reducir un número en el p% de su valor equivale a calcular el
(100-p)% de dicho número, o sea, multiplicar dicho número por: (1-p/100).
6. En los problemas de porcentajes intervienen cuatro números, a, b, c y 100 (a, el porcentaje a
aplicar; b, la cantidad a la que se aplica el %; c, el resultado de aplicar el %. Inventar problemas
que correspondan a estos tres tipos.
6. TALLER DE MATEMÁTICAS
1. En un catálogo, un mismo producto se presenta de dos formas distintas: en paquetes
de 5 unidades al precio de 2’6 euros por paquete, y en paquetes de 17 unidades a 8’8
euros el paquete. ¿Es posible saber si el producto se vende al mismo precio unitario en
ambas modalidades sin hacer cálculos, esto es, mediante una representación gráfica?
2. Un poste de 2’40 m de alto se coloca verticalmente en el suelo hincándolo una
profundidad de 30 cm. La sombra que le proyecta el sol es de 1’75 m. En el mismo
instante, un ciprés situado en las proximidades proyecta una sobra de 9’50 m. ¿Cuál es
la altura del ciprés?.
3. Tres niños, Alberto, Bernardo y Carlos juegan una partida con canicas. Antes de la
partida, cada uno tiene a, b, c canicas, respectivamente. La serie de números (a, b, c) es
proporcional a la serie (3, 4, 5).
1) Encontrar la fracción de canicas que cada niño tiene respecto del total de canicas
(se puede utilizar una tabla de proporcionalidad)
2) Después de la partida, los números de canicas que tienen los niños son,
respectivamente, proporcionales a los números 15, 16 y 17.
a) ¿Cuál es la fracción de canicas que tiene cada niño respecto del total?
b) Uno de los niños ha ganado 9 canicas. ¿Quién ha sido? Justificar la
respuesta.
c) ¿Cuál es el número total de canicas?
4. Sabiendo que un litro de leche pesa 1030 gramos, que la leche contiene el 12% de su
peso en crema y que la crema da un 32 % de su peso en mantequilla, ¿cuánta
mantequilla se otiene con 400 litros de leche?
5. Un artículo que vale 9’2 euros ha sufrido dos aumentos sucesivos del 5% y del 15%.
¿Cuál ha sido el incremento del precio en porcentaje y en valor?
6. Después de dos incrementos de precio, el primero del 10% y el segundo del 20 %, un
artículo cuesta 79’2 euros. ¿Cuánto costaba antes de los aumentos de precio?
7. En una cierta población el 40% de los hombres están casados y el 30% de las mujeres
están casadas. ¿Qué porcentaje de la población adulta está casada?
8. Un garaje de reparación de coches anuncia que hace el 10% de descuento en las
reparadas, el 5% en los materiales y el 5% en la mano de obra. Una Asociación de
Defensa del Consumidor ha denunciado a este garaje por publicidad falsa. ¿Es justa la
denuncia de la asociación? Explicar la respuesta.
9. Demostrar que si a c
b d
 entonces se cumple que a b c d
b d
 
 .
10. Dos analgésicos A y B han sido experimentados en dos muestras de personas, de
edades y situación clínica similares, como remedio para la jaqueca. Se han obtenido los
datos siguientes:
MejoranNo Mejoran
Analgésico A 40 60
Analgésico B 90 210
¿Son igualmente efectivos los dos analgésicos? ¿Cuántos pacientes debieran mejorar
con el tratamiento B para que sea igualmente efectivo que el A?
11. Juan y Maria juegan a los dados. Lanzan dos dados. Si el producto de los números
es impar, Juan gana un euro. Si el producto de los números es par, gana Maria. ¿Qué
cantidad debe ganar Maria, para que el juego sea equitativo?
12. En un Mac Donald se pueden consumir diferentes tipos de alimento. En la tabla
siguiente presentamos el contenido calórico y de grasas saturadas de una ración:
Calorías
Grasas
(en Gramos)
Patatas fritas 1500 100
Alitas de pollo 600 40
Buñuelos 450 22
Pastel de crema 290 19
Aritos de cebolla 276 16
Sabiendo que cada gramo de grasa tiene 9 calorías, determina el porcentaje de grasas de
cada uno de estos alimentos.
Si una persona se toma un día una ración de cada uno de estos alimentos, ¿Cuál ha sido
su consumo total de calorías y grasas? ¿En que porcentaje sobrepasa la cantidad
recomendada de 2000 calorías y 65 gramos de grasa por persona y día?

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