PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA EJERCICIOS DE MATEMATICA 8–OCTAVO AÑO PDF

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CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS DE Razón y proporcionalidad de segmentos , Rectas secantes cortadas por paralelas , Secantes cortadas en segmentos iguales , Teorema de Tales , Aplicaciones del teorema de Tales , Triángulos en posición de Tales , Triángulos semejantes , Semejanza de triángulos en posición de Tales , Criterios de semejanza de triángulos , Polígonos semejantes , Construcción de polígonos semejantes , Perímetros y áreas de polígonos semejantes , Figuras semejantes , Construcción de figuras semejantes , Escalas ,
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Objetivo del módulo
• Aplicar el teorema de Tales y los procesos para construir figuras geométricas por medios informáticos
en la resolución de problemas que contengan figuras geométricas semejantes.
Destrezas con criterios de desempeño
• Determinar el factor de escala entre dos triángulos semejantes.
• Determinar la escala entre figuras semejantes en la aplicación de Tales.
• Aplicar el teorema de Tales en la resolución de figuras geométricas similares.
• Reconocer la semejanza de triángulos en la resolución de problemas.
• Aplicar los conceptos geométricos elementales a la resolución de problemas de la vida cotidiana.
• Usar medios informáticos para realizar construcciones geométricas.
• Valorar el uso de recursos y herramientas matemáticas para afrontar situaciones que los requieran.

Para la activación de conocimientos previos
• Las diferentes construcciones geométricas deben realizarse de forma correcta y precisa: división de un
segmento en partes proporcionales a unos segmentos dados, división de un segmento en partes iguales,
determinación gráfica del segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados…
• Tras construir gráficamente el segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados y el segmento tercero
proporcional a dos segmentos dados, puede proponerse el cálculo numérico de su medida, así los
alumnos podrán comprobar la equivalencia de ambos procesos, el numérico y el gráfico (siempre que
las construcciones geométricas se ejecuten correctamente).

Para la construcción del conocimiento
• Muestre el resultado de cortar dos rectas secantes con varias paralelas.
• Siga el proceso que conduce a encontrar la relación que se establece entre los segmentos que se obtienen
al cortar dos rectas secantes por rectas paralelas.
• Lea a sus alumnos el enunciado del teorema de Tales y pida que lo relacionen con lo anteriormente explicado.
• Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las
transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.
• Son interesantes las aplicaciones que tiene el teorema de Tales para la resolución de problemas, así
como para el estudio de las transformaciones: la división de un segmento en partes proporcionales, la
división de un segmento en partes iguales, la cuarta y tercera proporcional de dos segmentos dados, la
media proporcional, la segmentación áurea, la cuarta proporcional de tres segmentos dados, el cálculo
gráfico de productos y razones de segmentos dados, el cálculo de razones simples, razones dobles y
cuaternas armónicas, la semejanza y el estudio de las escalas.
Para la aplicación del conocimiento
• Solicite a los alumnos/as expliquen la respuesta a este problema: una pizza para una persona tiene 23
cm de diámetro. Sin embargo, la pizza familiar tiene 46 cm de diámetro, justo el doble que la pequeña,
pero dicen que es para cuatro personas. ¿Nos están engañando?
• Entregue a los estudiantes figuras y solicite que construyan otras similares.
• Forme grupos de trabajo y pídales que elaboren una maqueta en la cual se utilicen figuras reducidas o
ampliadas.
y
6 Para la construcción del conocimiento
• Sería conveniente disponer de un programa informático para la práctica de los procedimientos explicados
en las páginas 148 y 149 del texto del alumno. En este caso debería explicar, cada una de las construcciones
y los pasos que han de seguir para reproducirlos con la ayuda del programa.
• Sugiera a los alumnos que busquen en el Internet programas gratuitos que se puedan utilizar para trazar
diferentes figuras geométricas. Se presentan algunos portales para descarga de software libre:
Para la activación de conocimientos previos
• Pida a los alumnos, que abran una página del procesador de textos, elijan la opción de insertar gráfico y
escojan la figura que sea de su agrado, la pinten, cambie de estilo las líneas…
• En las sesiones con la computadora, conviene considerar los diferentes niveles que puedan tener los alumnos/
as en su manejo y así tenerlo presente a la hora de formar grupos o de plantear las distintas activades.
2
Relacionada con la DCD: Usar medios informáticos para realizar construcciones
geométricas.
Para la evaluación

• Forme grupos de trabajo. Pida que cada grupo, seleccione un monumento, un edificio, una construcción
destacada de su ciudad o pueblo. Investigue la historia de la edificación y halle su altura apoyándose
en la proyección de su sombra y con la proyección de la sombra de una estaca, mediante la relación
de triángulos semejantes.
Proporcionalidad
geométrica
Prerrequisitos
Recuerda
• Las fracciones y son equivalentes si se
cumple que a ⋅ d = b ⋅ c.
• Dos rectas son paralelas si no tienen ningún
punto en común.
• Dos rectas son secantes si tienen un único punto
en común.
• Dos ángulos son correspondientes si tienen un
lado común y el otro paralelo.
• Un polígono es la región del plano limitada
por una línea poligonal cerrada.
• Los polígonos regulares tienen todos sus ángulos
y todos sus lados iguales.
• El perímetro de un polígono es la suma de las
longitudes de sus lados.
• El área de un polígono es la medida de la extensión
que ocupa.
Evaluación diagnóstica

10
2
7
1 Razón y proporcionalidad de segmentos
Observa los listones dibujados en la figura siguiente. Fíjate en algunos de los
cocientes que pueden formarse a partir de sus longitudes.
Los segmentos a y b no tienen la misma razón que b y c. En cambio observa
que los segmentos a y b tienen la misma razón que c y d. Diremos entonces
que los segmentos a y b son proporcionales a los segmentos c y
d, y escribiremos:
Este valor k se llama constante o razón de proporcionalidad.
a
b
c
d
= = k
Dados estos segmentos, forma parejas que estén en la proporción .
Dibuja estos seis segmentos: AB, CD, EF, GH, IJ, KL; de forma que se cumpla
la razón de proporcionalidad siguiente:
3 ¿Qué razón de proporcionalidad hay entre estas dos escalas?
AB
CD
EF
GH
IJ
KL
= = =3
2
3
2
1
Actividades §
La igualdad entre dos razones
es una proporción.
a
b
c
d
=
Ú FÍJATE
Se llama razón de dos segmentos de longitudes my n al cociente entre
estas longitudes, .
m
n
Ë
a
b
b
c
c
d
= 16 = = = = =
8
2 8
6
4
3
6
3
2
a = 16 cm
b = 8 cm
c = 6 cm
d = 3 cm
0
0
10
100
20
200
30
300
40 m
400 m
a = 10
b = 9
c = 8
d = 6
e = 4
f = 3
MUCHO OJO 9
a
b
c
d
= = k
2 Rectas secantes cortadas por paralelas
Veamos la relación que se establece entre los segmentos que obtenemos
al cortar dos rectas secantes con un conjunto de rectas paralelas.
2.1. Secantes cortadas en segmentos iguales
Observa la siguiente figura.
Vamos a demostrar que los segmentos determinados por las rectas paralelas
sobre s también son iguales: A′B′ = B′C′.
Los dos segmentos determinados sobre s por las tres rectas paralelas son
iguales.
Este resultado puede generalizarse para cualquier conjunto de rectas paralelas.
Las rectas r y s
son secantes.
Tres rectas paralelas
cortan r y s.
Las tres rectas paralelas determinan dos
segmentos iguales sobre r.
AB = BC
s
C
r
B
A
A′
B′
C′
Trazamos segmentos paralelos a s desde los puntos A y B, tal y como muestra
la figura.
Si ahora consideramos los triángulos AMB
y BNC, podemos ver:
— Tienen un lado igual AB = BC, por construcción.
— Los tres ángulos son iguales, ya que son
ángulos agudos de lados paralelos.
Así, los dos triángulos son iguales y se cumple:
AM = BN
Además, por paralelismo:
AM = A′B′ ; BN = B′C′
Y, por lo tanto, concluimos que:
A′B′ = B′C′
s
C
r
B
A
A′
B′
C′
N
M
Si un conjunto de rectas paralelas corta a dos rectas secantes de forma
que los segmentos determinados en una de ellas son iguales, los segmentos
correspondientes determinados en la otra también son iguales.
Ë
2.2. Teorema de Tales
Veamos ahora lo que ocurre si las rectas paralelas no determinan segmentos
iguales sobre las rectas secantes.
Vamos a comprobar que los segmentos A′B′ y B′C′ determinados sobre s son
proporcionales a los segmentos AB y BC determinados sobre r:
Esta conclusión se conoce como teorema de Tales, ya que fue el matemático
y filósofo griego Tales de Mileto, quien lo enunció por primera vez
en el siglo VI a. C.
Los segmentos A′B′ y B′C′ reciben el nombre de proyección paralela de los
segmentos AB y BC sobre la recta s.
Además, A′B′ y B′C′ son los segmentos homólogos de AB y BC,
respectivamente.
AB
A B
BC
′ ′ B C
=
′ ′
El teorema de Tales puede
aplicarse también para determinar
si dos rectas son
paralelas o no. Observa la figura.
Si se verifica que
entonces las rectas r y s son
paralelas.
a
a
b
′ b
=

Ú FÍJATE
r
s
a
b
a′ b′
Las rectas
r y s son
secantes.
Seis rectas paralelas cortan
r y s determinando segmentos
iguales. La longitud de los
segmentos sobre r es u. La
longitud de los segmentos
determinados sobre s es u′.
Consideramos los puntos A, B y C sobre
r y sus puntos correspondientes
sobre s. Estos puntos determinan
sobre r segmentos de distinta longitud.
AB ≠ BC
s
C
r
B
A
C′
u
A′ u′ B′
— La longitud de cada segmento es:
AB = 2u; BC = 3u; A′B′ = 2u′; B′C′ = 3u′
— Si ahora nos fijamos en la relación entre los segmentos, obtenemos:
— Y, por lo tanto, llegamos al resultado:
AB
BC
A B
B C
AB
A B
BC
B C
= ′ ′
′ ′

′ ′
=
′ ′
AB
BC
u
u
A B
B C
u
u
= = ′ ′
′ ′
= ′

= 2
3
2
3
2
3
2
3
Si dos rectas secantes son cortadas por un conjunto de rectas
paralelas, los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales
a los segmentos correspondientes determinados en la otra.
AB
A B
BC
′ ′ B′C′
= =…
Ë
Calcula la longitud x del segmento de la figura.
Por el teorema de Tales, sabemos que los segmentos determinados sobre
dos rectas secantes por un conjunto de rectas paralelas son proporcionales.
Así pues, podemos establecer la proporción siguiente:
La longitud del segmento es 6 cm.
8
4
12 12 4
8
6 = ⇒ = ⋅ =
x
x
Vamos a ver cómo aplicar el teorema de Tales para hallar medidas
indirectas.
Encuentra las longitudes x e y .
Observa la figura de la derecha. ¿Puedes afirmar que las rectas a, b y c
son paralelas?
5
4
Actividades §
2,25 cm 1,5 cm
2,1 cm 1,35 cm
a b c
ejemplo 1



Los peldaños de la grada representada en la figura son paralelos. Calcula las longitudes de la grada representa –
das como x e y.
Si aplicamos el teorema de Tales, podemos establecer las siguientes
proporciones entre las diversas longitudes de la grada:
Las longitudes de x e y son 7,14 dm y 15,40 dm, respectivamente.
7
5 11
7 11
5
77
5
15 40 = ⇒ = ⋅ = =
y
y ,
7
5
10 5 10
7
50
7
7 14 = ⇒ = ⋅ = =
x
x ,
ejemplo 2
5 dm
x
11 dm
10 dm y 7 dm
2.3. Aplicaciones del teorema de Tales
A continuación, estudiaremos algunas de las diferentes aplicaciones del
teorema de Tales.
División de un segmento en partes proporcionales a unos segmentos
dados
En primer lugar, veremos cómo dividir un segmento de longitud a en dos partes
proporcionales a los segmentos de longitudes b y c.
Sobre el segmento a hemos obtenido dos segmentos proporcionales a los
segmentos b y c.

— Dibujamos el segmento a.
— Desde uno de sus extremos, dibujamos
una semirrecta en la que
situamos consecutivamente los
segmentos b y c.
— Unimos el extremo libre del segmento
c con el extremo libre del
segmento a.
— Desde el extremo del segmento b,
trazamos una recta paralela al segmento
dibujado en el punto anterior.




Dos personas quieren repartirse 20 m de cable eléctrico en partes proporcionales a 4 y 8, respectivamente.
¿Cuántos metros le tocarán a cada una?
Para hacer los cálculos aplicaremos el procedimiento anterior. Tomaremos el segmento a de longitud 20 m y los
segmentos b y c de longitudes 4 m y 8 m, respectivamente.
Consideramos ahora x como la longitud de uno de los segmentos sobre
a, y 20 − x la longitud del otro segmento (tal y como muestra la figura).
Así, podemos establecer la proporción siguiente:
Por lo tanto, 20 − x = 20 − 6,67 = 13,33
Así, a una persona le corresponden 6,67 m y a la otra, 13,33 m.
4 8
20
6 67
x x
= x

⇒ = ,
ejemplo 3
20 – x
b = 4 m c = 8 m
x
a = 20 m
División de un segmento en partes iguales
Veamos ahora cómo dividir un segmento AB en cinco partes iguales.
Hemos dividido el segmento AB en cinco segmentos de igual longitud.
Este procedimiento es el mismo que hemos utilizado para representar las
fracciones sobre la recta.
— Dibujamos el segmento AB.
— Dibujamos una semirrecta con
origen en A. Sobre esta semirrecta
situamos consecutivos y alineados
cinco segmentos de una
misma longitud b.
— Unimos el extremo libre del último
segmento b con el punto B.
— Trazamos rectas paralelas al segmento
anterior de manera que pasen
por los puntos marcados en
la semirrecta.
Representa la fracción sobre la recta.
— Resolvemos la división entera
— Sabemos que la fracción estará en el segmento que
tiene como extremos −1 y −2, ya que la fracción
es negativa.
— A continuación, dividimos
el segmento en
cuatro partes iguales,
y tomamos tres.
− → 7
4
7
3 1
4
− 7
4
ejemplo 4


 
 
Divide gráficamente un segmento de longitud
a = 9 cm en dos partes proporcionales a los segmentos
b = 4 cm y c = 7 cm.
Divide gráficamente un segmento de longitud
a = 15 cm en partes proporcionales a los segmentos
b = 8 cm, c = 6 cm y d = 4 cm.
Divide gráficamente un segmento de longitud
a = 18 cm en siete partes iguales.
Representa sobre la recta estas fracciones.
3
5
23
24
22
14
15
6
; − ; ; −
9
8
7
6
Actividades §
Segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados
Dados tres segmentos a, b, c, se llama segmento cuarto proporcional a estos
tres segmentos al segmento x que verifica la proporción siguiente:
Sepamos cómo determinar gráficamente el segmento cuarto proporcional
a tres segmentos dados de longitudes a, b y c.
El segmento x obtenido es el segmento cuarto proporcional a los segmentos
a, b y c.
Segmento tercero proporcional a dos segmentos dados
Dados dos segmentos a y b, se llama segmento tercero proporcional a estos
dos al segmento x que verifica la siguiente proporción:
Veamos cómo determinar gráficamente el segmento tercero proporcional a
dos segmentos dados a y b.
El segmento x obtenido es el segmento tercero proporcional a los segmentos
a y b.
a
b
b
x
=
a
b
c
x
=
La determinación gráfica del
segmento cuarto proporcional
a tres segmentos dados
tiene numerosas aplicaciones.
Una de las más destacadas
es la determinación
gráfica del producto de dos
segmentos.
Aprendamos cómo podemos
encontrar gráficamente el segmento
c, producto de dos
segmentos dados a y b:
c = a ⋅ b
Observa que podemos expresar
la relación anterior
como:
Por lo tanto, el segmento c
representa el segmento
cuarto proporcional a los segmentos
de longitud 1, a y b.
1
1
⋅ c = a ⋅ b ⇒ =
a
b
c
Producto de dos segmentos
En el caso del segmento
tercero proporcional se establece
una proporción
llamada continua, que es
aquélla en la que dos elementos
de la proporción son
iguales.
Ú FÍJATE
Construye el segmento cuarto proporcional a tres segmentos a, b y c de longitudes
10 cm, 5 cm y 7 cm, respectivamente.
Construye el segmento tercero proporcional a dos segmentos a y b de
longitudes 8 cm y 3 cm, respectivamente.
Determina gráficamente el producto de dos segmentos de longitudes
2 cm y 6 cm, respectivamente.
12
11
10
Actividades §
— Trazamos dos rectas secantes y
situamos los dos segmentos de
longitudes a y b sobre cada una
de ellas. Situamos, entonces, el
segmento c consecutivamente al
segmento a.
— Unimos los extremos de los
segmentos a y b. Trazamos una
recta paralela a ésta que pase
por el punto c, obteniendo así un
segmento x a continuación del segmento
b.
b
a c



La determinación gráfica del segmento
tercero proporcional es análoga a la del
segmento cuarto proporcional, considerando
que c = b, tal y como muestra
la figura. b
a b
x
3 Triángulos en posición de Tales
Si observas los triángulos ABC y DBE de la derecha, puedes comprobar
que:
• Los dos triángulos tienen un ángulo común ^B.
• Los lados opuestos al ángulo ^B son paralelos.
A continuación, veremos qué propiedades tienen dos triángulos en posición
de Tales y sus respectivas demostraciones.
• Dos triángulos en posición de Tales tienen los lados proporcionales.
• Dos triángulos en posición de Tales tienen los ángulos iguales.
Observa esta figura. ¿Sabrías dibujar tres triángulos
de modo que cada uno de ellos esté en
posición de Tales respecto a los otros dos?
Observa la figura dada e indica pares de triángulos
en posición de Tales. ¿Cuántos pares has encontrado?
13 14
Actividades §
B C
A
A D B
C
E
B
Dos triángulos están en posición de Tales si tienen un ángulo común
y los lados opuestos a este ángulo son paralelos.
Ë
— Aplicamos el teorema de Tales a las rectas secantes BA y BC.
(1)
— Trazamos la recta EF paralela a AB y aplicamos el teorema de Tales
a las rectas secantes CA y CB.
(2)
— Combinando los resultados (1) y (2), y teniendo en cuenta que CB = BC
y EB = BE, podemos escribir:
Los lados DB, BD y ED son homólogos de AB, BC y CA, respectivamente.
BC
BE
BA
BD
CA
ED
= =
CA
CB
FA
EB
ED
EB
CA
ED
CB
EB
FA ED
= = ⇒ =

= , por paralelismo
BC
BA
BE
BD
BC
BE
BA
BD
= ⇒ =


 



 
 
— El ángulo ^B es común a los dos triángulos.
— Entonces se cumple ^A = ^D y ^C = ^E, puesto que son ángulos
correspondientes.


 
 

  
Construcciones geométricas con la computadora
En la actualidad podemos utilizar varios programas de licencia libre que sirven para trazar figuras geométricas,
algunos de estos, que los puedes descargar en tu computadora son: GEONext, GeoGebra y Winplot.
División de un segmento en partes iguales
Partimos de un segmento a que queremos dividir en cinco partes iguales.
— Dibujamos el segmento a (opción Segmento).
Observamos que quedan m arcados los puntos
inicial y final.
— Trazamos una semirrecta (opción Semirrecta)
a partir del punto inicial del segmento a.
— Dibuja una circunferencia (opción Circunferencia)
con centro en el punto inicial y un
radio cualquiera.
Con centro en el punto de intersección de la circunferencia
con la semirrecta, trazamos otra
circunferencia del mismo radio.
Repetimos el proceso hasta obtener en la
semirrecta los extremos de cinco segmentos
iguales.
— Dibujamos los segmentos iguales a partir de los
centros de las circunferencias trazadas (opción
Segmento).
A continuación, escondemos las circunferencias
(opción Ocultar/mostrar).
— Unimos mediante una recta el extremo del último
segmento trazado sobre la semirrecta con el
extremo libre de la recta a.
— Trazamos rectas paralelas a ésta que pasen
por los extremos de los segmentos (opción Recta
paralela).
— Trazamos los segmentos determinados por las
rectas paralelas sobre el segmento a (opción
Segmento) y convertimos las rectas paralelas en
discontinuas (opción Punteado).
— Medimos los segmentos que acabamos de trazar
y comprobamos que hemos dividido el segmento
a en cinco partes iguales (opción Distancia
y longitud).







Si dispones de un programa de computación para efectuar construcciones geométricas, traza dos segmentos
cualesquiera y divide el primero en siete partes iguales y el segundo en nueve partes iguales.
15
Actividades §
Las TIC y la Matemática
Si dispones de un programa informático para efectuar construcciones geométricas,
realiza los siguientes ejercicios:
Traza un segmento AB cualquiera, una semirrecta con origen en A, y
cuatro segmentos consecutivos de diferentes longitudes sobre dicha semirrecta,
el primero de ellos con origen en A. Divide el segmento AB en
cuatro partes proporcionales a los cuatro segmentos consecutivos.
Investiga las opciones del programa para elaborar macros e intenta elaborar
una que te permita dividir un segmento cualquiera en partes iguales.
La macro debe pedirte el segmento; el número de particiones debe dibujar
la semirrecta, las circunferencias… y dejar visible únicamente aquello que
te interese: el segmento dividido y, si lo consideras útil, los segmentos o
las rectas auxiliares.
17
16
Actividades §
— Dibujamos el segmento AB (opción Segmento).
Observamos que los puntos inicial y final quedan
marcados.
— Dibujamos una semirrecta a partir del punto inicial
A (opción Semirrecta).
— Determinamos dos segmentos consecutivos a
partir de A de longitudes 1 cm y 3 cm. Para
determinarlos creamos dos valores numéricos
con la opción edición numérica 1 y 4, y los
trasladamos sobre la semirrecta (opción Transferencia
de medidas).
Así, obtenemos dos puntos sobre la semirrecta
situados a 1 cm y 4 cm de los extremos,
que nos determinan los segmentos buscados.
— Unimos mediante una recta (opción Recta) el
último punto con el extremo libre de la recta AB.
Trazamos la recta paralela a ésta que pasa por
el otro punto (opción Recta paralela).
— Trazamos los segmentos determinados por las
rectas paralelas sobre AB (opción Segmento).
— Transformamos las rectas paralelas en discontinuas
(opción Punteado).
— Medimos los segmentos trazados (opción
Distancia y longitud) y así comprobamos que
hemos dividido el segmento AB en dos partes
iguales.
División de un segmento en partes proporcionales a dos segmentos dados
Partimos de un segmento AB que queremos dividir en dos partes proporcionales a dos segmentos
dados de longitudes 1 cm y 3 cm.
 
   
 
4 Triángulos semejantes
Observa los triángulos ABC y A′B′C′, y fíjate en las relaciones que guardan
sus ángulos y sus lados. Usa tus materiales de geometría.
Decimos que los triángulos ABC y A′B′C′ son semejantes.
Los ángulos respectivamente iguales se llaman homólogos, y los lados
opuestos a los ángulos homólogos se denominan lados homólogos.
La razón de proporcionalidad entre los lados homólogos de dos triángulos
semejantes se denomina razón de semejanza k.
A′B′ ′ ′ ′ ′
AB
B C
BC
C A
CA
= = = k
Dos triángulos semejantes
tienen la misma forma, aunque
tengan distinto tamaño.
Ú FÍJATE
Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y los
lados proporcionales.
Ë
— Los ángulos de los dos triángulos
son iguales.
^A
= ^A′; ^B = ^B ′; ^C = ^C ′
— Los lados de los dos triángulos son
proporcionales.
′ ′ = ′ ′ = ′ ′ = A B
AB
B C
BC
C A
CA
2
C
A B
C′
A′ B′
A
C
B
A′ B′
C′
Dibuja un triángulo de lados 3 cm, 5 cm y 6 cm.
Construye otro triángulo semejante a éste con
razón de semejanza .
Calcula las medidas que faltan en la figura y halla
la relación de semejanza entre los triángulos ABC
y ADE.
Observa la figura siguiente y determina oralmente
cuáles de los triángulos representados son semejantes.
Dos triángulos ABC y A′B′C′ son semejantes y
su razón de semejanza es .
Calcula los lados del triángulo ABC, sabiendo que
los lados del triángulo A′B′C′ valen a′ = 21, b′= 12
y c′ = 18.
2
3
21
20
19
2
5
18
Actividades §
4.1. Semejanza de triángulos en posición de Tales
Anteriormente vimos que dos triángulos están en posición de Tales si tienen
un ángulo común y los lados opuestos a este ángulo son paralelos.
También aprendimos que dos triángulos en posición de Tales tienen los lados
proporcionales y los ángulos iguales.
Por lo tanto, dos triángulos en posición de Tales son semejantes.
El recíproco también es cierto; es decir, dos triángulos semejantes siempre
pueden situarse en posición de Tales.
Para comprobarlo, basta mover uno de los triángulos hasta hacer coincidir
en un mismo vértice dos de los pares de ángulos homólogos cualesquiera.
Observa que independientemente del ángulo escogido, los lados opuestos
a este ángulo son paralelos y, por lo tanto, los triángulos siempre quedan
situados en posición de Tales.
Así, pues, podemos enunciar:
En el margen, puedes ver la demostración de este enunciado.
Dibuja dos triángulos en posición de Tales de forma que su razón de semejanza
sea .
Construye un triángulo rectángulo de catetos 5 cm y 10 cm. Dibuja otro
cuyos catetos midan la mitad de los anteriores de manera que los dos estén
en posición de Tales.
Material concreto: Calca los dos triángulos semejantes que hemos utilizado
en este apartado, recórtalos y superponlos comprobando así que
son semejantes.
24
23
3
4
22
Actividades §
El teorema de Tales sirve
para determinar si dos rectas
que cortan dos rectas secantes
son paralelas o no.
Si se cumple ,
entonces r y s son paralelas.
Ahora considera los triángulos
semejantes del ejemplo de la
izquierda ABC y A′B′C′.
Al ser semejantes deben
cumplir:
Por el teorema de Tales
podemos afirmar que los
segmentos BC y B′C′ son
paralelos y, por lo tanto, que
los triángulos ABC y A′B′C′
están en posición de Tales.
A′B′ = ′ ′ = ′ ′
AB
B C
BC
A C
AC
a
a
b
′ b
=

Triángulos semejantes
y posición de Tales
a
b
r
s
a′ b′
B B′
A′ C′
A C
A′
B′
C′
B
A C
B B′
A′ C′
A C
B
B′
A A′ C′ C
B
B′
A A′ C C′
Dos triángulos en posición de Tales son semejantes, y dos triángulos
semejantes pueden situarse en posición de Tales.
Ë
4.2. Criterios de semejanza de triángulos
Hemos visto que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales
y sus lados son proporcionales.
No obstante, no es necesario comparar los tres lados y los tres ángulos de
dos triángulos para determinar si son semejantes.
Hay diversos criterios de semejanza para triángulos.
A continuación, te presentamos tres de estos criterios, que se demuestran
comprobando que los triángulos pueden situarse en posición de Tales.
Las condiciones que nos permiten afirmar que dos triángulos son semejantes
se llaman criterios de semejanza.
Ë











Criterios de semejanza Comprobación
^A = ^ D; ^B = ^E
Dos triángulos que tengan dos
ángulos iguales son semejantes.
— Construye un triángulo con un
lado que mida 6 cm y con los
ángulos contiguos a éste de 35°
y 70°.
— Construye otro triángulo con un
lado que mida 4 cm y con sus
ángulos contiguos iguales a los
anteriores.
— Recorta los dos triángulos y
comprueba que pueden situarse
en posición de Tales.
Dos triángulos que tengan sus tres
lados proporcionales son semejantes.
AC
DF
CB
FE
AB
DE
= =
— Construye un triángulo cuyos
lados midan 6 cm, 8 cm y 10 cm.
— Construye otro triángulo de
lados proporcionales a los
anteriores; por ejemplo, 3 cm,
4 cm y 5 cm.
— Recorta los dos triángulos y
comprueba que pueden situarse
en posición de Tales.
^B = ^E ;
Dos triángulos que tengan un ángulo
igual y los lados que lo forman
proporcionales son semejantes.
AC
DF
CB
FE
AB
DE
= =
— Construye un triángulo con
dos lados de 5 cm y 6 cm,
y que forman un ángulo de
60°.
— Construye otro triángulo con
dos lados proporcionales a
los anteriores, por ejemplo
10 cm y 12 cm, y que formen
el mismo ángulo.
— Recorta los dos triángulos
y comprueba que pueden situarse
en posición de Tales.
A
D E
B
F
A B
C
D E
 

 

A B
C
B
E
F
D E








Los triángulos ABC y ADE no
son semejantes porque los
sementos BC y DE no son
paralelos.
CONTRAEJEMPLO
A
D
E
C
B
A
Estos criterios de semejanza se simplifican para algunas clases de triángulos,
como es el caso de los triángulos rectángulos y el de los triángulos
isósceles.
Veamos cuáles son estos criterios.
Dibuja tres triángulos equiláteros de diferente lado y comprueba que son semejantes
aplicando los tres criterios de semejanza.
Un triángulo rectángulo ABC tiene un ángulo ^A = 28° mientras que otro triángulo
rectángulo A′B′C′ tiene un ángulo ^ A′ = 62°. ¿Son semejantes? ¿Por qué?
Dibuja dos triángulos isósceles que tengan un ángulo igual y comprueba que
son semejantes.
Material concreo: Fíjate en el triángulo DEF. Lo
hemos construido uniendo los puntos medios
del triángulo ABC. ¿Son semejantes los triángulos
DEF y ABC? ¿Por qué? Con láminas de
foamy, traza y recorta las figuras con las medidas
indicadas y verifica si los triángulos son
semejante, para lo cual ubícalos en posición de
Tales.
28
27
26
25
Actividades §
D F
E
A B
C
12 cm
10 cm
8 cm
— Dos triángulos ABC y
A′B′C′ de lados paralelos
son semejantes.
— La recta que une los puntos
medios de los lados
de un triángulo es paralela
al tercer lado del triángulo
y mide la mitad de
éste.
Se verifica que la razón de
semejanza entre los dos
triángulos es k = . 1
2
Ú FÍJATE
C C′
B′
A B
A′
Dos triángulos rectángulos que tengan
un ángulo agudo igual son semejantes.
^B = ^E
Dos triángulos rectángulos que tengan
los catetos proporcionales o que
tengan un cateto y la hipotenusa
proporcionales son semejantes.
Dos triángulos isósceles que tengan
uno de los ángulos correspondientes
igual son semejantes.
^A = ^D o ^C = ^E
Dos triángulos isósceles que tengan
un lado y la base proporcionales son
semejantes.
Criterios de semejanza de triángulos rectángulos
Criterios de semejanza de triángulos isósceles
 





   







AC
DF
AB
DE
AC
DF
CB
FE
= o =
AC
DF
AB
DE
CB
FE
AB
DE
= o =
5 Polígonos semejantes
Observa los polígonos ABCDE y A′B′C′D′E′de la figura.
Decimos entonces que los pentágonos ABCDE y A′B′C′D′E′ son semejantes.
Es decir que dos polígonos semejantes tienen la misma forma aunque tengan
distinto tamaño.
La razón de proporcionalidad entre los lados correspondientes se llama razón
de semejanza, k, entre los dos polígonos.
5.1. Construcción de polígonos semejantes
Construcción por triangulación
A continuación, vamos a construir un pentágono semejante a otro utilizando
el método de la triangulación.
A′B′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
AB
B C
BC
C D
CD
D E
DE
E A
EA
= = = = = k
Si unimos tres puntos no
alineados, obtenemos un
triángulo.
Así pues, la triangulación
consiste en unir un conjunto
de puntos no alineados de
tres en tres formando triángulos.
En los siglos XVIII y XIX, la
triangulación se utilizaba
para confeccionar mapas.
Resolvían redes de triángulos
cuyos vértices se localizaban
en la cima de los montes
y que recibían el nombre
de redes geodésicas.
Actualmente, la triangulación
es la base del funcionamiento
del sistema de navegación
GPS.
Triangulación
Dos polígonos regulares con
el mismo número de lados
son semejantes.
Ú FÍJATE





A′ A′
A′
E′
D′ D′ C′
C′
B′
Dos polígonos del mismo número de lados son semejantes si tienen
los ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales.
Ë
—Los ángulos de los dos pentágonos son respectivamente
iguales.
^A
= ^A ′; ^B = ^B ′; ^C = ^C ′; ^D = ^D ′; ^E = ^E ′
—Los lados de los dos pentágonos son proporcionales.
A′B′ = ′ ′ = ′ ′ = ′ ′ = ′ ′
AB
B C
BC
C D
CD
D E
DE
E A
A EA
E
B
D
C
A′
E′
B′
D′
C′
A
E
B
D
C
C′
A′ E′
B′
D′
1. Efectuamos una triangulación trazando
desde el vértice A todas las
diagonales posibles. Así, obtenemos
los triángulos ADE, ACD y ABC.
2. Construimos ahora tres triángulos
A′D′E′, A′C′D′ y A′B′C′ semejantes
a los anteriores.
3. Si ahora los situamos en la misma posición que
los originales, obtenemos otro pentágono cuyos
lados son proporcionales a los del pentágono
original, y cuyos ángulos son iguales a los del
pentágono original.
A′
E′
D′
C′
B′
Método de Tales o método de radiación
Uno de los métodos más utilizados para construir polígonos semejantes es
el método de Tales o método de radiación. Este procedimiento se basa en
la aplicación sucesiva del teorema de Tales que hemos estudiado anteriormente.
Observa el polígono ABCDE de la derecha y veamos cómo construir un
polígono semejante con razón de semejanza k = . 2
3
Construye dos cuadrados de lados 6 cm y 4 cm, y di cuál es su razón de semejanza.
Dibuja dos polígonos, que no sean semejantes, con todos sus ángulos iguales.
Dibuja dos polígonos, que no sean semejantes, con todos sus lados iguales dos a dos.
Construye un polígono semejante al de la figura en cada uno de estos casos.
a) El punto O es un punto exterior del hexágono y con razón de semejanza .
b) El punto O es un punto interior del polígono y con razón de semejanza .
c) El punto O es el vértice A y con razón de semejanza k = . 3
2
k = 3
4
k = 5
3
32
31
30
29
Actividades §
A
G
F
E
D
C
B





El punto Otambién puede escogerse
del interior del polígono
o de un vértice de éste.
Ú FÍJATE
A′
A
O
A′ A
O
Tomamos un punto O cualquiera y trazamos
semirrectas con origen en el
punto O y que pasan por cada uno de
los vértices del polígono dado.
Sobre una de las semirrectas, por
ejemplo la OA, marcamos el punto A′
de modo que se cumpla:
El punto A′ es el homólogo del punto
A.
OA
OA
′ = 2
3
Por el punto A′, trazamos una paralela
al lado AB hasta cortar la semirrecta
OB en el punto B′.
Por el punto B′, trazamos una paralela
al lado BC hasta cortar la semirrecta
OC en el punto C′.
Repetimos la operación hasta obtener
el polígono A′B′C′D′E′.






A
B
C
D
E
A′ O
A
B
C
D
E
E′
D′
C′
A′
B′ O
5.2. Perímetros y áreas de polígonos semejantes
A continuación, encontraremos la relación que existe entre los perímetros y
las áreas de polígonos semejantes.
Perímetros de polígonos semejantes
Observa los polígonos ABCD y A′B′C′D′
de la figura.
— Los dos polígonos son semejantes.
— Su razón de semejanza es k.
Al ser polígonos semejantes de razón k
se cumple:
Así pues, podemos escribir:
A′B′ = k ⋅ AB; B′C′ = k ⋅ BC; C′D′ = k ⋅ CD; D′A′ = k ⋅ DA
Calculamos los perímetros de los polígonos.
P = AB + BC + CD + DA
P′ = A′B′ + B′C′ + C′D′ + D′A′ = k ⋅ (AB + BC + CD + DA)
La razón entre sus perímetros será:
La razón entre sus perímetros es k y coincide con la razón de semejanza.
′ =
⋅ ( + + + )
+ + +
= P
P
k AB BC CD DA
AB BC CD DA
k
′ ′ = ′ ′ = ′ ′ = ′ ′ = A B
AB
B C
BC
C D
CD
D A
DA
k
A
B
C D
A′
D′
C′
B′
En dos figuras semejantes,
la razón entre dos longitudes
homólogas es siempre la
misma.
Por ejemplo, si consideramos
dos pentágonos regulares:
La razón entre los lados, las
diagonales, las apotemas, los
radios de las circunferencias
inscritas y los radios de las
circunferencias circunscritas
es igual a la constante de semejanza
k.
l
l
d
d
R
R
r
r
ap
ap
k

=

=

=

=

=
Ú FÍJATE
Dos polígonos regulares del
mismo número de lados son
semejantes.
Ú FÍJATE
ap
R
r
d
R′
r′
d′
ap′

La razón entre los perímetros de dos polígonos semejantes es igual
a su razón de semejanza.
Ë
Los lados de un triángulo miden 5 cm, 6 cm y 7 cm. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo semejante al anterior,
con razón de semejanza 3?
Las diagonales de un rombo miden 6 cm y 8 cm. ¿Cuánto valdrán las diagonales, los lados y el perímetro
de otro rombo semejante a éste con razón de semejanza 2?
Dos polígonos semejantes tienen una razón de semejanza igual a . Si el perímetro del menor de ellos es
40 cm, ¿cuál es el perímetro del otro?
Dibuja un hexágono regular de 6 cm de lado y otro inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio. Halla
las apotemas y los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita de cada uno de los hexágonos.
— Calcula la razón entre las distintas longitudes homólogas y compárala con la razón entre los perímetros
de las dos figuras.
36
1
2
35
34
33
Actividades §
Áreas de polígonos semejantes
Fíjate en los triángulos QRS y Q′R′S′ de la figura. Ambos son semejantes,
y con razón de semejanza k.
Al ser semejantes, la relación entre dos longitudes homólogas es igual a la
razón de semejanza. Entonces:
— La razón entre sus alturas es .
— La razón entre las bases es .
Así, pues, la razón entre sus áreas será:
La razón entre las áreas es k2, que coincide con el cuadrado de la razón de
semejanza.
A
A
QR h
Q R h
k QR k h
Q R

=
⋅ ⋅
⋅ ′ ′⋅ ′
=
⋅ ⋅ ′ ′ ⋅ ⋅ ′
⋅ ′ ′
1
2
1
2
1
2
1
2
⋅ ′
= ⋅ =
h
k k k2
QR
Q R
k
′ ′
=
h
h
k

=
Halla la razón entre los perímetros y entre las áreas de dos cuadrados, sabiendo que el lado de uno de
ellos mide 8 cm y el del otro la mitad.
La razón entre las áreas de dos triángulos es . ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo grande si el pequeño
tiene un perímetro de 6 cm?
Un pentágono regular mide 10,9 cm de lado y 7,5 cm de apotema. ¿Cuánto valen el perímetro y el área de
otro pentágono semejante a éste cuya razón de semejanza es ?
Dibuja un trapecio semejante al de la figura cuya área sea cuatro veces mayor.
¿Cuál es la razón de semejanza entre las dos figuras?
40
4
5
39
1
4
38
37
Actividades §
La razón entre las áreas de dos polígonos semejantes es igual al
cuadrado de la razón de semejanza.
Ë
Q R
S
h
S′
Q′ R′
h′
4 cm
6 cm
3 cm
6 Figuras semejantes
El concepto de semejanza puede generalizarse mas allá de los polígonos.
Hablamos, entonces, de figuras semejantes.
Decimos que dos figuras son semejantes si la proporción entre la distancia de dos
puntos cualesquiera y la distancia de sus puntos homólogos se mantiene.
Así pues, dos figuras semejantes tienen la misma forma, pero distinto tamaño.
6.1. Construcción de figuras semejantes
Utilizamos el método de Tales para obtener figuras
semejantes sencillas. Para figuras más
complicadas emplearemos el método de la cuadrícula.
Dada la figura de la derecha, construiremos otra
semejante con razón de semejanza .
En este caso hemos obtenido una figura mayor que la original. Decimos
entonces que hemos hecho una ampliación.
Para hacer una ampliación de una figura, la razón de semejanza tiene que
ser mayor que la unidad; mientras que si lo que queremos es una reducción,
la razón de semejanza tiene que ser menor que la unidad.
3
2
Otro procedimiento que podemos
utilizar para dibujar
figuras semejantes sencillas
es el método de Tales.
MUCHO OJO 9
El pantógrafo es un instrumento
que nos permite dibujar
figuras semejantes.
Está formado por cuatro
barras que forman un paralelogramo
articulado, ABM′C,
y la razón de semejanza puede
graduarse modificando la
proporción siguiente:
El extremo P queda fijo; el
extremo libre M lleva una
punta con la que recorreremos
la figura original que
queremos reproducir. En el
extremo M′ se coloca un lápiz
que dibujará la figura semejante.
Al ir recorriendo la figura original
con la punta situada en
M, iremos dibujando una figura
semejante con el lápiz
situado en M′.
Un ejemplo de cómo funciona
un pantógrafo lo encontrarás
en la siguiente
página web:
www.ies.co.jp/math/java/geo
/panta/panta.html
PA
PB
PM
PM
=

El pantógrafo
P
M M
B
C
A

a′
3. Por último, se reproducen las líneas de la
figura sobre la segunda cuadrícula y de este
modo obtenemos una figura semejante
de razón .
3
2
2. Construimos otra cuadrícula
en la que aumentamos la
longitud a′ de cada cuadrito.
La razón de semejanza
entre los lados de los
cuadritos de las dos cuadrículas
es .
′ = a
a
3
2
1. Inscribimos la figura
original en una cuadrícula
en la que la
longitud de los cuadritos
es a.
Material concreto
@
6.2. Escalas
A menudo utilizamos la semejanza de figuras para representar sobre papel
objetos muy grandes u objetos muy pequeños, reduciendo o ampliando, respectivamente,
sus medidas según la relación deseada.
En las figuras 1 y 2 de la derecha se muestran ejemplos de objetos representados
a escala.
La escala a la que se ha reproducido un dibujo se indica al pie de éste y se
expresa mediante un cociente cuyo dividendo es la unidad.
Así, la escala 1 : 200 significa que una unidad de longitud del dibujo representa
200 unidades de estas mismas unidades en la realidad.
Ejemplos de representaciones hechas a escala serían los planos, las maquetas
o los mapas.
A menudo, en el caso de los mapas, la escala se indica de forma gráfica,
tal y como muestra la figura.
Así, la escala gráfica de la figura nos
informa que un segmento del dibujo
de longitud igual a la representada
mide en realidad 500 km.
Indicar la escala de forma gráfica nos permite conocer directamente las dimensiones
de la realidad con una simple medición.
Utilizando el método de
la cuadrícula, construye
la figura semejante a la
figura dada con razón
de semejanza .
A partir de la maqueta, halla la longitud y la altura
real del tren.
42
5
3
41
Actividades §
0 6 m
 
Fachada
A
Escala 1 : 200
■ Fig. 1. Fachada de un edificio
■ Fig. 2. Glóbulos rojos
0 0,005 mm
Escala 10 000 : 1
Un dibujo a escala es un dibujo cuyas dimensiones son proporcionales
a las del objeto real.
La razón de semejanza entre el dibujo de un objeto y el objeto real es
el factor de escala o la escala del dibujo.
Ë
Calcula en metros la anchura de la fachada del plano
de la figura 1. ¿Cuál es la superficie de la habitación
A en metros cuadrados?
La anchura de la fachada en el plano es de 3 cm.
Llamamos x a la anchura real. La escala es 1 : 200,
así pues la razón de semejanza es k = 200.
Entonces debe verificarse:
Así, la anchura de la fachada es de 6 m.
La superficie de la habitación A medida en el plano
es:
2 ⋅ 1,5 = 3 ⇒ 3 cm2
Llamamos y a la superficie de la habitación A. Como la
relación entre las áreas de dos polígonos es igual al
cuadrado de la razón de semejanza, debe verificarse:
Así, la superficie de la habitación A es de 12 m2.
y
y
3
x = 2002 ⇒ = 120000cm
x
3
= 200 ⇒ = 600cm
ejemplo 5
Construcciones geométricas con la computadora
En la actualidad podemos utilizar varios programas de licencia libre que sirven para trazar figuras geométricas,
algunos de estos, que los puedes descargar en tu computadora son: GEONext, GeoGebra y Winplot.
Construcción de triángulos semejantes
Vamos a dibujar dos triángulos semejantes y a comprobar que lo son.
— Dibujamos dos semirrectas a partir de un punto A (opción
Semirrecta) y un triángulo ABC, de modo que los vértices B y C
se sitúen sobre cada una de las semirrectas. Ponemos el nombre
de los vértices mediante la opción Etiqueta.
— Trazamos una recta paralela al lado BC (opción Recta paralela),
y dibujamos un triángulo A′B′C′ (opción Triángulo) con un vértice
en el punto A y los otros dos en los puntos de corte de la
recta paralela con las semirrectas.
Así, hemos obtenido dos triángulos ABC y A′B′C′ semejantes. Procederemos ahora a comprobar la relación
entre sus lados, sus perímetros y sus áreas. Para ello, medimos:
— Los ángulos no comunes de ambos triángulos (opción Ángulo).
— Los lados de ambos triángulos (opción Distancia y longitud).
— El perímetro de ambos triángulos (opción Distancia y longitud).
— El área de ambos triángulos (opción Área).
A
B
B’
C

C
2,05 cm
2,88 cm
3,68 cm
3,56 cm
51,17 cm
91,2o
45,3o
91,2o
45,3o






 

Observamos que:
— Los ángulos de ambos triángulos son iguales.
^B = ^B ′ = 45,3° ; ^C = ^C′ = 91,2°
— Los lados son proporcionales.
La razón de semejanza es 1,8.
— La razón de los perímetros es la razón de semejanza.
— La razón de las áreas es el cuadrado de la razón
de semejanza.
A
A
AB C
ABC
′ ′ = 6 55 = ≈ ( )
2 03
3 23 1 8
, 2
,
, ,
P
P
AB C
ABC
′ ′= = 12 41
6 92
1 8
,
,
,
AB
AB
B C
BC
AC
AC
′ = ′ ′ = ′ = 1,8
Si dispones de un software para realizar construcciones geométricas, comprueba las características que deben
cumplir dos triángulos isósceles para ser semejantes. Haz lo mismo con dos triángulos rectángulos.
43
Actividades §





Las TIC y la Matemática
Si dispones de un programa informático para realizar construcciones geométricas,
haz las siguientes actividades.
Construye dos pentágonos regulares semejantes con razón de semejanza 3.
45 Construye un heptágono semejante a uno dado con razón de semejanza 2.
44
Actividades §
Construcción de figuras semejantes
Vamos a construir un pentágono semejante a otro dado, con razón de semejanza .
1
2
— Dibujamos un pentágono ABCDE (opción Polígono).
— Señalamos un punto O cualquiera exterior a la
figura (opción Punto).
— Trazamos un segmento OA desde el punto exterior
O hasta el vértice A (opción Segmento).
— Determinamos el punto medio del segmento
(opción Punto medio) y lo denominamos A′ (opción
Etiqueta).
Se cumple : .
Ésta será la razón de semejanza.
— Trazamos semirrectas desde el punto O a cada
uno de los vértices del pentágono (opción Semirrecta).
— Dibujamos una recta paralela al lado AB, que
pase por A′ (opción Recta paralela). El punto
de corte de esta recta con la semirrecta OB
determinará el vértice B′.
— Dibujamos una recta paralela al lado BC, que
pase por B′, y obtendremos el vértice C′ en el
punto de corte de esta recta con la semirrecta
OC.
— Repetimos los mismos pasos para obtener los
vértices D′y E′.
— A partir de los vértices encontrados, dibujamos
el polígono A′B′C′D′E′ (opción Polígono).
— Para observar con claridad la figura, escondemos
las rectas paralelas (opción Ocultar/mostrar),
transformamos las semirrectas en discontinuas
(opción Punteado), y coloreamos los pentágonos
(opción Relleno).
OA
OA
′ = 1
2
O
A
A
B
C
E
D
O
A
A
B
C
O
A
B
A
B
C
O
A
B
A
B
C
Estrategia: Experimentación con la posible solución
En ocasiones, imaginar la posible solución de un problema nos conduce a su solución real.
Esta estrategia es especialmente útil en problemas geométricos.
Comprensión del enunciado
En primer lugar, dibuja un triángulo ABC para aclarar
cuáles son los datos y qué es lo que buscas.
Los datos del problema son ^A, ^B y hC.
Planificación de la resolución
— Hay muchos triángulos con dos ángulos ^A y ^B iguales
a los que nos piden en el enunciado, pero cada
uno tendrá distintas alturas respecto al vértice C.
— Construiremos un triángulo cualquiera A′B′C′ con
los ángulos ^A y ^B que nos indica el enunciado.
— Mediremos la altura hC′.
— Esta altura medida no coincide con la altura hC.
Pero observamos que si situamos hC sobre hC′ y
trazamos paralelas desde C a A′C′ y B′C′, obtendremos
la solución del problema.
Ejecución del plan de resolución
Procedemos tal y como lo habíamos planificado.
Dibujamos un triángulo de ángulos ^A y ^B.
Situamos hC sobre hC′ y trazamos desde C paralelas
a los lados A′C′ y B′C′.
Así, obtenemos el triángulo ABC, que es la solución
del problema.
Revisión del resultado y el proceso seguido
Comprobamos que efectivamente el triángulo construido
cumple las condiciones del enunciado.
Construye el triángulo ABC, dados los ángulos ^A y ^B y la altura hC correspondiente al vértice C.
Pon en práctica la estrategia anterior para resolver estos problemas.
Construye el triángulo ABC, dados los ángulos ^A y ^B y la longitud del segmento de bisectriz interior al triángulo
correspondiente al ángulo ^A.
Construye el triángulo ABC, sabiendo que la razón de proporcionalidad de sus catetos es y la
altura correspondiente al vértice C es hC = 4 cm.
AC
BC
= 2
3
47
46
Actividades §
 

 

hc
A B
C′
hc′
A′ B′
A
A
C
hc
A B B
C′
hc′
A′ B′ B
Cómo resolver problemas
En resumen
Síntesis
° La razón entre dos segmentos de longitudes
m y n es el cociente entre estas dos longitudes.
° Los segmentos a y b son proporcionales a
los segmentos c y d si se cumple la relación:
El valor numérico del cociente entre estas dos
longitudes (k) se denomina razón de proporcionalidad.
° Si un conjunto de rectas paralelas corta a dos
rectas secantes de forma que los segmentos
determinados en una de ellas son iguales, los
segmentos correspondientes determinados en
la otra también son iguales.
° Teorema de Tales
Si dos rectas secantes son cortadas por un conjunto
de rectas paralelas, los segmentos determinados
en una de ellas
son proporcionales a los
segmentos correspondientes
determinados en
la otra.
° Dos triángulos están en posición de Tales si tienen
un ángulo común y los lados opuestos a
este ángulo son paralelos.
° Dos triángulos en posición de Tales tienen los
lados proporcionales y los ángulos iguales.
AB
A B
BC
′ ′ B C
=
′ ′
a
b
c
d
= = k
A B C
A′ B′ C′
r
s
Completa el organizador gráfico en tu cuaderno:
Permite expresar
matemáticamente
el concepto de
permite definir
para comprobar la
semejanza podemos
emplear
propiedades
del perímetro
y del área
son siempre
una de sus
aplicaciones
son los
Razón y …………………….. de
segmentos
Triángulos
semejantes
Dibujos a
……………………………
Triángulos en
posición de
……………………………..
…………………….. de
semejanza
……………………………
semejantes
Figuras semejantes
La razón entre los
perímetros de dos
polígonos semejantes
es igual a la …………………………….
La razón entre las áreas
de dos polígonos
semejantes es igual al
……………………….. de la razón
de semejanza.
Semejanza
pueden situarse como
Ejercicios y problemas integradores
Calcular cuáles son las verdaderas distancias entre los tres pueblos que se
observan en el mapa.
• Planteamos otra proporción utilizando la equivalencia anterior.
Para conocer las distancias reales en un mapa, es suficiente conocer la escala,
observa:
• Con una regla, medimos los segmentos AB, BC y CA.
A
ESCALA 1 : 300 000 B
C
A
ESCALA 1 : 300 000 B
C
La escala 1: 300 000 significa que un centímetro en el mapa equivale a 300 000
cm en la realidad.
• Planteamos una proporción utilizando la escala:
AB = 4 cm BC = 5 cm CA = 7 cm
1
300 000
=
AB
4
• Ampliamos la propiedad fundamental de las proporciones:
El producto de los extremos es igual al producto de los medios.
• Expresamos el 1 200 000 centímetros en kilómetros.
AB 1 x = 4 x 300 000 AB= 1 200 000 1
300 000
=
AB
4
1 km = 1 000 000 cm
1 200 000
1
1 000 000
= 1 x 1 200 000
1 000 000
x = x 1 200 000
1 000 000
; ; = x ; 12 km = x ; x = 12 km

• Repetimos el proceso para las otras medidas:
R: Los 4, 5 y 7 cm del mapa representan respectivamente
12, 15 y 21 km de distancia entre los pueblos, en la
realidad.
Margarita observa que en la punta de la torre de las antenas
de teléfono que están cerca de su casa, se encuentra un
pajarito de hermosos colores. ¿A qué altura se encuentra el
pájaro?
• En la gráfica se observan dos triángulos rectángulos pues la horizontal que
pasa sobre la cabeza de Margarita está paralela al piso y tanto el árbol
como la torre están perpendiculares al piso.
• Como el ángulo agudo A en los dos casos tiene la misma amplitud podemos
decir que los dos triángulos rectángulos son semejantes.
• Determinemos la medida de los lados cada uno de los triángulos:
1
300 000
=
BC
5 1
300 000
=
BC
7
BC = 5 x 300 000 CA = 7 x 300 000
BC = 1 500 000 CA = 2 100 000
BC = 15 km
1
1 000 000
= x
1 500 000
CA = 21 km
1
1 000 000
= x
2 100 000

• Planteamos las proporciones con los lados correspondientes de los triángulos:
• Aplicamos la propiedad a las proporciones y hallamos el lado BC.
• Para conocer la altura de la torre, sumamos el valor del lado BC más la altura
de Margarita: 50 m + 1,7 m = 51,7 m
R: El pajarito que observa Margarita se encuentra a una altura de 51,7 m.
Practica
Observa la imagen. Ramiro, el joven que está junto a la puerta, mide 1,65 m. Calcula,
a partir de ese dato, las dimensiones reales (largo y ancho) de la puerta.
AC = 72 m + 18 m = 90 m
Triángulo ACB
BC = x
AE = 18 m
Triángulo AED
DE = 11,7 m – 1,70 m = 10 m
AE
AC
DE
BC 90
18
= x
10
=
90 x 10
18
= x 50 m = x
1,70m
18m 72m
x
11,7m
A C
B
D
E
Ejercicios y problemas
Razón y proporcionalidad de segmentos
Dibuja seis segmentos, de manera que se cumpla
la proporción siguiente:
Hemos cortado un listón de madera en partes
proporcionales a 2, 3 y 5.
Halla la razón de estos segmentos.
a) AB y CD
b) AC y BD
c) BC y AD
d) BC y BD
La razón de dos segmentos a y b es , y la razón
de dos segmentos b y c es . Halla la razón de los
segmentos c y a.
Observa la figura.
Halla las longitudes de los
segmentos AB y BC si se
sabe que su razón es
y que la longitud del
segmento AC es de 2 dm.
Observa el siguiente tramo de carretera.
¿En qué kilómetro se encuentra la casa si ?
Halla las dimensiones de un rectángulo cuyo
perímetro es 36 cm y la razón de la base y la altura,
. Se conoce que la base mide 10 cm.
Rectas secantes cortadas por paralelas
Calcula la longitud x de los segmentos de las siguientes
figuras.
Observa la figura y halla las longitudes de los segmentos
x, y, z.
Las rectas r y s de cada una de las figuras siguientes
son paralelas. Indica si la recta t también es paralela
a r y s.
Divide un segmento de 10 cm en partes proporcionales
a 2,3 y 4.
Divide un segmento de 6 cm en partes proporcionales
a 2, 3 y 4.
Dibuja un segmento de 7 cm y divídelo en ocho
partes iguales.
Divide gráficamente un segmento AB de 6 cm de
longitud en dos segmentos cuya razón sea .
¿Cuánto mide cada uno de los segmentos?
Traza un segmento AB de 10 cm. Dibuja otro encima
que sea de AB.
48
AB
CD
EF
GH
IJ
KL
= = =2
49
5
3
50
2
5
51
1
4
52
AC
AB
= 5
4
53
5
4
54
55
56
57
58
59
60
3
5
61
5
6
A B C D
A B C
km 21 km 35
A C B
3 cm
2 cm 2,5 cm
x
a b
4 cm
x
1,5 cm
1,6 cm
4 cm
3 cm
1 cm
12 cm
z
y
x
3,3 cm
2 cm 2,2 cm
3 cm
s r
t
a
1,5 cm
1 cm
1,4 cm 0,9 cm
s t
b
r
9 Comprensión de conceptos y conocimiento de procesos
En tu cuaderno
Elabora un segmento AB de 7 cm. Construye otro
CD, de manera que se cumpla que .
Dibuja un segmento de 8 cm y divídelo en seis partes
iguales. A continuación, señala un punto P tal que
y un punto Q siendo .
Construye el segmento tercero proporcional a los
segmentos p y q cuyas longitudes son 3 cm y 4 cm,
respectivamente. Considera que el segmento p
es el que se repite.
Indica oralmente si las siguientes frases son ciertas
o falsas.
a) La razón de dos segmentos de longitudes 2
dm y 40 cm es .
b) Los segmentos de longitudes 2 cm y 6 cm son
proporcionales a los segmentos de longitudes
2,5 cm y 6,5 cm.
c) El segmento tercero proporcional a los segmentos
de longitudes 2 cm y 4 cm mide 3 cm.
d) El segmento cuarto proporcional a los segmentos
de longitudes 3 cm, 4 cm y 9 cm mide 12 cm.
Triángulos en posición de Tales
Dibuja dos triángulos en posición de Tales, mide los
lados y comprueba que son proporcionales.
— Mide también los ángulos y comprueba que son
iguales.
Calcula, en tu cuaderno, las medidas que faltan
en el triángulo de la figura siguiente.
Halla el perímetro del triángulo DBE, sabiendo
que AC = 10 cm, BC = 16 cm, AB = 22,7 cm y
BD = 11 cm.
Para hallar el perímetro, necesitamos conocer las
medidas de los lados BE y DE.
Los dos triángulos se encuentran en posición de
Tales. Así, podemos establecer las proporciones siguientes:
Sustituyendo los valores que conocemos:
P′ = BD + BE + DE = 11 + 7,8 + 4,8 = 23,6
El perímetro del triángulo DBE es de 23,6 cm.
Otra forma de resolver el problema es argumentando
que la razón entre los perímetros de dos
triángulos en posición de Tales es igual a la razón
entre dos lados homólogos cualesquiera.
El perímetro del triángulo ABC es:
P = AB + BC + AC = 22,7 + 16 + 10 = 48,7
Así pues:
Dos triángulos equiláteros están en posición de Tales
y la razón entre sus lados es . Calcula mentalmente
el perímetro del triángulo mayor si el del menor
es 18 cm.
Triángulos semejantes
Los triángulos ABC y A′B′C′ de la siguiente figura
son semejantes. Halla las medidas de los ángulos
y de los lados desconocidos.
AQ
AB
= 1
3
′= ⇒ ′ = ⋅ = P
P
48 7
11
22 7
11 48 7
22 7
23 6
, ,
,
,
,
AB
BD
AC
DE
DE
BD AC
AB
= ⇒ = ⋅ = ⋅ = 11 10
22 7
4 8
,
,
AB
BD
BC
BE
BE
BD BC
AB
= ⇒ = ⋅ = ⋅ = 11 16
22 7
7 8
,
,
AB
BD
BC
BE
AB
BD
AC
DE
= ; =
68
67
66
1
2
65
64
AP = AB 5
6
63
CD = AB 4
3
62
69
2
3
70
1 cm
x
2 cm
1,5 cm
y z
4 cm
C
A D B
E
A′
B′
C′
B
C A
25,18 cm
27,13 cm
81o
68 cm
54,26 cm
52o
Construye un triángulo equilátero de 4 cm de lado.
Dibuja otro triángulo equilátero semejante al anterior
con razón de semejanza .
Observa algunas de las
pistas de un aeropuerto
que unen los puntos de
salida A, B, C, D y E.
¿Cuál es la distancia entre
A y B?
En la siguiente figura pueden observarse tres
triángulos rectángulos ABC, ADC y DBC.
Averigua si son semejantes y, en caso afirmativo,
halla la razón de semejanza entre ABC y ADC, entre
ABC y DBC, y entre ADC y DBC.
El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide 108o
y el lado desigual 14 cm. Uno de los lados iguales de
otro triángulo isósceles semejante mide 18 cm. Si la razón
de semejanza entre los dos triángulos
es 2, calcula mentalmente:
a) La medida de los ángulos del triángulo mayor.
b) El perímetro del triángulo menor.
Los triángulos rectángulos de las siguientes figuras
son semejantes.
a) ¿Cuál es la razón de semejanza?
b) ¿Cuánto miden los catetos cuyas longitudes
no son conocidas?
Polígonos semejantes
La razón de semejanza entre dos polígonos A y B
es . Completa, en tu cuaderno, la tabla.
La razón entre las apotemas de dos hexágonos
regulares es . Si el área del mayor es 35,2 cm2,
¿cuál es el área del menor?
El perímetro de un pentágono regular es veces
el perímetro de otro pentágono regular. ¿Cuál es el
área del pentágono mayor si el área del menor es
25,5 cm2?
Construye un cuadrado de 4 cm de lado. Indica el
punto medio de cada uno de sus lados y traza los
segmentos que unen de forma consecutiva estos
puntos medios. ¿Qué figura obtienes? ¿Es
semejante a la figura original?
— Indica la razón de semejanza
entre las dos f iguras.
El perímetro de un pentágono
ABCDE es 17,5 cm y su área,
21 cm2.
a) Construye dos pentágonos
semejantes A′B′C′D′E′ y
A′′B′′C′′D′′E′′ con razones
de semejanza y .
b) Copia la tabla en tu cuaderno y llénala.
5
4
77
4
7
76
75
74
73
72
7
6
71
7
3
78
79
80
3
2
1
2



 
 

  


 
 
3 cm
x + 2
6 cm
5x – 2





Razón de
semejanza
Razón entre
los perímetros
Razón entre
las áreas
4
7
Entre
A y B
7
4
Entre
B y A
Pentágono Perímetro Área
ABCDE 17,5 cm 21 cm2
A′B′C′D′E′
A′′B′′C′′D′′E′′
En tu cuaderno
Figuras semejantes
Se quiere colocar un listón alrededor de la puerta
de un armario, cuyas medidas en un dibujo a escala
1 : 40 son 1,25 cm × 2 cm. ¿Cuántos metros de
listón son necesarios?
La escala nos dice que una unidad de longitud
del dibujo representa 40 de la realidad.
1,25 cm ⋅ 40 = 50 cm = 0,5 m
2 cm ⋅ 40 = 80 cm = 0,8 m
La puerta de un armario tiene forma rectangular; entonces,
los metros de listón que necesitaremos serán:
2 ⋅ 0,5 m + 2 ⋅ 0,8 m = 2,6 m
Son necesarios 2,6 m de listón.
La siguiente figura está
dibujada a escala 1 : 100. Halla
su área.
En el plano de la figura están señaladas diferentes
distancias. Si la distancia real entre la escuela y la
casa es 700 m:
a) ¿Cuál es la escala del plano?
b) ¿Cuál es la distancia real entre la escuela y
la arboleda y cuál es la distancia real entre la
arboleda y la casa?
Dibuja un plano de tu casa con la escala que consideres
más adecuada de las dos que te proponemos
a continuación: 1 : 100 o 1 : 200.
Aplicación en la práctica
Halla la medida de cada uno de
los peldaños de la escalera.
Observa, en el siguiente gráfico, las carreteras
que unen los pueblos A, B, C, D y E. Puesto que
la vía que une D con E está cortada, si un auto
parte de D para ir a E tiene dos posibles recorridos,
uno pasando por B y otro pasando por A y por C.
¿Cuántos kilómetros recorrería en cada caso?
Halla las medidas de la
siguiente figura correspondientes
a x + 2
y a x − 2.
Un auto asciende por una rampa a una velocidad
de 5 m/s. Si a los 4 s de su salida se encuentra a
una altura de 10 m, ¿a qué altura se hallará a los
15 s?
En la figura puedes observar la disposición de las
pistas de la terminal de un aeropuerto. A partir de
los datos que se indican, determina los valores para
x e y.
Completa los siguientes ejercicios ayudándote de
los applets (aplicaciones) de la página:
http://w3.cnice.mec.es/Descartes/3_eso/Seme
janza/Semejan1.htm
a) Los segmentos de longitudes a = 4 cm, b = 6 cm,
c = 7 cm y d son proporcionales. Encuentra la
razón de proporcionalidad y la longitud del
segmento d.
b) Encuentra distintos grupos de cuatro segmentos
con razón de proporcionalidad 0,85.
84
83
82
85
86
87
81
88
89
90






20 cm
20 cm
20 cm
20 cm
120 cm
z
y
x
C
A
E
D B
5 km
3 km
2 km 4 km
12 cm 6 cm
x + 2
x – 2
.
980 m
440 m 280 m
y
x
@
c) En las aplicaciones del Teorema de Tales investiga
cómo cambian los valores de los cocientes de
los segmentos al variar la posición de las rectas
e intenta justificar el porqué.
Si un poste de 2 m proyecta una sombra de 3 m,
¿qué sombra proyectará un árbol de 9 m?
En primer lugar, hacemos un dibujo con los datos
del enunciado.
El poste, el árbol y sus respectivas sombras forman
dos triángulos semejantes. Si llamamos x a la sombra
del árbol, por semejanza de triángulos deberá
cumplirse:
La sombra proyectada por el árbol es de 13,5 m.
Para averiguar la altura de un poste telefónico
medimos su sombra, que es de 30 m. A la misma
hora, una señal de tráfico de 2 m de altura proyecta
una sombra de 4,8 m. ¿Cuál es la altura del poste?
Un edificio está formado por dos bloques. Observa
la figura y halla la altura del bloque más alto.
Calcula el área de un triángulo rectángulo, sabiendo
que uno de los catetos y la hipotenusa de un
triángulo semejante de constante de semejanza
k = 2 miden 3 cm y 5 cm, respectivamente.
Los lados de una habitación rectangular miden
4,5 m y 2,4 m. Al hacer un plano de la habitación
la longitud del lado mayor es 1,5 cm.
a) ¿Cuál es la escala del plano?
b) ¿Cuánto medirá en el plano el lado menor de la
habitación?
A partir de este mapa, halla la distancia real que recorrerán
los piratas hasta llegar al tesoro.
Analiza los criterios de semejanza de triángulos
en la página http://www.keymath.com/x3343.xml y
construye pares de triángulos con razones de
semejanza 2, , .
En la página http://www.ies.co.jp/math/java/geo/
panta/panta.html puedes utilizar un pantógrafo virtual
para dibujar figuras semejantes. Dibuja una
casa y descubre qué relación de semejanza hay
entre las figuras que obtengas.
Más a fondo
Sobre un plano dibujado a escala 1 : 5 medimos un
ángulo de 60°. ¿Cuál es su medida real?
Calcula la longitud de la barra de acero más larga.
Un fabricante de material escolar quiere editar un
mapa de una ciudad en formato INEN-A4 (297 mm
× 210 mm).
Sabiendo que la ciudad mide de norte a sur, aproximadamente,
890 km, y que su anchura máxima
es de 1 030 km, ¿qué escala debe emplear?
Formen grupos de 3 o 4 alumnos, y dibujen un
plano de su centro escolar en la escala que consideren
más adecuada de las dos propuestas a continuación:
1 : 100 o 1 : 200.
91
2
9
3
2 93
27
2
= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = = 13 5
x
x x ,
92
93
94
95
96
97
1
2
3
2
98
99
100
101
102



 
  
 
:
_
@
@
En tu cuaderno
Demuestra tu ingenio
Ampliar el césped
El césped de un jardín cuadrado necesita 30 l de agua al día. Su dueño
quiere ampliarlo y aumentar en un factor 1,5 la longitud de cada
uno de sus lados. Se lo comenta al jardinero y éste dice:
— Se puede ampliar, pero sepa que gastará más de 60 l de agua
cada día para regarlo.
El dueño del jardín contesta:
—Vaya, pensaba que con 45 l diarios bastarían.
¿Cuántos litros de agua diarios calculas que necesitará el nuevo césped?
Los comensales de la mesa redonda
En una mesa circular hay 8 comensales sentados
en posiciones equiespaciadas. ¿En cuánto habría
que aumentar la superficie de la mesa para que
puedan sentarse 4 personas más manteniendo la
misma distancia de separación entre comensales
que antes?
Gulliver en Liliput
En Los viajes de Gulliver, de Jonathan Swift, el protagonista
naufraga en las costas de Liliput, donde
se encuentra con el hecho sorprendente de que todas
las cosas son 12 veces más pequeñas que sus
correspondientes en Inglaterra.
¿Cuál sería la estatura de tu hermano gemelo
liliputiense?
Buen Vivir
Los incas desarrollaron técnicas avanzadas
de cultivo que se usan hasta el día de hoy. Por
ejemplo, se cuenta con la técnica de terrazas,
para aprovechar el terreno montañoso de Los
Andes. Las tierras a cultivar eran adecuadas
con sistemas de riego y con desagües de
gran desempeño que hasta ahora las utilizan.
Al trabajar de esta manera, los incas evitaban
la erosión vertiginosa del suelo y lo mantenían
con los nutrientes necesarios para que
produzcan.
Las terrazas hechas en las montañas, vistas
desde lejos, parecen grandes escaleras
que llevan hacia el Sol.
Actividades
¿En qué se asocian las construcciones
incas a las terrazas de cultivo? Investiguen
su respuesta.
¿Han visto en algún lugar de la Sierra ecuatoriana
terrazas de cultivo? ¿Por qué creen
que eso sucede? Argumenten.
Realicen una investigación sobre las técnicas
de cultivo ancestrales y comenten
si pueden ser aplicadas hoy.
¿Saben que los pueblos ancestrales de
nuestro país tienen el derecho a vivir
según sus tradiciones y a mantener su
identidad cultural? ¿Cómo podemos respetar
y hacer cumplir este derecho?
1
2
3
4
Buen
Educación, cultura y saberes ancestrales Vivir
_
Historia Sección de historia
Autoevaluación
1. Dibuja un segmento AB de 3,5 cm y construye
los segmentos CD, EF y GH tales que:
2. Si tenemos los segmentos a, b y c cuyas longitudes
son 7 cm, 10 cm y 4 cm, respectivamente, calcula
el segmento cuarto proporcional.
3. Calcula la altura del árbol.
4. Aumentamos en 1,5 cm las longitudes de los lados
de un triángulo dado y construimos otro. ¿Este
nuevo triángulo es semejante al primero? ¿Y si
aumentamos las longitudes de los lados 1,5 veces?
1. Observen la figura y hallen los
valores de x, y, z.
2. ¿Cuál es la altura de una estatua que proyecta
una sombra de 8 m en el mismo instante en que un
farol de 2,6 m proyecta una sombra de 1,8 m?
3. La razón de semejanza entre dos polígonos es
k = . El perímetro del más grande mide 30 cm
y su área es de 50 cm2.
Calculen el perímetro y el área del polígono más pequeño.
4. La distancia entre dos ciudades en línea recta es de
744 km. Al medir esta distancia en un mapa obtenemos
el valor 372 mm. ¿Cuál es la escala del mapa?
CD = AB EF = AB GH = AB 2
3
3
1
5
; ;
5
4











Las civilizaciones antiguas ya conocían
algunos resultados referentes a segmentos
proporcionales.
Los griegos utilizaban la proporcionalidad
geométrica como herramienta
para efectuar sus razonamientos
matemáticos.
Las primeras definiciones precisas de
razón y proporción entre segmentos las
hizo Eudoxo en el siglo IV a. C, para ampliar
la proporcionalidad entre números
enteros.
Euclides, en el libro V de su obra los
Elementos, desarrolló una teoría muy
completa de la proporcionalidad geométrica.
Pappus (s. IV) ya definió la razón doble
de cuatro puntos, concepto que
constituirá la base de la geometría proyectiva.
Blaise Pascal, matemático francés y niño
prodigio, descubrió por él mismo, según
la tradición, los 32 teoremas de Euclides.
La duplicación del cubo
es equivalente a encontrar
el tercero proporcional x entre
a y b:
donde b es…
a
x
x
b
=
si y sólo si, para
cualesquiera
números enteros
m y n:
a
b
c
d
=
ma < nb ⇒ ⇒ mc < nd ma = nb⇒ ⇒ mc = nd ma > nb⇒
⇒mc > nd
Coevaluación
Si logras resolver el 70 % de estas actividades individuales y grupales, puedes avanzar.
Formatos en cine y televisión
Las pantallas de los televisores son rectángulos
semejantes para que las imágenes tengan la misma
forma en televisores grandes y pequeños. En las
pantallas estándar la relación longitud/anchura es
de 4 : 3. Este formato coincide con el «formato académico
» utilizado en el cine hasta 1950.
Poco después, la industria cinematográfica desarrolló
los formatos Cinemascope y Panavisión para
la proyección de sus filmes en salas de cine, con una
relación 2,35 : 1. Otro formato de cine actual es el
1,85 : 1 (flat o americano).
Al ver en un televisor estándar una película en
Panavisión o en formato americano, no se conserva
la semejanza y, o bien se ve toda la imagen pero desaprovechando
área de pantalla (zonas en negro), o
bien se pierde imagen de la película inicial.
A la izquierda (edición widescreen), se pierde zona de pantalla. A la
derecha (edición fullscreen), se pierde parte de la imagen inicial.
En los televisores con pantalla panorámica, la relación
de aspecto es de 16 : 9, por lo que hay menos
zona en negro al ver una película en los formatos
de cine.
¿Qué porcentaje de área de pantalla está en negro
al ver una película de formato Panavisión en una pantalla
estándar y en una panorámica?
Medir alturas con el teodolito
El teodolito es un instrumento para la medida de ángulos
horizontales y verticales. Es muy utilizado
en topografía e ingeniería, sobre todo en las triangulaciones.
Básicamente es un telescopio montado
sobre un trípode y con dos círculos graduados,
uno vertical y otro horizontal, con los que se
miden los ángulos con ayuda de lentes.
Si, por ejemplo, queremos hallar la altura h de una
colina, con el teodolito podemos medir los ángulos
α y β . Entonces, conocida la distancia real d entre
las dos medidas, con un dibujo a escala y los
dos triángulos de la figura, podemos determinar
la altura h.
Las casas de muñecas
En las casas de muñecas se reproducen, a escala, puertas, ventanas
y habitaciones reales, así como los distintos muebles y accesorios.
Los muñecos que las habitan también son reproducciones
a escala. La más utilizada es la escala 1 : 12, aunque también
se construyen casas a 1 : 16, 1 : 24 y 1 : 48.

!
http://majiniuhai.files.wordpress.com
http://www.blogdojotace.com.br
Crónica matemática
85. Polígono de 4 lados: 180° · (4 − 2) = 360°
Polígono de 5 lados: 180° · (5 − 2) = 540°
Polígono de 6 lados: 180° · (6 − 2) = 720°
Polígono de 7 lados: 180° · (7 − 2) = 900°
Polígono de 8 lados: 180° · (8 − 2) = 1 080°
Polígono de 9 lados: 180° · (9 − 2) = 1 260°
Polígono de 10 lados: 180° · (10 − 2) = 1 440°
87. Se trata de un dodecágono, ya que 360° : 12 = 30°.
89. 72°, pues su valor coincide con el ángulo central.
91. a) y b) Respuesta abierta.
c) No existe, ya que en un triángulo equilátero todos los ángulos
son de 60°.
93. a) El circuncentro está situado en el punto
medio de la hipotenusa.
b)
95. Simple observación.
97. a) Rombo; b) trapezoide; c) trapecio isósceles; d) romboide.
99. [360° − (2 × 35°)] ÷ 2 = 145°
101.
103.
107. a) 3 x + 5 = 20; b) ; c) ;
d) 2 n + 2 n + 2 = 30.
109. a) La diferencia entre el triple de a y b; b) la suma del triple del cuadrado
de a más b; c) la diferencia entre un tercio de a y 4; d) la diferencia
entre el cuadrado de a y el cuadrado de b; e) la mitad de
la suma de a más b; f) el cuadrado de la suma de a más b.
111. a) 2 · 4 + 5 = 13; b) 5 + 5 · + = 7; c) = 3.
113. a) 5 x − 5 y ; b) 20 a3b2; c) x4y5.
117. a) 1; b) a − 9 b ; c) 4 a + 8 b − 12 b2 + 9 ab7.
119. a) El número de lados de los polígonos es:
M.C.D. (88, 68) = 4
b) Se obtienen 88 ÷ 4 = 22 cuadriláteros con palillos y 68 ÷ 4 = 17
cuadriláteros con cerillas.
121.
Los trapecios rectángulos no tienen centro ni ejes de simetría y
los triángulos rectángulos, en general, tampoco.
123. a) 18 x + 0,75 y
b) 18 · 3 + 0,75 · 523 = 446,25
Debe pagar $ 446,25.
125. Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi nació en la ciudad de Khwarizmi
(actual Khiva, en Uzbekistán) en el año 783.
127. Polígonos estrellados a partir del polígono regular de 15 lados.
129. a) a, b, c, d y f son triángulos isósceles, e es un romboide y g un
cuadrado; a y b son iguales, y c y d también.
131. 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = 4 + 97 = …
Hay tantas sumas como la mitad de términos:
101 · 50 = 5 050
La suma de los 100 primeros números naturales es 5 050.
Para los números pares, observamos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 = 5 050
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 200 = ?
Por tanto:
2 + 4 + 6 + … + 200 = 2 · (1 + 2 + 3 + … + 100) = 2 · 5 050 = 10 100
Para los números impares:
1 + 3 + 5 + … + 199
2 + 4 + 6 + … + 200
Por tanto:
1 + 3 + 5 + … + 199 = (2 + 4 + … + 200) − 100 = 10 100 − 100 = 10 000
— La fórmula general para la suma de los n primeros números
naturales es:
La fórmula general para la suma de los n primeros números
naturales pares es: n (n + 1)
La fórmula general para la suma de los n primeros números
naturales impares es: n2
49.
51. Llamamos x a la longitud del segmento AB y llamamos y a la longitud
del segmento BC.
La longitud del segmento AB es 0,4 dm y la del segmento BC es
1,6 dm.
53. La altura del rectángulo mide 8 cm.
55. Podemos establecer las siguientes proporciones:
Las medidas de los segmentos x, y y z son 1,5 cm, 4,5 cm y 6 cm, respectivamente.

65. a) Cierta; b) falsa; c) falsa; d) cierta.
67.
Así, x = 2,4 cm; y = 7,2 cm.
69. El perímetro del triángulo mayor es 27 cm.
71.
73. — Triángulos ABC y ADC:
Los triángulos ABC y ADC son semejantes y la razón de semejanza
es .
— Triángulos ABC y DBC:
Los triángulos ABC y DBC son semejantes y la razón de semejanza
es .
— Triángulos ADC y DBC:
Los triángulos ADC y DBC son semejantes y la razón de semejanza
es .
75. a)
La razón de semejanza es
b)
El cateto cuya longitud viene expresada por x + 2 mide 4 cm y el
que viene expresado por 5x − 2 mide 8 cm.
2
77.
El área del hexágono menor es 22,5 cm2.
79. Un cuadrado.
— Sí, dado que todos los cuadrados son semejantes.
— Calculamos el lado del cuadrado inscrito
por el teorema de Pitágoras:
Dado que el lado del cuadrado inscrito mide
la razón de semejanza es:
83. a) 700 m = 70 000 cm
La escala del plano es 1 : 10 000.
b) 4,2 · 10 000 = 42 000 cm
42 000 cm = 420 m
La distancia real entre la escuela y la arboleda es 420 m.
3,5 · 10 000 = 35 000 cm
35000 cm = 350 m
La distancia real entre la arboleda y la casa es 350 m.
85. Establecemos las siguientes proporciones:
Los peldaños de la escalera miden 30 cm, 60 cm y 90 cm, respectivamente.
87. Al estar los triángulos en posición de Tales, tenemos:
Las medidas correspondientes a x + 2 y a x − 2 son 8 cm y 4 cm,
respectivamente.
89. El otro cateto del triángulo mayor mide:
Así pues, tenemos que:
93. Llamamos x a la diferencia de altura entre los dos bloques.
Por semejanza de triángulos se cumple:
La altura del bloque más alto es 45 m.