PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y EL TEOREMA DE THALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de:
* Conocer los conceptos de razones y proporciones de segmentos.
* Reconocer la proporcionalidad entre los segmentos de ciertas figuras determinadas.
* Aplicar correctamente los teoremas, en especial el Teorema de Ceva y el Teorema de Menelao.
* Diferenciar los teoremas y sus aplicaciones.
* Aplicar correctamente los teoremas en la resolución de problemas.

Teorema de thales :
Tres rectas paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes segmentos proporcionales .
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TEOREMA DE ThALES(general)
Si dos rectas cualesquiera son intersecadas por una serie de rectas paralelas , entonces dichas rectas paralelas determinan , sobre las dos rectas dadas, segmentos proporcionales respectivamente.

Los seres humanos desde que empezaron a tener las nociones de cantidad, número y medida: comenzaron a realizar ciertas comparaciones con ellas. También observo que en la naturaleza se daban cambios de tamaños en una cierta proporción, por ejemplo, los animales y seres humanos mostraban crecimiento de sus extremidades y otras partes de su fisonomía de manera proporcional. Además, en otras ramas de la ciencia como la física y química los diversos fenómenos que se estudian hay presencia de la proporcionalidad por ejemplo. La variación espacio tiempo, la proporción determinada de compuesto en una mezcla, etc; todos ello contribuyó al desarrollo.

• Reconocer la proporcionalidad entre los segmentos de ciertas figuras determinadas.
• Aplicar correctamente los teoremas, en especial el Teorema de Ceva y el Teorema de Menelao.
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
En un día de sol, los cuerpos producen sombra. ¿Te has detenido a pensar la relación que existe entre la altura de los cuerpos y la longitud de las sombras que éstos producen?
Ya en el S. VI a.C., uno de los siete sabios de Grecia, Tales de Mileto, se plantea esta y otras cuestiones análogas, de las que nos ocuparemos más adelante.
De la vida de Tales se sabe que era un rico comerciante de Mileto, que vivió aproximadamente desde el 640 hasta el 550 a.C. Tenía mucho éxito como hombre de negocios; sus tareas como mercader lo llevaron a muchos países y su ingenio natural le permitió aprender de las novedades que veía. Fue conocido por sus admirados compatriotas de generaciones posteriores como uno de los Siete Sabios de Grecia, muchas leyendas y anécdotas se reúnen en torno a su nombre. Se dice que una vez Tales estaba encargado de algunas mulas cargadas con sacos de sal. Mientras cruzaban un río, uno de los animales resbaló; al disolverse, en consecuencia, la sal en el agua su peso disminuyó instantáneamente. ¡El astuto animal, como es natural, se sumergió deliberadamente en el próximo vado y continuó con este truco hasta que Tales atinó con la feliz solución de llenar el saco de esponjas. Este demostró ser un remedio eficaz. En otra ocasión, Tales que preveía una cosecha de olivas extraordinariamente finas, se apoderó de todas las prensas de olivas en el distrito, una vez obtenido este monopolio, se convirtió en el jefe del mercado y pudo dictar sus propias condiciones. Pero, entonces, según un relato, una vez demostrado lo que podía hacer, su propósito ya había sido conseguido; en vez de oprimir a sus compradores, vendió magnánimamente la fruta a un precio que horrorizaría a un capitalista de hoy en día.
Tales, como muchos otros comerciantes de su tiempo, se retiró pronto de los negocios, pero a diferencia de otros muchos, dedicó su ocio a la filosofía y las matemáticas. Comprendió lo que había visto en sus viajes, particularmente en sus relaciones con los sacerdotes de Egipto; y fue el primero en poner de relieve algo del verdadero significado del saber científico egipcio. Fue un gran matemático y un gran astrónomo a la vez. En realidad, gran parte de su fama popular se debió a su acertada predicción de un eclipse solar en el año 585 a.C. No obstante, se dice que, mientras contemplaba las estrellas durante un paseo nocturno, cayó dentro de una zanja, entonces una anciana que lo atendió exclamó; “¿cómo podeis saber que ocurre en los cielos si no veis lo que se encuentra a vuestros pies?”.
Tales nunca olvidó la deuda contraída con los sacerdotes de Egipto, y cuando ya era un anciano aconsejó firmemente a su discípulo Pitágoras que les hiciera una visita. Pitágoras, actuando de acuerdo con este consejo, viajo y obtuvo una amplia experiencia, que le fue de gran utilidad cuando, a la larga se estableció y reunió sus propios discípulos a su alrededor, llegando a ser aún más famoso que su maestro.
James P. Newman
El mundo de las matemáticas

Es sabido que el Sol incide con igual inclinación sobre los cuerpos en un determinado momento y lugar. Utilizando una regla milimetrada, compara las alturas de la abuela y el bastón con sus respectivas sombras. ¿Podemos predecir la sombra en el mismo momento y lugar?

Te habrás percatado de que las sombras miden el doble de sus alturas, por lo que:

Por lo tanto:

La igualdad es una proporción de segmentos, y el valor 2 común a ambos cocientes, la razón de la proporción.

PROPORCIONALIDAD
RAZÓN GEOMÉTRICA ENTRE LAS
LONGITUDES DE DOS SEGMENTOS
Es la comparación de las longitudes de dos segmentos mediante el cociente entre ellos.

SEGMENTOS PROPORCIONALES
Se denominan segmentos proporcionales a dos pares de segmentos que presentan razones geométricas iguales.

Þ

TEOREMA DE THALES
Tres o más rectas paralelas determinan en dos rectas transversales segmentos proporcionales.

COROLARIO DE THALES
Toda recta secante a dos lados o a sus prolongaciones en un triángulo y paralela al tercer lado determina sobre los lados anteriores, segmentos proporcionales.

1.

2.

3.

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EN UN TRIÁNGULO
En un triángulo se cumple que los lados que forman el vértice de donde parte la bisectriz interior o exterior son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz sobre el lado opuesto o su prolongación.

1.

Método práctico

2. Si, es bisectriz exterior
Þ

Método práctico

En un triángulo los puntos de intersección de las bisectrices interior y exterior trazados desde un mismo vértice, dividen armonicamente al lado opuesto.

En la figura:

TEOREMA DEL INCENTRO
En todo triángulo el incentro divide a un segmento de bisectriz interior en dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a la suma de las longitudes de los lados adyacentes a dicha bisectriz como a la longitud del tercer lado.

I: Incentro

TEOREMA DE MENELAO
Al trazar una recta secante a dos lados de un triángulo y a la prolongación del tercero; se determinan 6 segmentos de tal manera, que el producto de las longitudes de 3 de ellos tomados en forma no consecutiva es igual al producto de las longitudes de los tres segmentos restantes.

TEOREMA DE CEVA
En todo triángulo, al trazar tres cevianas interiores concurrentes en un punto denominado cevacentro, se determinan en los lados 6 segmentos de tal manera que el producto de las longitudes de 3 de ellos tomados en forma no consecutiva es igual al producto de las longitudes de los otros tres.Si: O es cevacentro.

1. En la figura, , AC = 8, DF = 12 y EF = – AB = 5. Calcule DE.

2. En la figura, G es baricentro de la región triangular ABC. Calcule x.

A) 8 B) 9 C) 10 D) 14 E) 15

3. En la figura, FC = 3, CR = 10 y AR = 4.
Calcule AD.

A) 1,5 B) 1,3 C) 1,2
D) 1,4 E) 1,6

4. En la figura, . Si FB = FN, AE = 6 y 2 (AB) = 3 (BF), calcule FC.

A) 10 B) 12 C) 14 D) 18 E) 20

5. En la figura, AB = 2 (BC), 2 (CM) = 5 (BM).
Calcule x.

A) 30º B) 37º C) 45º
D) 53º E) 60º

6. En la figura, Q es punto de tangencia,
PC = 7 (PQ) y AB = 2. Calcule AC.

A) 10 B) 11 C) 12
D) 14 E) 16

7. En la figura, T es punto de tangencia,
3 (BN) = 4 (NT), CD = 28 y .
Calcule TM.

A) 1,5 B) 1,8 C) 2
D) 3 E) 9

8. En la figura, AP = 3 y PC = 2. Calcule QC.

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

9. En la figura, ABCD es un cuadrado.
AD = 2 (DO) y Calcule .

A) 1 B) C) 2 D) 3 E)